廣東省汕尾市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期7月期末考試數(shù)學(xué)

汕尾市2023—2024學(xué)年度第二學(xué)期高中二年級教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)本試題共4頁，考試時間120分鐘，滿分150分注意事項：1．答題前，考生先將自己的信息填寫清楚、準(zhǔn)確，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼粘貼處.2．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.3．答題時請按要求用筆，保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不得使用涂改液、修正帶、刮紙刀.考試結(jié)束后，請將本試題及答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，則的虛部為（）A.1 B.2 C. D.02.已知是三角形一內(nèi)角，若，則（）A. B. C. D.3.集合，，是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.設(shè)α是空間中一個平面，是三條不同的直線，則（）A若，則B.若，則C.若，則D若，則5.在的展開式中，的系數(shù)是（）A. B. C.60 D.806.某地區(qū)有20000名考生參加了高三第二次調(diào)研考試．經(jīng)過數(shù)據(jù)分析，數(shù)學(xué)成績X近似服從正態(tài)分布，則數(shù)學(xué)成績位于[80，88]的人數(shù)約為（）參考數(shù)據(jù)：，，．A.455 B.2718 C.6346 D.95457.某校高二年級開展課外實踐活動，數(shù)學(xué)建模課題組的學(xué)生選擇測量鳳山媽祖石像的高度．如圖，為測量石像的高度，在距離平臺米高的處測得石像頂?shù)难鼋菫椋缓笸?8米到達(dá)距離平臺米高的處測得石像頂?shù)难鼋菫?，則石像的高度為（）米．A. B.C. D.8.是直線上的一動點，過作圓的兩條切線，切點分別為，則四邊形面積的最小值為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分；共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.函數(shù)的圖象在點處的切線平行于直線，則點的坐標(biāo)可以為（）A. B. C. D.10.，若在上的投影向量為，則（）A. B.C. D.11.端午節(jié)期間，某城市舉行龍舟比賽，龍舟比賽途經(jīng)橋、橋、橋、橋及橋，活動期間在5座橋邊各設(shè)置1個志愿者服務(wù)點．現(xiàn)有5名志愿者參加其中三座橋一橋、橋及橋的服務(wù)，要求這三個服務(wù)點都有人參加，記事件A為“甲在橋服務(wù)點”，事件為“乙和丙分到一起”，則（）A.事件A與事件相互獨立 B.C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知是等比數(shù)列，若，則______．13.已知雙曲線的對稱中心是原點，對稱軸是坐標(biāo)軸，若軸上一點到雙曲線的漸近線距離為，則的離心率為______．14.若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是______．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，且滿足，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）已知數(shù)列的前項和為，求使不等式成立的的最小值．16.已知動點P到直線的距離比到點距離多2個單位長度，設(shè)動點P的軌跡為E．（1）求E方程；（2）已知過點的直線l交E于A，B兩點，且（O為坐標(biāo)原點）的面積為32，求l的方程．17.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面為的中點．（1）證明：平面．（2）若平面與平面的夾角為，求的長．18.某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的質(zhì)量(單位：克)，質(zhì)量的分組區(qū)間為(490，495]，(495，500]，…，(510，515]．由此得到樣本的頻率分布直方圖如圖．（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量；（2）在上述抽取40件產(chǎn)品中任取2件，設(shè)X為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求X的分布列；（3）從該流水線上任取2件產(chǎn)品，設(shè)Y為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求Y的分布列．19.已知函數(shù)（為正實數(shù)）.（1）討論函數(shù)極值點的個數(shù)；（2）若有兩個不同的極值點.（i）證明：；（ii）設(shè)恰有三個不同的零點.若，且，證明：.汕尾市2023—2024學(xué)年度第二學(xué)期高中二年級教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)本試題共4頁，考試時間120分鐘，滿分150分注意事項：1．答題前，考生先將自己的信息填寫清楚、準(zhǔn)確，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼粘貼處.2．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.3．答題時請按要求用筆，保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不得使用涂改液、修正帶、刮紙刀.考試結(jié)束后，請將本試題及答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，則的虛部為（）A.1 B.2 C. D.0【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算求出，即可得解.【詳解】根據(jù)題意，，所以的虛部為0.故選：D2.