專(zhuān)題04二元一次方程組重難點(diǎn)（參數(shù)問(wèn)題實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題）（原卷版）

專(zhuān)題04二元一次方程組重難點(diǎn)（參數(shù)問(wèn)題、實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題）思維導(dǎo)圖核心考點(diǎn)聚焦1.忽略二元一次方程中一次項(xiàng)系數(shù)不為02.解二元一次方程組中符號(hào)錯(cuò)誤或方程變形漏乘3.構(gòu)造二元一次方程組求解4.二元一次方程組中同解方程組5.已知二元一次方程組的解的情況求參數(shù)或代數(shù)式的值6.二元一次方程組的特殊解法7.二元一次方程組的應(yīng)用——古代問(wèn)題8.二元一次方程組的應(yīng)用——方案問(wèn)題9.二元一次方程組的應(yīng)用——銷(xiāo)售、利潤(rùn)問(wèn)題10.二元一次方程組的應(yīng)用——幾何問(wèn)題一、二元一次方程（組）概念及解1.二元一次方程：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程叫做二元一次方程.注意：二元一次方程的識(shí)別方法①“二元”，即含有兩個(gè)未知數(shù)；②“一次”，即含未知數(shù)的次數(shù)是1；③“整式方程”，即未知數(shù)不能出現(xiàn)在分母中.2.二元一次方程組：共含有兩個(gè)未知數(shù)的兩個(gè)一次方程所組成的一組方程，叫作二元一次方程組．注意：①含有兩個(gè)整式方程；②方程中共含有兩個(gè)未知數(shù)；③含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1．3.二元一次方程的解：適合一個(gè)二元一次方程的一組未知數(shù)的值，叫做這個(gè)二元一次方程的一個(gè)解．注意：①二元一次方程的每一個(gè)解都是一對(duì)數(shù)值，而不是一個(gè)數(shù)；②一般情況下，一個(gè)二元一次方程有無(wú)窮多個(gè)解，但如果對(duì)其未知數(shù)的取值附加某些限制條件，那么也可能只有有限個(gè)特殊的解.4.二元一次方程組的解：我們把二元一次方程組中各個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解．注意：①方程組的解同時(shí)滿(mǎn)足方程組中的每一個(gè)方程；②由于方程組需用“｛”括起來(lái)，所以方程組的解也要用“｛”括起來(lái)．5.二元一次方程組解的情況：（1）唯一解；（2）無(wú)數(shù)解；（3）無(wú)解．二、二元一次方程組的解法1.代入消元法將方程組中一個(gè)方程的某個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來(lái)，并代入另一個(gè)方程中，從而消去一個(gè)未知數(shù)，化二元一次方程組為一元一次方程.這種解方程組的方法稱(chēng)為代入消元法，簡(jiǎn)稱(chēng)代入法.注意：①找準(zhǔn)消元對(duì)象.消元對(duì)象一般選取系數(shù)簡(jiǎn)單的（如系數(shù)的絕對(duì)值較小的，系數(shù)是±1的）未知數(shù)，使變形后的方程比較簡(jiǎn)單或代入后比較容易化簡(jiǎn)；②在用代入法解二元一次方程組的一般步驟的第（2）步中，必須理解“另一個(gè)”的含義，否則，若把y=ax+b代入變形的原方程，必然得到一個(gè)恒等式；③用代入法求出一個(gè)未知數(shù)的值后，再求另一個(gè)未知數(shù)時(shí)，一般代入變形后得到的方程比較簡(jiǎn)單．2.加減消元法把方程組的兩個(gè)方程（或先作適當(dāng)變形）相加或相減，消去其中一個(gè)未知數(shù)，從而把解二元一次方程組轉(zhuǎn)化為解一元一次方程.這種解方程組的方法叫做加減消元法，簡(jiǎn)稱(chēng)加減法.注意：①化為標(biāo)準(zhǔn)形式.用加減消元法解二元一次方程組時(shí)，一般先把方程組整理成的標(biāo)準(zhǔn)形式，再設(shè)法加減消元，這樣不易出錯(cuò)；②選準(zhǔn)消元對(duì)象.當(dāng)某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)或有倍數(shù)關(guān)系時(shí)，選擇消去該未知數(shù)較簡(jiǎn)單.三、同解問(wèn)題方法技巧：理解方程組的解的實(shí)質(zhì)，由方程組消去未知系數(shù)，構(gòu)造只含兩個(gè)未知數(shù)的二元一次方程，再根據(jù)其他條件求出兩個(gè)未知數(shù)的值，最后回代求出未知數(shù)的值.題型：1.一個(gè)二元一次方程組和一個(gè)二元一次方程的同解，可以理解為三個(gè)方程有相同的解，可以選擇其中兩個(gè)構(gòu)成二元一次方程組求解，再代入另一個(gè)方程求參數(shù)的值；或理解為三個(gè)方程構(gòu)成一個(gè)三元一次方程組求解；2.