1平面桿件結(jié)構(gòu)的有限單元法

第一篇

桿件結(jié)構(gòu)的有限單元法及程序設(shè)計(jì)

第1章

平面桿件結(jié)構(gòu)的有限單元法1.1有限單元位移法的基本概念

所謂桿件是指從構(gòu)造上來(lái)說(shuō)其長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于其截面尺寸的一維構(gòu)件。在結(jié)構(gòu)力學(xué)上我們通常將承受軸力或扭矩的桿件稱(chēng)為桿，而將承受橫向力和彎矩的桿件稱(chēng)為梁。在有限單元法中這兩種情況的單元分別稱(chēng)為桿單元和梁?jiǎn)卧榉奖闫鹨?jiàn)，本書(shū)都稱(chēng)之為桿單元。桿系結(jié)構(gòu)是最簡(jiǎn)單的一類(lèi)結(jié)構(gòu)，也是我們?cè)诠こ躺献畛Ｒ?jiàn)的一類(lèi)結(jié)構(gòu)。一、有限單元法的基本思路

先分后合，既先將結(jié)構(gòu)劃分成各個(gè)單元，進(jìn)行單元分析，然后再將各單元集合成結(jié)構(gòu)整體，進(jìn)行整體分析。二、舉例說(shuō)明

以簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)連續(xù)梁為例，介紹有限元位移法的基本概念和求解方法

圖示簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)連續(xù)梁

1、劃分單元取每一跨為一獨(dú)立單元，單元編號(hào)為①、②，單元的線剛度為i1,i2

，結(jié)點(diǎn)編號(hào)為：1，2，3，（稱(chēng)為整體號(hào)）結(jié)點(diǎn)角位移為：

1

，

2

，3結(jié)點(diǎn)力偶：M1，M2，M3。

建立梁的整體坐標(biāo)系xoy

根據(jù)右手坐標(biāo)系規(guī)定，結(jié)點(diǎn)角位移和力偶以順時(shí)針為正。

每個(gè)單元也建立坐標(biāo)系

，稱(chēng)為局部坐標(biāo)系其方向與整體坐標(biāo)系一致。每一單元的始、末端分別記為i,j端，稱(chēng)為局部號(hào)。

每個(gè)單元也建立坐標(biāo)系

，稱(chēng)為局部坐標(biāo)系其方向與整體坐標(biāo)系一致。每一單元的始、末端分別記為i,j端，稱(chēng)為局部號(hào)。

離散化后的桿件單元和結(jié)點(diǎn)，其內(nèi)力只畫(huà)出桿端彎矩，各桿端彎矩以順時(shí)針為正。

2、建立數(shù)學(xué)模型

將結(jié)點(diǎn)1，2，3處的結(jié)點(diǎn)角位移為基本未知量。得出單元①，②的桿端彎矩和桿端轉(zhuǎn)角關(guān)系式：

單元①

單元②根據(jù)結(jié)點(diǎn)1、2、3處位移連續(xù)條件，有代入式（a)、(b)：為本例的位移法方程根據(jù)結(jié)點(diǎn)1、2、3處平衡條件有式（d)、(e)代入(f)得：

3、采用矩陣形式

以表示單元序號(hào)，則上面的（a）、（b）式可統(tǒng)一寫(xiě)為：

或簡(jiǎn)寫(xiě)為：

式中：?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃噯卧獥U端位移列陣單元桿端力列陣

或簡(jiǎn)寫(xiě)為：用矩陣形式表示得：

式中：整體剛度矩陣結(jié)點(diǎn)位移列陣結(jié)點(diǎn)荷載列三、幾點(diǎn)說(shuō)明

（1）、剛度集成法的應(yīng)用

建立整體剛度矩陣，常用的方法：剛度集成法（直接剛度法），它是直接利用單元?jiǎng)偠染仃嚨摹隘B加”來(lái)形成整體剛度矩陣。

①、將式（1－3）單元?jiǎng)偠染仃嚁U(kuò)階單元①121233單元貢獻(xiàn)矩陣

單元②121233

單元貢獻(xiàn)矩陣相疊加，形成整體剛度矩陣121233121233對(duì)于具有n個(gè)結(jié)點(diǎn)和（n-1）個(gè)單元的多跨連續(xù)梁，其整體剛度矩陣如下：

