青島 數(shù)學(xué) 八上 第5章《三角形內(nèi)角和定理》課件

5.5三角形內(nèi)角和定理第5章幾何證明初步逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時(shí)講解1課時(shí)流程2三角形內(nèi)角和定理三角形內(nèi)角和定理的推論直角三角形的性質(zhì)定理和判定定理知識(shí)點(diǎn)三角形內(nèi)角和定理知1－講11.定理三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°.表示方法：在△ABC

中，∠

A＋

∠B＋

∠C=180°.在三角形中已知兩個(gè)角的度數(shù)，可以求出第三個(gè)角的度數(shù).知1－講2.三角形內(nèi)角和定理的證明思路思路一：利用“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角及同位角相等”將三角形的三個(gè)內(nèi)角轉(zhuǎn)化為一個(gè)平角.如圖5.5－1①②.知1－講思路二：利用“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”將三角形的三個(gè)內(nèi)角轉(zhuǎn)化為兩平行線間的一組同旁內(nèi)角.如圖5.5－2①②.知1－講圖例：知1－講特別解讀1.三角形的三個(gè)內(nèi)角中至少有兩個(gè)銳角，最多有一個(gè)鈍角或直角，三角形的最大的內(nèi)角不小于60°.2.證明三角形內(nèi)角和定理的思路方法：平行線是轉(zhuǎn)化角的重要橋梁，將三個(gè)內(nèi)角“轉(zhuǎn)移”集中成一個(gè)角或兩個(gè)角，再說明這個(gè)角或兩個(gè)角的和是180°即可.知1－練例1[中考·邵陽]如圖5.5－3，在△

ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD

平分∠

BAC，交BC

于點(diǎn)D，DE∥AB，交AC

于點(diǎn)E，則∠ADE

的大小是()A.45°

B.54°C.40°D.50°知1－練解題秘方：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求出∠BAD

的度數(shù)，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠ADE=∠BAD，從而得到∠ADE的度數(shù).知1－練

答案：C知1－練1－1.如圖，四邊形ABCD

中，對(duì)角線AC，BD

交于點(diǎn)O，AB=AC，點(diǎn)E

是BD上一點(diǎn)，且∠ABD=∠ACD，∠

EAD=∠BAC.知1－練(1)求證：AE=AD；知1－練(2)若∠

ACB=65°，求∠BDC的度數(shù)．解：∵∠ACB＝65°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝65°.∴∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－65°－65°＝50°.∵∠ABD＝∠ACD，∠AOB＝∠COD，∴∠BDC＝∠BAC＝50°.知1－練如圖5.5－4，在△

ABC中，AD

是高，AE

是∠BAC

的平分線，∠B=20°,∠C=60°.求∠DAE的度數(shù).例2解題秘方：由∠

DAE=∠BAD－

∠BAE

知，要求∠DAE的度數(shù)，需先求出∠BAD和∠

BAE的度數(shù).知1－練

知1－練2－1.[期中·長(zhǎng)春]如圖，在△ABC

中，CD是AB

邊上的高，BE為∠ABC

的平分線，若∠BFC=114°，求∠BCF的度數(shù).知1－練解：∵CD是AB邊上的高，∠BFC＝114°，∴∠BDF＝90°，∠BFD＝66°.∴∠ABE＝180°－∠BFD－∠BDF＝180°－66°－90°＝24°.∵BE為∠ABC的平分線，∴∠CBF＝∠ABE＝24°.∴∠BCF＝180°－∠BFC－∠CBF＝180°－114°－24°＝42°.知2－講知識(shí)點(diǎn)三角形內(nèi)角和定理的推論21.推論由基本事實(shí)或定理直接推出的真命題叫做推論.2.三角形內(nèi)角和定理的推論(1)推論1：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；(2)推論2：三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任意一個(gè)內(nèi)角.知2－講特別解讀利用推論1可以證明一個(gè)角等于另兩個(gè)角的和或差；也可以作為中間關(guān)系證明兩個(gè)角相等.知2－練[母題教材P175習(xí)題T7]如圖5.5－5，在△ABC

中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC

和∠ACF

的平分線交于點(diǎn)E，則∠AEC=______.66.5°例3知2－練解題秘方：要求∠AEC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，需求∠EAC

與∠

ECA，而這兩個(gè)角的大小不確定，因此可利用整體思想求∠EAC

與∠ECA的和，而它們和的2倍，即∠DAC＋∠FCA是△ABC

的兩個(gè)外角的和.知2－練

知2－練3－1.如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，CD

平分∠ACB，則∠ADC的度數(shù)是()A.80°B.90°C.100°D.110°C知2－練3－2.如圖，在△ABC中，∠A=∠DBC=36°，∠C=72°．求∠1，∠2的度數(shù).解：∵∠DBC＝36°，∠C＝72°，∴在△BCD中，∠1＝180°－∠DBC－∠C＝180°－36°－72°＝72°.∵∠1是△ABD的外角，∠A＝36°，∴∠2＝∠1－∠A＝72°－36°＝36°.知2－練[中考·威海]將一副直角三角尺如圖5.5－6擺放，點(diǎn)C在EF上，AC

