2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章概率3.3.1幾何概型3.3.2均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生學(xué)案含解析新人教A版必修3

PAGE3.3幾何概型3.3.學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1．通過(guò)詳細(xì)問(wèn)題感受幾何概型的概念，體會(huì)幾何概型的意義．(重點(diǎn))2．會(huì)求一些簡(jiǎn)潔的幾何概型的概率．(重點(diǎn)、難點(diǎn))3．會(huì)用隨機(jī)模擬的方法近似計(jì)算事務(wù)的概率．(重點(diǎn))1．通過(guò)求簡(jiǎn)潔幾何概型的概率，培育數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．2．借助面積、體積等問(wèn)題，養(yǎng)成直觀想象素養(yǎng).1．幾何概型的概念(1)幾何概型的定義假如每個(gè)事務(wù)發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事務(wù)區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱幾何概型．(2)幾何概型的特點(diǎn)①試驗(yàn)中全部可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本領(lǐng)件)有無(wú)限多個(gè)．②每個(gè)基本領(lǐng)件出現(xiàn)的可能性相等．2．幾何概型的概率公式：P(A)＝eq\f(構(gòu)成事務(wù)A的區(qū)域長(zhǎng)度面積或體積,試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度面積或體積)3．勻稱隨機(jī)數(shù)(1)勻稱隨機(jī)數(shù)的概念在隨機(jī)試驗(yàn)中，假如可能出現(xiàn)的結(jié)果有無(wú)限多個(gè)，并且這些結(jié)果都是等可能發(fā)生的，我們就稱每一個(gè)結(jié)果為試驗(yàn)中全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域上的勻稱隨機(jī)數(shù)．(2)勻稱隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生①計(jì)算器上產(chǎn)生[0,1]的勻稱隨機(jī)數(shù)的函數(shù)是RAND函數(shù)．②Excel軟件產(chǎn)生[0,1]區(qū)間上勻稱隨機(jī)數(shù)的函數(shù)為“rand()”．(3)用模擬的方法近似計(jì)算某事務(wù)概率的方法①試驗(yàn)?zāi)M的方法：制作兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)模型，進(jìn)行模擬試驗(yàn)，并統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)結(jié)果．②計(jì)算機(jī)模擬的方法：用Excel軟件產(chǎn)生[0,1]區(qū)間上勻稱隨機(jī)數(shù)進(jìn)行模擬(留意操作步驟)．(4)[a，b]上勻稱隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生[0,1]上的勻稱隨機(jī)數(shù)x＝RAND，然后利用伸縮和平移交換，x＝x1*(b-a)+a就可以得到[a，b]內(nèi)的勻稱隨機(jī)數(shù)，試驗(yàn)的結(jié)果是[a，b]上的任何一個(gè)實(shí)數(shù)，并且任何一個(gè)實(shí)數(shù)都是等可能出現(xiàn)的．1．下列概率模型中，幾何概型的個(gè)數(shù)為()①?gòu)膮^(qū)間[－10,10]上任取一個(gè)數(shù)，求取到的數(shù)在[0,1]內(nèi)的概率；②從區(qū)間[－10,10]上任取一個(gè)數(shù)，求取到確定值不大于1的數(shù)的概率；③從區(qū)間[－10,10]上任取一個(gè)整數(shù)，求取到大于1而小于3的數(shù)的概率；④向一個(gè)邊長(zhǎng)為4cm的正方形內(nèi)投一點(diǎn)，求點(diǎn)離中心不超過(guò)1cm的概率．A．1 B．2C．3 D．4C[①②中的概率模型是幾何概型，因?yàn)閰^(qū)間[－10,10]上有多數(shù)個(gè)數(shù)，且每個(gè)數(shù)被取到的機(jī)會(huì)相等；③中的概率模型不是幾何概型，因?yàn)閰^(qū)間[－10,10]上的整數(shù)只有21個(gè)，是有限的；④中的概率模型是幾何概型，因?yàn)樵谶呴L(zhǎng)為4cm的正方形內(nèi)有多數(shù)個(gè)點(diǎn)，且該區(qū)域內(nèi)的任何一個(gè)點(diǎn)被投到的可能性相同．]2．在區(qū)間[－2,3]上隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)X，則X≤1的概率為()A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,5)B[區(qū)間[－2,3]的區(qū)間長(zhǎng)度為5，在上面隨機(jī)取一數(shù)X，使X≤1，即－2≤X≤1.