大學(xué)物理課件：機(jī)械振動(dòng)

機(jī)械振動(dòng)

9.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)及相關(guān)概念9.2簡(jiǎn)諧振動(dòng)的規(guī)律9.3簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成9.4阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)、共振

一、簡(jiǎn)諧振動(dòng)及其表達(dá)式以彈簧振動(dòng)為例，研究簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律物體略加移動(dòng)后釋放，物體在其平衡位置往復(fù)運(yùn)動(dòng)9.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)及相關(guān)概念1.定義式：彈簧振子運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體相對(duì)平衡位置的位移按余弦函數(shù)關(guān)系隨時(shí)間變化，具有這種特征的振動(dòng)就是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。x是描述位置的物理量,如

y,z或

等.

特點(diǎn):

(1)等幅振動(dòng)

(2)周期振動(dòng)2.受力特點(diǎn)機(jī)械振動(dòng)的力學(xué)特點(diǎn)線性恢復(fù)力其中

為

固有(圓)頻率

1.

振幅A2.周期T和頻率v二、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物理量物體做一次全振動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間稱為振動(dòng)周期單位時(shí)間內(nèi)作全振動(dòng)的次數(shù)稱為振動(dòng)頻率稱為圓頻率或角頻率：物體離開平衡位置的最大位移3.相位初相位(1)(

t

+

)是t時(shí)刻的相位(2)

是t=0時(shí)刻的相位——初相O

相位確定了振動(dòng)的狀態(tài).

相位每改變2

振動(dòng)重復(fù)一次,相位在2

范圍內(nèi)變化,狀態(tài)不重復(fù).

txA-A

=2

相位的意義:以平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)建立振動(dòng)體的動(dòng)力學(xué)方程，必有力與位移成正比反向的關(guān)系。三、簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程的建立

1.確定圓頻率例如：彈簧振子單擺單擺做角諧振動(dòng)的圓頻率振動(dòng)方程角度很小時(shí)sinθ≈θ2.由初始條件t=0,x=x0,v=v0確定A和

則所求振動(dòng)方程為：如圖例9-1

一質(zhì)量為m的物體系于一勁度系數(shù)為k的輕彈簧下，掛在固定的支架上，由于物體的重量使彈簧伸長了。如圖所示，如果給物體一個(gè)向下的瞬時(shí)沖擊力，使它具有向下的速度，它就上下振動(dòng)起來，寫出振動(dòng)方程。解：取掛上物體后，物體平衡時(shí)的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O，向下為y軸的正向，當(dāng)物體偏離平衡位置時(shí)它所受的合力為-ky，因此動(dòng)力學(xué)方程為令則上式變?yōu)檎f明物體在做簡(jiǎn)諧振動(dòng)。以物體處于平衡位置開始向下運(yùn)動(dòng)為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，則，于是得到由知可取或，由于取于是可寫出該物體的運(yùn)動(dòng)方程為

例9-2在一輕彈簧下端掛砝碼m0=100g時(shí)，彈簧伸長8cm,現(xiàn)在這根彈簧下端懸掛m=250g的物體，構(gòu)成彈簧振子，將物體從平衡位置向下拉動(dòng)4cm,并給以向上的21cm/s初速度（令這時(shí)t=0）選x軸向下，求振動(dòng)方程的數(shù)學(xué)表達(dá)式。例9-3

如圖為一諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線圖，求該振動(dòng)的初相位和周期T。9.2簡(jiǎn)諧振動(dòng)的規(guī)律一、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程、速度、加速度

簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程速度加速度位移、速度、加速度與時(shí)間ｔ的關(guān)系曲線如圖二、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量1.動(dòng)能2.彈性勢(shì)能3.機(jī)械能（簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒）彈簧振子在振動(dòng)過程中，系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能雖然分別隨時(shí)間作周期性變化，但總能量卻保持恒定，其量值與振幅的平方成正比。能量隨空間變化x能量隨時(shí)間變化例9-4

一彈簧振子的振動(dòng)方程為，其中x的單位為m，t的單位為s。設(shè)彈簧的彈性系數(shù)為k，求：(1)當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能；(2)物體在什么位置，系統(tǒng)的動(dòng)能與勢(shì)能相等。解:(1)對(duì)彈簧振子，系統(tǒng)總能量為在，系統(tǒng)勢(shì)能為系統(tǒng)動(dòng)能為(2)設(shè)在處系統(tǒng)動(dòng)能與勢(shì)能相等

以

為原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)矢量的端點(diǎn)在軸上的投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).時(shí)三、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法例9-5

