人教A版選擇性必修第一冊：第一章 空間向量與立體幾何 單元檢測卷（學(xué)生版+解析版）

第一章空間向量與立體幾何單元檢測卷（難）

一、單選題.

1.（2。21?全國高二課時(shí)練習(xí)）若向量而垂直于向量2和人向量3=笳+〃B（九〃￡區(qū)）且/1,〃工0,貝1」（）

A.m//nB.mLn

而不平行于入前也不垂直于3以上三種情況都有可能

C.D.A

2.（2020?江蘇省姜堰第二中學(xué)高二月考）如圖，在正方體488-AgGA中，點(diǎn)”，N分別

A

是面對角線A3.與4僅的中點(diǎn)，若次=￡DC=b>西=入則麗=（）

以?

B.g（a+坂-c）1

.2

3.（2021?江蘇高二期末）在棱長為1的正方體ABC。-A8GA中，M、N分別是人蜴、人兒的中點(diǎn)，則

直線A”與。N所成角。的余弦值為（

A1R2「后、2娓

5555

4.（2021?湖北荊州?高二期末）如圖，在三棱柱ABC-A8IG中，8G與瓦。相交于點(diǎn)

O,=^A.AC=ZBAC=60,AA=3,AB=AC=2,則線段40的長度為（）

回V295后

A.DR.---Cr.-U.------

2222

5.（2020?浙江溫州市?溫州中學(xué)高三月考）如圖四邊形A3C￡>,AB=BD=DA=2,8。=CO=&.現(xiàn)將△ABO

沿8。折起，當(dāng)二面角A-即-。處于々空過程中，直線AB與CO所成角的余弦值取值范圍

OO

是（）

5應(yīng)萬夜5x/2

B.'T'~

叵。邛

VD.

6.（2021?北京高一期末）在棱長為1的正方體458-44￡口中，M,N分別為44，CC,

的中點(diǎn)，O為底面48co的中心，點(diǎn)尸在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足NP_LMO,則下列說

法正確的是（）

A.點(diǎn)?可以是棱的中點(diǎn)B.線段NP的最大值為立

2

C.點(diǎn)P的軌跡是平行四邊形D.點(diǎn)P軌跡的長度為1+&

7.（2021?河北饒陽中學(xué)高三其他模擬）如圖，正方體A3CO-4qGR的楂長為6,

點(diǎn)尸是棱AA的中點(diǎn)，AC與8。的交點(diǎn)為。，點(diǎn)M在棱8C上，且BM=2MC,

動(dòng)點(diǎn)T（不同于點(diǎn)M）在四邊形ABCO內(nèi)部及其邊界上運(yùn)動(dòng)，且7Ml.OQ,則直

線4戶與7M所成角的余弦值為（）

亞RV106n45

A.-------D.-------C.------U.--

4545

8.（2022?全國高三專題練習(xí)）在棱長為1的正方體4BCO-A與GA中，尸是線段BG上的點(diǎn)，過的平面

。與直線PD垂直，當(dāng)尸在線段8G上運(yùn)動(dòng)時(shí)，平面。截正方體ABC。-A8CA所得的截面面積的最小值

是（）

A.1B.-C.近D.&

42

二、多選題.

9.（2020?遼寧高二期中）給出下列命題，其中為假命題的是（）?

A.已知方為平面。的一個(gè)法向量，比為直線/的一個(gè)方向向量，若萬J■所，則"3

B.已知日為平面。的一個(gè)法向量，比為直線/的一個(gè)方向向量，若（爪所”,，則/與。所成角為1

C.若三個(gè)向量6,己兩兩共面，則向量Q,B,乙共面

D.已知空間的三個(gè)向量入5,c,則對于空間的任意一個(gè)向量戶，總存在實(shí)數(shù)x，y，z使得防+Z5

10.（2021?邵陽市第二中學(xué)高三月考）如圖，菱形A8CD邊長為2,Zfi4D=60°,E為邊A8的中點(diǎn).將“IDE

沿OE折起，使A到且平面AOE_L平面8COE,連接A8,AC.

則下列結(jié)論中正確的是（）?