兩個(gè)方程組有相同的解可以理解成四個(gè)方程具有相同的解，先將不含參數(shù)的方程聯(lián)立成方程組，求出未知數(shù)的值，然后代入含有參數(shù)的方程即可求出參數(shù)的值.四、列方程組解應(yīng)用題步驟1.列方程組解應(yīng)用題是把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”的重要方法，它的關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來(lái)，找出題目中的相等關(guān)系.一般來(lái)說(shuō)，有幾個(gè)未知量就必須列出幾個(gè)方程，所列方程必須滿(mǎn)足：=1\*GB3①方程兩邊表示的是同類(lèi)量；=2\*GB3②同類(lèi)量的單位要統(tǒng)一；=3\*GB3③方程兩邊的數(shù)值要相等.2.解應(yīng)用題的一般步驟為：=1\*GB3①審題：找出題目中的數(shù)量關(guān)系，列寫(xiě)等量關(guān)系式；=2\*GB3②設(shè)元：以好表達(dá)等量關(guān)系式為原則，設(shè)不知道的量為未知數(shù)；=3\*GB3③列方程：依據(jù)等量關(guān)系式，結(jié)合未知數(shù)列寫(xiě)方程；=4\*GB3④解答.五、分析數(shù)量關(guān)系的常用方法1.直譯法分析數(shù)量關(guān)系將題中關(guān)鍵性的數(shù)量關(guān)系的語(yǔ)句譯成含有未知數(shù)的代數(shù)式，并找出等量關(guān)系，翻譯成含有未知數(shù)的等式.2.列表分析數(shù)量關(guān)系當(dāng)題目中條件較多，關(guān)系較復(fù)雜時(shí)，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格進(jìn)行分析.這種方法的好處在于把已知量和未知量“對(duì)號(hào)入座”，便于正確理解各數(shù)量之間的關(guān)系.六、一次函數(shù)與二元一次方程（組）1．一次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系一次函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是二元一次方程的解；以二元一次方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在一次函數(shù)的圖象上．2．一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系如果兩個(gè)一次函數(shù)的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，那么交點(diǎn)的坐標(biāo)就是相應(yīng)二元一次方程組的解．所以求兩直線(xiàn)交點(diǎn)的方法為：聯(lián)立函數(shù)關(guān)系式，求解方程組．已知兩直線(xiàn)和相交于一點(diǎn)，求交點(diǎn)坐標(biāo)．=1\*GB3①聯(lián)立兩個(gè)直線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式得到方程組=2\*GB3②解關(guān)于x和y的方程組，得到交點(diǎn)坐標(biāo)．用一次函數(shù)的圖象法求二元一次方程組的解的方法稱(chēng)為二元一次方程組的圖象解法．七、三元一次方程組的概念三元一次方程組：方程中有三個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是一的方程組.八、解三元一次方程組的方法和步驟三元一次方程二元一次方程一元一次方程1.二元一次方程、二元一次方程組中含參數(shù)的問(wèn)題.2.解二元一次方程組時(shí)，去分母漏乘參數(shù)項(xiàng).3.利用二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題及整數(shù)解問(wèn)題.考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一、忽略二元一次方程中一次項(xiàng)系數(shù)不為0例題1：若是關(guān)于，的二元一次方程，則．【答案】0【解析】∵是關(guān)于x，y的二元一次方程，∴且，解得．故答案為：0．考點(diǎn)二、解二元一次方程組中符號(hào)錯(cuò)誤或方程變形漏乘例題2：解方程組：．【解析】原方程組可變?yōu)椋?，得：，解得，把代入①得：，解得，∴原方程組的解為：．考點(diǎn)三、構(gòu)造二元一次方程組求解例題3：已知，則的平方根是（