（2）、兩端支承條件的引入

以上在推導(dǎo)連續(xù)梁整體剛度矩陣時(shí)，沒(méi)有涉及連續(xù)梁兩端有固定端支座的情況。圖示右端為固定端的兩跨連續(xù)梁，先不考慮右端的約束條件，得出整體剛度矩陣與式（1－6）相同。

考慮右端轉(zhuǎn)角為零的支承條件，求解基本未知量的基本方程為：

為了便于編寫(xiě)程序，希望引入支承條件后，矩陣的階數(shù)和排列次序不變，，而又達(dá)到修正整體剛度方程的目的，將（k）式修改為如下形式：等效于基本方程式（1）和支承條件

連續(xù)梁兩端支承條件的引入方法：將整體矩陣的主對(duì)角線元素改為1，第i行、i列的其余元素改為0，對(duì)應(yīng)的荷載元素也改為0，其中i=1或n。

i＝1對(duì)應(yīng)左端為固定支座；i＝n對(duì)應(yīng)右端為固定支座。左右端同時(shí)為固定端支座時(shí)，應(yīng)同時(shí)進(jìn)行修改。

（3）、非結(jié)點(diǎn)荷載的處理首先在各結(jié)點(diǎn)加約束，阻止結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，各桿獨(dú)立承擔(dān)所受的荷載，桿端產(chǎn)生固端彎矩，記為：

各結(jié)點(diǎn)的約束力矩分別為交于該結(jié)點(diǎn)的各相關(guān)單元的固端力矩之和，以順時(shí)針為正。

然后去掉這些附加的約束，這相當(dāng)于在各結(jié)點(diǎn)施加一外力荷載，其大小與約束力矩相同，但方向相反。原非結(jié)點(diǎn)荷載的等效結(jié)點(diǎn)荷載

疊加既得非結(jié)點(diǎn)荷載作用下得各桿桿端彎矩。

非結(jié)點(diǎn)荷載作用下的桿端彎矩為兩部分：1、在結(jié)點(diǎn)加阻止轉(zhuǎn)動(dòng)的約束條件下的固端彎矩；2、在等效結(jié)點(diǎn)荷載作用下的桿端彎矩。

例1.1應(yīng)用有限元位移法求圖示連續(xù)梁的內(nèi)力

解（1）結(jié)構(gòu)離散化，單元及結(jié)點(diǎn)編號(hào)如圖所示（2）求固端力矩及等效結(jié)點(diǎn)荷載三個(gè)單元固端力矩為：

等效結(jié)點(diǎn)荷載列陣為：（3）求單元?jiǎng)偠染仃嚰跋鄳?yīng)的單元貢獻(xiàn)矩陣

（4）求整體剛度矩陣（5）引入支承條件本例支承條件為：得基本方程：（6）求解基本方程（7）計(jì)算各桿端彎矩連續(xù)梁的彎矩圖1.2局部坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠确匠淌菃卧臈U端力與桿端位移之間的關(guān)系式，單元?jiǎng)偠染仃囀菃卧臈U端位移－桿端力變換矩陣。1.2.1、一般單元

桿單元的長(zhǎng)度為，截面面積為，截面慣性矩為，彈性模量為，單元的、端各有三個(gè)桿端力為、、，其對(duì)應(yīng)的位移為、、單元桿端力列陣為：?jiǎn)卧獥U端位移列陣為：為了導(dǎo)出一般單元桿端力與桿端位移的關(guān)系，考慮以下兩種情況。

考慮桿端彎矩、和桿端剪力、與桿端轉(zhuǎn)角位移、和桿端的橫向位移、的關(guān)系，可得：將式（a)(b)合在一起，得：簡(jiǎn)寫(xiě)為：其中單元?jiǎng)偠染仃嚍椋孩趩卧獎(jiǎng)偠染仃嚍閷?duì)稱(chēng)矩陣，其元素

①

單元?jiǎng)偠染仃囍械拿總€(gè)元素代表單位桿端位移引起的桿端力。其中的任意元素的物理意義是第個(gè)桿端位移分量等于1（其余位移分量等于0）時(shí)，所引起的第個(gè)桿端力的分量值。1.2.2、單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)

③一般單元的單元?jiǎng)偠染仃囀瞧娈惥仃?，它的元素組成的行列式等于零，即。根據(jù)奇異矩陣的性質(zhì)，沒(méi)有逆矩陣。也就是說(shuō)，如果給定桿端位移，根據(jù)（1-18）式可以求出桿端力的惟一解，但反過(guò)來(lái)，如果已知桿端力，則不能根據(jù)來(lái)確定桿端位移的惟一解。因?yàn)榧词乖跅U端力已知的情況下，由于單元兩端無(wú)任何約束，因此除出桿端自身變形外，還可以發(fā)生任意的剛體位移。