A.BD1ACB.四面體A'CDE的外接球表面積為87r

C.叱與AO所成角的余弦值為?D.直線A8與平面AC。所成角的正弦值為遠(yuǎn)

4

11.（2021?重慶南開中學(xué)高三其他模擬）設(shè)所有空間向量的集合為U=｛（N，W，X3）W，W，&eR｝，若非空集

合滿足：①V無peM,x+y^M,@VaeR,xeA/,axeM,則稱M為a的一個(gè)向量次空間，

已知A,。均為向量次空間，則下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.=0

B.AIJ5為向量次空間

C.若人土8,則8=*

D.若8工｛0｝,則依wA,總于￡8且尹。，使得了j=O

12.（2021?遼寧）已知直四棱柱4BCO-AB|GR,底面ABCD為矩形，AB=2,BC=6,側(cè)棱長為3,

設(shè)P為側(cè)面所在平面內(nèi)且與。不重合的任意一點(diǎn)，則直線8。與直線P。所成角的余弦值可能為（）

A.--B.；C.—D.-

2228

三、填空題.

13.（2020.全國高二課時(shí)練習(xí)）已知向=13,W=19,B+聞=24,則歸一傳.

14.（2021?浙江）如圖，在棱長為4的正方體ABCO-AgG。中，M是棱4A上的動(dòng)點(diǎn)，/V是棱8c的中

點(diǎn).當(dāng)平面與底面48co所成的銳二面角最小時(shí)，AM=.

15.（2021?安徽高二期末（理））已知正四面體A-88的外接球半徑為3,MN為其外接球的?條直徑，

尸為正四面體A-BCO表面上任意一點(diǎn)，則麗.兩的最小值為.

16.（2021?全國高三其他模擬）在棱長為3的正方體48C。-A4GA中，BE=2EC，點(diǎn)P在正方體的表

面上移動(dòng)，且滿足87_LAE,當(dāng)尸在CG上時(shí)，k"=；滿足條件的所有點(diǎn)尸構(gòu)成的平面圖形的周長

為.

四、解答題.

17.（2021?全國高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)。是正AA3C平面外的一點(diǎn)，若。4=OB=OC=A8=1,E,F

分別是48、OC的中點(diǎn)，試求OE?與所所成角的余弦值.

18.（2020?廣東茂名市?高二期末）已知在四棱錐A-BCDE中，

AE=AB=ED=CD=—BE=-BC,DE//BC,CD±DE,平面ABE_L平面BCDE.

22

（1）求證:BE_LCE；

（2）求二面角8—AC—。的余弦值.

D

Bk

C

19.(2021?江蘇省涕水高級中學(xué)高二月考)如圖，四棱錐P-ABC。中，底面A3CD為矩形，PA_L平面A8CO,

E是尸。的中點(diǎn)，過作平面8C所交平面?A0于所.

(1)證明：F是弘的中點(diǎn)；

=也,求三棱錐E-48的體積.

(2)設(shè)二面角力一AE-C為60°,AP=\tAD

BC

20.(2021?江蘇省新海高級中學(xué)高二月考)如圖1,在等邊△A8C中，點(diǎn)。、E分別為邊AAAC上的動(dòng)點(diǎn)

DF

且滿足DEH8C,記==2.將△4)E沿￡>￡翻折到△MDE的位置并使得平面"力七_(dá)1_平面DECB，連接MB,

BC

MC得到圖2,點(diǎn)N為MC的中點(diǎn).

(1)當(dāng)EN〃平面M8O時(shí)，求義的值;

(2)試探究：隨著4值的變化，二面角5-MD-E的大小是否改變？如果改變，請求出實(shí)數(shù)2與二面角平

面角的正弦值的函數(shù)關(guān)系：如果不改變，請求出二面角4-例。-￡■的正弦值大小.

21.（2021?河南高二期末（理））如圖，四棱錐中，底面4BCO為正方形，△R48為等邊三角

形，平面底面ABC0,E為AO的中點(diǎn).

（1）求證：CE工PD；

（2）在線段8。（不包括端點(diǎn)）上是否存在點(diǎn)尸，使直線赫與平面尸所所成角的正弦值為手，若存在,

確定點(diǎn)尸的位置；若不存在，請說明理由.

22.（2021?重慶巴蜀中學(xué)）如圖，在三棱臺ABC-agG中，底面AAHC是邊長為2的正三角形，側(cè)面ACGA

為等腰梯形，且AG=A4,=1,。為AG的中點(diǎn).

（1）證明：AC±BD-

（2）記二面角A。-8的大小為夕，8Gpy時(shí)，求直線人凡與平面所成角的正弦值的取值

范圍.

