充分條件與必要條件（1）教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)設(shè)計(jì)

課程基本信息課例編號(hào)學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高一學(xué)期第一學(xué)期課題充分條件與必要條件（1）教科書(shū)名：普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)A版出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月教學(xué)人員姓名單位授課教師李紅北京市第二十二中學(xué)指導(dǎo)教師李穎北京市東城區(qū)教師研修中心教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：1.初步理解充分條件、必要條件的含義；2.通過(guò)對(duì)初中定理的再認(rèn)識(shí)，理解充分條件與判定定理、必要條件與性質(zhì)定理之間的關(guān)系；3.體會(huì)常用邏輯用語(yǔ)在表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容中的作用，逐步提升邏輯推理的素養(yǎng).教學(xué)重點(diǎn)：理解充分條件、必要條件的含義教學(xué)難點(diǎn)：理解必要條件及充分條件與判定定理、必要條件與性質(zhì)定理的關(guān)系教學(xué)過(guò)程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)7分鐘復(fù)習(xí)引入一．教師與學(xué)生一起回顧初中階段所學(xué)的與命題相關(guān)的知識(shí)命題：初中階段稱判斷一件事情的句子為命題.數(shù)學(xué)中的命題是用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句.真命題與假命題：判斷為真的語(yǔ)句是真命題，判斷為假的語(yǔ)句是假命題；數(shù)學(xué)命題的一般形式：“若，則”的形式是數(shù)學(xué)命題的一般形式.其中稱為命題的條件，稱為命題的結(jié)論.二．提出問(wèn)題：下列“若，則”形式的命題中，哪些是真命題？哪些是假命題？若平行四邊形的對(duì)角線互相垂直，則這個(gè)平行四邊形是菱形；若兩個(gè)三角形周長(zhǎng)相等，則這兩個(gè)三角形全等；若，則；若平面內(nèi)兩條直線和均垂直于直線，則.教師引導(dǎo)學(xué)生回顧中學(xué)相關(guān)知識(shí)，進(jìn)行如下分析：由菱形的判定定理可知命題（1）是真命題.追問(wèn)：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是否一定是菱形？結(jié)論是肯定的；即平行四邊形的對(duì)角線只要滿足互相垂直的條件，則這個(gè)平行四邊形一定是菱形；舉一個(gè)反例：如果有兩個(gè)三角形，第一個(gè)三角形三邊分別為3，4，5，周長(zhǎng)為12；第二個(gè)三角形為等邊三角形，邊長(zhǎng)為4，周長(zhǎng)也為12，這兩個(gè)三角形顯然不全等，命題（2）是假命題；說(shuō)明：兩個(gè)三角形周長(zhǎng)相等并不一定能推出這兩個(gè)三角形全等的結(jié)論；（3）解方程，得或，即若，則一定有或的結(jié)論，所以命題（3）是假命題；（4）由垂直定義可知直線和與直線夾角都是，由同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等或者同旁內(nèi)角互補(bǔ)一定可以證明，所以命題（4）是真命題.學(xué)生運(yùn)用自己所學(xué)的知識(shí)分析，判斷.3分鐘定義概念理解概念一．定義概念：一般地，“若，則”為真命題，是指由通過(guò)推理可以得出，稱由可以推出，記作，且稱是的充分條件，是的必要條件.“若，則”為假命題，是指由不能通過(guò)推理得出，稱不是的充分條件，不是的必要條件.二．理解概念1.教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合具體問(wèn)題理解概念的含義；結(jié)合上面的思考題，命題（1）（4）是真命題.