浙江省七彩陽光新高考研究聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

絕密★考試結(jié)束前2023學(xué)年第二學(xué)期浙江七彩陽光新高考研究聯(lián)盟期中聯(lián)考高一年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1.本卷共4頁滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)、姓名、考場號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效；4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一.選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化簡集合A，B，再利用集合的交集運(yùn)算求解.【詳解】解：因?yàn)榧希?或，所以，故選：C2.已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，再判斷其虛部即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以的虛部?故選：B3.下列函數(shù)在上單調(diào)遞增的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)與反比例函數(shù)定義及性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】由于函數(shù)的定義域?yàn)?，不符合已知條件，故A不符合題意；根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)得函數(shù)在單調(diào)遞減，故B不符合題意；根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)得函數(shù)在單調(diào)遞增，故C符合題意；由于是向左平移1個(gè)單位得到，所以在單調(diào)遞增，故D不符合題意，故選：C.4.如圖是用斜二測畫法得到的直觀圖，，，其中是的中點(diǎn)，則在原圖中最長的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量關(guān)系畫出原圖，在原圖中比較長度即可.【詳解】因?yàn)樵谥庇^圖中，，所以，所以且，所以.作出原圖，如圖所示.在原圖中，，，所以，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，所以原圖中最長的是.故選：B.5.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，且的最短邊與最長邊的長度和為6，則的面積為（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】由正弦定理得出，再根據(jù)最短邊與最長邊的長度和為6求出各邊長，計(jì)算面積即可．【詳解】因?yàn)?，所以由正弦定理得，所以最長邊為，最短邊為，設(shè)，則，解得，所以，由余弦定理，故為銳角，所以，所以，故選：D．6.已知向量，滿足，，，則在上的投影向量的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)投影向量的定義以及向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，又把兩邊平方得，即，解得，所以在的投影向量坐?biāo)為，故選：A.7.下列各數(shù)中最大的數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先得到，，，，再比較與的大小關(guān)系，即可得到，從而得解.【詳解】因?yàn)?，，，，又因?yàn)?，，所以，即，所以，又，所以，即，故這個(gè)幾個(gè)數(shù)最大的是.故選：A8.已知實(shí)數(shù)，，滿足（），則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】借助已知可變形得，借助基本不等式可求范圍.【詳解】根據(jù)已知，可得，則，因?yàn)?，所以，所以上式，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的取值范圍是.故選：D二.選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，則（）A.若，則B.若，，則外接圓的半徑為2C.若，則為鈍角三角形D.若，則點(diǎn)是的重心【答案】BCD【解析】【分析】利用特殊值判斷A，利用正弦定理判斷B，利用余弦定理判斷C，根據(jù)重心的定義判斷D.【詳解】對(duì)于A：若，，滿足，但是，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由正弦定理，所以，即外接圓的半徑為，故B正確；對(duì)于C：由余弦定理，又，所以為鈍角，故為鈍角三角形，故C正確；對(duì)于D：取中點(diǎn)，則，又，所以，所以在中線上，且，所以為的重心，故D正確；故選：BCD10.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，且?dāng)時(shí)，，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，B.當(dāng)時(shí)，C.若對(duì)任意的，都有，則的取值范圍是D.若，則有3個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根【答案】AC【解析】【分析】由已知，可得，從而可得當(dāng)時(shí)，的解析式，即可判斷A，B選項(xiàng)；由函數(shù)在上的圖象平移變換，結(jié)合的圖象，對(duì)任意的，都有，可得的取值范圍，進(jìn)而判斷C選項(xiàng)；由在上的單調(diào)性，作出函數(shù)和的圖象，可得兩函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)，則可判斷D選項(xiàng).【詳解】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，函數(shù)的定義域?yàn)椋瑵M足，即，且當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，，故，故A正確，B錯(cuò)誤；將函數(shù)在上的圖象每次向右平移2個(gè)單位，再將縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍即可得函數(shù)在上的圖象，同理可得函數(shù)在上的圖象每次向左平移2個(gè)單位，再將縱坐標(biāo)縮短為原來的倍即可得函數(shù)在上的圖象，作出函數(shù)的圖象，如圖所示：由此可令，即有，解得，又因?yàn)閷?duì)任意的，都有，由圖象可得，故C正確；因?yàn)?，易知在上單調(diào)遞增，且，作出函數(shù)和的圖象，如圖所示：由此可得兩函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，所以只有1個(gè)實(shí)數(shù)根，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．如圖在一個(gè)棱長為4的正方體中，，，……，，過三點(diǎn)可做一截面，類似地，可做8個(gè)形狀完全相同的截面．關(guān)于截面之間的位于正方體正中間的這個(gè)幾何體，下列說法正確的是（）A.當(dāng)此半正多面體是由正八邊形與正三角形圍成時(shí)，邊長為2B.當(dāng)此半正多面體是由正方形與正三角形圍成時(shí)，表面積是C.