《16.3 二次根式的運(yùn)算》學(xué)習(xí)任務(wù)單

《16.3二次根式的運(yùn)算》學(xué)習(xí)任務(wù)單班級：姓名：小組：層次代號(hào)：教師評價(jià)：【課程標(biāo)準(zhǔn)與考試要求】二次根式的運(yùn)算是滬教版八年級數(shù)學(xué)第一學(xué)期的重要內(nèi)容。在課程標(biāo)準(zhǔn)中，要求學(xué)生理解二次根式的加、減、乘、除運(yùn)算法則，能夠熟練運(yùn)用這些法則進(jìn)行二次根式的運(yùn)算。在考試中，會(huì)考查二次根式運(yùn)算的準(zhǔn)確性和靈活性，包括簡單的二次根式化簡、四則運(yùn)算以及在實(shí)際問題中的應(yīng)用等?！緦W(xué)習(xí)目標(biāo)】1、知識(shí)與技能-能準(zhǔn)確說出二次根式加、減、乘、除的運(yùn)算法則。-熟練運(yùn)用二次根式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，包括化簡二次根式、進(jìn)行四則運(yùn)算等，準(zhǔn)確率達(dá)到80%以上。-能夠?qū)⒍胃降倪\(yùn)算應(yīng)用到簡單的實(shí)際問題解決中，如計(jì)算幾何圖形的邊長、面積等。2、過程與方法-通過具體的例子分析，總結(jié)出二次根式的運(yùn)算法則，培養(yǎng)觀察、分析和歸納能力。-在解決二次根式運(yùn)算問題的過程中，學(xué)會(huì)選擇合適的運(yùn)算法則，提高運(yùn)算的合理性和效率，就像在生活中選擇合適的工具做事情一樣。3、情感、態(tài)度與價(jià)值觀-體會(huì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的嚴(yán)謹(jǐn)性，培養(yǎng)認(rèn)真細(xì)致的學(xué)習(xí)態(tài)度。-感受到二次根式運(yùn)算在解決實(shí)際問題中的作用，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣?！緦W(xué)習(xí)重點(diǎn)】1、二次根式加、減、乘、除的運(yùn)算法則。2、運(yùn)用運(yùn)算法則進(jìn)行二次根式的四則運(yùn)算?！緦W(xué)習(xí)難點(diǎn)】1、二次根式運(yùn)算中的分母有理化。2、如何根據(jù)題目特點(diǎn)選擇合適的運(yùn)算法則進(jìn)行簡便運(yùn)算?！局R(shí)鏈接】1、什么是二次根式-我們之前學(xué)過，形如\(\sqrt{a}\)（a\(\geq\)0）的式子叫做二次根式。例如，\(\sqrt{4}\)，\(\sqrt{9}\)等都是二次根式。二次根式是從平方根的概念引申出來的，就像從一個(gè)大樹的主干上長出的樹枝一樣。2、二次根式的性質(zhì)-二次根式有一些重要的性質(zhì)，比如\((\sqrt{a})^{2}=a\)（a\(\geq\)0），這個(gè)性質(zhì)就像是二次根式的一個(gè)小秘密武器，在很多運(yùn)算中都會(huì)用到。還有\(zhòng)(\sqrt{a^{2}}=\verta\vert\)，這個(gè)性質(zhì)有點(diǎn)復(fù)雜，當(dāng)a\(\geq\)0時(shí)，\(\sqrt{a^{2}}=a\)；當(dāng)a<0時(shí)，\(\sqrt{a^{2}}=-a\)?！咀灾鲗W(xué)習(xí)案】一、二次根式的乘法1、回憶乘法運(yùn)算-同學(xué)們，咱們先想想普通數(shù)字的乘法。比如說，2乘以3等于6，這很簡單吧。那如果是\(\sqrt{2}\)乘以\(\sqrt{3}\)呢？咱們可以從一個(gè)小例子來看。假如你有一個(gè)正方形，邊長是\(\sqrt{2}\)厘米，另一個(gè)正方形邊長是\(\sqrt{3}\)厘米，那這兩個(gè)正方形的面積相乘是多少呢？-根據(jù)正方形面積公式，面積等于邊長乘以邊長。那第一個(gè)正方形面積是\((\sqrt{2})^{2}=2\)平方厘米，第二個(gè)正方形面積是\((\sqrt{3})^{2}=3\)平方厘米。那兩個(gè)正方形面積相乘就是2乘以3等于6平方厘米。-但是從邊長的角度看，兩個(gè)正方形邊長相乘就是\(\sqrt{2}\times\sqrt{3}\)，那這個(gè)結(jié)果應(yīng)該等于什么呢？我們發(fā)現(xiàn)，按照之前學(xué)的二次根式性質(zhì)，\(\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{2\times3}=\sqrt{6}\)。2、總結(jié)二次根式乘法法則-通過這個(gè)例子，我們可以總結(jié)出二次根式的乘法法則：二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變。