命題（1）條件“平行四邊形的對(duì)角線互相垂直”是結(jié)論“這個(gè)平行四邊形是菱形”的充分條件，結(jié)論“這個(gè)平行四邊形是菱形”是條件“平行四邊形的對(duì)角線互相垂直”的必要條件；命題（4）條件“平面內(nèi)兩條直線和均垂直于直線”是結(jié)論“”的充分條件，結(jié)論“”是條件“平面內(nèi)兩條直線和均垂直于直線”的必要條件；2.關(guān)于“必要條件”的理解當(dāng)“若，則”形式的命題是真命題時(shí)，稱是的充分條件，這點(diǎn)學(xué)生易于理解；但“是的必要條件”這點(diǎn)學(xué)生可能會(huì)產(chǎn)生困惑，“為什么命題的結(jié)論又成為條件了呢？”對(duì)此問(wèn)題做如下分析：和是兩個(gè)語(yǔ)句，對(duì)于“若，則”形式的命題，無(wú)論其是真命題還是假命題，都稱為命題的條件，為命題的結(jié)論.當(dāng)該命題為真命題時(shí)，即由能推出，也就是若成立，起碼成立；如果不成立，那么也就不成立了，即成立是成立的必不可少的條件，稱是的必要條件，它刻畫(huà)了和之間的邏輯關(guān)系.3對(duì)“充分”“必要”的進(jìn)一步理解學(xué)生結(jié)合具體命題，理解充分條件和必要條件的含義.說(shuō)明：日常生活中“肯定”“足以”等也用于表達(dá)“充分”的含義；“至少”“起碼”等用于表達(dá)“必要”的含義.13分鐘舉例分析例1下列“若，則”形式的命題中，哪些命題中的是的充分條件？若四邊形的兩組對(duì)角分別相等，則這個(gè)四邊形是平行四邊形；若兩個(gè)三角形的三邊成比例，則這兩個(gè)三角形相似；若四邊形為菱形，則這個(gè)四邊形的對(duì)角線互相垂直；若，則；若，則；若都為無(wú)理數(shù)，則為無(wú)理數(shù)；教師引導(dǎo)學(xué)生分析、判斷：由平行四邊形的判定定理可知，四邊形滿足“兩組對(duì)角分別相等”的條件就一定是平行四邊形，所以“四邊形的兩組對(duì)角分別相等”是“這個(gè)四邊形是平行四邊形”的充分條件；當(dāng)然判定一個(gè)四邊形是平行四邊形還可以通過(guò)其他方式，例如兩組對(duì)邊分別相等，即“四邊形是平行四邊形”的充分條件不唯一；由三角形相似的判定定理可知，三邊成比例的兩個(gè)三角形一定是相似三角形，所以“兩個(gè)三角形的三邊成比例”是“這兩個(gè)三角形相似”的充分條件，兩個(gè)三角形相似也可以通過(guò)其他形式判定，即“兩個(gè)三角形相似”的充分條件也不唯一；由菱形的性質(zhì)定理可知，菱形的對(duì)角線一定互相垂直，所以“四邊形為菱形”是“這個(gè)四邊形的對(duì)角線互相垂直”的充分條件；但“四邊形的對(duì)角線互相垂直”的充分條件并不唯一；若，解得，即由一定有，而不是，因此“”不是的充分條件；（5）由等式的性質(zhì)若一定有，所以“”是“”的充分條件；但對(duì)于任意實(shí)數(shù)，且，若，則，可見(jiàn)“”的充分條件也是不唯一的.（6）可以舉一個(gè)反例：若，都為無(wú)理數(shù)，，的乘積不是無(wú)理數(shù)，即由“為無(wú)理數(shù)”推不出“為無(wú)理數(shù)”，因此“為無(wú)理數(shù)”不是“為無(wú)理數(shù)”的充分條件.學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，獨(dú)立思考，同伴交流，通過(guò)具體問(wèn)題理解充分條件的含義.反思小結(jié)：“若，則”形式的命題是真命題，命題中的是的充分條件，但的充分條件不一定是惟一的.例2下列“若，則”形式的命題中，哪些命題中的是的必要條件？若四邊形是平行四邊形，則這個(gè)四邊形的兩組對(duì)角分別相等；若兩個(gè)三角形相似，則這兩個(gè)三角形的三邊成比例；若四邊形的對(duì)角線互相垂直，則這個(gè)四邊形為菱形；若，則；（5）若，則；（6）若為無(wú)理數(shù)，則都為無(wú)理數(shù).教師引導(dǎo)學(xué)生基于例1的分析，思考例2.