青島 數(shù)學 八上 第5章《幾何證明舉例》課件

5.6幾何證明舉例第5章幾何證明初步逐點導講練課堂小結作業(yè)提升課時講解1課時流程2全等三角形的判定方法與等腰三角形的性質定理與判定定理有關的證明與線段垂直平分線、角平分線有關的證明直角三角形全等的判定定理知識點全等三角形的判定方法知1－講11.基本事實兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等，可簡寫為SAS.兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等，可簡寫為ASA.三邊分別相等的兩個三角形全等，可簡寫為SSS.知1－講2.判定定理兩角分別相等且其中一組等角的對邊也相等的兩個三角形全等，可簡寫為AAS.知1－講特別提醒從基本事實SAS，ASA，SSS以及定理AAS出發(fā)可以判定兩個三角形全等，利用全等三角形對應邊和對應角的定義，可以進一步推證兩個全等三角形有關線段或角的關系知1－練例1[中考·陜西]如圖5.6－1，BD∥AC，BD=BC，點E

在BC

上，且BE=AC．求證：∠ABC=∠D．解題秘方：先根據(jù)平行線的性質得到∠ACB=∠EBD，然后根據(jù)“SAS”可判斷△ABC≌△EDB，從而根據(jù)全等三角形的性質得到結論．知1－練

知1－練1－1.[期中·濰坊]如圖，在△ABC

和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，DE⊥AB于點F，且AB=DE，求證：BD=AC＋CE．證明：∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠ABC＝90°.∵DE⊥AB，∴∠EFB＝90°.∴∠DEB＋∠ABC＝90°.∴∠DEB＝∠A.知1－練知2－講知識點與等腰三角形的性質定理與判定定理有關的證明21.等腰三角形的性質定理(1)等腰三角形的兩個底角相等；(2)等腰三角形底邊上的高、中線及頂角的平分線重合.2.等腰三角形的判定定理有兩個角相等的三角形是等腰三角形.知2－講3.等邊三角形的性質定理等邊三角形的三邊相等，三個內角都等于60°；等邊三角形每一邊上的高、中線及對角的平分線重合.4.等邊三角形的判定定理三邊都相等的三角形是等邊三角形；三個角都相等的三角形是等邊三角形；有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.知2－講特別提醒1.利用等腰三角形的性質與判定，也可以證明線段相等和角相等.2.等邊三角形是特殊的等腰三角形,除具有等腰三角形的一切性質外，它還有特殊的性質:①它有三條對稱軸;②三邊都相等;③三個內角都等于60°等.知2－練[中考·泰安]如圖5.6－2，∠ABC=90°，D，E

分別在BC，AC

上，AD⊥DE，且AD=DE，點F

是AE

的中點，延長FD

與AB

的延長線相交于點M.例2解題秘方：本題考查了等腰三角形的性質與判定、平行線的判定等.知2－練(1)求證：∠FMC=∠FCM.證明：∵AD=DE，AD⊥DE，點F

是AE

的中點，∴DF⊥AE，AF=EF，∠FDE=∠FDA=∠DEF=∠DAF=45°.∴DF=AF=EF，∠AMF＋∠MAC=90°.∵∠ABC=90°，∴∠DCF＋∠MAC=90°.∴∠DCF=∠AMF.知2－練

知2－練(2)AD

與MC

垂直嗎？并說明理由.解：AD⊥MC.理由如下：由(1)知，∠MFC=90°，F(xiàn)D=EF，F(xiàn)M=FC，∴∠FDE=∠FMC=45°.∴DE∥CM.又∵AD⊥DE，∴AD⊥MC.知2－練2－1.[期末·煙臺]如圖，在△ABC

中，AB=AC，∠ABC

的角平分線交AC

于點D，過點A

作AE∥

BC交BD

的延長線于點E．若F

是DE

上的一點，且AD=AF，求證：BD=EF．證明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.∵AE∥BC，∴∠E＝∠CBE.∴∠E＝∠ABE.知2－練知2－練如圖5.6－3，△