也就是\(\sqrt{a}\cdot\sqrt=\sqrt{ab}\)（a\(\geq\)0,b\(\geq\)0）。3、做一些簡單練習(xí)-計(jì)算：-\(\sqrt{3}\times\sqrt{5}\)-\(\sqrt{6}\times\sqrt{10}\)二、二次根式的除法1、類比乘法思考除法-咱們已經(jīng)學(xué)會(huì)了二次根式的乘法，那除法呢？還是從實(shí)際例子出發(fā)。比如說，你有6個(gè)蘋果，要平均分給2個(gè)人，那每個(gè)人得到3個(gè)蘋果。這就是普通的除法。那如果是\(\sqrt{6}\)除以\(\sqrt{2}\)呢？-我們可以這樣想，根據(jù)之前學(xué)的分?jǐn)?shù)和除法的關(guān)系，\(\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}\)就相當(dāng)于求一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)乘以\(\sqrt{2}\)等于\(\sqrt{6}\)。那這個(gè)數(shù)是多少呢？-我們發(fā)現(xiàn)，按照二次根式的性質(zhì)，\(\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{6}{2}}=\sqrt{3}\)。2、總結(jié)二次根式除法法則-所以二次根式的除法法則是：二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變。即\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt}=\sqrt{\frac{a}}\)（a\(\geq\)0,b>0）。3、練習(xí)除法運(yùn)算-計(jì)算：-\(\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}\)-\(\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{3}}\)三、二次根式的加減法1、同類二次根式-同學(xué)們，咱們先了解一個(gè)概念叫同類二次根式。就像咱們生活中的同類東西一樣，比如蘋果和蘋果是同類的，香蕉和香蕉是同類的。在二次根式里，幾個(gè)二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式就叫做同類二次根式。比如說，\(\sqrt{2}\)和3\(\sqrt{2}\)就是同類二次根式，因?yàn)樗鼈兓喓蟊婚_方數(shù)都是2。2、二次根式加減法法則-那二次根式加減法怎么算呢？其實(shí)很簡單，就像把同類的東西放在一起計(jì)算一樣。二次根式相加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡二次根式，然后把同類二次根式合并。例如，計(jì)算\(\sqrt{8}+\sqrt{18}\)，首先把它們化成最簡二次根式，\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)，\(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)，然后合并同類二次根式，得到2\(\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}\)。3、做一些加減法練習(xí)-計(jì)算：-\(\sqrt{12}-\sqrt{3}\)-\(\sqrt{27}+\sqrt{48}\)【自學(xué)反思】我的收獲：-在二次根式乘法中，我學(xué)會(huì)了把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變的法則，還通過實(shí)際例子理解了這個(gè)法則的來源。-對于二次根式除法，我知道了相除時(shí)把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變的規(guī)律。-在二次根式加減法里，我明白了同類二次根式的概念，以及如何先化簡再合并同類二次根式進(jìn)行計(jì)算。我的疑問：-在二次根式除法中，分母不能為0，那在實(shí)際運(yùn)算中，怎樣快速判斷分母是否符合要求呢？-對于一些比較復(fù)雜的二次根式運(yùn)算，怎么才能快速準(zhǔn)確地化簡并選擇合適的運(yùn)算法則呢？附【自主學(xué)習(xí)檢測】1、計(jì)算：-\(\sqrt{5}\times\sqrt{7}\)-\(\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}\)-\(\sqrt{18}-\sqrt{8}\)【互動(dòng)探究案】一、復(fù)雜二次根式的運(yùn)算1、含有括號(hào)的運(yùn)算-咱們來看這樣一個(gè)式子：(\(\sqrt{3}+2\))(\(\sqrt{3}-2\))。