大學(xué)物理課件：機械振動

機械振動

9.1簡諧振動及相關(guān)概念9.2簡諧振動的規(guī)律9.3簡諧振動的合成9.4阻尼振動、受迫振動、共振

一、簡諧振動及其表達式以彈簧振動為例，研究簡諧振動的運動規(guī)律物體略加移動后釋放，物體在其平衡位置往復(fù)運動9.1簡諧振動及相關(guān)概念1.定義式：彈簧振子運動時，物體相對平衡位置的位移按余弦函數(shù)關(guān)系隨時間變化，具有這種特征的振動就是簡諧振動。x是描述位置的物理量,如

y,z或

等.

特點:

(1)等幅振動

(2)周期振動2.受力特點機械振動的力學(xué)特點線性恢復(fù)力其中

為

固有(圓)頻率

1.

振幅A2.周期T和頻率v二、簡諧振動的物理量物體做一次全振動所經(jīng)歷的時間稱為振動周期單位時間內(nèi)作全振動的次數(shù)稱為振動頻率稱為圓頻率或角頻率：物體離開平衡位置的最大位移3.相位初相位(1)(

t

+

)是t時刻的相位(2)

是t=0時刻的相位——初相O

相位確定了振動的狀態(tài).

相位每改變2

振動重復(fù)一次,相位在2

范圍內(nèi)變化,狀態(tài)不重復(fù).

txA-A

=2

相位的意義:以平衡位置為坐標原點建立振動體的動力學(xué)方程，必有力與位移成正比反向的關(guān)系。三、簡諧振動方程的建立

1.確定圓頻率例如：彈簧振子單擺單擺做角諧振動的圓頻率振動方程角度很小時sinθ≈θ2.由初始條件t=0,x=x0,v=v0確定A和

則所求振動方程為：如圖例9-1

一質(zhì)量為m的物體系于一勁度系數(shù)為k的輕彈簧下，掛在固定的支架上，由于物體的重量使彈簧伸長了。如圖所示，如果給物體一個向下的瞬時沖擊力，使它具有向下的速度，它就上下振動起來，寫出振動方程。解：取掛上物體后，物體平衡時的位置為坐標原點O，向下為y軸的正向，當(dāng)物體偏離平衡位置時它所受的合力為-ky，因此動力學(xué)方程為令則上式變?yōu)檎f明物體在做簡諧振動。以物體處于平衡位置開始向下運動為計時起點，則，于是得到由知可取或，由于取于是可寫出該物體的運動方程為

例9-2在一輕彈簧下端掛砝碼m0=100g時，彈簧伸長8cm,現(xiàn)在這根彈簧下端懸掛m=250g的物體，構(gòu)成彈簧振子，將物體從平衡位置向下拉動4cm,并給以向上的21cm/s初速度（令這時t=0）選x軸向下，求振動方程的數(shù)學(xué)表達式。例9-3

如圖為一諧振動的振動曲線圖，求該振動的初相位和周期T。9.2簡諧振動的規(guī)律一、簡諧振動的運動學(xué)方程、速度、加速度

簡諧振動的運動學(xué)方程速度加速度位移、速度、加速度與時間ｔ的關(guān)系曲線如圖二、簡諧振動的能量1.動能2.彈性勢能3.機械能（簡諧振動系統(tǒng)機械能守恒）彈簧振子在振動過程中，系統(tǒng)的動能和勢能雖然分別隨時間作周期性變化，但總能量卻保持恒定，其量值與振幅的平方成正比。能量隨空間變化x能量隨時間變化例9-4

一彈簧振子的振動方程為，其中x的單位為m，t的單位為s。設(shè)彈簧的彈性系數(shù)為k，求：(1)當(dāng)時，系統(tǒng)的動能和勢能；(2)物體在什么位置，系統(tǒng)的動能與勢能相等。解:(1)對彈簧振子，系統(tǒng)總能量為在，系統(tǒng)勢能為系統(tǒng)動能為(2)設(shè)在處系統(tǒng)動能與勢能相等

以

為原點旋轉(zhuǎn)矢量的端點在軸上的投影點的運動為簡諧運動.時三、簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法例9-5