Ci

第一章空間向量與立體幾何單元檢測卷（難）

一、單選題

1.（2021,全國高二課時(shí)練習(xí)）若向量而垂直于向量￡和后，向量3=/1￡+〃5（/1,〃€尺）且

4,〃工0,則（）

A.m//nB.tnLn

c.記不平行于G，石也不垂直于GD.以上三種情況都有可

能

【答案】B

【詳解】

向量zn垂直于向量a和另，則加?a=0,加?=0，

又向量〃=2a+〃坂，

所以W??〃=機(jī)?（4。+jub）=Xm-a+?力=0,

所以機(jī)_L〃.

故選：B.

2.（2020?江蘇省姜堰第二中學(xué)高二月考）如圖，在正方體ABCO-AMGA中，點(diǎn)M,

分別是面對角線AB與6Q的中點(diǎn)，若麗=￡,~DC=by西=入則麗=（）

A.#+=）B.如+C.茅一工）D.1（c-a）

【答案】D

【詳解】

因?yàn)辄c(diǎn)M，N分別是面對角線4B與8a的中點(diǎn)，萬5=￡,DC=b，DD^=c,

所以MN=M*+BB；+BN

=第十西麗

=3⑷+砌+西+g阿+珂

=知+?。?;（—力）

故選:D.

3.（2021?江蘇高二期末）在棱長為1的正方體中，加、N分別是AA、AA

的中點(diǎn)，則直線AM與ON所成憑。的余弦值為（）

1

2756

A.5-

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB.AD.AA所在直線分別為X、y、z軸建立空間宜角坐標(biāo)系,

加（觸），麗=（。,0，8S＜海而，儡蠲二祗

2X2

2

因此，直線與ON所成角。的余弦值為:，

故選：B.

4.（2021?湖北荊州?高二期末）如圖，在三棱柱4BC-A8C中，與8。相交于點(diǎn)

0,/AA8=/AAC=/8AC=60，AA=3,48=AC=2,則線段AO的長度為（）

回回5后

A.-----D.------C.-U.-----

2222

【答案】A

【詳解】

依題意得|胡卜3,|同=,4=2,福?麗=福.配=3,ABAC=2

所以

=AO=-(AA+AC+AB)2=-(AA^+AC2+AB2+2X\AC+2AA^AB+2ACA§

故補(bǔ)孚

故選：A.

5.（2020?浙江溫州市?溫州中學(xué)高三月考）如圖四邊形A8CO,AB=BD=DA=2,

8C=CO=亞.現(xiàn)將△A3。沿80折起，當(dāng)二面角A—BO—C處于三字過程中，直線4B

與CO所成角的余弦值取值范圍是（）

5>/2y/2~\f>/25&

A.-----B.—

8888

邛用,陷B

【答案】D

【詳解】

在四邊形A8co中，連接AC交8。「點(diǎn)0,如下圖所示：

AB=BD=DA=2,BC=CD=6，又因?yàn)?C=AC,:.^ABC^ADC,

所以，ZBAC=ZDAC,故AC_LB7),即AO_L8￡>,CO±BD,

且AC==G，CO=4BC2-BOr=b

翻折后，對應(yīng)地，BD1AO,BDtCO,\AOr\CO=O,所以，8D_L平面ACO,

45不

二面角4一班)一。的平面角為NA。。，設(shè)NAOC=6,則,

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，oc、0。所在直線分別為X、y軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

A

則點(diǎn)A(68se,0,6sine)、B(0-1,0),C(l,0,0),D(0J,0),

所以，AB=(-73cos6>,-1,-V3sin6>),CD=(-l,l,0),

8s〈麗麗>=雪名=叵瀉5>/2&

畫網(wǎng)2夜

■sO

所以，|cos<AB,CD>|e0,士

8

因此，直線AB與所成角的余弦值取值范圍是卜竽］

故選：D.

6.（2021?北京高一期末）在棱長為1的正方體ABC。-中，M,N分別為A4,

C。的中點(diǎn)，。為底面ABCD的中心，點(diǎn)P在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足NP工MO,

則下列說法正確的是（）

B.線段N尸的最大值為史

A.點(diǎn)尸可以是棱的中點(diǎn)

2

C.點(diǎn)P的軌跡是平行四邊形D.點(diǎn)P軌跡的長度為1+五

【答案】B

【詳解】

在正方體A8CO-ABCA中，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以D4、DC、。僅方向?yàn)閄軸、y

