3.1.2 橢圓的簡單幾何性質(zhì)(分層練習(xí))（解析版）

第三章圓錐曲線的方程3.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)精選練習(xí)基礎(chǔ)篇基礎(chǔ)篇若直線y=kx+1與橢圓x25+y2A．(1,+∞) C．(0,1)∪(1,5) D．[1,5)∪(5,+【答案】D【分析】根據(jù)題意，由直線過定點(diǎn)，結(jié)合點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系列出不等式，即可得到結(jié)果.【詳解】直線y=kx+1恒過點(diǎn)(0,1)，只需該點(diǎn)落在橢圓內(nèi)或橢圓上，即025+12故選：D已知直線l：y=x+m與橢圓C：x25+y2A．?2,2 B．?3,3 C．?∞,?2∪【答案】B【分析】聯(lián)立直線與橢圓的方程，令判別式大于0求解即可.【詳解】將直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得y=x+mx25+y因?yàn)橹本€l與橢圓C有公共點(diǎn)，所以方程①有實(shí)數(shù)根，則Δ=10m2?36故選：B．已知橢圓C：x2b2+y2a2=1a>b>0的離心率A．x22+C．x28+【答案】B【分析】由點(diǎn)的坐標(biāo)求得b，通過離心率求得a，即可求解橢圓方程.【詳解】因?yàn)镸1，0為線段OB的中點(diǎn)，且Bb,0，所以又橢圓C的離心率e=22，所以ca所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2已知點(diǎn)Px0,y0是橢圓C:x2a2+yA．0,22 B．0,22 C．【答案】D【分析】由題意可得以F1F2【詳解】解：由已知，以F1F2所以22設(shè)橢圓C1:x25+y2=1，C2:A．1 B．2 C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)離心率的關(guān)系列方程，從而求得b.【詳解】對于橢圓x2a2因?yàn)閑2=56e故選：B已知F是橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦點(diǎn)，若過F的直線A．255 B．33 C．1【答案】A【分析】根據(jù)直線與圓相切的位置關(guān)系可構(gòu)造b,c的齊次方程，結(jié)合橢圓a,b,c關(guān)系可求得離心率e.【詳解】由題意知：F?c,0c>0，則直線l:y=?3∵l與圓x2+y2=∴c2=4b2=4a故選：A.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2，過F2的直線交CA．3 B．6 C．62 D．【答案】A【分析】由PM⊥F1Q且PF1=PQ=2，得到M為【詳解】如圖所示，因?yàn)镻M⊥F1Q且PF1又因?yàn)镺為F1F2的中點(diǎn)，OM⊥x所以△PF1Q為等邊三角形，所以∠PF1所以橢圓C的焦距為2c=3故選：A.

已知橢圓C:x225+y29=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)A．3 B．2 C．53? D．4【答案】D【分析】當(dāng)△MF1F2?的面積最大時(shí)，【詳解】由橢圓C:x225+y29=1，得a=5，當(dāng)△MF1F2?的面積最大時(shí)，M為橢圓點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△MF1F則MF1=MF則S△MF1F2=1故選：D?.“加上一個(gè)參數(shù)給橢圓，它的形狀會有美妙的變化”歐幾里得如是說，而這個(gè)參數(shù)就是橢圓的離心率.若橢圓x2m+y2A．8 B．2或4 C．1或4 D．4或8【答案】D【分析】根據(jù)題意，分類討論m>4和0<m<4兩種情況，結(jié)合橢圓方程的性質(zhì)與離心率公式求解即可.【詳解】因?yàn)闄E圓x2m+y2當(dāng)m>4時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在x軸上，a2=m，所以c2a2=m?4m=當(dāng)0<m<4時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在y軸上，a2=4，所以c2a2=4?m4=綜上，該橢圓的長軸長為4或8.故選：D.已知橢圓x22+y2=1與直線y=x+m交于A,B兩點(diǎn)，且A．?1 B．?C．12 D．【答案】AD【分析】聯(lián)立橢圓方程與直線方程，用韋達(dá)定理即可表示出弦長并結(jié)合AB=【詳解】由x22+y設(shè)Ax1y由題意得AB=1+k2x故選：AD.提升篇提升篇若橢圓x29+y24=1的弦ABA．9x+4y?13=0 B．4x+9y?13=0C．x+2y?3=0 D．x+3y?3=0【答案】B【分析】利用點(diǎn)差法求出直線AB的斜率，再利用點(diǎn)斜式可得出直線AB的方程.【詳解】若直線AB⊥x軸，則點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對稱，則直線AB的中點(diǎn)在x軸，不合乎題意，所以，直線AB的斜率存在，設(shè)點(diǎn)Ax1,y1所以，x129即x1?x可得直線AB的斜率為kAB所以，直線AB的方程為y?1=?49x?1故選：B.橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P，Q是C上的任意兩點(diǎn)，且關(guān)于y軸對稱．若直線A．32 B．23 C．22【答案】C【分析】設(shè)P(x0,y0)，則Q(?【詳解】由題意得A(?a,0)，設(shè)P(x因?yàn)辄c(diǎn)P，Q是C上的任意兩點(diǎn)，且關(guān)于y軸對稱，所以Q(?x0,所以kAP=y因?yàn)閤02a2+所以離心率e=c在橢圓x29+y24=1上求一點(diǎn)M，使點(diǎn)MA．?95,?C．(?2,?253【答案】A【分析】先利用判別式法，求出與橢圓相切的直線方程，然后即可求得本題答案.【詳解】設(shè)直線x+2y+b=0與橢圓x2聯(lián)立方程x+2y+b=0x29因?yàn)橹本€與橢圓相切，所以Δ=(16b)2?4×25(4當(dāng)b=5時(shí)，x+2y+5=0與x+2y?10=0的距離最大，最大距離為35把b=5代入①得，25y2+80y+64=代入x+2y+5=0，得x=?95，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為已知橢圓E:x2aA．22 B．3?12 C．5【答案】B【分析】設(shè)橢圓E的上頂點(diǎn)、右頂點(diǎn)、左焦點(diǎn)分別為A,B,F，依題意可得AB=BF，結(jié)合【詳解】設(shè)橢圓E的上頂點(diǎn)、右頂點(diǎn)、左焦點(diǎn)分別為A,B,F，則A(0,b),B(a,0),F(?c,0)，且b2所以AB=a2+b依題意△ABF為等腰三角形，AB=所以a2+b2=a+c所以2c2+2ac?解得e=?1±32，又0<e<1，所以e=已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足MF1?A．(0，12) B．(0，2【答案】B【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式，結(jié)合點(diǎn)在橢圓內(nèi)部的特點(diǎn)、橢圓離心率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】根據(jù)橢圓的對稱性，不妨設(shè)焦點(diǎn)在橫軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2設(shè)F1?c,0,MF點(diǎn)Mx0,要想該不等式恒成立，只需2a而e>0?0<e<2故選：B已知F1，F(xiàn)2為橢圓C：x224+y29=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P，Q【答案】18【分析】判斷滿足條件的點(diǎn)P,Q存在，再借助對稱的性質(zhì)確定四邊形形狀，利用橢圓定義求解作答.【詳解】橢圓C：x224+y2于是橢圓C上存在點(diǎn)到原點(diǎn)距離等于橢圓半焦距c，由P，Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，得四邊形PF