④

單元?jiǎng)偠染仃嚲哂蟹謮K的性質(zhì)。用虛線把分為四個(gè)子矩陣，把和各分為兩個(gè)子矩陣，因此，單元?jiǎng)偠染仃嚪匠蹋?－17）寫(xiě)為：

式中：

其任意子矩陣表示桿端力和桿端位移之間的關(guān)系。1.2.3、軸力單元只考慮軸向桿端位移和軸向桿端力的單元，稱(chēng)為軸力單元。為了便于坐標(biāo)變化，上式寫(xiě)為：式中：1.3單元?jiǎng)偠染仃嚨淖鴺?biāo)變換

局部坐標(biāo)系中的桿端力分量整體坐標(biāo)系中的桿端力分量?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)系中，力偶分量不變，即：對(duì)于單元j端的桿端力：將(a)(b)(c)式子用矩陣形式可表示為：上式可以簡(jiǎn)寫(xiě)成：兩種坐標(biāo)系中單元桿端力的變換式局部坐標(biāo)系中的單元桿端力列陣：?jiǎn)卧鴺?biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為：整體坐標(biāo)系中的單元桿端力列陣：

為正交矩陣，其逆矩陣等于其轉(zhuǎn)置矩陣，即有：

同樣也適用于兩種坐標(biāo)系下的桿端位移之間的變換：

將式（1－25）、（1－28）代入式（1－18），得：上式兩邊同乘以，可以得到：令則得：兩種坐標(biāo)系中單元?jiǎng)偠染仃嚨淖儞Q公式寫(xiě)成展開(kāi)形式為：式中：以上推導(dǎo)方法和步驟完全適用于軸力單元。軸力單元在整體坐標(biāo)系下的桿端力列陣和桿端位移列陣為：軸力單元中不需要考慮桿端轉(zhuǎn)角

和桿端力M，坐標(biāo)變換轉(zhuǎn)換矩陣為：在整體坐標(biāo)系下軸力單元中的單元?jiǎng)偠染仃囌归_(kāi)形式為：式中：

單元?jiǎng)偠染仃囍械拿總€(gè)元素代表單位桿端位移引起的桿端力。其中的任意元素的物理意義是第個(gè)桿端位移分量等于1（其余位移分量等于0）時(shí)，所引起的第個(gè)桿端力的分量值。為對(duì)稱(chēng)矩陣，可以用分塊子矩陣表示。在整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚺c局部坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃囉蓄?lèi)似的性質(zhì)：對(duì)于一般單元，具有奇異性。1.4單元未知量編碼建立結(jié)構(gòu)整體剛度方程求解位置結(jié)點(diǎn)位移的方式有：“先處理法”和“后處理法”。1.4.1后處理法由單元?jiǎng)偠染仃囆纬烧w剛度矩陣，建立剛度方程后再引入支承條件，進(jìn)而求解結(jié)點(diǎn)的未知位移的方法稱(chēng)為“后處理法”。圖示一平面剛架，設(shè)所有結(jié)點(diǎn)位移都是未知量。結(jié)點(diǎn)位移列陣為：求出各單元?jiǎng)偠确匠毯?，根?jù)平衡條件和位移連續(xù)條件，可以建立整個(gè)結(jié)構(gòu)的位移法方程：式中：結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣應(yīng)該注意到，在建立整體剛度矩陣方程式（1－38）時(shí)，我們假設(shè)所有結(jié)點(diǎn)都可能位移，相當(dāng)于整體結(jié)構(gòu)并無(wú)支座。因此在外力作用下，除了發(fā)生彈性變形外，還可能發(fā)生剛體位移，這樣各結(jié)點(diǎn)位移不能唯一確定。這說(shuō)明整體剛度矩陣式（1－39）為一奇異矩陣，不能求逆矩陣，故利用整體剛度方程式（1－38）也不能求出結(jié)點(diǎn)位移。

