2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章不等式1不等關(guān)系學(xué)案含解析北師大版必修5

PAGE第三章不等式§1不等關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在的不等關(guān)系(數(shù)學(xué)抽象)2.會(huì)用不等式(組)正確表示出不等關(guān)系(邏輯推理)3.理解并駕馭不等式的常用基本性質(zhì)(數(shù)學(xué)抽象)【必備學(xué)問·自主學(xué)習(xí)】導(dǎo)思1.如何比較實(shí)數(shù)大小?2.不等式性質(zhì)有哪些?1.不等關(guān)系在數(shù)學(xué)意義上,不等關(guān)系可以體現(xiàn)為以下幾種:(1)常量與常量之間的不等關(guān)系.(2)變量與常量之間的不等關(guān)系.(3)函數(shù)與函數(shù)之間的不等關(guān)系.(4)一組變量之間的不等關(guān)系.【思索】表示不等關(guān)系的數(shù)學(xué)不等號(hào)有哪些?提示:表示不等關(guān)系的數(shù)學(xué)不等號(hào)有>,<,≥,≤,≠.2.實(shí)數(shù)比較大小法則隨意兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b都能比較大小:(1)假如a-b>0,那么a>b.(2)假如a-b<0,那么a<b.(3)假如a-b=0,那么a=b.【思索】如何比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小?提示:比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小,可以轉(zhuǎn)化為比較它們的差與0的大小,也可以比較它們的商與1的大小.3.不等式的八特性質(zhì)①對(duì)稱性:a>b?b<a;②傳遞性:a>b,b>c?a>c;③同加性:a>b?a+c>b+c;④同乘性:a>b,c>0?ac>bc;a>b,c<0?ac<bc;⑤累加性:對(duì)于同向不等式QUOTE?a+c>b+d;⑥累乘性:對(duì)于同向不等式QUOTE?ac>bd;⑦不等式的乘方:a>b>0?an>QUOTE(n∈N,且n≥2);⑧不等式的開方:a>b>0?QUOTE>QUOTE(n∈N,且n≥2).【基礎(chǔ)小測(cè)】1.辨析記憶(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”).(1)對(duì)于實(shí)數(shù)a與b,a2+b2≥2ab. ()(2)對(duì)于實(shí)數(shù)a與b,若a>b,則a2>b2. ()(3)對(duì)于實(shí)數(shù)a與b,若a>b,則a3>b3. ()(4)若a>b,則ac>bc. ()(5)a2肯定大于a. ()提示:(1)√.對(duì)于實(shí)數(shù)a與b,(a-b)2≥0,所以a2+b2≥2ab.(2)×.對(duì)于實(shí)數(shù)a與b,若a>b>0,則a2>b2;若a>0>b,則a2>b2不肯定成立.(3)√.對(duì)于實(shí)數(shù)a與b,若a>b>0,則a3>b3;若a>0>b,則a3>0>b3;若0>a>b,則0<-a<-b,(-a)3<(-b)3,即-a3<-b3,所以a3>b3.綜上所述,對(duì)于實(shí)數(shù)a與b,若a>b,則a3>b3.(4)×.當(dāng)c=0時(shí),ac=bc;當(dāng)c<0時(shí),ac<bc.(5)×.當(dāng)0≤a≤1時(shí),a2≤a.2.(2024·上海高一檢測(cè))若a<0<b,則下列不等式恒成立的是()A.QUOTE>QUOTE B.-a>b C.a2>b2 D.a3<b3【解析】選D.因?yàn)閍<0<b,所以可設(shè)a=-1,b=1,從而可知A,B,C錯(cuò)誤;對(duì)于D,依據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)即可推斷正確.3.(教材二次開發(fā):例題改編)比較大小(用“>”“<”填空):(1)a+6a-1;(2)a2-a【解析】(1)由(a+6)-(a-1)=7>0,知a+6>a-1.答案:>(2)由(a2-a)-(a-2)=a2-2a+2=(a-1)2+1>0,知a2-a>a-2.答案:>【關(guān)鍵實(shí)力·合作學(xué)習(xí)】類型一用不等式表示不等關(guān)系(數(shù)學(xué)抽象)【題組訓(xùn)練】1.今日的天氣預(yù)報(bào)說:明天早晨最低溫度為9℃,白天的最高溫度為16℃,那么明天白天的溫度t℃滿意的不等關(guān)系為.