一質(zhì)點沿x軸作簡諧振動，振幅為A，周期為T。(1)當(dāng)t=0時，質(zhì)點對平衡位置的位移x0=A/2，質(zhì)點向x軸正向方運動，求質(zhì)點振動的初相；(2)質(zhì)點從x=0處運動到x=A/2處最少需要多少時間？例9-6

一質(zhì)點作簡諧振動的振動曲線如圖，求質(zhì)點的振動方程。解：從圖中可以直接看出質(zhì)點振動的振幅為A=2cm。在t=0時，質(zhì)點的位移x0=A/2，而質(zhì)點的速度為負值，由旋轉(zhuǎn)矢量法可知質(zhì)點振動的初相為φ=π/3。在t=2s時，質(zhì)點的位移x0=A/2，而質(zhì)點的速度為正值，從矢量圖分析可知，質(zhì)點振動的相位應(yīng)該為φ=5π/3（注意此處不能取φ=-π/3，因為相位是隨時間單調(diào)增加的）。在t=0到t=2s的過程中，相位從φ=π/3變化到φ=5π/3，經(jīng)歷的時間為Δt=2s，相位的改變?yōu)棣う?4π/3。振動的角頻率ω，即相位變化的速率為

ω=Δφ/Δt=2π/3故質(zhì)點的振動方程為例9-7

一質(zhì)點沿x軸作簡諧振動，振幅A=0.12m，周期T=2s，當(dāng)t=0時，質(zhì)點對平衡位置的位移x0=0.06m，此時刻質(zhì)點向x正向運動。求：(1)簡諧振動的運動方程；(2)t=T/4時，質(zhì)點的位移、速度、加速度。9.3簡諧振動的合成一、兩個同方向、同頻率簡諧振動的合成1.分振動:2.合振動:

上式化成簡諧振動方程

結(jié)論：合振動x

仍是簡諧振動

討論:當(dāng)A1=A2時,A=0則A=A1+A2,兩分振動相互加強，則A=|A1-A2|,兩分振動相互減弱，當(dāng)A1=A2時,A=2A1(1)若兩分振動同相,即

2

1=

2k

(2)若兩分振動反相,即

2

1=

(2k+1)

二、兩個同方向不同頻率簡諧振動的合成1.分振動:2.合振動:

角頻率為

振幅為

這種頻率較大而頻率之差很小的兩個同方向簡諧振動的合成，其合振動的振幅時而加強時而減弱的現(xiàn)象稱為拍。3.拍的現(xiàn)象拍頻:單位時間內(nèi)合振動振幅強弱變化的次數(shù)，即拍原理的應(yīng)用x1xx2tttOOO三、兩個相互垂直、同頻率簡諧振動的合成1.分振動2.合振動

討論

當(dāng)

=

2?

1=0時:即合振動軌跡為一條通過原點的直線上式變?yōu)閳A方程，合振動軌跡為一個圓當(dāng)

=/2時：xyxy當(dāng)時

=0(第一象限)

=

/2

=

=3

/2(第二象限)(第三象限)(第四象限)四、兩相互垂直不同頻率的簡諧運動的合成測量振動頻率和相位的方法李薩如圖9.4阻尼振動受迫振動共振一、阻尼振動x彈簧振子放在空氣中，由于空氣阻力作用，振幅將逐漸減小振動物體在阻力作用下，振幅隨時間而減小的振動稱為阻尼振動。XtOXtO大阻尼臨界阻尼XOt二、受迫振動共振x將受迫振動的振幅達到最大值的現(xiàn)象叫共振將共振時的角頻率稱為共振角頻率一.簡諧振動及其表達式定義式：彈簧振子運動時，物體相對平衡位置的位移按余弦函數(shù)關(guān)系隨時間變化，具有這種特征的振動就是簡諧振動。速度和加速度

振幅A周期T和頻率v二.簡諧振動的物理量物體做一次全振動所經(jīng)歷的時間稱為振動周期單位時間內(nèi)作全振動的次數(shù)稱為振動頻率稱為圓頻率或角頻率物體離開平衡位置的最大位移三.相位初相位(1)(

t

+

)是t時刻的相位(2)

是t=0時刻的相位——初相三.簡諧振動