一質(zhì)點(diǎn)沿x軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅為A，周期為T。(1)當(dāng)t=0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)對(duì)平衡位置的位移x0=A/2，質(zhì)點(diǎn)向x軸正向方運(yùn)動(dòng)，求質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的初相；(2)質(zhì)點(diǎn)從x=0處運(yùn)動(dòng)到x=A/2處最少需要多少時(shí)間？例9-6

一質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線如圖，求質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程。解：從圖中可以直接看出質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的振幅為A=2cm。在t=0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位移x0=A/2，而質(zhì)點(diǎn)的速度為負(fù)值，由旋轉(zhuǎn)矢量法可知質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的初相為φ=π/3。在t=2s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位移x0=A/2，而質(zhì)點(diǎn)的速度為正值，從矢量圖分析可知，質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的相位應(yīng)該為φ=5π/3（注意此處不能取φ=-π/3，因?yàn)橄辔皇请S時(shí)間單調(diào)增加的）。在t=0到t=2s的過程中，相位從φ=π/3變化到φ=5π/3，經(jīng)歷的時(shí)間為Δt=2s，相位的改變?yōu)棣う?4π/3。振動(dòng)的角頻率ω，即相位變化的速率為

ω=Δφ/Δt=2π/3故質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為例9-7

一質(zhì)點(diǎn)沿x軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅A=0.12m，周期T=2s，當(dāng)t=0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)對(duì)平衡位置的位移x0=0.06m，此時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)向x正向運(yùn)動(dòng)。求：(1)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程；(2)t=T/4時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位移、速度、加速度。9.3簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成一、兩個(gè)同方向、同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成1.分振動(dòng):2.合振動(dòng):

上式化成簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程

結(jié)論：合振動(dòng)x

仍是簡(jiǎn)諧振動(dòng)

討論:當(dāng)A1=A2時(shí),A=0則A=A1+A2,兩分振動(dòng)相互加強(qiáng)，則A=|A1-A2|,兩分振動(dòng)相互減弱，當(dāng)A1=A2時(shí),A=2A1(1)若兩分振動(dòng)同相,即

2

1=

2k

(2)若兩分振動(dòng)反相,即

2

1=

(2k+1)

二、兩個(gè)同方向不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成1.分振動(dòng):2.合振動(dòng):

角頻率為

振幅為

這種頻率較大而頻率之差很小的兩個(gè)同方向簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成，其合振動(dòng)的振幅時(shí)而加強(qiáng)時(shí)而減弱的現(xiàn)象稱為拍。3.拍的現(xiàn)象拍頻:單位時(shí)間內(nèi)合振動(dòng)振幅強(qiáng)弱變化的次數(shù)，即拍原理的應(yīng)用x1xx2tttOOO三、兩個(gè)相互垂直、同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成1.分振動(dòng)2.合振動(dòng)

討論

當(dāng)

=

2?

1=0時(shí):即合振動(dòng)軌跡為一條通過原點(diǎn)的直線上式變?yōu)閳A方程，合振動(dòng)軌跡為一個(gè)圓當(dāng)

=/2時(shí)：xyxy當(dāng)時(shí)

=0(第一象限)

=

/2

=

=3

/2(第二象限)(第三象限)(第四象限)四、兩相互垂直不同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成測(cè)量振動(dòng)頻率和相位的方法李薩如圖9.4阻尼振動(dòng)受迫振動(dòng)共振一、阻尼振動(dòng)x彈簧振子放在空氣中，由于空氣阻力作用，振幅將逐漸減小振動(dòng)物體在阻力作用下，振幅隨時(shí)間而減小的振動(dòng)稱為阻尼振動(dòng)。XtOXtO大阻尼臨界阻尼XOt二、受迫振動(dòng)共振x將受迫振動(dòng)的振幅達(dá)到最大值的現(xiàn)象叫共振將共振時(shí)的角頻率稱為共振角頻率一.簡(jiǎn)諧振動(dòng)及其表達(dá)式定義式：彈簧振子運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體相對(duì)平衡位置的位移按余弦函數(shù)關(guān)系隨時(shí)間變化，具有這種特征的振動(dòng)就是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。速度和加速度

振幅A周期T和頻率v二.簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物理量物體做一次全振動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間稱為振動(dòng)周期單位時(shí)間內(nèi)作全振動(dòng)的次數(shù)稱為振動(dòng)頻率稱為圓頻率或角頻率物體離開平衡位置的最大位移三.相位初相位(1)(

t

+

)是t時(shí)刻的相位(2)

是t=0時(shí)刻的相位——初相三.簡(jiǎn)諧振動(dòng)