實(shí)際上，在圖示剛架中，結(jié)點(diǎn)1和結(jié)點(diǎn)4均為固定端，因此結(jié)點(diǎn)位移是已知的。支承條件為：

這樣，將上述支承條件引入到方程中，對(duì)整體剛度方程進(jìn)行修改，可得：

對(duì)上述方程進(jìn)行化簡(jiǎn)，分為兩個(gè)方程組：

和

這樣，利用第（1－41）式可以求得結(jié)點(diǎn)位移和，再根據(jù)第（1－42）2式可以計(jì)算未知的支座反力。對(duì)于一般桿件結(jié)構(gòu)，都可以按上述步驟進(jìn)行分析。無(wú)論結(jié)構(gòu)具有多少個(gè)結(jié)點(diǎn)位移分量，經(jīng)過(guò)調(diào)整其排列次序，總可以將他們分成兩組：一組包括所有未知結(jié)點(diǎn)位移分量（或稱(chēng)自由結(jié)點(diǎn)位移分量），以表示；另一組為支座結(jié)點(diǎn)位移分量，以表示。全部結(jié)點(diǎn)力分量也分為兩組，與相應(yīng)者為已知的結(jié)點(diǎn)力列陣，以表示；與相應(yīng)者為支座節(jié)點(diǎn)力列陣，以表示。則整體剛度方程可寫(xiě)成下列形式:展開(kāi)上式得:當(dāng)已知及時(shí)，上式可用以求自由結(jié)點(diǎn)位移分量；后式可用來(lái)計(jì)算支座反力。當(dāng)無(wú)支座移動(dòng)，既時(shí)，以上兩式為：修正的整體剛度方程后處理法是將單元?jiǎng)偠染仃嚰烧w剛度矩陣后，再引入支承條件予以修改，最后建立用以求解自由結(jié)點(diǎn)位移的修正的整體剛度方程。后處理法在對(duì)單元、結(jié)點(diǎn)的位移、力等未知量進(jìn)行編號(hào)時(shí)比較方便。但當(dāng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，例如結(jié)構(gòu)為復(fù)式框架、組合結(jié)構(gòu)且支承較為復(fù)雜時(shí)，應(yīng)用后處理法解題有諸多不便，此時(shí)常采用“先處理法”。