已知是三角形一內(nèi)角，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)題意判斷的范圍，再利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求解即可.【詳解】因為是三角形一內(nèi)角，，所以，由，得，，因為，所以，解得或（舍去）.故選：A3.集合，，是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】首先根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)化簡集合，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)化簡集合，再判斷兩集合的關(guān)系，即可判斷.【詳解】因為，，所以真包含于，所以是的充分不必要條件.故選：A4.設(shè)α是空間中的一個平面，是三條不同的直線，則（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】B【解析】【分析】選項A和D，通過舉出例子判斷正誤；選項B，由線面垂直的判定定理得結(jié)果正確；選項C，利用線面垂直的性質(zhì)，可得，從而判斷出結(jié)果的正誤.【詳解】對于選項A，如圖1，當(dāng)，滿足時，與可以斜交，故選項A錯誤，對于選項B，因為，所以，因為，則由線面垂直的判定定理得，故選項B正確，對于選項C，因為，所以，因為，所以，故選項C錯誤，對于選項D，若，則與可以相交、平行或異面，如圖2，滿足，而與異面，故選項D錯誤，故選：B.5.在的展開式中，的系數(shù)是（）A. B. C.60 D.80【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二項展開式的通項公式求解.【詳解】由，令，解得，所以，故選：C6.某地區(qū)有20000名考生參加了高三第二次調(diào)研考試．經(jīng)過數(shù)據(jù)分析，數(shù)學(xué)成績X近似服從正態(tài)分布，則數(shù)學(xué)成績位于[80，88]的人數(shù)約為（）參考數(shù)據(jù)：，，．A.455 B.2718 C.6346 D.9545【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)條件結(jié)合對稱性得出數(shù)學(xué)成績位于[80，88]的人數(shù).【詳解】由題意可知，，則數(shù)學(xué)成績位于[80，88]的人數(shù)約為.故選：B7.某校高二年級開展課外實踐活動，數(shù)學(xué)建模課題組的學(xué)生選擇測量鳳山媽祖石像的高度．如圖，為測量石像的高度，在距離平臺米高的處測得石像頂?shù)难鼋菫?；后?8米到達(dá)距離平臺米高的處測得石像頂?shù)难鼋菫?，則石像的高度為（）米．A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依題意可得，再由銳角三角函數(shù)計算可得.【詳解】依題意，，，，所以，所以，則，所以，即石像的高度為米.故選：A8.是直線上的一動點，過作圓的兩條切線，切點分別為，則四邊形面積的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合切線長定理列出四邊形面積的函數(shù)關(guān)系，再借助幾何意義求出最小值.【詳解】圓的圓心，半徑，點到直線的距離，顯然，由于切圓于點，則，四邊形的面積，當(dāng)且僅當(dāng)直線垂直于直線時取等號，所以四邊形面積的最小值為.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分；共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.函數(shù)的圖象在點處的切線平行于直線，則點的坐標(biāo)可以為（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)等于4解方程，求得點的橫坐標(biāo)，進而求得點的坐標(biāo).【詳解】依題意，令，解得，故點的坐標(biāo)為和，故選：AC10.，若在上的投影向量為，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】由投影向量的定義計算可判斷A，根據(jù)共線向量的線性表示判斷B，根據(jù)垂直的坐標(biāo)表示判斷C，根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示判斷D.【詳解】因為在上的投影向量為，所以，解得，故A正確；由，可知，故B錯誤；因為，所以，故C錯誤；因為，所以，故D正確.故選：AD11.端午節(jié)期間，某城市舉行龍舟比賽，龍舟比賽途經(jīng)橋、橋、橋、橋及橋，活動期間在5座橋邊各設(shè)置1個志愿者服務(wù)點．現(xiàn)有5名志愿者參加其中三座橋一橋、橋及橋的服務(wù)，要求這三個服務(wù)點都有人參加，記事件A為“甲在橋服務(wù)點”，事件為“乙和丙分到一起”，則（）A.事件A與事件相互獨立 B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】B選項，分和兩種情況，求出5名志愿者參加其中三座橋的情況數(shù)，再得到甲在橋服務(wù)點的情況數(shù)，得到概率；C選項，求出乙和丙分到一起的情況數(shù)，得到概率；A選項，求出事件包含的情況數(shù)，得到，根據(jù)得到A正確；D選項，根據(jù)求出條件概率.【詳解】B選項，5名志愿者參加其中三座橋，橋、橋及橋的服務(wù)，要求這三個服務(wù)點都有人參加，可以分為和，其中分為時，共有種情況，其中分為時，共有種情況，故共有種，其中甲獨自在橋服務(wù)點，此時剩余4名志愿者可以分為和，當(dāng)剩余4名志愿者分為時，有種情況，當(dāng)剩余4名志愿者分為時，有種情況，當(dāng)甲和另外一個人在橋服務(wù)點，從剩余4名志愿者先選1人，剩余3人，分為兩組，故有種情況，當(dāng)甲和另外2人在橋服務(wù)點，從剩余4名志愿者先選2人，剩余2人，分為兩組，故有種情況，故，所以，B正確；C選項，乙和丙分到一起，當(dāng)5名志愿者分為時，有種情況，當(dāng)5名志愿者分為時，先從剩余3名志愿者選擇1人和乙，丙一起，再將剩余2人進行全排列，有種情況，故，C錯誤；A選項，表示甲在橋服務(wù)點，乙和丙分到一起，若甲單獨在橋服務(wù)點，乙和丙分到一起，且5名志愿者分為，則有種情況，若甲單獨在橋服務(wù)點，乙和丙分到一起，且5名志愿者分為，從剩余2人中選擇1人和乙，丙一起，有種情況，若甲和另外一個人在橋服務(wù)點，先從除了乙，丙外的剩余2名志愿者選1人，再進行排列，則有種情況，當(dāng)甲和另外2人在橋服務(wù)點，則一定是和乙，丙一起，剩余2人進行全排列，共有種情況，綜上，，，因為，故事件A與事件相互獨立，A正確；D選項，，D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知是等比數(shù)列，若，則______．