《1簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)》知識(shí)清單

《1簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)》知識(shí)清單一、機(jī)械振動(dòng)的概念1、**什么是機(jī)械振動(dòng)**-機(jī)械振動(dòng)就是物體（或者物體的一部分）在平衡位置附近做往復(fù)運(yùn)動(dòng)。比如說(shuō)，咱們小時(shí)候玩的秋千，當(dāng)你坐在秋千上蕩起來(lái)的時(shí)候，秋千就會(huì)在一個(gè)最低點(diǎn)（也就是平衡位置）附近來(lái)回?cái)[動(dòng)，這就是一種機(jī)械振動(dòng)。這個(gè)平衡位置呢，就是秋千靜止時(shí)的那個(gè)位置。再比如，琴弦被撥動(dòng)之后，也會(huì)在它原本靜止的位置附近來(lái)回振動(dòng)，發(fā)出美妙的聲音。2、**產(chǎn)生機(jī)械振動(dòng)的條件**-要有回復(fù)力?；貜?fù)力是一種總是指向平衡位置的力。就像你把彈簧拉長(zhǎng)或者壓縮之后，彈簧就會(huì)產(chǎn)生一個(gè)力，這個(gè)力總是想讓彈簧回到它原來(lái)的長(zhǎng)度，這個(gè)力就是回復(fù)力。而且還得有慣性，要是沒(méi)有慣性，物體就不會(huì)越過(guò)平衡位置繼續(xù)運(yùn)動(dòng)了。比如說(shuō)，一個(gè)質(zhì)量特別小幾乎沒(méi)有慣性的小顆粒，你給它一個(gè)力讓它離開平衡位置，它可能就直接停在那里，不會(huì)振動(dòng)起來(lái)了。二、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)1、**定義**-簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是一種最簡(jiǎn)單、最基本的機(jī)械振動(dòng)。如果物體受到的回復(fù)力跟它偏離平衡位置的位移大小成正比，并且方向總是相反，那么這個(gè)物體做的就是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)?？梢詫懗蒄=-kx，這里的F就是回復(fù)力，k是一個(gè)常數(shù)（就像彈簧的勁度系數(shù)），x是物體偏離平衡位置的位移。舉個(gè)例子，有一個(gè)彈簧振子，就是一個(gè)小球連著一個(gè)彈簧。當(dāng)你把小球拉離平衡位置一小段距離然后放開，小球就會(huì)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。因?yàn)樾∏蚴艿降幕貜?fù)力F=-kx，這個(gè)力會(huì)讓小球在平衡位置附近來(lái)回振動(dòng)。2、**描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物理量**-**振幅（A）**-振幅就是振動(dòng)物體離開平衡位置的最大距離。還是拿彈簧振子來(lái)說(shuō)，你把小球拉離平衡位置最遠(yuǎn)的那個(gè)距離就是振幅。就像你在秋千上蕩的時(shí)候，你蕩到最高的位置和最低位置（平衡位置）的距離就是秋千振動(dòng)的振幅。它反映了振動(dòng)的強(qiáng)弱，振幅越大，振動(dòng)就越“劇烈”。-**周期（T）和頻率（f）**-周期就是物體做一次完整的振動(dòng)所需要的時(shí)間。比如說(shuō)，一個(gè)單擺（一個(gè)小球用繩子系著，在一個(gè)小角度范圍內(nèi)擺動(dòng)），從最左邊擺到最右邊，再擺回最左邊，這就是一次完整的振動(dòng)，所花的時(shí)間就是它的周期。頻率呢，就是單位時(shí)間內(nèi)完成振動(dòng)的次數(shù)。周期和頻率的關(guān)系是f=1/T。就像你看時(shí)鐘的秒針，它每60秒轉(zhuǎn)一圈，那它的周期就是60秒，頻率就是1/60赫茲。-**相位（φ）**-相位這個(gè)概念有點(diǎn)抽象。咱們可以把它想象成描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)在一個(gè)周期內(nèi)所處“狀態(tài)”的一個(gè)量。比如說(shuō)，兩個(gè)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體，一個(gè)可能剛開始振動(dòng)，另一個(gè)可能已經(jīng)振動(dòng)了一段時(shí)間了，它們的相位就不一樣。就好比兩個(gè)人在操場(chǎng)上跑步，一個(gè)剛開始跑，一個(gè)已經(jīng)跑了一段路了，他們?cè)谡麄€(gè)跑步過(guò)程中的“狀態(tài)”不同，這個(gè)就有點(diǎn)像相位的差別。三、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式1、**位移表達(dá)式**-對(duì)于簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，位移x隨時(shí)間t的變化關(guān)系可以寫成x=Asin(ωt+φ)或者x=Acos(ωt+φ)，這里的ω是角頻率，ω=2πf。