）A．2 B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴，，∴，得，，解得，將代入①，解得，∴，∴的平方根，故選C．考點(diǎn)四、二元一次方程組中同解方程組例題4：方程組與有相同的解，求a，b的值．【解析】由題意得：，解得，把代入，則有,解得．考點(diǎn)五、已知二元一次方程組的解的情況求參數(shù)或代數(shù)式的值例題5：若關(guān)于x、y的二元一次方程組的解為，則代數(shù)式的值是．【答案】1【解析】將代入方程組得：，①+②得：．故答案為：1．考點(diǎn)六、二元一次方程組的特殊解法例題6：閱讀材料：善于思考的樂(lè)樂(lè)同學(xué)在解方程組時(shí)，采用了一種“整體換元”的解法．把，看成一個(gè)整體，設(shè)，，則原方程組可化為，解得，即，解得．(1)學(xué)以致用，模仿樂(lè)樂(lè)同學(xué)的“整體換元”的方法，解方程組．(2)拓展提升，已知關(guān)于x，y的方程組的解為，請(qǐng)直接寫(xiě)出關(guān)于m、n的方程組的解是______．【解析】（1）對(duì)于，令，則原方程組可化為，解得，∴，即，解得；（2）∵方程組的解是，∴，解得．考點(diǎn)七、二元一次方程組的應(yīng)用——古代問(wèn)題例題7：我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》是人類(lèi)科學(xué)史上應(yīng)用數(shù)學(xué)的“算經(jīng)之首”，上面記載有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有共買(mǎi)羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．問(wèn)人數(shù)、羊價(jià)各幾何？”其大意是：今有人合伙買(mǎi)羊，每人出5錢(qián)，會(huì)差45錢(qián)；每人出7錢(qián)，會(huì)差3錢(qián)．問(wèn)合伙人數(shù)、羊價(jià)各是多少？請(qǐng)你解答這個(gè)問(wèn)題．【解析】設(shè)合伙人數(shù)為人，羊價(jià)為錢(qián)，依題意有：，解得，答：合伙人數(shù)為21人，羊價(jià)為150錢(qián)．考點(diǎn)八、二元一次方程組的應(yīng)用——方案問(wèn)題例題8：某運(yùn)輸公司有A、B兩種貨車(chē)，3輛A貨車(chē)與2輛B貨車(chē)一次可以運(yùn)貨90噸，5輛A貨車(chē)與4輛B貨車(chē)一次可以運(yùn)貨160噸．(1)請(qǐng)問(wèn)1輛A貨車(chē)和1輛B貨車(chē)一次可以分別運(yùn)貨多少?lài)崳?2)目前有190噸貨物需要運(yùn)輸，該運(yùn)輸公司計(jì)劃安排A、B兩種貨車(chē)將全部貨物一次運(yùn)完（A、B兩種貨車(chē)均滿(mǎn)載），其中每輛A貨車(chē)一次運(yùn)貨花費(fèi)500元，每輛B貨車(chē)一次運(yùn)貨花費(fèi)400元，請(qǐng)你列出所有的運(yùn)輸方案，并指出哪種運(yùn)輸方案費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為多少元．【解析】（1）設(shè)1輛A貨車(chē)和1輛B貨車(chē)一次可以分別運(yùn)貨x噸和y噸．根據(jù)題意得，解得．答：1輛A貨車(chē)和1輛B貨車(chē)一次可以分別運(yùn)貨20噸和15噸．（2）設(shè)安排A貨車(chē)m輛，B貨車(chē)n輛，依題意，得，即，又因?yàn)榫鶠檎麛?shù)，所以或或，所以共有3種運(yùn)輸方案，方案1：安排A貨車(chē)8輛，B貨車(chē)2輛；方案2：安排A貨車(chē)5輛，B貨車(chē)6輛；方案3：安排A貨車(chē)2輛，B貨車(chē)10輛．方案1所需費(fèi)用：500×8+400×2=4800（元）；方案2所需費(fèi)用：500×5+400×6=4900（元）；方案3所需費(fèi)用：500×2+400×10=5000（元）；因?yàn)?800<4900<5000，所以安排A貨車(chē)8輛，B貨車(chē)2輛費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為4800元．考點(diǎn)九、二元一次方程組的應(yīng)用——銷(xiāo)售、利潤(rùn)問(wèn)題例題9：某紀(jì)念品店購(gòu)進(jìn)2022年冬奧會(huì)吉祥物冰墩墩與冬殘奧會(huì)吉祥物雪容融共50個(gè)，花去1600元，這兩種吉祥物的進(jìn)價(jià)、售價(jià)如表：進(jìn)價(jià)（元/個(gè)）售價(jià)（元/個(gè)）冰墩墩3550雪容融3040(1)求冰墩墩、雪容融各進(jìn)了多少個(gè)？(2)這50個(gè)吉祥物玩具很快售完，所得利潤(rùn)再次用于購(gòu)進(jìn)冰墩墩與雪容融（每種至少一個(gè)），且恰好用完.那么該紀(jì)念品店再次購(gòu)進(jìn)冰墩墩與雪容融各多少個(gè)？