2.如圖,在一個(gè)面積為350m2的矩形地基上建立一個(gè)倉庫,四周是綠地.倉庫的長(zhǎng)L大于寬W的4倍,上述不等關(guān)系可用W3.某種雜志原以每本2.5元的價(jià)格銷售,可以售出8萬本.據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,若單價(jià)每提高0.1元銷售量就可能相應(yīng)削減2000本.若把提價(jià)后雜志的售價(jià)設(shè)為x元,用不等式表示銷售的總收入不低于20萬元為.

【解析】1.白天的溫度介于最低溫度與最高溫度之間,故9≤t≤16.答案:9≤t≤162.倉庫的長(zhǎng)L=QUOTE-10,所以QUOTE-10>4W.答案:QUOTE-10>4W3.售價(jià)為x元時(shí)的銷量為8-QUOTE×0.2,故銷售總收入不低于20萬元表示為QUOTE·x≥20.答案:QUOTE·x≥20【解題策略】(1)常見的文字語言與數(shù)學(xué)符號(hào)之間的轉(zhuǎn)換文字語言數(shù)學(xué)符號(hào)文字語言數(shù)學(xué)符號(hào)大于>至多≤小于<至少≥大于等于≥不少于≥小于等于≤不多于≤(2)列不等式表示不等關(guān)系的步驟①分析題意,找出題中的各種量;②找尋各種量之間的相等或不等關(guān)系;③用代數(shù)式表示各種量;④用適當(dāng)?shù)牟坏忍?hào)將表示不等關(guān)系的量連接起來.【補(bǔ)償訓(xùn)練】某種植物相宜生長(zhǎng)的地方為18℃-20℃的山區(qū),已知山區(qū)海拔每上升100m,氣溫下降0.55℃.現(xiàn)測(cè)得山腳下的平均氣溫為22℃,該植物種在山區(qū)多高處為宜【解析】設(shè)該植物相宜的種植高度為xm,由題意得18≤22-QUOTE≤20.類型二不等式性質(zhì)的應(yīng)用(邏輯推理)【典例】已知a>b>0,c<d<0,e<0,求證:QUOTE>QUOTE.四步內(nèi)容理解題意分式證明可借助不等式性質(zhì).思路探求依據(jù)已知條件得出a-c與b-d的大小,從而得到QUOTE與QUOTE的大小,再利用e<0得出結(jié)論.書寫表達(dá)因?yàn)閏<d<0,所以-c>-d>0,又因?yàn)閍>b>0,所以a+(-c)>b+(-d)>0,即a-c>b-d>0,所以0<QUOTE<QUOTE.又因?yàn)閑<0,所以QUOTE>QUOTE.題后反思在利用不等式的性質(zhì),解決與不等式有關(guān)的問題時(shí),常常利用核心素養(yǎng)中的邏輯推理,通過對(duì)其條件與結(jié)論的分析,利用不等式的性質(zhì),探究論證的思路,選擇合理的論證方法予以證明.【解題策略】利用不等式的性質(zhì)證明不等式(1)不等式的性質(zhì)是證明不等式的基礎(chǔ),對(duì)隨意兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b,有a-b>0?a>b;a-b=0?a=b;a-b<0?a<b.這是比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的依據(jù),也是證明不等式的基礎(chǔ).(2)利用不等式的性質(zhì)證明不等式,關(guān)鍵要對(duì)性質(zhì)正確理解和運(yùn)用,要弄清晰每一條性質(zhì)的條件和結(jié)論,留意條件的加強(qiáng)和減弱、條件和結(jié)論之間的相互聯(lián)系.說明:運(yùn)用不等式的性質(zhì)推斷不等式是否成立時(shí)要留意不等式成立的條件,不要弱化條件,更不要想當(dāng)然地運(yùn)用一些不存在的性質(zhì).【跟蹤訓(xùn)練】1.(2024·濟(jì)南高一檢測(cè))已知a,b,c,d均為實(shí)數(shù),則下列命題正確的是 ()A.