軸、Z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系,

B

因?yàn)樵撜襟w的棱長為1,",N分別為A4,CG的中點(diǎn),

則￡＞（0,0,0）,A/h,o,H,

所以西=6,-；,；），設(shè)p（x,yz）,則而=卜,y-

因?yàn)镹PLMO,所以而?麗=0

所以**-1）+如一￡|=0,即2x-2y+2z=T,

令z=0,當(dāng)x=g時(shí)，y=l；當(dāng)/=0時(shí)，y=g；

取??；,1,0）,尸（o,g,o）,

連接M,FN,NE,則麗=（—；,—g,0）,麗=（一/0,￡）,

貝I」喬?麗=_U+（_g）x（_g）+Oxg=O,

E/VOA?=--xi+Ox|—|+-!-x-!-=0,

22\2）22

所以所_LOM,EN1OM,

又EFcEN=E,且Mu平面EEN,ENu平亞EFN,

所以O(shè)M_L平面EFN,

所以，為使NPLOM,必有點(diǎn)Pe平面EFN,又點(diǎn)P在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，

所以點(diǎn)尸的軌跡為正三角形EFN,故C錯(cuò)誤；

因此點(diǎn)尸不可能是棱8瓦的中點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；

線段稗的最大值為N尸-也，故B正確：

2

點(diǎn)產(chǎn)筑跡的長度為立+走+也=逑，故D錯(cuò)誤：

2222

故選：B

7.（2021?河北饒陽中學(xué)高三其他模擬）如圖，正方體A8CO-ABCQ的棱長為6,點(diǎn)尸是

棱AA的中點(diǎn)，AC與5￡＞的交點(diǎn)為。，點(diǎn)M在棱BC上，且BM=2MC,動(dòng)點(diǎn)7（不同

于點(diǎn)在四邊形A3CD內(nèi)部及其邊界.上運(yùn)動(dòng)，且7M_LO/，則直線用尸與

7M所成角的余弦值為（）

A.?B.?C.@D.正

4545

【答案】B

法一：易知BOJLAC.

因?yàn)锳尸J?平面4BCD,所以A尸！80，所以801平面4F0,

又OFu平面AF。，所以5。_1_。尸，

在棱0C上取一點(diǎn)M且DN=2NC,連接A/M,則NM〃8。，所以NWJ_OF,所以動(dòng)點(diǎn)了

的軌跡為線段MN（不包括M）.

取棱CG的中點(diǎn)從連接DH,易知DH/FB',則即異面直線8廠與7M所成的角.連

接BH,因?yàn)槎?3不，BD=6yf2>BH=3亞，

所以8，/m用=空衛(wèi)吐空=回

2DHxBD5

法二：以人為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線4），A8，M分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系，

易知4(0,6,6),尸(0,0,3),M(4,6,0),53,3,0),設(shè)T(x,y,O),則扁=(4-*,6-y,0)，

4%=(0,-6,-3)，蘇=(-3,-3,3)

由題意知前.辦=一3(4-x)_3(6_y)=0，得丫=1。一工，

所以笳=(47,…,0)，則H上回H際X募望+(1)2'

又了不與點(diǎn)M重合，所以工-4=0,所以cos,/7,俞),

所以直線B7與TM所成角的余弦值為學(xué)，

故選：B.

8.（2022?全國高三專題練習(xí)）在棱長為1的正方體ABCO-ABCR中，尸是線段上的

點(diǎn)，過A的平面。與直線PD垂直，當(dāng)尸在線段BG上運(yùn)動(dòng)時(shí)，平面a截正方體

ABCD-ABCQ所得的截面面積的最小值是（）

A.1B.-C.—D.y/2

42

【答案】C

討論，確定截面a與各棱的交點(diǎn)，求出截面面積關(guān)于，的表達(dá)式，由此可解得截面面積的最

小值.

【詳解】

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD.AA所在直線分別為X、丁、z軸建立如下圖所示的空間直

角坐標(biāo)系，

則A(0,0,0)、A(0,0,1)、3(1,0,0)、4(1,0,1)、C(l,l,0)、G(1,1,1)、D(o,l,o)、D,(0,1,1),

設(shè)點(diǎn)其中OSTI.