又PQ=F1F2而|PF1|+|PS=|PF故答案為：18（多選）已知橢圓C：x29+y2b2=1（b>0），F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為其左、右焦點(diǎn)，橢圓A．離心率e的取值范圍為0,B．不存在點(diǎn)M，使得MC．當(dāng)e=12時(shí)，MD．1M【答案】ABC【分析】A：根據(jù)點(diǎn)N2,2在橢圓內(nèi)部可得49+2b2<1，從而可得b2的取值范圍，從而可求離心率的取值范圍；B：根據(jù)相反向量的概念即可求解；C：求出c和F【詳解】對于A，由已知可得，49+2則e=c對于B，由MF1+對于C，由已知e=ca=12，a=3又N2,2，則N根據(jù)橢圓的定義可得MF所以MF由圖可知，?N所以MF1當(dāng)且僅當(dāng)M，N，F(xiàn)2故MF1+對于D，因?yàn)镸F所以1M當(dāng)且僅當(dāng)MF2M所以，1MF1故選：ABC已知橢圓C：x24+y23=1，若橢圓C【答案】?【分析】設(shè)Mx,y，利用點(diǎn)差法得到3x4y=?kPQ，結(jié)合kPQ=?【詳解】設(shè)Px1,Mx,y是線段PQ的中點(diǎn)，則3得3x∵x1≠x∴3x4y∵kPQ=?14，∴聯(lián)立y=3xy=4x+m，解得x=?m∴M?m,?3m∵點(diǎn)M應(yīng)在橢圓C的內(nèi)部，∴m24+∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是?2已知橢圓C:x2a2+(1)求橢圓C的離心率；(2)已知橢圓C的左?右頂點(diǎn)分別為A,B，且AB=6，點(diǎn)M是C上任意一點(diǎn)（與A,B不重合），直線MA,MB分別與直線l:x=5交于點(diǎn)P,Q,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求OP【答案】(1)53；(2)【分析】（1）由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可寫出頂點(diǎn)以及焦點(diǎn)坐標(biāo)，由斜率之積可得b2（2）設(shè)出點(diǎn)M坐標(biāo)，寫出直線MA和MB的方程求出交點(diǎn)P,Q坐標(biāo)，利用y02=【詳解】（1）根據(jù)題意可得橢圓C的上頂點(diǎn)的坐標(biāo)為0,b，左?右焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為?c,0,由題意可知bc??又a2=b2+c2，所以a（2）由AB=6，得2a=6，即a=3,c=5,b=2，所以橢圓C如圖所示：

設(shè)Mx0,y0又A?3,0,B3,0，則直線MA直線MB的方程為y=y因?yàn)橹本€MA,MB分別與直線l:x=5交于點(diǎn)P,Q，可得P5,所以O(shè)P?即OP?已知橢圓C的對稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在y軸上，離心率e=12，且過點(diǎn)(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l與橢圓交于A,B兩點(diǎn)，且直線PA,PB的傾斜角互補(bǔ)，判斷直線AB的斜率是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．【答案】(1)y216【分析】（1）利用離心率求得a,b,c之間的關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)在橢圓上，解方程即可得答案；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系，利用直線PA,PB的傾斜角互補(bǔ)，可得kPA【詳解】（1）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2由題意知e=c故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程又為x23c又橢圓過點(diǎn)(3,2)，∴36+12=12c