若a>b,c>d,則ac>bdB.若ab>0,bc-ad>0,則QUOTE-QUOTE<0C.若a>b,c>d,則a-d>b-cD.若a>b,c>d>0,則QUOTE>QUOTE【解析】選C.若a>0>b,0>c>d,則ac<bd,故A錯(cuò);若ab>0,bc-ad>0,則QUOTE>0,化簡(jiǎn)得QUOTE-QUOTE>0,故B錯(cuò);若c>d,則-d>-c,又a>b,則a-d>b-c,故C對(duì);若a=-1,b=-2,c=2,d=1,則QUOTE=-1,QUOTE=-1,QUOTE=QUOTE=-1,故D錯(cuò).2.已知1<a<4,2<b<8.試求2a+3b與a-b的取值范圍.【解析】因?yàn)?<a<4,2<b<8,所以2<2a<8,6<3b<24,所以8<2a+3b<32.因?yàn)?<b<8,所以-8<-b<-2.又因?yàn)?<a<4,所以1+(-8)<a+(-b)<4+(-2),即-7<a-b<2.故2a+3b的取值范圍是(8,32),a-b的取值范圍是(-7,2).類型三比較大小(邏輯推理)角度1作差法比較大小

【典例】(2024·賀州高一檢測(cè))已知a>0,b>0,且a≠b,比較QUOTE+QUOTE與a+b的大小.【思路導(dǎo)引】將QUOTE+QUOTE與a+b進(jìn)行作差、化簡(jiǎn),然后利用a>0,b>0,a≠b推斷式子的正負(fù),即可得出大小關(guān)系.【解析】QUOTE-(a+b)=QUOTE=QUOTE.因?yàn)閍>0,b>0,a≠b,所以(a-b)2>0,a+b>0,ab>0,所以QUOTE>0,故QUOTE+QUOTE>a+b.【變式探究】已知x∈R,比較x3-1與2x2-2x的大小.【解析】(x3-1)-(2x2-2x)=(x3-x2)-(x2-2x+1)=x2(x-1)-(x-1)2=(x-1)(x2-x+1),因?yàn)閤2-x+1=QUOTE+QUOTE≥QUOTE>0,所以當(dāng)x>1時(shí),(x-1)(x2-x+1)>0,即x3-1>2x2-2x;當(dāng)x=1時(shí),(x-1)(x2-x+1)=0,即x3-1=2x2-2x;當(dāng)x<1時(shí),(x-1)(x2-x+1)<0,即x3-1<2x2-2x.角度2作商法比較大小

【典例】若m>2,則mm與2m的大小關(guān)系是【思路導(dǎo)引】比較mm與2m大小,假如作差,則不能再變形化簡(jiǎn),可嘗試作商再變形化簡(jiǎn),與1比較大小即可得出結(jié)論【解析】因?yàn)镼UOTE=QUOTE,又m>2,所以QUOTE>1,所以QUOTE>1,又2m>0,故mm>2m.答案:mm>2【解題策略】比較大小的方法(1)作差法:比較兩個(gè)代數(shù)式的大小,可以依據(jù)它們的差的符號(hào)進(jìn)行推斷,一方面留意題目本身供應(yīng)的字母的取值范圍,另一方面通常將兩代數(shù)式的差進(jìn)行因式分解轉(zhuǎn)化為多個(gè)因式相乘,或通過配方轉(zhuǎn)化為幾個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)之和,然后推斷正負(fù).作差法的一般步驟:作差——變形——判號(hào)——定論.(2)作商法:作商比較通常適用于兩代數(shù)式同號(hào)的情形,然后比較它們的商與1的大小.作商法的一般步驟:作商——變形——與1比較大小——定論.(3)單調(diào)性法:利用函數(shù)單調(diào)性比較大小,通常先構(gòu)造一個(gè)函數(shù),再利用單調(diào)性.提示:在用“比較法”時(shí),有時(shí)可先將原數(shù)或式變形后再作差或作商進(jìn)行比較,若是選擇題還可用特別值法比較大小.【題組訓(xùn)練】1.已知0<a<QUOTE,且M=QUOTE+QUOTE,N=QUOTE+QUOTE,則M,N的大小關(guān)系是.