（1）由平行四邊形的性質(zhì)定理可知，平行四邊形兩組對(duì)角一定分別相等，所以“四邊形的兩組對(duì)角分別相等”是“這個(gè)四邊形是平行四邊形”的必要條件，兩組對(duì)角如果不滿足分別相等的條件，則這個(gè)四邊形一定不是平行四邊形；同時(shí)，“四邊形是平行四邊形”的必要條件并不唯一，例如“四邊形是平行四邊形”的必要條件也可以是“兩組對(duì)邊分別相等”或“兩條對(duì)角線互相平分”等等；（2）由三角形相似的性質(zhì)定理可知，兩個(gè)相似三角形一定是三邊成比例，所以“兩個(gè)三角形的三邊成比例”是“這兩個(gè)三角形相似”的必要條件，如果兩個(gè)三角形三邊不成比例，則這兩個(gè)三角形不相似；同樣，“兩個(gè)三角形相似”的必要條件也不唯一，“對(duì)應(yīng)角相等”也可以是“兩個(gè)相似三角形”的必要條件；（3）由菱形的判斷定理可知，對(duì)角線互相垂直的平行四邊形一定是菱形，而對(duì)角線互相垂直的四邊形，如圖所示不是菱形，所以“四邊形為菱形”不是“這個(gè)四邊形的對(duì)角線互相垂直”的必要條件；（4）由一定有，因此“”是“”的必要條件；“”也是“”的必要條件；（5）由等式的性質(zhì)，若即不一定有，所以“”不是“”的必要條件；（6）可以舉一個(gè)反例：若，即的乘積是無(wú)理數(shù)，的取值可以是即不都為無(wú)理數(shù)，即由“為無(wú)理數(shù)”推不出“都為無(wú)理數(shù)”，因此“都為無(wú)理數(shù)”不是“為無(wú)理數(shù)”的必要條件.反思小結(jié)：“若，則”形式的命題是真命題，命題中的是的必要條件，但的必要條件不一定是惟一的.教師引導(dǎo)學(xué)生比較例1與例2，進(jìn)一步理解充分條件和必要條件的含義，體會(huì)性質(zhì)定理與必要條件、判定定理與充分條件的關(guān)系，具體說(shuō)明：命題“若四邊形的兩組對(duì)角分別相等，則這個(gè)四邊形是平行四邊形”是平行四邊形的判定定理，其中“四邊形的兩組對(duì)角分別相等”是判定一個(gè)四邊形是平行四邊形的充分條件，由此體會(huì)判定定理與充分條件之間的關(guān)系；命題“若四邊形是平行四邊形，則這個(gè)四邊形的兩組對(duì)角分別相等”是平行四邊形的性質(zhì)定理，其中“兩組對(duì)角分別相等”是平行四邊形的性質(zhì)之一，是一個(gè)四邊形是平行四邊形的必要條件，由此體會(huì)性質(zhì)定理與必要條件之間的關(guān)系；3分鐘鞏固提升象這樣的例子還有很多，學(xué)生可再通過(guò)具體的例子不斷體會(huì)加深理解.:練習(xí)1：命題“對(duì)頂角相等”寫(xiě)成“若，則”的形式為“若兩個(gè)角是對(duì)頂角，則這兩個(gè)角相等”這是對(duì)頂角的性質(zhì)定理，“兩個(gè)角相等”是刻畫(huà)兩個(gè)角是對(duì)頂角的必須滿足的屬性，如果不滿足這個(gè)屬性，這兩個(gè)角就不是對(duì)頂角，“兩個(gè)角相等”是“兩個(gè)角是對(duì)頂角”的必要條件；但是“若兩個(gè)角相等，則這兩個(gè)角是對(duì)頂角”是假命題，“兩個(gè)角相等”不足以推出“這兩個(gè)角是對(duì)頂角”的結(jié)論，“兩個(gè)角相等”不是“這兩個(gè)角是對(duì)頂角”的充分條件.練習(xí)2：“若平行四邊形對(duì)角線相等，則這個(gè)平行四邊形是矩形”這是矩形的判定定理，在對(duì)角線相等的條件下一定能推出平行四邊形為矩形的結(jié)論，“對(duì)角線相等”是使平行四邊形成為矩形的一個(gè)因素，當(dāng)然改變這個(gè)因素也可以使平行四邊形成為矩形.“若平行四邊形有一個(gè)角是直角，則這個(gè)平行四邊形是矩形”也是一個(gè)矩形的判定定理，說(shuō)明使平行四邊形成為矩形的充分條件不唯一.2分鐘課堂小結(jié)理解充分條件、必要條件的含義；體會(huì)充分條件與判定定理、必要條件與性質(zhì)之間的關(guān)系；運(yùn)用充分條件、必要條件的方式梳理初中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)，理解其邏輯關(guān)系.：回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)，基于初中對(duì)命題的認(rèn)識(shí)，當(dāng)“若，則”形式的命題是真