①當(dāng)，=0時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)5重合，55=(-1,1,0),AC=(1,1,O),鬲=(0,0,1),

所以，BDAC=0,而?麗=0,則3O_LAC,1AAt,

?.?ACc/U1=A,平面"1clC,此時(shí)平面。即為平面例GO,

截面面積為S=A4)?AC=>/2；

②當(dāng)r=l時(shí)，同①可知截面面積為s=&：

③當(dāng)0<zvl時(shí)，而=AS=(1,1,-1),

-.DP^C=l+r-l-/=O,：.A.C1PD,則ACua,

設(shè)平面a交棱DR于點(diǎn)E(OJz),CE=(-l,0,z),

DPCE=-\+tz=Of可得z」＞l,不合乎題意.

t

設(shè)平面。交棱A4于點(diǎn)”(x,0,0),CM=(x-l,-l,O),

DPCA7=X-1-(/-1)=0,可得X=/,合乎題意，即M(1,0,0),

同理可知，平面。交棱GA于點(diǎn)N(1TJ1),

麗二(1T,1,O)=祝，且AN與MC不重合，故四邊形AMCN為平行四邊形,

■■.KrAC,A2-t

AC=(U,T),AN=(1H。)，8SW二祠同石j?+2.

代T+l)

則sinZCAjN=0-cos2Z.C\N

，3任-2f+2)

所以，截面面積為

S=2s小“=|桐?|綱sin/CAN=J2rT+l)=}+：邛〈技

綜上所述，截面面積的最小值為邁.

2

故選：C.

二、多選題

9.(2020?遼寧高二期中)給出下列命題，其中為假命題的是()

A.已知”為平面。的一個(gè)法向量，比為直線/的一個(gè)方向向量，若無JL比，則///a

B.已知日為平面。的一個(gè)法向量，所為直線/的一個(gè)方向向量，若低昉=4，則/與a所

成角為?

O

C.若三個(gè)向量b，［兩兩共面，則向量萬，b?［共面

D.已知空間的三個(gè)向量不，5,3,則對于空間的任意一個(gè)向量廣，總存在實(shí)數(shù)x，y，z使得

p=xa+yb+zc

【答案】ACD

【詳解】

對于A：由題意可得或/ua,故A錯(cuò)誤；

對于B：

由圖象可得，ZCAD=y,則ND48=《,

所以乙4。8=[,根據(jù)線面角的定義可得：/與。所成角為I，故B正確

對于C：若三個(gè)向量2,b?-兩兩共面，但三個(gè)向量不一定共面，故C錯(cuò)誤：

對于D：當(dāng)空間的三個(gè)向量a,5,e不共面時(shí)，對于空間的任意一個(gè)向量P,總存在實(shí)數(shù)

%y，z使得力=儲(chǔ)+y5+zd,故D錯(cuò)誤.

故選：ACD

10.（2021?邵陽市第二中學(xué)高三月考）如圖，菱形A8CD邊長為2,/叢。=60。，E為邊A8

的中點(diǎn).將“1D石沿0E折起，使A到4,且平面ADE_L平面8CQE,連接48,A!C.

則下列結(jié)論中正確的是（）

A.BD1AVB.四面體4CDE的外接球表面積為配

C.8C與AO所成角的余弦值為。D.直線48與平面ACD所成角的正弦值為

76

4

【答案】BCD

【詳解】

由題知，為正三角形，DELAB,將“IDE沿DE折起，使A到H,且平面平

面BCDE,則EB,ED,ET兩兩垂直，以￡點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

z

對于A,8(1,0,0)，0(0,75,0),4(0,0,1),C(2,G,0),fib=(-1,75,0)?4七=(2,石,一1)，

貝I」訪.A；C=-2+3=]wO,故8。與A，C不垂直，故A錯(cuò)誤；

對于B,取C￡的中點(diǎn)F,聯(lián)結(jié)OF,又DE上DC,

則FE=FD=FC=LcE=Lj3+4=4，

222

過F作「O_L平面COE,四面體40的外接球球心。在FO上，作OW_LAE,

設(shè)。b=x,OD=OA'=R,在R&0FD,中，

W7?2=(^y-)2+X2=(^y-)2+(1-X)2,解得X=；,R=&,

故四面體ACDE的外接球表面枳為4劃?2=8萬,故B正確；

對于C，5C=(1,75,0)*A%=(0,石,-1),設(shè)8C與4。所成角為。,

BC^D

則cos6=r----=——=-t故c正確；

BC-A'D2X24

對于D,A78=(l,0,-l)，丘=(2,石,-1)，A\C)=(0,>/3,-l)?

