《等比數(shù)列（第1課時）》教學設計

1/22.4.1等比數(shù)列第一課時（馬浚）一、教學目標1.核心素養(yǎng)通過學習等比數(shù)列提高從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)和提出、分析和解決問題的能力,鍛煉數(shù)學抽象和邏輯推理能力.2.學習目標（1）由特殊到一般,理解并會判斷等比數(shù)列.（2）掌握等比數(shù)列通項公式及證明.（3）應用等比數(shù)列知識解決相應問題.3.學習重點（1）等比數(shù)列定義及判斷.（2）通項公式的推導.4.學習難點會用等比數(shù)列解決相應問題.二、教學設計（一）課前設計1．預習任務任務1閱讀教材,思考:什么是等比數(shù)列?任務2觀察等比數(shù)列,總結等比數(shù)列的規(guī)律,前后兩項的比值可以是任意實數(shù)嗎?任務3結合之前的探索,能寫出其通項公式嗎?等比數(shù)列何時遞增,遞減,或者變成等差數(shù)列?2．預習自測1．數(shù)列4,16,64,256…是什么數(shù)列?第五項是多少?答案:等比數(shù)列；1024.【知識點:等比數(shù)列】【解析】等比數(shù)列的通項公式是:2．在等比數(shù)列中,則＝________．【知識點:等比數(shù)列通項公式】【解析】等比數(shù)列的通項公式是:,由題意求出n和q3．已知x,y,z∈R,若－1,x,y,z,－3成等比數(shù)列,則xyz的值為（）A．－3B．±3C．－3eq\r(3)D．±3eq\r(3)答案:C【解析】∵-1,x,y,z,-3成等比數(shù)列,∴=xz=（-1）×（-3）=3,且＞0,即y＜0,∴y=-,xz=3,則xyz=-3．答案:充分不必要條件.【知識點:等比數(shù)列通項公式,充要條件的判斷；數(shù)學思想:推理論證能力】【解析】充分不必要條件.由q>1,得,又得即>反之不然.取=,可得>,但=（二）課堂設計1．知識回顧（1）等差數(shù)列概念.（2）等差數(shù)列通項公式及推導.2．問題探究問題探究一借助等差數(shù)列的定義,類比得到等比數(shù)列定義●活動一回顧舊知,夯實基礎.之前我們學習了等差數(shù)列,我們是怎樣定義并且判斷等差數(shù)列?如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,公差通常用字母d表示．數(shù)學語言表達式:(n∈N*,d為常數(shù)),或(為常數(shù))．●活動二探索規(guī)律,發(fā)現(xiàn)新知.類比于等差數(shù)列,觀察以下幾個數(shù)列2,4,8,16,32…；1,1,1,1,1…；1,-1,1,-1,1,-1…；1,0,1,0,1,0,…；3,9,27,81,243,…；它們都有著怎樣的規(guī)律●活動二新舊整合,得出結論.結合活動一與活動二,能給出等比數(shù)列定義嗎?如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的比等于同一個非0常數(shù),那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列,這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,公比通常用字母q(q≠0)表示．數(shù)學語言表達式:(q為非0常數(shù)),或(n∈N*,q為非0常數(shù))．問題探究二類比等差數(shù)列通項公式及性質,結合等比數(shù)列定義得到等比數(shù)列通項公式和性質,并證明重點、難點知識★▲●活動一溫故知新,迎難而上.回憶等差數(shù)列,寫出通項公式.通項公式:．推廣:(m,n∈N*)．●活動二類比舊知得出新知.在等比數(shù)列中,是否只需確定某些量就可以寫出通項公式?只需確定首項與公比即可得到通項公式.推廣:,公比為非0常數(shù).●活動三思維謹慎,扎實前進.能否給出通項公式證明?借助定義,eq\f(an,an－1)＝q(n≥2,q為非0常數(shù)),列出n-1個式子,累乘后得到通項公式.●活動四夯實基礎,勇于探索.等差數(shù)列中,公差大于0時,數(shù)列遞增；反之遞減.等比數(shù)列也有相似結論嗎?請歸納總結.首相大于0,公比大于1時遞增;公比大于0小于1時遞減；首項小于0時,公比大于0小于1時遞增,公比大于1時遞減；首項不等于0,公比等于1時,既是等差又是等比；公比小于0時,為擺動數(shù)列.問題探究三等比數(shù)列相關問題及相應解決思路重點、難點知識★▲●活動一初步運用基礎知識的掌握例1.