【解析】（1）設(shè)冰墩墩和雪容融分別進(jìn)了x個(gè)和y個(gè)，有題意得解得答：冰墩墩和雪容融分別進(jìn)了20個(gè)和30個(gè)；（2）由表格得，設(shè)再次購(gòu)進(jìn)冰墩墩和雪容融分別為a個(gè)和b個(gè)，∴35a+30b=600∴∵a，b為正整數(shù)∴可得，∴再次購(gòu)進(jìn)冰墩墩6個(gè)，雪容融13個(gè)或冰墩墩12個(gè)，雪容融6個(gè)．考點(diǎn)十、二元一次方程組的應(yīng)用——幾何問(wèn)題例題10：如圖，在大長(zhǎng)方形中，放入六個(gè)相同的小長(zhǎng)方形，求陰影部分的面積．【解析】設(shè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為xcm，寬為ycm，依題意得：，解得，∴陰影部分的面積為14×（6+2×2）6×8×2=44（）．答：陰影部分的面積為44．過(guò)關(guān)檢測(cè)一、選擇題1．下列各式中屬于二元一次方程的有（

）①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)2．若是關(guān)于x、y的二元一次方程的解，則m的值為（

）A．3 B． C．2 D．3．《孫子算經(jīng)》下卷中有一道題，原文是：“今有雉、兔同籠，上有三十五頭，下九十四足．問(wèn)雉、兔各幾何？”意思是：現(xiàn)在雞和兔關(guān)在一個(gè)籠子里，共有35個(gè)頭，94只腳，問(wèn)雞和兔各多少只．設(shè)雞為x只，兔為y只，則下列符合題意的方程組是（

）A． B． C． D．4．若關(guān)于x，y的二元一次方程組的解是，則關(guān)于m、n的二元一次方程組的解是（）A． B． C． D．二、填空題5．的正整數(shù)解為．6．已知關(guān)于x，y的方程是二元一次方程，則．7．若二元一次方程組的的解也是二元一次方程的解，則k的值為8．在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)和關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則．三、解答題9．解方程組10．列方程組解古算題：“今有甲、乙二人持錢(qián)不知其數(shù)，甲得乙半而錢(qián)六十，乙得甲太半而亦錢(qián)六十，甲、乙持錢(qián)各幾何？”題目大意是：甲、乙兩人各帶了若干錢(qián)，如果甲得到乙所有錢(qián)的一半，那么甲共有錢(qián)60．如果乙得到甲所有錢(qián)的，那么乙也共有錢(qián)60．甲、乙兩人各帶了多少錢(qián)？11．已知某酒店的三人間和雙人間客房標(biāo)價(jià)為：三人間為每人每天200元，雙人間為每人每天300元．為吸引客源，促進(jìn)旅游，在“十·一”黃金周期間酒店進(jìn)行優(yōu)惠大酬賓，凡團(tuán)體入住一律五折優(yōu)惠．一個(gè)50人的旅游團(tuán)在十月二號(hào)到該酒店住宿，租住了一些三人間，雙人間客房．如果租住的每個(gè)客房正好住滿(mǎn)，并且一天一共花去住宿費(fèi)6300元．求租住了三人間、雙人間客房各多少間？12．已知關(guān)于x，y的方程組，其中a是實(shí)數(shù)．(1)請(qǐng)用含a的代數(shù)式分別表示x，y．(2)若x，y滿(mǎn)足，求的值．(3)試說(shuō)明不論a取何實(shí)數(shù)，的值始終不變．13．為創(chuàng)建“綠色校園”，綠化校園環(huán)境，某校計(jì)劃分兩次購(gòu)進(jìn)A、B兩種花草，第一次分別購(gòu)進(jìn)A，B兩種花草30棵和15棵，共花費(fèi)675元，第二次分別購(gòu)進(jìn)A、B兩種花草12棵和5棵，共花費(fèi)265元（兩次購(gòu)進(jìn)同種花草和價(jià)格相同）．求：(1)A、B兩種花草每棵的價(jià)格分別是多少元？(2)若計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)A、B兩種花草共30棵，其中購(gòu)買(mǎi)A種花草m棵，且，①求購(gòu)買(mǎi)花草的總費(fèi)用W（元）與m之間的函數(shù)關(guān)系式；②請(qǐng)你給出一種費(fèi)用最省的方案，并求該方案所需費(fèi)用．14．某水果種植基地為響應(yīng)政府號(hào)召，大力種植優(yōu)質(zhì)水果．某超市看好甲、乙兩種優(yōu)質(zhì)水果的市場(chǎng)價(jià)值，決定開(kāi)始銷(xiāo)售這兩種水果．已知該超市購(gòu)進(jìn)甲種水果10千克和乙種水果3千克共需要197元；若購(gòu)進(jìn)甲種水果15千克和乙種水果6千克，則共需要324元．(1)求甲、乙兩種水果每千克的進(jìn)價(jià)分別是多少元?(2)該超市決定每天購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種水果共100千