設(shè)平面48的法向量;;=(x,y,z)

n-A'C=2x+>/3y-z=0

取2=G,

n-A'D=Gy-z=0

貝/；=(o,i,V5)，

T->

-，，A*R、-

則vUo&",r\oT2x&一丁，

nA'B\

故直線A'5與平面4'CO所成角的正弦值為亞，D正確;

4

故選：BCD

11.（2021?重慶南開中學(xué)高三其他模擬）設(shè)所有空間向量的集合為

〃3=｛（5,生玉）即工2,&￡q，若非空集合Mq*滿足：①V元ywM,x+yeM,②

V.wR,XGM,或eM,則稱M為N的一個(gè)向量次空間，已知A,8均為向量次空間，

則下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.AcB/0

B.AUB為向量次空間

C.若A=8,則8=*

D.若8/｛0｝,則依eA,總學(xué)€8且了工。，使得元4=0

【答案】BCD

【詳解】

若M為"的?個(gè)向量次空間，則由②X/awR.xeM,而wM可知，OeAf?

再結(jié)合①可得向量次空間包含元素（0,0,0）

所以向量次空間所包含的元素對應(yīng)的點(diǎn)為穿過空間坐標(biāo)系原點(diǎn)的一條直線，

或者經(jīng)過空間坐標(biāo)系原點(diǎn)的一個(gè)平面，或者是整個(gè)空間.

對于A,顯然當(dāng)A,8均為向量次空間時(shí)，｛（0,0,0）｝qAcB,所以A正確；

對于B,當(dāng)A,“分別為空間中經(jīng)過原點(diǎn)的兩條不同的直線時(shí)，取元eA,且無了不為

（0,0,0）,

則元不符合①，所以B錯(cuò)誤：.

對于C,例如A對應(yīng)一條過原點(diǎn)的直線/,8對應(yīng)一個(gè)過直線/的平面時(shí)，滿足Aub,

但BwR"C錯(cuò)誤；

對于D,當(dāng)A,8分別對應(yīng)空間中兩條過了原點(diǎn)，但是不相互垂直的直線時(shí)，不成立，D錯(cuò)

誤.

故選：BCD

12.（2021?遼寧）已知直四棱柱ABS-AMGA,底面ABCO為矩形，AB=2,BC=6,

側(cè)棱長為3,設(shè)尸為側(cè)面明?？谒谄矫鎯?nèi)且與。不重合的任意一點(diǎn)，則直線與直線

尸。所成角的余弦值可能為（）

A.--B.JC.—D.：

2228

【答案】BC

【詳解】

以。為原點(diǎn)，D4、DC、。2所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則

B(>/3,2,0),.(0,0,3),則西=卜瘋-2,3),設(shè)點(diǎn)P(x,O,z),則麗=(x,O,z).

設(shè)直線BA與直線PD所成的角為e,則

8E網(wǎng)I/叫—.—叫Al=扁\BD\畫DP\=易|-\/3x+3？z|

令x=rcosa,z=rsina,其中r>0,

則8s6」dsa+35a|』sina一代。sa|=母/_去"

4r42\6)2

所以，COS0W0,^~.顯然，gce'

故選：BC

三、填空題

13.（2020?全國高二課時(shí)練習(xí)）已知同=13,忖=19,歸+可=24,則**

【答案】22

【詳解】

因?yàn)閗+Z?|=a-\-2ab+b'=#+￡/+1『=132+2"+9=24、

所以2：?1=46,

2r2rrr

H=a-2ab+b2=132—46+9=484,

故卜-*22.

故答案為：22

14.（2021?浙江）如圖，在棱長為4的正方體4BCQ-AB|GR中，M是棱上的動(dòng)點(diǎn),

N是樓BC的中點(diǎn).當(dāng)平面與底面A8CO所成的銳二面角最小時(shí)，.

設(shè)M(4,0,a)(0<a<4),N(2,4,0),.(0,0,4)

MN=(-2,4,-a),麗=(2,4,-4)

設(shè)平面的一個(gè)法向量為7=(x,y,z)

(4-d)z

n-MN=0J-2x+4)，-az=04

n-I^N=0=>\2x+4y-4z=0

(a+4)z

令z=8,x=8-20y=a+4,則〃=(8-勿,a+4,8)

平面ABC。的法向量的一個(gè)法向量為砥=(0,0,1)

設(shè)平面RMN與底面A8CO所成的銳二面角為。

________88

所以cos6=

mJ(8-2不+(a+4)2j5/-24a+144

24128

當(dāng)。=正=《時(shí)'cos。有最大，則8有最小，所以

Q

故答案為：］

15.(2021?安徽高二期末(理))已知正四面體A-BCD的外接球半徑為3,MV為其外

接球的一條直徑，P為正四面體A-8CO表面上任意一點(diǎn)，則麗??麗的最小值為

【答案】-8

【詳解】

設(shè)正四面體外接球球心為O,

正四面體A-BCD的外接球半徑為3,

設(shè)正四面體A-3C。內(nèi)切球半徑為，一個(gè)面的面積為S,高為〃，則%m=4xgsr=gs/z,

所以〃=4r,顯然r+3=〃=4r,所以r=l,即歸。而“=1.

