《2.1角的概念推廣》講義

《2.1角的概念推廣》講義同學(xué)們好，咱們現(xiàn)在開始學(xué)習(xí)高中北師大版（2019）必修（第二冊(cè)）第一章三角函數(shù)里的§2任意角中的2.1角的概念推廣。這部分內(nèi)容可有趣啦，就像我們探索一個(gè)神秘的數(shù)學(xué)寶藏一樣。在咱們以前的學(xué)習(xí)中，對(duì)角的認(rèn)識(shí)可能比較簡(jiǎn)單。比如說，咱們看教室里的墻角，那就是一個(gè)直角，它的角度是90度。再看鐘表，分針走一圈是360度。這種我們熟悉的角，它們的范圍是從0度到360度。但是呢，在生活中啊，我們會(huì)遇到很多情況，只靠0度到360度這個(gè)范圍的角是不夠的。我給大家講個(gè)我自己的經(jīng)歷吧。有一次我去游樂場(chǎng)玩摩天輪，摩天輪轉(zhuǎn)起來的時(shí)候，我就在想，這個(gè)摩天輪的轉(zhuǎn)動(dòng)角度怎么來描述呢？如果按照我們以前學(xué)的角的概念，好像有點(diǎn)麻煩。比如說，摩天輪順時(shí)針轉(zhuǎn)了一圈又多一點(diǎn)，這個(gè)多出來的部分怎么表示呢？這就引出了我們要推廣角的概念。那怎么推廣呢？我們先把角放在一個(gè)平面直角坐標(biāo)系里。我們規(guī)定，角的頂點(diǎn)放在坐標(biāo)原點(diǎn)，角的始邊放在x軸的正半軸上。這樣的話，角的終邊就可以在平面內(nèi)隨便轉(zhuǎn)啦。如果這個(gè)終邊是逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的，這個(gè)角就是正角。就像時(shí)鐘的指針如果是逆時(shí)針轉(zhuǎn)，就和平時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)方向不一樣，這時(shí)候形成的角就是正角。比如說，終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了90度，這個(gè)角就是90度，這和我們之前學(xué)的直角的度數(shù)一樣，但是這里的90度是在新的角的概念下的正角。那要是終邊順時(shí)針旋轉(zhuǎn)呢？這個(gè)角就是負(fù)角。就好比你把時(shí)鐘的指針順時(shí)針撥，和正常走的方向相反。比如說，終邊順時(shí)針旋轉(zhuǎn)了90度，這個(gè)角就是90度。而且啊，這個(gè)終邊可以旋轉(zhuǎn)好多好多圈。要是終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了一圈又多30度，一圈是360度，那這個(gè)角就是360度加上30度，也就是390度。要是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)了一圈又多30度，這個(gè)角就是390度。那這樣的話，角的范圍就不再局限于0度到360度啦，而是可以是任意的實(shí)數(shù)。這就像打開了一扇新的大門，讓我們能描述更多的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象。我們?cè)賮砜匆恍?shí)際的例子來加深理解。比如說汽車的方向盤，它可以向左或者向右轉(zhuǎn)動(dòng)。如果向左轉(zhuǎn)動(dòng)，我們可以看成是正角方向的旋轉(zhuǎn)；如果向右轉(zhuǎn)動(dòng)，就可以看成是負(fù)角方向的旋轉(zhuǎn)。而且方向盤可以轉(zhuǎn)好多圈，這就和我們推廣后的角的概念很相似。再比如說，地球的自轉(zhuǎn)。地球是自西向東轉(zhuǎn)的，從北極點(diǎn)看是逆時(shí)針轉(zhuǎn)，這就可以看成是正角方向的旋轉(zhuǎn)。如果我們從另一個(gè)角度看，假設(shè)地球反向轉(zhuǎn)，那就是負(fù)角方向的旋轉(zhuǎn)。而且地球自轉(zhuǎn)一圈是一天，要是我們考慮多圈的情況，就可以用我們推廣后的角的概念來描述。接下來，我們要學(xué)習(xí)終邊相同的角。什么是終邊相同的角呢？就像在摩天輪上，轉(zhuǎn)了一圈或者幾圈之后，終邊又回到了原來的位置。比如說，30度角的終邊，和390度角（360度＋30度）的終邊是相同的。還有330度角（360度+30度）的終邊也和30度角的終邊相同。我們可以得出一個(gè)規(guī)律，所有與角α終邊相同的角（包括角α本身），都可以表示為β＝α＋k×360度（k是整數(shù)）。這個(gè)式子可重要啦，它就像一把萬能鑰匙，可以幫助我們找到很多終邊相同的角。比如說，我們找與60度角終邊相同的角。