在等比數(shù)列中,,則n＝________．【知識點:等比數(shù)列通項公式】答案:6例2.在等比數(shù)列中,<0,若對正整數(shù)n都有,那么公比q的取值范圍是?【知識點:等比數(shù)列通項公式】答案:由得●活動二能力提升通項公式性質的運用例1.數(shù)列是等差數(shù)列,若構成公比為q的等比數(shù)列,則q＝________.【知識點:等比數(shù)列性質】答案:1.例2.在正項等比數(shù)列中,,,則＝（）A.eq\f(5,6)B.eq\f(6,5)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,2)【知識點:等比數(shù)列性質】答案:D3．課堂總結【知識梳理】（1）等比數(shù)列定義:如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的比等于同一個非0常數(shù),那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列,這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,公比通常用字母q(q≠0)表示．數(shù)學語言表達式:(n≥2,q為非0常數(shù)),或(n∈N*,q為非0常數(shù))．（2）等比數(shù)列通項公式:；通項公式的推廣:.【重難點突破】（1）等比數(shù)列通項公式運用時為了減少計算量可以嘗試使用其推廣式.（2）公比這是必然的,不存在公比為0的等比數(shù)列,還可以理解為等比數(shù)列中,不存在數(shù)值為0的項,各項不為0的常數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列；至于等比數(shù)列的增減,則可以從首項與公比的正負及范圍,通過列不等式進行確定.（3）等比數(shù)列的定義中有“從第二項起”“同一個常數(shù)”的描述應與等差數(shù)列中的描述理解一致.（4）等比數(shù)列的通項公式可以用迭代法累乘法推導,其中累乘法與累加法相似,可做一做比較,便于掌握.4．隨堂檢測一、選擇題1.在等比數(shù)列中,,則公比為（）A．2B．3C．4D．8答案:A.解析：【知識點:等比數(shù)列的通項公式】二、解答題1.求下列各等比數(shù)列的通項公式:（1）,.（2）,且.（3）,且.答案:（1）.（2）.（3）.解析：【知識點:等比數(shù)列通項公式】2.求以下等比數(shù)列的第4項與第5項:（1）5,－15,45,…….（2）1.2,2.4,4.8,…….（3）.答案:（1）,.（2）,.（3）=,=.解析：【知識點:等比關系的確定；數(shù)學思想:推理論證能力】3.有四個數(shù),其中前三個數(shù)成等差數(shù)列,后三個數(shù)成等比數(shù)列,并且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16,第二個數(shù)與第三個數(shù)的和是12,求這四個數(shù).答案:這四個數(shù)為0,4,8,16或15,9,3,1.解析：【知識點:等比關系的確定；數(shù)學思想:推理論證能力】設四個數(shù)依次為x,y,12-y,16-x．依題意,有x+(12?y)=2y①②由①式得x=3y-12③將③式代入②式得y（16-3y+12）=（12-y）2,整理得y2-13y+36=0,解得,代入③式得.從而得所求四個數(shù)為0,4,8,16或15,9,3,1.5.(1)已知是等比數(shù)列,且,求.(2),三數(shù)成等差數(shù)列,成等比數(shù)列,求.答案:(1)＋.(2).解析：【知識點:等差數(shù)列的性質,等比數(shù)列】(1)∵是等比數(shù)列,∴.又,∴.(2)∵a,1,c成等差數(shù)列,∴a+c=2.又成等比數(shù)列,∴,有ac=1或ac=-1,當ac=1時,由a+c=2,得a=1,c=1,與a≠c矛盾.∴ac=-1,∴（三）課后作業(yè) 基礎型自主突破一、填空題1.已知等比數(shù)列的公比為正數(shù),且則=.答案:.解析：【知識點:等比關系的確定；數(shù)學思想:推理論證能力】設等比數(shù)列的公比為q,∵,且q>0,,所以,所以q=,又∵,∴2.設數(shù)列是首項為1,公比為-3的等比數(shù)列=______．答案:121.解析：【知識點:等比數(shù)列】∵數(shù)列是首項為1,公比為-3的等比數(shù)列,∴,

