專題11解直角三角形（全章知識梳理與考點分類講解）-2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊全章復(fù)習(xí)與專題突破講與練（浙教版）

專題1.1解直角三角形（全章知識梳理與考點分類講解）【知識點一】銳角三角函數(shù)正弦：sinA＝eq\f(∠A的對邊,斜邊)＝eq\f(a,c)余弦：cosA＝eq\f(∠A的鄰邊,斜邊)＝eq\f(b,c)正切：tanA＝eq\f(∠A的對邊,∠A的鄰邊)＝eq\f(a,b).【知識點二】特殊三角函數(shù)度數(shù)三角函數(shù)30°45°60°1【知識點三】解直角三角形的常用關(guān)系(1)三邊之間的關(guān)系：；(2)銳角之間的關(guān)系：；(3)邊角之間的關(guān)系：，，.【知識點四】解直角三角形的應(yīng)用(1)仰、俯角：視線在水平線上方的角叫做仰角.視線在水平線下方的角叫做俯角．(2)坡度：坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度（或者叫做坡比），用字母表示．坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用表示，則有.(3)方向角：平面上，通過觀察點作一條水平線（向右為東向）和一條鉛垂線（向上為北向），則從點出發(fā)的視線與水平線或鉛垂線所夾的角，叫做觀測的方向角.(4)解直角三角形實際應(yīng)用的一般步驟：a.弄清題中名詞、術(shù)語，根據(jù)題意畫出圖形，建立數(shù)學(xué)模型；b.將條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題；c.選擇合適的邊角關(guān)系式，使運算簡便、準(zhǔn)確；d.得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗答案是否符合實際意義，從而得到問題的解．【考點目錄】【考點一】銳角三角函數(shù)；【考點二】特殊角三角函數(shù)值的計算；【考點三】解直角三角形；【考點四】銳角三角函數(shù)與相關(guān)知識綜合；【考點五】三角函數(shù)與實際問題【考點一】銳角三角函數(shù)【例1】（2023上·山東濰坊·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點，點分別在軸上，連接并延長至點，連接，若滿足，求所在直線的函數(shù)表達式．

【答案】【分析】此題考查待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，三角函數(shù)，相似三角形的判定和性質(zhì)：根據(jù)及公共角證得，得到，根據(jù)三角函數(shù)值求得，得到，再利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，綜合掌握所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．解：∵，∴

又∵∠C是公共角，∴，∴，∵，∴，即，∵，∴，在中，，∴，∴，∴，設(shè)所在的直線方程為，將，代入得，，∴，∴所在的直線為．【舉一反三】【變式1】（2023上·河北石家莊·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A在x軸負半軸上，點，連接交y軸于點B．若，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作軸于點D，利用相似三角形的判定和性質(zhì)求得，利用平行線分線段成比例定理求得，再根據(jù)正切函數(shù)的定義即可求解．解：作軸于點D，則，∵，∴，∵，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故選：C．【點撥】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，正切函數(shù)的定義，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．【變式2】（2023上·河北石家莊·九年級統(tǒng)考期中）如圖是釘板示意圖，每相鄰4個釘點是邊長為1個單位長度的小正方形頂點，釘點A，B的連線與釘點C，D的連線交于點，則（1）與是否垂直？（填“是”或“否”）．（2）．（3）．

【答案】是//【分析】（1）如圖，作于，的延長線于，由題意知，，，由，，證明，則，則，進而結(jié)論得證；（2）由勾股定理得，，由，可得；（3）由題意知，，即，解得，，由勾股定理得，，計算求解即可．（1）解：如圖，作于，的延長線于，