^-PN=(PO+OM)(Pd+ON)=PO+OMON=PO-9A-9=-^

故答案為：-8.

16.(2021?全國高三其他模擬)在棱長為3的正方體"CD-ABCQI中，瓦=2反，點(diǎn)P

在正方體的表面上移動(dòng)，且滿足4P_L〃E,當(dāng)尸在CG上時(shí)，|"|=;滿足條件的所

有點(diǎn)尸構(gòu)成的平面圖形的周長為.

【答案】V225a+2M

【詳解】

如圖，取CG、8上的點(diǎn)分別為N、M，連接AM、MN、B、N、ABit使得ABJ/MN,

「.A、B、、N、M四點(diǎn)共面，且四邊形4qNM為梯形.

?.?正方體ABC?！狝MGA的邊長為3,

所以，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，D4所在直線為“軸，OC所在直線為》軸，OR所在直線為z軸

建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則4(3,0,0)、4(333)、.(0,0,3)、E(l,3,0).

設(shè)點(diǎn)M(0,犯0)、N(0,3,〃)，設(shè)點(diǎn)E_L4”,且扉=(1,3,-3),麗=(-3,小0),

印?麗？=-3+3m=0,解得機(jī)=1,

???麗=(0,3,3),^EA^*=9-9=0,：.D.E±ABit

由AMP)A同=A,則?；騙1平面48~知.

???點(diǎn)尸在正方體表面上移動(dòng)，且AP_L〃E,則點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)軌跡為梯形44NM.

麗二(0,2,〃)，席?麗=6-3〃=0,解得〃=2,即點(diǎn)N(0,3,2).

所以，當(dāng)P在CG上運(yùn)動(dòng)時(shí)，MH=|訓(xùn)=J(3-0『+(0-3)2+(0-2)2=后,

又Q|NM|=2日,|A印=3人，|AM=[4M=M，

所以，梯形為等腰梯形，

且梯形ABNM的周長卜周+|朋時(shí)+2kM=3應(yīng)+2應(yīng)+2而=5立+2而.

故答案為：夜；5夜+2，石.

四、解答題

17.(2021?全國高二課時(shí)練習(xí))已知點(diǎn)。是正AABC平面外的一點(diǎn)，若

OA=OB=OC=AB=\,瓦戶分別是AB、OC的中點(diǎn)，試求OE與所成角的余弦

值.

n

【答案】|2

【詳解】

i^OA=a,OB=b,OC=c,!lIiJa-S=S-c=c-a=-i,|a|=|^|=|c|=l,

OE=^a+b）fBF=^c-b,

麗.麗=；8+與｛；）一@=；（＜72+；尻￡一￡石一萬2）

111——Ir--r0

=——ac+—bc-ab-b

2（22）

2

所以8s〈配叫=黃贏=逅叁=3，

2X2

因?yàn)楫惷嬷本€成角的范圍是(0段，所以異面直線?！昱c8F所成角的余弦值大于等于0,

故異面直線OE與BF所成角的余弦值為:.

18.(2020?廣東茂名市?高二期末)已知在四棱錐人_BCDE中，

AE=AB=ED=CD=-BE=-BC,DE//BC.CD1DE，平面ABE，平面BCDE.

22

D

(1)求證:BE_LCE；

(2)求二面角8—AC-O的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2)-畫.

11

【詳解】

(1)證明：CD±DE^EDC=90MCE2=ED2+CD2

ED=CD=-BE=-BC

22

CE2+BE2=ED2+CD2+BE2

2

=^cj+(lScp^Bcp^

故BE工CE.

又?「面ABEJ_平面BCDE,且面ABE(］面BCDE=BE

CE_L面A8E

又8EU面ABE,:.BE±CE.

(2)取8E的中點(diǎn)。，連49,則AO_LBE,從而40JL面8CDE.