咱們還是以彈簧振子為例，如果我們從彈簧振子處于平衡位置并且開始向正方向運(yùn)動(dòng)的時(shí)候開始計(jì)時(shí)，那它的位移表達(dá)式可能就是x=Asin(ωt)。這里的A就是振幅，ω決定了振動(dòng)的快慢，φ就是相位。想象一下，你在觀察一個(gè)上下振動(dòng)的小球，這個(gè)表達(dá)式就可以準(zhǔn)確地告訴你在任何一個(gè)時(shí)刻小球的位置。2、**速度和加速度表達(dá)式**-速度v是位移x對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)。對(duì)于x=Asin(ωt+φ)，速度v=ωAcos(ωt+φ)。加速度a是速度v對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，加速度a=-ω2Asin(ωt+φ)。這就像開車的時(shí)候，速度表示你開得有多快，加速度表示你的速度變化得有多快。在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中，速度和加速度也是隨著時(shí)間不斷變化的。比如說(shuō)，當(dāng)小球在平衡位置的時(shí)候，它的速度最大，加速度為零；當(dāng)小球在振幅位置的時(shí)候，它的速度為零，加速度最大。就像你坐過(guò)山車，在最低的地方速度最快，感覺(jué)最刺激，這時(shí)候加速度是向上的；在最高的地方速度最慢，但是感覺(jué)被狠狠地拉了一下，這時(shí)候加速度是向下的，而且很大。四、彈簧振子1、**彈簧振子的組成和運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)**-彈簧振子就是由一個(gè)彈簧和一個(gè)連著彈簧的物體（通常是個(gè)小球）組成的。當(dāng)你把小球拉離或者壓向平衡位置然后放開，小球就會(huì)在彈簧的彈力作用下做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。它的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)就是在平衡位置附近做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，而且回復(fù)力是由彈簧的彈力提供的。就像你玩那種彈簧玩具，一拉一松，它就會(huì)來(lái)回動(dòng)，這個(gè)來(lái)回動(dòng)的過(guò)程就是類似彈簧振子的運(yùn)動(dòng)。2、**彈簧振子的周期公式**-彈簧振子的周期T=2πsqrt(m/k)，這里的m是振子的質(zhì)量，k是彈簧的勁度系數(shù)。這個(gè)公式告訴我們，彈簧振子的周期和振子的質(zhì)量以及彈簧的勁度系數(shù)有關(guān)。比如說(shuō)，如果你有兩個(gè)彈簧振子，一個(gè)振子的質(zhì)量大，另一個(gè)彈簧的勁度系數(shù)大。質(zhì)量大的那個(gè)振子，它振動(dòng)起來(lái)會(huì)慢一些，周期會(huì)大一些；彈簧勁度系數(shù)大的那個(gè)振子，它振動(dòng)得會(huì)快一些，周期會(huì)小一些。就像一個(gè)大胖子在蹦床上跳和一個(gè)小瘦子在蹦床上跳，大胖子跳起來(lái)會(huì)比較慢，小瘦子跳起來(lái)會(huì)比較快。五、單擺1、**單擺的組成和近似條件**-單擺是由一個(gè)小球和一根不可伸長(zhǎng)的細(xì)線組成的。不過(guò)單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是有近似條件的哦。這個(gè)近似條件就是擺角θ要很小，通常要求θ小于5°。為什么要有這個(gè)近似條件呢？因?yàn)橹挥性谶@個(gè)條件下，單擺的回復(fù)力才可以近似看成是和它偏離平衡位置的位移成正比。就像你把一個(gè)單擺拉一個(gè)很小的角度然后放開，它就會(huì)來(lái)回?cái)[動(dòng)，這個(gè)擺動(dòng)就近似是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。2、**單擺的周期公式**-單擺的周期T=2πsqrt(l/g)，這里的l是擺長(zhǎng)（就是從懸掛點(diǎn)到小球球心的距離），g是重力加速度。比如說(shuō)，你在地球上不同的地方做單擺實(shí)驗(yàn)，因?yàn)楦鞯氐闹亓铀俣瓤赡軙?huì)有一點(diǎn)差別，所以單擺的周期也會(huì)有一點(diǎn)差別。在山頂上，重力加速度比海平面小一點(diǎn)，單擺的周期就會(huì)比在海平面的時(shí)候大一點(diǎn)。就像你在不同的秋千上蕩，秋千繩子越長(zhǎng)，蕩起來(lái)就越慢，單擺也是這個(gè)道理，擺長(zhǎng)越長(zhǎng)，周期越大。六、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量1、**動(dòng)能、勢(shì)能和總能量**-在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中，動(dòng)能和勢(shì)能是不斷相互轉(zhuǎn)化的。