由題意知，，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：是；（2）解：由勾股定理得，，∵，∴，故答案為：；（3）解：由題意知，，即，解得，，由勾股定理得，，故答案為：．【點撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，余弦，三角形內(nèi)角和定理等知識．熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【考點二】特殊角三角函數(shù)值的計算【例2】（2023上·江西宜春·九年級江西省豐城中學(xué)?？计谥校┤鐖D，小紅家陽臺上放置了一個曬衣架．如圖是曬衣架的側(cè)面示意圖，立桿、相交于點，、兩點立于地面，經(jīng)測量：，，．現(xiàn)將曬衣架完全穩(wěn)固張開，扣鏈成一條線段，且．（1）求證：；（2）求扣鏈與立桿的夾角的度數(shù)．（精確到）（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】（1）見分析；（2）扣鏈與立桿的夾角【分析】（1）證，得，利用相似三角形的性質(zhì)即可得證；（2）作交于，由等腰三角形的性質(zhì)得，進而求得，從而即可得解．解：（1）證明：∵，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：如圖，作交于，，∵，，，∴，，∵，∴．【點撥】本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定以及解直角三角形，熟練掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2023·江蘇鹽城·?？家荒＃┦且粋€角的正弦值，則這個角是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值計算．解：∵sin60°=，∴這個角是60°.故選C．【點撥】本題考查等腰直角三角形及特殊角的三角函數(shù)值，解答此題的關(guān)鍵是熟知特殊角的三角函數(shù)值及等腰直角三角形的性質(zhì)．【變式2】（2023上·山東濰坊·九年級高密市立新中學(xué)校考階段練習(xí)）．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的運算法則，特殊角的三角函數(shù)值，以及零指數(shù)冪的概念，正確計算即可．解：原式．【點撥】本題主要考查了二次根式的運算法則，特殊角的三角函數(shù)值，以及零指數(shù)冪的概念，正確理解相關(guān)概念，按照正確的運算順序進行計算，是解題的關(guān)鍵．【考點三】解直角三角形【例3】（2023上·湖南衡陽·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，，，，交．求：（1）的長；（2）的值．【答案】（1）；（2）1【分析】（1）由銳角三角函數(shù)定義求出，再由勾股定理求出的長即可；（2）先利用勾股定理求得，從而得到是等腰直角三角形，可求得，再求得，即可由特殊角三角函數(shù)值得出答案．（1）解：，，，，，；（2）解：，，由（1）知，由勾股定理得：，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴．【點撥】本題考查了解直角三角形、特殊角三角函數(shù)值，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理．熟練掌握解直角三角形的知識是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2023上·山東濰坊·九年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形為矩形紙片，，現(xiàn)把矩形紙片折疊，使得點落在邊上的點處（不與重合），點落在處，此時，交邊于點，設(shè)折痕為．若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題重點考查矩形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)與解直角三角形等知識，設(shè)，由矩形的性質(zhì)得，由折疊得，，則，因為，所以，，可求得，由勾股定理得，求得符合題意的值為3，則，，所以，于是得到問題的答案．正確地找到全等三角形的對應(yīng)邊并且用代數(shù)式表示線段、、的長是解題的關(guān)鍵．解：設(shè)，四邊形是矩形，，，，由折疊得，，，，，，，且，，，，解得，（不符合題意，舍去），，，，故選：．【變式2】（2023上·河南南陽·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，以為直徑的上有兩點，，點，，在網(wǎng)格線的交點上，則的值是．

【答案】/【分析】連接，解直角三角形求出，根據(jù)圓周角定理得出，據(jù)此求解即可．解：如圖，連接，

為的直徑，，，，，，故答案為：．【點撥】此題考查了圓周角定理，求正弦值，解題的關(guān)鍵是掌握圓周角定理．【考點四】銳角三角函數(shù)與相關(guān)知識綜合【例4】（2023上·福建泉州·九年級統(tǒng)考期中）某校無人機興趣小組為學(xué)?！拔逅那嗄旯?jié)慶?；顒印碧峁┛罩袛z像支持，提前在學(xué)校操場上試飛無人機．如圖1，為了測算無人機飛行高度，興趣小組進行了如下操作：無人機從C處垂直上升到D處，在此處測得操場兩端A，B的俯角分別為，，且A，B，C在同一水平線上，已知操場兩端米．

