江西省宜春市上高二中2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

高二年級(jí)數(shù)學(xué)月考試卷2024.11.3一．單選題（5分×8=40分）1．已知是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，a?R，b?R.則（

）A．0 B．2 C．1 D．42．已知直線和直線，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．設(shè)是虛數(shù)單位，是復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，若，則=A． B． C． D．4．已知點(diǎn)，若直線與線段AB相交，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．若點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和的最小值為（

）A． B． C． D．6．如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)為側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)最小時(shí)，三棱錐的體積為（

）A．1 B． C． D．7．如圖，在四棱錐中，底面為菱形，底面，為對(duì)角線與的交點(diǎn)，若，則三棱錐的外接球的體積為（

）A． B． C． D．8．如圖，若P是棱長為2的正方體的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)P在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，四棱錐的體積變化B．當(dāng)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與所成角的取值范圍是C．使直線與平面所成的角為45°的點(diǎn)P的軌跡長度為D．若F是棱的中點(diǎn)，當(dāng)P在底面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且滿足平面時(shí)，長度的最小值是二．多選題（6分×3=18分）9．下列結(jié)論正確的有（

）A．直線恒過定點(diǎn)B．直線的傾斜角的取值范圍是C．經(jīng)過點(diǎn)，的直線方程均可用表示D．直線和都經(jīng)過點(diǎn)，則過兩點(diǎn)，的直線方程為10．下面四個(gè)結(jié)論正確的是（

）A．已知向量，，若，則為鈍角B．已知，，則向量在向量上的投影向量是C．若直線經(jīng)過第三象限，則，D．已知，，三點(diǎn)不共線，對(duì)于空間任意一點(diǎn)，若，則，，，四點(diǎn)共面11．在正三棱柱中，，點(diǎn)滿足，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在棱上B．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為定值C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在以的中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段上D．當(dāng)時(shí)，平面三．填空題（5分×3=15分）12．已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且在軸上的截距是在軸上截距的兩倍，則直線的方程為．13．過定點(diǎn)且傾斜角是直線傾斜角的兩倍的直線方程為.14．已知矩形，，，沿對(duì)角線將折起，使得，則二面角的余弦值是四．解答題（13分+15分+15分+17分+17分=77分）15（13分）．（1）經(jīng)過點(diǎn)，且與直線垂直的直線一般式方程.（4分）（2）求過點(diǎn)，且與直線平行的直線的一般式方程；（4分）（3）求過點(diǎn)，且在軸上的截距與在軸上的截距之和為2的直線斜率.（5分）16（15分）．已知一條動(dòng)直線，(1)求直線恒過的定點(diǎn)的坐標(biāo)；（4分）(2)若直線不經(jīng)過第二象限，求m的取值范圍；（4分）(3)若直線與x、y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，的面積為6，求直線的方程.（7分）17（15分）．如圖，在三棱柱中，平面，為線段上的一點(diǎn)．(1)求證:平面；（4分）(2)求直線與直線所成角的余弦值；（4分）(3)若直線與平面所成角為，求點(diǎn)到平面的距離．（7分）18（17分）．如圖，在四棱錐中，平面，與底面所成角為，四邊形是梯形，．

(1)證明：平面平面；（5分）(2)若點(diǎn)T是的中點(diǎn)，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，求點(diǎn)P到平面的距離．（5分）(3)點(diǎn)是線段CD上的動(dòng)點(diǎn)，上是否存在一點(diǎn)M，使平面，若存在，求出M點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．（7分）19（17分）．如圖1，是邊長為3的等邊三角形，點(diǎn)、分別在線段、上，，，沿將折起到的位置，使得，如圖2．