取。為原點(diǎn)，為z軸，過。且平行于CD的直線為x軸，過。平行于8c的直線為y軸,

建立如圖空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)4B=2,則8(1,-1,0),C(1,3,0),D(-1,3,0),4(0,0,

CD=(-2,0,0),C4=(-1,-3,⑶，通=-揚(yáng),BC=(0,4,0)

設(shè)平面ACD的法向量為%=（%,如z.）,

瘀:磬五。，令馬二日得還傳，閭

演CA=0[-X1-3y（+y2z,=0k3）

設(shè)平面ABC的法向量為質(zhì)=（9,必/2）

n,AB=QX,-J2-yf2z2=0

則——a即《

n,BC=04y2=0

令z?=后，得利=（2,0,夜）

一一如?/0+0+2二底

/.COS<%%>=―!~i―T

’1國1?同~ir

2X>/F+0+2

。+1+

又由圖知二面角B-AC-D為鈍角

二面角B-AC-D的余弦值為一亙

11

19.（2021?江蘇省灤水高級中學(xué)高二月考）如圖，四棱錐P-中，底面A38為矩形,

E4_L平面48CO,E是尸。的中點(diǎn)，過BC作平面8C￡尸交平面PAO于四.

（1）證明：尸是RA的中點(diǎn);

（2）設(shè)二面角力一AE-C為60。，AP=\,AD=6,求三棱錐七一ACD的體積.

【答案】（1）證明見解析；（2）在

8

【詳解】

解：（1）證明?.?四棱錐P-ABCD中，底面488為矩形，

BC//AD,

?.?8C仁平面24￡）,ADu平面上位），

5C〃平面PA0,

???過BC作平面BCEF交平面PAO于EF.

」.EFu平面E4O,且EF//BC,

:.EFMAD,

?.?E是的中點(diǎn)，.?.尸是P4的中點(diǎn)；

（2）以A為原點(diǎn),AB為x軸，AO為N軸，”為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)A8=f,r>0,則40,0,0).C(f,石，0),。(0,6，0),E((),與,1),

AE=(0,與,；),AC=(/,60),AD=(0,日0),

平面ADE的法向量及=（1,0,0）,

設(shè)平面ACE的法向量而=（x,y,z）,

in-AC=tx+>/3y=0

則__JJ1，取y=i,得所=(—-?i?-x/3)

in-AE=——y+—z=01

22

???二面角。-AE-C為60。,

3。=得篇=六4由”＞。，解得遍，［54

54cO=-x^x-=—

JCD224

E到平面ACD的距離d=gPA=g,

*'-三棱錐E-ACD的體積VE_ACD=；xS”xd=gX乎x1=^.

20.（2021?江蘇省新海高級中學(xué)高二月考）如圖1,在等邊△ABC中，點(diǎn)。、E分別為邊

DF

AB、AC上的動(dòng)點(diǎn)且滿足。石〃AC,記力:二丸.將△AOE沿OE翻折到△的位置并使得

BC

平面財(cái)?！阓L平面OECB,連接MB,MC得到圖2,點(diǎn)N為MC的中點(diǎn).

（1）當(dāng)EN〃平面M6O時(shí)，求；I的值；

（2）試探究：隨著義值的變化，二面角8-石的大小是否改變？如果改變，請求出實(shí)

數(shù)4與二面角平面角的正弦值的函數(shù)關(guān)系：如果不改變，請求出二面角8-MD-E的正弦值

大小.

【答案】（1）j（2）苧

【詳解】

（1）取M8的中點(diǎn)為P,連接DP,PN,

因?yàn)镸N=CMMP=BP,所以A/PII8C,又DEII8C,所以NPIIDE即A/,E,D,P四點(diǎn)共

面，又ENU面BMD,E/Vc?NEDP,平面A/EOPc平面M8O=DP,所以E/VIIPD,即NEDP為

平行四邊形，所以A/PIIDE,且NP=DE,即。七即2號

(2)解：取DE的中點(diǎn)。，由平面MD￡_L平面DEC8,且MO_LOE,所以MO_L平面DEC8,

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)8c=2,則皿0,0,向)，0(入，0,0),B(l,x^(l-2),0)

所以而=(40,_&),而=0_九6(1_/1),0)

一MDm=^x->/32z=0

設(shè)平面BMD的法向量為m=(x,y,z)則｛__/\r/\

、)[BDw=(l-2)x+V3(l-A)j=0

令即而=(G,T1)又平面EMD的法向量7=(0,1,0)

所以COS(正,0=忑=~即隨著入值的變化，二面角8-MO-E的