這就像兩個(gè)小盒子相乘，我們可以用乘法分配律來計(jì)算。-首先把\(\sqrt{3}\)分別乘以括號(hào)里的兩項(xiàng)，再把2分別乘以括號(hào)里的兩項(xiàng)，得到：-\(\sqrt{3}\times\sqrt{3}-\sqrt{3}\times2+2\times\sqrt{3}-2\times2\)-然后根據(jù)二次根式的乘法法則計(jì)算，得到：-3-2\(\sqrt{3}+2\sqrt{3}-4\)-最后合并同類項(xiàng)，得到-1。2、小組討論-同學(xué)們分成小組討論一下，這種含有括號(hào)的二次根式運(yùn)算有什么技巧呢？在計(jì)算過程中要注意什么呢？每個(gè)小組可以找一個(gè)小代表來分享一下討論結(jié)果哦。二、分母有理化1、什么是分母有理化-大家看這個(gè)式子：\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)。這個(gè)式子的分母是二次根式，看起來不太舒服，我們想辦法把分母變成有理數(shù)，這個(gè)過程就叫做分母有理化。2、分母有理化的方法-對于\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)，我們可以給分子分母同時(shí)乘以\(\sqrt{2}\)，這樣分母就變成了\(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\)，式子就變成了\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)。3、練習(xí)分母有理化-把下列式子進(jìn)行分母有理化：-\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)-\(\frac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}\)【小結(jié)】1、二次根式的乘法法則是\(\sqrt{a}\cdot\sqrt=\sqrt{ab}\)（a\(\geq\)0,b\(\geq\)0），除法法則是\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt}=\sqrt{\frac{a}}\)（a\(\geq\)0,b>0），加減法要先化簡為最簡二次根式再合并同類二次根式。2、在進(jìn)行復(fù)雜的二次根式運(yùn)算時(shí)，要注意運(yùn)算順序，合理運(yùn)用運(yùn)算法則，特別是在分母有理化和含有括號(hào)的運(yùn)算中要仔細(xì)認(rèn)真?！眷柟逃?xùn)練案】1、計(jì)算：-(\(\sqrt{5}+\sqrt{3}\))^{2}-\(\frac{\sqrt{27}+\sqrt{18}}{\sqrt{3}}\)-\(\frac{1}{\sqrt{2}-1}\)2、已知一個(gè)直角三角形的兩條直角邊分別為\(\sqrt{3}\)厘米和\(\sqrt{6}\)厘米，求這個(gè)直角三角形的面積。（提示：直角三角形面積等于兩直角邊乘積的一半）【學(xué)習(xí)反思】我的收獲：-在互動(dòng)探究中，我學(xué)會(huì)了更復(fù)雜的二次根式運(yùn)算，比如含有括號(hào)的運(yùn)算和分母有理化的方法。-通過鞏固訓(xùn)練，我對二次根式的運(yùn)算更加熟練了，也知道了如何在實(shí)際問題中運(yùn)用二次根式運(yùn)算。我的疑問：-在一些復(fù)雜的分母有理化中，比如分母是兩個(gè)二次根式相加或相減的形式，有沒有更簡便的方法來確保計(jì)算準(zhǔn)確呢？-在解決實(shí)際問題時(shí)，如果數(shù)據(jù)更復(fù)雜，怎樣才能更好地建立二次根式運(yùn)算的模型呢？【自主學(xué)習(xí)檢測】1、-\(\sqrt{5}\times\sqrt{7}=\sqrt{35}\)-\(\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{12}{3}}=2\)-\(\sqrt{18}-\sqrt{8}=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}\)【鞏固訓(xùn)練案】1、-(\(\sqrt{5}+\sqrt{3}\))^{2}=(\(\sqrt{5}\))^{2}+2\(\sqrt{5}\times\sqrt{3}+(\sqrt{3}\))^{2}=5+2\(\sqrt{15}+3=8+2\(\sqrt{15}\)-\(\frac{\sqrt{27}+\sqrt{18}}{\sqrt{3}}=\fr