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求解即可.【詳解】由等比數(shù)列的通項公式可知，，即，所以，故答案為：213.已知雙曲線的對稱中心是原點，對稱軸是坐標(biāo)軸，若軸上一點到雙曲線的漸近線距離為，則的離心率為______．【答案】或【解析】【分析】分焦點在軸、軸兩種情況討論，分別表示出漸近線，利用點到直線的距離得到、的關(guān)系，即可求出離心率.【詳解】①若焦點在軸上，設(shè)雙曲線方程為，則漸近線方程為，即，則點到雙曲線的漸近線距離，所以，所以，則，所以離心率；②若焦點在軸上，設(shè)雙曲線方程為，則漸近線方程為，即，則點到雙曲線的漸近線距離，所以，所以離心率；綜上可得雙曲線的離心率為或.故答案為：或14.若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】將函數(shù)零點轉(zhuǎn)化為的交點問題.【詳解】由函數(shù)有兩個零點，即方程有兩個解，即有兩個解，令，函數(shù)為過點的直線，若，則直線與曲線只有一個交點，不符合題意，所以，先求過點曲線的切線，設(shè)切點為，由，則，切線方程為，將點代入方程，，得，因為，而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以方程只有一解，為，故過點曲線的切線斜率為，若直線與曲線有兩個交點，則，此時函數(shù)有兩個零點故答案為：.【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，且滿足，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）已知數(shù)列的前項和為，求使不等式成立的的最小值．【答案】（1）；（2）11.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，列式求出數(shù)列的首項即可求出通項.（2）求出數(shù)列的前項和，再列式解不等式即得.【小問1詳解】等差數(shù)列的公差為2，由，，成等比數(shù)列，得，解得，所以數(shù)列的通項公式是.【小問2詳解】由（1）知，，由，得，即，而，解得，又，所以.16.已知動點P到直線的距離比到點距離多2個單位長度，設(shè)動點P的軌跡為E．（1）求E的方程；（2）已知過點的直線l交E于A，B兩點，且（O為坐標(biāo)原點）的面積為32，求l的方程．【答案】（1）；（2）或．【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義求解即可；（2）設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立拋物線方程消去x，然后利用韋達(dá)定理結(jié)合面積即可求解.【小問1詳解】因為動點P到直線的距離比到點距離多2個單位長度，所以動點P到直線的距離和到點距離相等，故曲線E是以為焦點，直線為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線E的方程為．【小問2詳解】設(shè)，易知直線l的斜率不為0，故可設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立，消去x得，，所以，，解得，所以直線l方程為或．17.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面為的中點．（1）證明：平面．（2）若平面與平面的夾角為，求的長．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）證明，再由線面平行的判定定理得證；（2）由PA，AD，AB兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出平面夾角即可得解.【小問1詳解】連接BD交AC于點O，連接OE，如圖，因為O為BD的中點，E為PD的中點，所以．又平面AEC，平面AEC，所以平面AEC．【小問2詳解】因為平面ABCD，AD，平面ABCD，所以，．又，所以PA，AD，AB兩兩互相垂直，故以A為原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)，則，，，，,所以，．顯然為平面DAE的一個法向量．設(shè)平面ACE的一個法向量為，則即令，得，因為平面DAE與平面AEC的夾角為，所以，解得或（舍去），即·18.某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的質(zhì)量(單位：克)，質(zhì)量的分組區(qū)間為(490，495]，(495，500]，…，(510，515]．由此得到樣本的頻率分布直方圖如圖．（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量；（2）在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件，設(shè)X為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求X的分布列；（3）從該流水線上任取2件產(chǎn)品，設(shè)Y為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求Y的分布列．【答案】（1）12件；（2）答案見解析；（3）答案見解析.【解析】【分析】（1）結(jié)合頻率分布直方圖求解(1)；（2）結(jié)合超幾何分布及古典概型求X的分布列；（3）先分析Y服從二項分布，再利用公式求解．【詳解】（1）質(zhì)量超過505克產(chǎn)品的頻率為5×0.05＋5×0.01＝0.3所以質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為40×0.3＝12(件)．（2）重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為12件，則重量未超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為28件∴P(X＝