ABC為等邊三角形，BD

平分∠ABC交AC

于點D，DE∥BC

交AB

于點E.求證：例3解題秘方：本題考查了等邊三角形的性質與判定以及平行線的性質.知2－練(1)△

ADE是等邊三角形；證明：因為△ABC

為等邊三角形，所以∠

A=∠ABC=∠C=60°.因為DE∥BC，所以∠AED=∠ABC=60°，∠ADE=∠C=60°.所以△ADE

是等邊三角形.知2－練

知2－練3－1.[模擬·青島]如圖，在等邊三角形ABC中，D為邊AC

的中點，DG

//BC

交AB

于點G，E為BC

延長線上的一點，且∠

EDF=120

°，DF交AB于點F．求證：知2－練(1)△CDE≌△GDF；知2－練知2－練

知3－講知識點與線段垂直平分線、角平分線有關的證明31.線段垂直平分線的性質定理線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等.2.線段垂直平分線的性質定理的逆定理到一條線段兩個端點的距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上3.角平分線的性質定理角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.4.角平分線的性質定理的逆定理角的內部到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上.知3－講知3－講特別提醒線段垂直平分線的性質定理中的“距離”是指“兩點間的線段的長”，而角平分線的性質定理中的“距離”是指“點到直線的垂線段的長”，要注意區(qū)分.知3－練[中考·杭州]如圖5.6－4，在△

ABC中，AC

＜AB＜BC．例4知3－練(1)如圖5.6－4①，已知線段AB

的垂直平分線與BC邊交于點P，連接AP，求證：∠APC=2∠B；解題秘方：根據(jù)線段垂直平分線的性質可知PA=PB，根據(jù)等腰三角形的性質可得∠B=∠BAP，根據(jù)三角形的外角性質即可證得∠APC=2∠B；知3－練解：∵線段AB

的垂直平分線與BC

邊交于點P，∴PA=PB.∴∠B=∠BAP.∵∠APC=∠B＋

∠BAP，∴∠APC=2∠B.知3－練(2)如圖5.6－4②，以點B

為圓心，線段AB

的長為半徑畫弧，與BC

邊交于點Q，連接AQ．若∠AQC=3∠B，求∠

B的度數(shù).解題秘方：根據(jù)題意可知BA=BQ，根據(jù)等腰三角形的性質可得∠BAQ=∠BQA，再根據(jù)三角形的內角和定理即可解答．知3－練解：根據(jù)題意可知BA=BQ，∴∠BAQ=∠BQA.∵∠AQC=3∠B，∠AQC=∠B＋

∠BAQ，∴∠BAQ=2∠B.∴∠BQA=2∠B.∵∠BAQ＋

∠BQA＋

∠B=180°，∴5∠B=180°.∴∠B=36°.知3－練4－1.[模擬·青島]在△ABC

中，AD⊥BC，且BD=DE，EF

垂直平分AC，交AC于點F，交BC于點E，連接AE.知3－練(1)若∠BAD=16°，求∠

CEF的度數(shù)；知3－練(2)若DC=8cm，求△ABE

的周長.解：由(1)知，EC＝AE＝AB，∵DE＝BD，∴AB＋BD＝AE＋DE＝EC＋DE＝DC.∴△ABE的周長為AB＋BD＋AE＋DE＝2DC＝2×8＝16(cm)．知3－練已知，如圖5.6－5，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB

交AB

的延長線于點E，DF⊥AC

交AC

的延長線于點F，求證：DE=DF.例5知3－練解題秘方：連接AD，利用“SSS”得到△

ABD與△ACD全等，利用全等三角形的對應角相等得到∠EAD=∠FAD，即AD

為∠EAF的平分線，再由DE⊥AB，DF⊥AC，利用角平分線的性質定理即可得證.知3－練

知3－練5－1.如圖所示,在△ABC

中，∠

BAC=120°,AD,BE

分別為△

ABC的角平分線,連接DE.求證:點E

在∠ADC的平分線上.知3－練證明：如圖，過點E作EH⊥BA交BA的延長線于H，EF⊥BC于F，EG⊥AD于G.知3－練∵AD平分∠BAC，∠BAC＝120°，∴∠BAD＝∠CAD＝60°.∵∠CAH＝180°－120°＝60°，∴∠CAD＝∠CAH，∴AE平分∠HAD，∴EH＝EG.∵BE平分∠ABC，EH⊥AB，EF⊥BC，∴EH＝EF.∴EF＝EG，∴點E在∠ADC的平分線上．知4－講知識點直角三角形全等的判定定理4如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊分別相等，那么這兩個直角三角形全等.這個定理可以簡單地記作“斜邊、直角邊”或“HL”.

知4－講知4－講特別提醒“HL”是判定兩直角三角形全等的特殊方法，但不是唯一方法，前面學習的判定三角形全等的方法在直角三角形中同樣適用.知4－練[中考·孝感]如圖5.6-7，已知∠C=∠D=90°，BC

與AD交于點E，AC=BD，求證：AE=BE．例6解題秘方：由HL證明Rt△ACB≌Rt△BDA