當(dāng)k＝1的時(shí)候，β＝60度+360度＝420度；當(dāng)k＝1的時(shí)候，β＝60度360度＝300度。那我們?cè)趺丛谧鴺?biāo)系里確定這些角呢？我們還是以30度角為例。30度角的終邊在第一象限。390度角呢，它是30度角轉(zhuǎn)了一圈之后的角，它的終邊也在第一象限，和30度角的終邊相同。330度角是30度角逆時(shí)針轉(zhuǎn)了一圈之后的角，它的終邊也在第一象限。這時(shí)候我們可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的事情，在0度到360度這個(gè)范圍內(nèi)，每個(gè)終邊相同的角都有一個(gè)代表角。比如說，對(duì)于所有終邊和30度角相同的角，30度就是在0度到360度范圍內(nèi)的代表角。我們?cè)賮砜匆粋€(gè)更復(fù)雜一點(diǎn)的例子。假設(shè)有一個(gè)角是120度，它的終邊在第三象限。那和它終邊相同的角呢？當(dāng)k＝1的時(shí)候，β＝120度+360度＝240度，240度角的終邊也在第三象限。當(dāng)k＝2的時(shí)候，β＝120度+2×360度＝600度，600度角的終邊轉(zhuǎn)了一圈多之后，還是和120度角的終邊相同。我們還可以通過終邊相同的角來解決一些實(shí)際問題。比如說，在機(jī)械工程里，有一些零件是做圓周運(yùn)動(dòng)的。我們要確定這些零件在不同時(shí)刻的位置，就可以用角的概念來描述。如果我們知道這個(gè)零件開始的位置對(duì)應(yīng)的角是α，經(jīng)過一段時(shí)間后，它轉(zhuǎn)了k圈，那它現(xiàn)在的位置對(duì)應(yīng)的角就是α＋k×360度。再比如說，在天文觀測(cè)中，星星的位置也可以用角來描述。地球在公轉(zhuǎn)和自轉(zhuǎn)的過程中，我們觀察星星的角度是不斷變化的。如果我們把某一時(shí)刻觀察星星的角度設(shè)為α，隨著時(shí)間的推移，地球轉(zhuǎn)動(dòng)了k圈，那再次觀察這個(gè)星星的角度就是α＋k×360度。在學(xué)習(xí)角的概念推廣的時(shí)候，有幾個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)大家要注意。重點(diǎn)呢，就是要理解正角、負(fù)角和零角的概念，還有終邊相同的角的表示方法。這就像蓋房子的基石，只有把這些概念弄清楚了，我們才能在這個(gè)基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)更多關(guān)于三角函數(shù)的知識(shí)。難點(diǎn)呢，就是對(duì)于終邊相同的角的理解和運(yùn)用。尤其是在做一些比較復(fù)雜的題目時(shí)，比如給你一個(gè)很大或者很小的角，讓你找出在0度到360度范圍內(nèi)和它終邊相同的角，或者讓你根據(jù)終邊相同的角的關(guān)系來求解一些參數(shù)，這時(shí)候就需要大家好好思考，多做一些練習(xí)。我再給大家講個(gè)故事來幫助大家理解終邊相同的角。我有個(gè)朋友是做鐘表維修的。他在調(diào)整鐘表指針的時(shí)候，就會(huì)用到角的概念。他把鐘表指針的初始位置看成是一個(gè)角的始邊，然后根據(jù)要調(diào)整的時(shí)間來確定指針轉(zhuǎn)動(dòng)的角度。如果指針多轉(zhuǎn)了一圈或者少轉(zhuǎn)了一圈，就相當(dāng)于形成了終邊相同的角。他就需要根據(jù)這個(gè)原理來準(zhǔn)確地調(diào)整指針的位置，讓鐘表走得準(zhǔn)確無誤。還有一點(diǎn)要注意的是，在我們用β＝α＋k×360度（k是整數(shù)）這個(gè)式子的時(shí)候，要清楚k的取值范圍和意義。k可以是正數(shù)，表示終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了k圈；k也可以是負(fù)數(shù)，表示終邊順時(shí)針旋轉(zhuǎn)了k圈；k＝0的時(shí)候，表示就是角α本身。我們?cè)僮鰩讉€(gè)練習(xí)題來鞏固一下。比如說，寫出與45度角終邊相同的角的集合。按照我們學(xué)的知識(shí)，這個(gè)集合可以表示為{β|β＝45度+k×360度，k∈Z}。再比如說，在0度到360度范圍內(nèi)，找出與750度角終邊相同的角。我們可以把750度寫成720度+30度，也就是2×360度+30度，所以在0度到360度范圍內(nèi)，和750度角終邊相同的角就是30度。通過這些練習(xí)，大家是不是對(duì)角