∴∴則．3.等比數(shù)列的公比為______．答案:16.解析：【知識點:等比數(shù)列的通項公式】等比數(shù)列的通項公式是：4.若1、a、b、c、9成等比數(shù)列,則b=______．答案:3.解析：【知識點:等比數(shù)列】利用等比數(shù)列通用公式求出相應的值,5.公比為2的等比數(shù)列的各項都是正數(shù),且,則=______．答案:5.解析：【知識點:等比數(shù)列通項公式,對數(shù)的運算性質】∵公比為2的等比數(shù)列的各項都是正數(shù),且,∴=4,∴?26=4,解得=,∴,∴.

故答案為：5．能力型師生共研一、選擇題1.在數(shù)列中,則________.A.B.C.D.答案:B解析:【知識點:等比關系的確定;數(shù)學思想:推理論證能力】二、填空題1.設為公比的等比數(shù)列,若和是方程的兩根,則_________.答案:-18解析:【知識點:等比數(shù)列,根與系數(shù)的關系】根據(jù)為公比q＞1的等比數(shù)列,和是方程4x2+8x+3=0的兩根,可得=,=,從而可確定公比q=3,進而可得+=-18．三、證明題1.已知:是與的等比中項,且同號,求證:也成等比數(shù)列答案:見解析解析:【知識點:等比數(shù)列】由題設:得:∴也成等比數(shù)列.探究型多維突破一、選擇題1.已知三角形的三邊構成等比數(shù)列,它們的公比為,則的取值范圍是（）A．B．C．D．答案:D.解析:【知識點:等比關系的確定,解三角形;數(shù)學思想:推理論證能力】設三邊:a、qa、、q＞0則由三邊關系:兩短邊和大于第三邊a+b＞c,即

（1）當q≥1時a+qa＞,等價于解二次不等式:＜0,由于方程=0兩根為:和,故得解:0＜q＜且q≥1,即1≤q＜

（2）當q＜1時,a為最大邊,qa+＞a即得＞0,解之得q＞或q＜且q＞0即q＞綜合（1）（2）,得:q∈故選D．二、證明題1.設均為非零實數(shù),,求證:成等比數(shù)列且公比為答案:見解析解析:【知識點:等比關系的確定;數(shù)學思想:推理論證能力,運算求解能力,創(chuàng)新意識,應用意識】證明:證一:關于的二次方程有實根,∴,∴則必有:,即,∴成等比數(shù)列設公比為,則,代入∵,即,即證二:∵∴∴,∴,且∵非零,∴自助餐一、選擇題等比數(shù)列中,和是方程的兩根,則=（）答案:C.解析:【知識點:等比數(shù)列,根與系數(shù)的關系】等比數(shù)列中,和是方程的兩根,,可得,和都是負數(shù),可得=-．故選:C．2.已知等比數(shù)列的公比為正數(shù),且則=（）

A.0.5B.2答案:C.解析:【知識點:等比數(shù)列】設公比為q,由已知得,即q2=2,又因為等比數(shù)列的公比為正數(shù),所以q=,故a1=,故選C.等比數(shù)列的首項為1,項數(shù)是偶數(shù),所有的奇數(shù)項之和為85,所有的偶數(shù)項之和為170,則=（）答案:C.解析:【知識點:等比關系的確定；數(shù)學思想:推理論證能力】設等比數(shù)列的項數(shù)為2n,∵所有的奇數(shù)項之和為85,所有的偶數(shù)項之和為170,∴S奇:S偶=1:2．∵S奇=,S偶==qS奇由題意可得,q=2,∴．故選:C．在等比數(shù)列中,,則n=（）

答案:B.解析:【知識點:等比數(shù)列的通項公式】,求得n=8等比數(shù)列中,,則數(shù)列的前10項和等于（）答案:B.解析:【知識點:等比數(shù)列的通項公式,對數(shù)的運算性質】由題意得,等比數(shù)列中,,所以,由等比數(shù)列的性質得,,所以數(shù)列的前10項和,故選:B．6.數(shù)列的首項1,數(shù)列為等比數(shù)列且,若,則（）A.20B.512C.1013D.1024答案.D.解析:【知識點:等比數(shù)列的通項公式】由可知,所以,又數(shù)列為等比數(shù)列,所以,于是有,即,又,所以,故答案選D.二、填空題1．已知數(shù)列為等比數(shù)列,且=4,=64,則=____________．答案:16.解析:【知識點:等比數(shù)列的通項公式】,由已知條件求出通項公式,所以.2．數(shù)列中,（c是常數(shù),n=1,2,3,…）,且成公比不為1的等比數(shù)列．則c的值是______．答案:2.解析:【知識點:等比數(shù)列】∵,∴又∵成公比不為1的等比數(shù)列,∴,即c2-2c=0解得c=2,或c=0,故答案為23.若公比不為1的等比數(shù)列滿足,等差數(shù)列滿足,則的值為______．答案:26.解析:【知識點:等比數(shù)列通項公式,等差數(shù)列前n項和】∵公比不為1的等比數(shù)列{an}滿足,∴,解得,由等差數(shù)列的性質可得,故答案為:26三、解答題1.在等比數(shù)列中,,求和q．答案:見解析解析:【知識點:等比數(shù)列通項公式】2.設是一個公差為d（d≠0）的等差數(shù)列,它的前10項和且成等比數(shù)列,求數(shù)列的通項公式．

答案:=2n.解析:【知識點:等差數(shù)列前n項和,等比數(shù)列】∵成等比數(shù)列,∴又∵{an}是等差數(shù)列,∴,∴,即,化簡可得,∵,