【解析】因?yàn)?<a<QUOTE,所以1+a>0,1+b>0,1-ab>0,所以M-N=QUOTE+QUOTE=QUOTE>0,即M>N.答案:M>N2.若a>b>0,比較aabb與abba的大小.【解析】QUOTE=aa-bbb-a=(QUOTE)a-b,因?yàn)閍>b>0,所以QUOTE>1,a-b>0,所以(QUOTE)a-b>1,即QUOTE>1,又因?yàn)閍>b>0,所以aabb>abba.3.(1)比較x6+1與x4+x2的大小,其中x∈R.(2)設(shè)x,y,z∈R,比較5x2+y2+z2與2xy+4x+2z-2的大小.【解析】(1)因?yàn)閤6+1-(x4+x2)=x6-x4-x2+1=x4(x2-1)-(x2-1)=(x2-1)(x4-1)=(x2-1)2(x2+1)≥0.所以當(dāng)x=±1時(shí),x6+1=x4+x2;當(dāng)x≠±1時(shí),x6+1>x4+x2.綜上所述,x6+1≥x4+x2,當(dāng)且僅當(dāng)x=±1時(shí)取等號(hào).(2)因?yàn)?5x2+y2+z2)-(2xy+4x+2z-2)=4x2-4x+1+x2-2xy+y2+z2-2z+1=(2x-1)2+(x-y)2+(z-1)2≥0,所以5x2+y2+z2≥2xy+4x+2z-2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=QUOTE且z=1時(shí)取等號(hào).【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2024·濟(jì)南高一檢測(cè))已知a∈R,且a≠1,比較a+2與QUOTE的大小.【解析】(a+2)-QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.因?yàn)镼UOTE+QUOTE>0恒成立,所以當(dāng)a-1>0,即a>1時(shí)(a+2)-QUOTE>0;當(dāng)a-1<0,即a<1時(shí),(a+2)-QUOTE<0.綜上可知,當(dāng)a>1時(shí),a+2>QUOTE;當(dāng)a<1時(shí),a+2<QUOTE.【課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)】1.某高速馬路對(duì)行駛的各種車輛的最大限速為120km/h.行駛過程中,同一車道上的車間距d不得小于100A.v≤120或d≥100 B.QUOTEC.v≤120 D.d≥100【解析】選B.最大限速與車距是同時(shí)的.2.若實(shí)數(shù)a,b滿意0<a<1,-1<b<1,則a+2b的取值范圍是 ()A.(-2,3) B.(-3,2) C.(2,3) D.(-2,2)【解析】選A.因?yàn)?1<b<1,所以-2<2b<2,又因?yàn)?<a<1,所以-2<a+2b<3.3.(教材二次開發(fā):習(xí)題改編)已知實(shí)數(shù)a>b>0,c∈R,則下列不等式恒成立的是 ()A.ac<bc B.QUOTE<QUOTEC.QUOTE>QUOTE D.ac≥bc【解析】選C.當(dāng)c≥0時(shí),不等式ac<bc不成立,A錯(cuò)誤;QUOTE-Q