采用“先處理法”解題時(shí)，先考慮支承條件，根據(jù)支承條件僅對(duì)未知的自由結(jié)點(diǎn)位移分量編號(hào)，得到的結(jié)點(diǎn)位移矩陣中不包含已知的約束結(jié)點(diǎn)位移分量，這樣得到的整體剛度方程就是式（1－44）所表示的“修正的整體剛度方程”。用它可以直接求解自由結(jié)點(diǎn)的位移分量。1.4.2先處理法具有組合結(jié)點(diǎn)的剛架劃分為3個(gè)單元，其編號(hào)為①、②、③，各桿之上的箭頭表示局部坐標(biāo)系的軸正方向。考慮各單元結(jié)點(diǎn)的位移分量編號(hào)。采用“先處理法”需做如下規(guī)定：①僅對(duì)獨(dú)立的位移分量按自然順序編號(hào)，稱(chēng)為位移號(hào)。若某些位移分量由于聯(lián)結(jié)條件或直桿軸向剛性條件（忽略軸向變形）的限制彼此相等，則將他們編為同一位移號(hào)。②在支座處，由于剛性約束而使某些位移分量為0，此位移分量編號(hào)為0。桿段單元編號(hào)單元結(jié)點(diǎn)編號(hào)單元位移分量編號(hào)始端末端AB①120,0,01,2,3BC②231,2,34,5,6DC③540,0,04,5,7在計(jì)算機(jī)程序中，單元兩端的結(jié)點(diǎn)號(hào)可采用二維數(shù)組JE（i，e）表示，稱(chēng)為“單元兩端結(jié)點(diǎn)號(hào)數(shù)組”JE（i，1）＝單元e始端的結(jié)點(diǎn)號(hào)JE（i，2）＝單元e末端的結(jié)點(diǎn)號(hào)本例中：JE（1，1）＝1JE（2，1）＝2JE（1，2）＝2JE（2，2）＝3JE（1，3）＝5JE（2，3）＝4任意結(jié)點(diǎn)位移分量的位移號(hào)可采用二維數(shù)組JN（i，j）表示，稱(chēng)為“結(jié)點(diǎn)位移數(shù)組”JN（1，j）＝結(jié)點(diǎn)j沿x方向的位移號(hào)JN（2，j）＝結(jié)點(diǎn)j沿y方向的位移號(hào)JN（3，j）＝結(jié)點(diǎn)j角位移的位移號(hào)本例中，對(duì)第3結(jié)點(diǎn)而言：JN（1，3）＝4JN（2，3）＝5JN（3，3）＝6將單元的始端及末端的位移編碼排成一行（始端在前)，此數(shù)碼稱(chēng)為“單元定位數(shù)組”。本例中例1.2試對(duì)圖示結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)和單元進(jìn)行編號(hào)，并用單元兩端的結(jié)點(diǎn)號(hào)數(shù)組表表示EF桿單元兩端結(jié)點(diǎn)號(hào)；用結(jié)點(diǎn)位移號(hào)數(shù)表示F結(jié)點(diǎn)的位移分量編號(hào)；寫(xiě)出CD桿單元定位數(shù)組。分別考慮以下兩種情況：（1）考慮各桿的軸向變形；（2）忽略各桿的軸向變形。解：建立整體坐標(biāo)系，將結(jié)構(gòu)劃分為6個(gè)單元，用箭頭表示各單元的局部坐標(biāo)系軸的正方向，根據(jù)結(jié)構(gòu)特征編為9個(gè)結(jié)點(diǎn)號(hào)。其中聯(lián)結(jié)①、③、④單元的鉸接處編有3個(gè)結(jié)點(diǎn)號(hào)，原因是三個(gè)單元在鉸接點(diǎn)處具有相同的線位移，但角位移不相同。單元②、③、⑤相交點(diǎn)編有兩個(gè)結(jié)點(diǎn)號(hào)，因?yàn)閱卧?、③在此處為剛性?lián)結(jié)，具有相同的角位移和線位移。（1）考慮各桿的軸向變形時(shí)，各結(jié)點(diǎn)位移分量編號(hào)如圖所示。EF桿為第⑥單元，單元兩端結(jié)點(diǎn)號(hào)數(shù)組表示為：JE（1，6）＝8JE（2，6）＝9F點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)號(hào)為9，結(jié)點(diǎn)位移號(hào)數(shù)組表示為：JN（1，9）＝14JN（2，9）＝15JN（3，9）＝16CD桿為第③單元，單元定位數(shù)組表示為：（1）忽略各桿的軸向變形時(shí)，各結(jié)點(diǎn)位移分量編號(hào)如圖所示。EF桿為第⑥單元，單元兩端結(jié)點(diǎn)號(hào)數(shù)組不變，仍為：JE（1，6）＝8JE（2，6）＝9F點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)號(hào)為9，結(jié)點(diǎn)位移號(hào)數(shù)組表示為：JN（1，9）＝8JN（2，9）＝0JN（3，9）＝10CD桿為第③單元，單元定位數(shù)組表示為：1.5平面結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣在進(jìn)行了單元分析得出單元?jiǎng)偠染仃囍螅枰M(jìn)行整體分析，以“先處理法”為例，將離散單元重新組合成原結(jié)構(gòu)，使其滿足結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)的位移連續(xù)條件和力的平衡條件，從而得到修正的結(jié)構(gòu)整體剛度方程，既前面的式（1－44）。修正的結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣自由結(jié)點(diǎn)位移分量列陣自由結(jié)點(diǎn)荷載分量列陣由單元?jiǎng)偠染仃嚰烧w剛度矩陣通常采用“直接剛度法”。其計(jì)算過(guò)程可以分為兩步：首先求出各單元的貢獻(xiàn)矩陣，然后將它們疊加起來(lái)，得出整體剛度矩陣。然而在實(shí)際電算中，這種做法是不便采用的，因?yàn)樵谟?jì)算中需先將所有單元的貢獻(xiàn)矩陣儲(chǔ)存起來(lái)，而各單元貢獻(xiàn)矩陣的階數(shù)與整體剛度矩陣的階數(shù)相同，因這樣就要占用大量的計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)容量。故在實(shí)際中并不是采用貢獻(xiàn)矩陣法，而是利用各單元的定位數(shù)組，采用“邊定位，邊累加”的方法。

如圖所示的結(jié)構(gòu)有3個(gè)單元，5個(gè)結(jié)點(diǎn)，7個(gè)獨(dú)立的位移分量，這樣其整體剛度矩陣應(yīng)為階矩陣，即：