當(dāng)此幾何體為半正多面體時(shí)，或D.當(dāng)此幾何體是半正多面體時(shí)，可能由正方形與正六邊形圍成【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)不同的半正多面體，取不同的數(shù)值，畫出幾何圖形，并根據(jù)半正多面體的概念進(jìn)行計(jì)算求解即可.【詳解】由題意得，，，對(duì)于A，當(dāng)此半正多面體是由正八邊形與正三角形圍成時(shí)，，，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)此半正多面體是由正方形與正三角形圍成時(shí)，，所以，表面積為，正確；對(duì)于C，D，當(dāng)時(shí)，如下圖所示，此半正多面體是由正方形與正六邊形圍成，此時(shí)幾何體也是半正多面體，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查半正多面體幾何性質(zhì).本題關(guān)鍵點(diǎn)是根據(jù)取不同的數(shù)值，畫出對(duì)應(yīng)的幾何圖形，并根據(jù)半正多面體的概念進(jìn)行計(jì)算.非選擇題部分三.填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知為復(fù)數(shù)，且，則的最大值為__________．【答案】2【解析】【分析】設(shè)，由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式可解.【詳解】設(shè)，由于，所以，則，由于，所以的最大值為.故答案為：213.化簡______.【答案】【解析】【分析】利用換底公式、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】原式.故答案為：.14.趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家，大約在公元222年，他為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱為“趙爽弦圖”（1弦為邊長得到的正方形由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成）.類比，可構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由三個(gè)全等的三角形與中間一個(gè)小等邊三角形組成的一個(gè)較大的等邊三角形，設(shè)且，則可推出___________.【答案】【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)與，利用余弦定理求出，，設(shè)出AG=m，DG=n，利用勾股定理求出m與n的值，建立直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出與的值，進(jìn)而求出的值.【詳解】設(shè)，，則，，因?yàn)楹褪堑冗吶切危?，由余弦定理得：，解得：，故，，過點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G，設(shè)AG=m，DG=n，則BG=2m，由勾股定理得：，解得：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，垂直AB的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，，由得：，即，解得：，則故答案為：四.解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知、為單位向量，且夾角為.（1）若，求的值；（2）若，求的最小值.【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）由模長公式、數(shù)量積公式以及二次函數(shù)的性質(zhì)得出最小值.【小問1詳解】由、為單位向量，且夾角為，則由已知，得所以【小問2詳解】已知，所以的最小值為.16.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且.（1）求角的大?。唬?）若，，且，求邊上中線的長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接用余弦定理化簡，最后再用輔助角公式即可；（2）先利用正弦定理得到為直角三角行，在用勾股定理求解即可.【小問1詳解】已知，得，由余弦定理得，則由，得，即又，則，，則【小問2詳解】由可得，則，由，所以，，為直角三角形因?yàn)椋?，，則邊上的中線為.17.已知銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，向量，，且與共線．（1）求角的值；（2）若，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由與共線，得到，法一：利用正弦定理和余弦定理求解；法二：利用兩角和的正弦公式求解；（2）利用正弦定理得到，，從而由求解.小問1詳解】解：因?yàn)榕c共線，所以，，法一：由正弦定理得，又由余弦定理得，，∴，則，又為銳角三角形，故．法二：由兩角和的正弦公式得：，因?yàn)椋?，又為銳角三角形，故．【小問2詳解】，，由于為銳角三角形，則，且，解得，所以，而，即，∴的取值范圍為．18.已知函數(shù)在上有定義，且關(guān)于中心對(duì)稱，若．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若存在，使值域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可知關(guān)于中心對(duì)稱，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)分析求解；（2）換元令，可得，分類討論，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和最值分析求解.【小問1詳解】因?yàn)殛P(guān)于中心對(duì)稱，可知關(guān)于中心對(duì)稱，且的定義域?yàn)?，則，解得，此時(shí)，且，可知奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即符合題意，綜上所述：.【小問2詳解】令，可得，可知函數(shù)在單調(diào)遞增，①當(dāng)時(shí)，，則，可得，可知，均為的實(shí)根，即有兩個(gè)不相等的正根，等價(jià)于有兩個(gè)不相等的正根，可得，解得；②當(dāng)時(shí)，，則可得，即，可得，則，可得，此方程能成立，即；③，則，，不合題意；綜上所述：或.19.祖暅在求球體積時(shí)，使用一個(gè)原理：“冪勢既同，則積不容異”.“冪”是截面積，“勢”是立體的高.意思是兩個(gè)同高的立體，如在等高處的截面積恒相等，則體積相等.更詳細(xì)點(diǎn)說就是，界于兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)立體，被任一平行于這兩個(gè)平面的平面所截，如果兩個(gè)截面的面積恒相等，則這兩個(gè)立體的體積相等.上述原理在中國被稱為祖暅原理.如圖是一個(gè)半徑為的球體，平面與球相交，截面為圓，延長，交球于點(diǎn)，則垂直于圓（垂直于圓內(nèi)的所有直線）.（1）若圓錐DB的側(cè)面展開圖扇形的圓心角為，求圓錐DB的表面積和體積；（2）如圖平面上方與球體之間的部分叫球冠，若，請(qǐng)你利用祖暅原理求球冠的體積.【答案】（1）表面積為，體積為（2）【解析】【分析】（1）利用圓心角等于弧長除以半徑來計(jì)算，再結(jié)合直角三角形中的三角函數(shù)定義，即可計(jì)算得到，從而去求圓錐的高和母線長，最后利用表面積和體積公式即可求出結(jié)果；（2）利用祖暅原理，利用半球的體積與底面半徑和