(1)求證：平面平面；（5分）(2)若點(diǎn)在線段上，且，，求直線與平面所成角的正弦值；（5分）(3)在（2）的條件下，判斷線段上是否存在點(diǎn)，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．（7分）參考答案：題號(hào)12345678910答案DAADBCBDACDBD題號(hào)11答案BCD3．A【詳解】令，由即所以5．B【詳解】由已知，設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則解得，即，所以．6．C【詳解】將直三棱柱展開成矩形，如下圖，連接，交于，此時(shí)最小，∵，則，而，由且都在面，則面，又，則面，即面，點(diǎn)為側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，即，得，又為直角三角形，此時(shí)三棱錐的體積為：.故選：C7．B【詳解】因?yàn)榈酌?，底面，即，根?jù)題意可知為等邊三角形，為直角三角形，而，則，取的中點(diǎn)，連接，所以，易知，則，所以三棱錐的外接球的球心為F，，∴該外接球的體積為.8．D【詳解】對(duì)于A，因?yàn)榈酌嬲叫蔚拿娣e不變，點(diǎn)P到平面的距離為正方體棱長，所以四棱錐的體積不變，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如圖①，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可得，，.設(shè)，，則，.設(shè)直線與所成角為θ，則，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，可得，所以；當(dāng)時(shí)，，所以，所以異面直線與所成角的取值范圍是，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，已知直線與平面所成的角為45°，若點(diǎn)P在平面和平面內(nèi)，因?yàn)?，最大，點(diǎn)P僅在點(diǎn)；若點(diǎn)P在平面內(nèi)，則點(diǎn)P的軌跡長度是；若點(diǎn)P在平面內(nèi)，則點(diǎn)P的軌跡長度是；若點(diǎn)P在平面內(nèi)，作平面，如圖②所示，因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，所以，所以點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)A1為圓心，以2為半徑的四分之一圓，所以點(diǎn)P的軌跡長度為.綜上，點(diǎn)P的軌跡總長度為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，如圖③，由前面建系得，，，，設(shè)，，，則，，.設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以.因?yàn)槠矫?，所以，可得，所以，?dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D正確．9．ACD【詳解】對(duì)于A，直線，即，直線恒過定點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，直線的斜率，設(shè)直線的傾斜角為，則,所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，經(jīng)過點(diǎn)，的直線方程均可用表示，故C正確；對(duì)于D，直線和都經(jīng)過點(diǎn)，則所以點(diǎn)，的直線方程為上，故D正確.故選：ACD.10．BD【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，，，此時(shí)為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，向量在向量上的投影向量為，故B正確；對(duì)于C，令，則直線為，且經(jīng)過第三象限，但此時(shí)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，，所以由向量共面定理的推論可得，，，四點(diǎn)共面，故D正確；故選：BD.11．BCD【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，又，所以即，又，所以三點(diǎn)共線，故點(diǎn)在上，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，又，所以即，又，所以三點(diǎn)共線，故點(diǎn)在棱上，由三棱柱性質(zhì)可得平面，所以點(diǎn)到平面的距離為定值，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，取的中點(diǎn)的中點(diǎn)，所以且，，即，所以即，又，所以三點(diǎn)共線，故在線段上，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，由題為正三角形，所以，又由正三棱柱性質(zhì)可知，因?yàn)椋矫?，所以平面，又平面，所以，因?yàn)椋?，又，所以，所以，所以，設(shè)與相交于點(diǎn)O，則，即，又，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，由正方形性質(zhì)可知，又，平面，所以平面，故D正確.12．或【詳解】因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)，且在軸上的截距是在軸上截距的兩倍，當(dāng)截距為時(shí)，斜率為，此時(shí)直線方程為，即，當(dāng)截距不為時(shí)，由題可設(shè)直線方程為，又直線過點(diǎn)，所以，得到，故直線方程為，即，故答案為：或.13．【詳解】直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，可得，即可得，所以所求直線的斜率為，所求直線方程為，即，故答案為：.14．/-0.5【詳解】過和分別作，，，，，，，則，即，，，，，二面角的余弦值為，15．（1）；（2）；（3）或.【詳解】（1）設(shè)與直線垂直的直線方程為，又該直線過點(diǎn)，則，解得，所以所求直線方程為.（2）設(shè)與直線平行的直線方程為，又該直線過點(diǎn)，則，解得，所以所求直線方程為.（3）顯然直線不過原點(diǎn)，設(shè)其方程為，則，整理得，即，因此，解得，而直線，即，其斜率為，所以所求直線的斜率為或.16．(1)(2)(3)【詳解】（1）由題意，整理得，所以不管取何值時(shí)，直線恒過定點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組，解得，即（2）由上問可知直線恒過定點(diǎn)，當(dāng)，直線斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線是，顯然滿足題意；當(dāng)時(shí)，由直線不經(jīng)過第二象限，直線與軸有交點(diǎn)時(shí)，則縱截距小于或等于零即可，令，則，即，解得；綜上所述：（3）設(shè)直線方程為，則，由直線恒過定點(diǎn)，得，由整理得：，解得或，所以直線方程為：或，即或，又直線的斜率，所以不合題意，則直線方程為.17．(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）連接，由三棱柱性質(zhì)可得平面平面，又平面，故平面；（2）因?yàn)槠矫?，平面，所以，而，故兩兩垂直，故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：則，連接，則，由，故，故直線與直線所成角的余弦值為；（3）設(shè)，，則，設(shè)平面的法向量為，有，令，則，，即，因?yàn)橹本€與平面所成角為，所以，解得，即，因?yàn)?，所以點(diǎn)到平面的距離為.18．(1)證明過程見解析(2)(3)【詳解】（1）由平面，平面，平面，得，，與底面所成角為．所以三角形為等腰直角三角形，．又由四邊形是直角梯形，，可知，所以為等腰直角三角形，而，故．在直角梯形中，過C作，垂足為E，則四邊形為正方形，可知．所以，在等腰直角三角形中，．則有，所以．又因?yàn)椋?，平面，平面．所以平面．因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

則A0,0,0，P0,0,1，B1,0,0，，因?yàn)門是的中點(diǎn)，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，所以，．設(shè)平面的法向量為，，，則，得，取，則，得平面的一個(gè)法向量為，而,所以點(diǎn)P到平面的距離為．（3）設(shè)，注意到A0,0,0，所以，所以，設(shè)，注意到P0,0,1，所以，因?yàn)锳0,0,0，B1,0,0，所以若平面，則當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí)，綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)重合，此時(shí)存在，使平面.19．(1)證明見解析(2)(3)存在，．【詳解】（1）證明：在中，，，，由余弦定理得，∴，∴．在中，，，，∴，