各元素在整體剛度矩陣中的位置為：?jiǎn)卧獑卧獎(jiǎng)偠染仃嚕簡(jiǎn)卧诘膭偠染仃嚍椋?/p>

中各元素在整體剛度矩陣中的位置為：

單元③的剛度矩陣為：

中各元素在整體剛度矩陣中的位置為：

這樣，按照以上所講的定位方法，將、、中的相關(guān)元素累加到整體剛度矩陣對(duì)應(yīng)的元素上，可以得到整體剛度矩陣為：

在實(shí)際電算程中，采用“邊定位，邊累加”的方法，過(guò)程如下：

例1.3求圖示剛架的整體剛度矩陣，設(shè)各桿截面尺寸相同。

解（1）整理數(shù)據(jù)并進(jìn)行編號(hào)（2）求局部坐標(biāo)系中單元?jiǎng)偠染仃嚕?）求整體坐標(biāo)系中單元?jiǎng)偠染仃?23000123004（4）形成整體剛度矩陣1.6非結(jié)點(diǎn)荷載的處理為分析平面結(jié)構(gòu)而建立的整體剛度方程，反映了結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)荷載與結(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系。作用在結(jié)構(gòu)上的荷載除了直接作用在結(jié)點(diǎn)上的荷載之外，還有作用在桿件上的分布荷載、集中荷載等。這些非結(jié)點(diǎn)荷載應(yīng)轉(zhuǎn)換成等效結(jié)點(diǎn)荷載。將與相疊加，可得綜合結(jié)點(diǎn)荷載。綜合結(jié)點(diǎn)荷載亦稱(chēng)“總結(jié)點(diǎn)荷載”其下標(biāo)c通?？陕匀ゲ粚?xiě)，即：

等效結(jié)點(diǎn)荷載的計(jì)算步驟如下：第一步，在局部坐標(biāo)系下求單元的固端力。簡(jiǎn)圖剪力彎矩QABQBAMABMBA表1－2

兩端固定梁的固端力

第二步，求單元的等效結(jié)點(diǎn)荷載。

單元桿端力的變換式：固端力在兩種坐標(biāo)系下的變換式：有：等效結(jié)點(diǎn)荷載列陣可以由下式寫(xiě)出：展開(kāi)，得到：

第三步，求整體結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點(diǎn)荷載。

求得單元等效結(jié)點(diǎn)荷載之后，利用單元結(jié)點(diǎn)位移分量編號(hào)，將中的各分量疊加到結(jié)構(gòu)等效荷載列陣中去。因?yàn)橹械母髟匾彩前唇Y(jié)點(diǎn)位移分量編號(hào)排列的，中的6個(gè)元素也與結(jié)點(diǎn)位移分量編號(hào)一一對(duì)應(yīng)，所以也按對(duì)號(hào)入座方法，將其逐一累加到相應(yīng)的位置上去。

例1.4求圖示剛架的等效結(jié)點(diǎn)荷載和綜合結(jié)點(diǎn)荷載。解：?jiǎn)卧植孔鴺?biāo)系及結(jié)點(diǎn)位移分量編號(hào)如圖所示。（1）：求各單元在局部坐標(biāo)系中的固端內(nèi)力單元①：由表1－2可得：?jiǎn)卧冢阂虼擞校海?）求整體坐標(biāo)系下各單元的等效結(jié)點(diǎn)荷載：?jiǎn)卧?，?00單元②，＝00利用式（1－49）或（1－50）可得：（3）求剛架等效結(jié)點(diǎn)荷載列陣，結(jié)果為：（4）求直接作用在結(jié)點(diǎn)上的荷載，（5）求總結(jié)點(diǎn)荷載列陣，應(yīng)用有限元位移法對(duì)桿系結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，如果按照“先處理法”的思想，其步驟可以歸結(jié)為如下：（1）整理原始數(shù)據(jù)，對(duì)單元和結(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)，確定每個(gè)單元的局部坐標(biāo)系整個(gè)結(jié)構(gòu)的整體坐標(biāo)系。（2）計(jì)算局部坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃?。?）按結(jié)點(diǎn)位移分量編號(hào)，“對(duì)號(hào)入座，同號(hào)疊加”，形成結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣。

1.7平面結(jié)構(gòu)分析算例（5）求總的結(jié)點(diǎn)荷載列陣。在這一步里，首先必須將非結(jié)點(diǎn)荷載轉(zhuǎn)換成等效結(jié)點(diǎn)荷載，再與對(duì)應(yīng)的結(jié)點(diǎn)荷載疊加，形成總的結(jié)點(diǎn)荷載矩陣。