當(dāng)物體在平衡位置的時(shí)候，動(dòng)能最大，勢(shì)能最?。梢哉J(rèn)為是零）。比如說(shuō)彈簧振子，在平衡位置的時(shí)候，小球的速度最大，彈簧沒(méi)有形變，彈性勢(shì)能為零，這時(shí)候動(dòng)能就最大。當(dāng)物體在振幅位置的時(shí)候，動(dòng)能為零，勢(shì)能最大。就像把彈簧拉到最長(zhǎng)或者壓到最短的時(shí)候，彈簧的彈性勢(shì)能最大，小球的速度為零，動(dòng)能為零。總能量E=1/2kA2，這個(gè)總能量是守恒的，在整個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不會(huì)改變。就像你有一筆錢，你把它分成兩部分，一部分放在左邊口袋（動(dòng)能），一部分放在右邊口袋（勢(shì)能），但是錢的總數(shù)（總能量）是不變的。2、**能量與振幅的關(guān)系**-從總能量E=1/2kA2這個(gè)公式可以看出，總能量和振幅的平方成正比。也就是說(shuō)，振幅越大，總能量就越大。這就像你把秋千蕩得越高（振幅越大），你需要的能量就越多，因?yàn)槟阋朔亓ψ龈嗟墓?。七、受迫振?dòng)和共振1、**受迫振動(dòng)**-受迫振動(dòng)就是物體在周期性外力（驅(qū)動(dòng)力）作用下的振動(dòng)。比如說(shuō)，你在推一個(gè)秋千的時(shí)候，你每次推的力就是驅(qū)動(dòng)力，秋千在你的推動(dòng)下做的振動(dòng)就是受迫振動(dòng)。受迫振動(dòng)的頻率等于驅(qū)動(dòng)力的頻率，而不是物體自身的固有頻率。就像你按照一定的節(jié)奏去推秋千，秋千就會(huì)按照你推的節(jié)奏振動(dòng)，不管秋千自己原本的振動(dòng)頻率是多少。2、**共振**-當(dāng)驅(qū)動(dòng)力的頻率等于物體的固有頻率的時(shí)候，物體做受迫振動(dòng)的振幅會(huì)達(dá)到最大，這種現(xiàn)象就叫做共振。這是一種很神奇的現(xiàn)象。比如說(shuō)，軍隊(duì)過(guò)橋的時(shí)候，不能齊步走，因?yàn)槿绻R步走的頻率和橋的固有頻率相等，就可能會(huì)引起共振，橋可能就會(huì)劇烈振動(dòng)甚至垮塌。就像你在唱歌的時(shí)候，如果你的聲音頻率和一個(gè)玻璃杯的固有頻率相同，可能會(huì)把玻璃杯震碎，這就是共振的強(qiáng)大力量。八、典型問(wèn)題1、一個(gè)彈簧振子，彈簧的勁度系數(shù)k=100N/m，振子的質(zhì)量m=0.5kg，求它的周期。-根據(jù)彈簧振子的周期公式T=2πsqrt(m/k)，把m=0.5kg，k=100N/m代入公式，得到T=2πsqrt(0.5/100)=2π/10=0.2πs。2、一個(gè)單擺，擺長(zhǎng)l=1m，在地球上（g=9.8m/s2），求它的周期。-根據(jù)單擺的周期公式T=2πsqrt(l/g)，把l=1m，g=9.8m/s2代入公式，得到T=2πsqrt(1/9.8)≈2.01s。3、一個(gè)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體，其位移表達(dá)式為x=0.2sin(5t+π/3)，求它的振幅、角頻率、頻率和初相位。-振幅A=0.2m，角頻率ω=5rad/s，頻率f=ω/2π=5/2πHz，初相位φ=π/3。一、基礎(chǔ)題1、彈簧振子的質(zhì)量為m，彈簧的勁度系數(shù)為k，當(dāng)振子離開平衡位置的位移為x時(shí)，回復(fù)力F為多少？-答案：根據(jù)F=-kx，回復(fù)力F=-kx。2、單擺的擺長(zhǎng)為l，重力加速度為g，求單擺的周期T。-答案：根據(jù)公式T=2πsqrt(l/g)，單擺的周期T=2πsqrt(l/g)。二、提高題1、一個(gè)彈簧振子，彈簧勁度系數(shù)k=50N/m，振子質(zhì)量m=0.2kg，求它做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期和頻率。-答案：根據(jù)彈簧振子周期公式T=2πsqrt(m/k)，將k=50N/m，m=0.2kg代入可得T=2πsqrt(0.2/50)=2π/5s。頻率f=1/T=5/2πHz。2、一簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式為x=0.3cos(4t-π/4)，求t=0時(shí)物體的位移、速度和加速度。-答案：-當(dāng)t=0時(shí)，位移x=0.3cos(-π/4)=0.3×sqrt(2)/2≈0.21m。-速度v=-4×0.3sin(-π/4)=4×0.3×sqrt(2)/2≈0.85m/s。-加速度a=-42×0.3cos(-π/4)=-4.8×sqrt(2)/2≈-3.4m/s2。三、拓展題1、有兩個(gè)單擺，擺長(zhǎng)分別為l1和l2，且l1=4l2，在同一地點(diǎn)（g相同），求它們周期之比T1/T2。-答案：根據(jù)單擺周期公式T=2πsqrt(l/g)，T1=2πsqrt(l1/g)，T2=2π