經(jīng)過點(diǎn)D.已知∠

A=∠EDF=90°，∠

E=30

°，∠BCE=40°，則∠CDF=_____.例425°知2－練解題秘方：要求∠

CDF，則需求其余角∠2的度數(shù).∠2=180°－∠1－∠ACB,其中∠1的度數(shù)可利用三角形內(nèi)角和定理的推論1求出，∠ACB

為三角尺的內(nèi)角.知2－練解：如圖5.5－6，由三角形內(nèi)角和定理的推論1，知∠1=∠E＋∠BCE=30°＋40°=70°，由三角形內(nèi)角和定理知∠2=180°－∠1－∠ACB=180°－70°－45°=65°，∴∠CDF=∠EDF－

∠2=90°－65°=25°.知2－練4－1.[中考·淄博]將含30°角的直角三角板按如圖所示放置到一組平行線中，若∠1=70°，則∠2等于()A.60°B.50°C.40°D.30°C知2－練如圖5.5－7，請(qǐng)確定∠1與∠2的大小關(guān)系，并說明理由.例5解題秘方：由于∠1與∠2沒有直接聯(lián)系，要判斷這兩個(gè)角的大小關(guān)系,則需找出一個(gè)角作為橋梁將這兩個(gè)角聯(lián)系起來.知2－練解：∠1>∠2.理由如下：因?yàn)椤?是△ABC

的一個(gè)外角，所以∠1>∠3.因?yàn)椤?是△FGC

的一個(gè)外角，所以∠3>∠2.所以∠1>∠2.知2－練5－1.如圖，∠C，∠1，∠2之間的大小關(guān)系是()A.∠1<∠2<∠CB.∠2>∠1>∠CC.∠C>∠1>∠2D.∠1>∠2>∠CD知3－講知識(shí)點(diǎn)直角三角形的性質(zhì)定理和判定定理31.性質(zhì)定理直角三角形的兩個(gè)銳角互余.幾何語言：如圖5.5－8，在Rt△ABC

中，因?yàn)椤螩=90°，所以∠A＋

∠B=90°.2.判定定理兩個(gè)銳角互余的三角形是直角三角形.幾何語言：如圖5.5－8，在△ABC

中，因?yàn)椤螦＋

∠B=90°，所以∠C=90°.說明：在判定一個(gè)三角形是直角三角形時(shí)，除利用直角三角形的定義外，還可找兩個(gè)銳角互余，從而直接判定其為直角三角形.知3－講知3－講特別解讀1.直角三角形的性質(zhì)定理和判定定理都可以利用三角形內(nèi)角和定理推導(dǎo)出來.2.利用直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)求一個(gè)銳角的度數(shù)時(shí)，不需要再利用三角形內(nèi)角和定理.知3－練如圖5.5－9，在△ABC

中，∠A=30°，∠B=70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于點(diǎn)D，DF⊥CE

于點(diǎn)F.例6知3－練(1)試說明：∠BCD=∠ECD；解題秘方：根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余求出∠BCD

的度數(shù)，然后利用三角形內(nèi)角和定理求出∠ACB

的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求出∠BCE

的度數(shù)，從而可以求出∠ECD的度數(shù)，進(jìn)而得到結(jié)論；知3－練

知3－練(2)請(qǐng)找出圖中所有與∠B

相等的角.解題秘方：根據(jù)三角形的角之間的數(shù)量關(guān)系，找出度數(shù)是70°的角即可.知3－練解：∵CD⊥AB

于點(diǎn)D，DF⊥CE于點(diǎn)F，∴∠ADC=90°，∠DFC=90°.∴∠CED=90°－∠ECD=90°－20°=70°，∠CDF=90°－∠ECD=90°－20°=70°.因此與∠B相等的角有∠CED

和∠CDF.知3－練6－1.如圖，在△

ABC中，AD⊥BC

于點(diǎn)D，AE

平分∠BAC，若∠BAE=30°，∠CAD=20°，求∠B的度數(shù).知3－練解：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE＝30°.∴∠EAD＝∠EAC－∠DAC＝10°.∵AD⊥BC，∴∠ADE＝90°，∴∠AED＝90°－∠EAD＝80°.∵∠AED＝∠B＋∠BAE，∴∠B＝80°－30°＝50°.知3－練6－2.如圖，在△ABC中，BD⊥AC，垂足為點(diǎn)D，∠C=∠ABC=2∠A.求∠DBC

的度數(shù).知3－練解：在△ABC中，∵∠C＝∠ABC＝2∠A，∠C＋∠ABC＋∠A＝180°，∴2∠A＋2∠A＋∠A＝180°，∴∠A＝36°.∴∠C＝2∠A＝2×36°＝72°.∵BD⊥AC，垂足為點(diǎn)D，∴∠BDC＝90°，∴∠DBC＝90°－∠C＝90°－72°＝18°.知3－練[母題教材P173練習(xí)T1]如圖5.5－10，AB∥CD，直線EF分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，∠BEF

的平分線與∠

DFE的平分線相交于點(diǎn)P.試說明：△EFP為直角三角形.例7知3－練解題秘方：判斷△EFP

為直角三角形，即要找到有一個(gè)角是直角或兩個(gè)銳角互余，即要說明∠EPF=90°