（1）求無人機飛行的高度（結(jié)果保留根號）；（2）如圖2，無人機由點D沿水平方向飛行至點F，當(dāng)時，求飛行的距離（結(jié)果精確到1米，）．【答案】（1）米；（2）205米【分析】（1）根據(jù)題意，得到，，得到米，根據(jù)計算即可．（2）過點A作交于點H，證明四邊形是矩形，解，即可．（1）解：∵，，，∴，，∴，∴，∴米，在中，，解得：米，答：無人機飛行的高度為米．（2）解：過點A作交于點H，∵，∴四邊形是矩形，，米，

∴，∴，∵，∴，在中，（米），

在中，（米），

∴（米），答：無人機飛行的距離約為205米．【點撥】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握解直角三角形的基本步驟是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2023上·廣東深圳·九年級校考期中）如圖是的高，，，，則的長為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】由含30度角的直角三角形的性質(zhì)可求出，結(jié)合勾股定理可求出．再根據(jù)正切的定義得出，即可求出，最后計算即可．解：∵是的高，，∴，∴，∴．∵，即，∴，解得：，∴．故選C．【點撥】本題考查含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．【變式2】（2023·廣東湛江·?？家荒＃┤鐖D，直角三角形的直角頂點在坐標(biāo)原點，∠OAB=30°，若點A在反比例函數(shù)（x＞0）的圖象上，則經(jīng)過點B的反比例函數(shù)解式為．

【答案】【分析】過點A作AC⊥x軸于C，過點B作BD⊥x軸于D，設(shè)A點坐標(biāo)為（a，），根據(jù)銳角三角函數(shù)可得，然后利用相似三角形的判定可證△DBO∽△COA，列出比例式可用a表示點B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出結(jié)論．解：過點A作AC⊥x軸于C，過點B作BD⊥x軸于D

設(shè)A點坐標(biāo)為（a，）其中a＞0∴OC=a，AC=∵在Rt△AOB中，∠OAB=30°，∴tan∠OAB=∵∠BDO=∠OCA=∠AOB=90°∴∠DBO＋∠BOD=90°，∠COA＋∠BOD=90°∴∠DBO=∠COA∴△DBO∽△COA∴即解得：BD=，OD=∴點B的坐標(biāo)為（，）設(shè)經(jīng)過點B的反比例函數(shù)解式為將點B的坐標(biāo)代入，得解得：k=∴經(jīng)過點B的反比例函數(shù)解式為．故答案為：．【點撥】此題考查的是求反比例函數(shù)的解析式、相似三角形的判定及性質(zhì)和銳角三角函數(shù)，掌握利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式、相似三角形的判定及性質(zhì)和銳角三角函數(shù)是解決此題的關(guān)鍵．【考點五】三角函數(shù)與實際問題【例5】（2023上·江蘇無錫·九年級?？茧A段練習(xí)）計算或解方程：（1） （2）解方程：．【答案】（1）；（2），．【分析】（1）先計算負指數(shù)冪，零指數(shù)冪，絕對值，特殊角三角函數(shù)值，然后計算二次根式的乘法，合并同類二次根式即可；（2）移項，提公因式分解因式，然后解一次方程即可．（1）解：；（2）解：或，．【點撥】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)，零指數(shù)冪，負指數(shù)冪，絕對值，一元二次方程，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握特殊三角函數(shù)值，零指數(shù)冪意義，負指數(shù)冪意義，絕對值代數(shù)意義，分解因式法解一元二次方程．【舉一反三】【變式1】（2023上·山東濰坊·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在點處，看建筑物頂端的仰角為，向前走了6米到達點即米，在點處看點的仰角為，則的長用三角函數(shù)表示為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根據(jù)題目條件，利用外角的性質(zhì)，得出是等腰三角形，在中，利用的正弦即可表示出的長度．解：，，，，由題可知，為直角三角形，在中，，即：，，故選：D．【點撥】本題考查三角形的外角，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形的運算，解題關(guān)鍵是利用三角