其區(qū)間長(zhǎng)度為3，所以概率為eq\f(3,5).]3.如圖，一顆豆子隨機(jī)扔到桌面上，則它落在非陰影區(qū)域的概率為()A.eq\f(1,9) B.eq\f(1,6)C.eq\f(2,3) D.eq\f(1,3)C[試驗(yàn)發(fā)生的范圍是整個(gè)桌面，非陰影部分面積占桌面的eq\f(2,3)，而豆子落在任一點(diǎn)是等可能的，所以豆子落在非陰影區(qū)域的概率為eq\f(2,3).]4．如圖AB是圓O的直徑，OC⊥AB，假設(shè)你在圖形中隨機(jī)撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為_(kāi)_______．eq\f(1,π)[設(shè)圓的半徑為R，則圓的面積為S＝πR2，陰影的面積S陰＝eq\f(1,2)·2R·R＝R2，故所求概率P＝eq\f(S陰,S)＝eq\f(R2,πR2)＝eq\f(1,π).]與長(zhǎng)度、角度有關(guān)的幾何概型[探究問(wèn)題]1．幾何概型與古典概型的區(qū)分是什么？[提示]幾何概型的試驗(yàn)結(jié)果是無(wú)限的，古典概型的試驗(yàn)結(jié)果是有限的．2．解決幾何概型問(wèn)題概率的關(guān)鍵是什么？[提示]確定所求概率與區(qū)域長(zhǎng)度、角度、面積、體積中的哪一個(gè)有關(guān)．3．“P(A)＝0?A是不行能事務(wù)”，“P(A)＝1?A是必定事務(wù)”，這兩種說(shuō)法是否成立？[提示](1)無(wú)論是古典概型還是幾何概型，若A是不行能事務(wù)，則P(A)＝0確定成立；若A是必定事務(wù)，則P(A)＝1確定成立．(2)在古典概型中，若事務(wù)A的概率P(A)＝0，則A為不行能事務(wù)；若事務(wù)A的概率P(A)＝1，則A為必定事務(wù)．(3)在幾何概型中，若事務(wù)A的概率P(A)＝0，則A不確定是不行能事務(wù)，如：事務(wù)A對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)，則其長(zhǎng)度為0，該點(diǎn)出現(xiàn)的概率為0，但A并不是不行能事務(wù)；同樣地，若事務(wù)A的概率P(A)＝1，則A也不確定是必定事務(wù)．【例1】在等腰直角三角形ABC中，在斜邊AB上任取一點(diǎn)M，求AM小于AC的概率．思路點(diǎn)撥：本例是與哪種區(qū)域有關(guān)的幾何概型問(wèn)題？[解]點(diǎn)M隨機(jī)地落在線段AB上，故線段AB的長(zhǎng)度為試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度．在AB上截取AC′＝AC，當(dāng)點(diǎn)M位于圖中的線段AC′上(不包括點(diǎn)C′)時(shí)，AM<AC，故線段AC′即為構(gòu)成事務(wù)A的區(qū)域長(zhǎng)度．于是P(AM<AC)＝P(AM<AC′)＝eq\f(AC′,AB)＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(\r(2),2).即AM小于AC的概率為eq\f(\r(2),2).1．(變條件)在等腰直角三角形ABC中，過(guò)直角頂點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部作一條射線CM，與直線AB交于點(diǎn)M，求AM小于AC的概率．[解]由題意，應(yīng)看成射線CM在∠ACB內(nèi)是等可能分布的，在AB上截取AC′＝AC(如圖)，則∠ACC′＝67.5°，故滿意條件的概率為eq\f(67.5,90)＝eq\f(3,4).2．(變結(jié)論)本例條件不變．(1)若求AM不大于AC的概率，結(jié)果有無(wú)變更？(2)求AM大于AC的概率．[解](1)結(jié)果不變．幾何概型中，一點(diǎn)在線段上的長(zhǎng)度視為0，包含與不包含一點(diǎn)，不變更概率的結(jié)果．(2)如圖，點(diǎn)M隨機(jī)地落在線段AB上，故線段AB的長(zhǎng)度為試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度，在AB上截取AC′＝AC，當(dāng)點(diǎn)M位于線段C′B上時(shí)，AM>AC，故線段C′B即為構(gòu)成事務(wù)的區(qū)域長(zhǎng)度．∴P(AM>AC)＝P(AM>AC′)＝eq\f(C′B,AB)＝1－eq\f(\r(2),2).求解與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型的關(guān)鍵點(diǎn)在求解與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型時(shí)，首先找到試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域D，這時(shí)區(qū)域D可能是一條線段或幾條線段或曲線段，然后找到事務(wù)A發(fā)生對(duì)應(yīng)的區(qū)域d，在找d的過(guò)程中，確定邊界點(diǎn)是問(wèn)題的關(guān)鍵，但邊界點(diǎn)是否取到不會(huì)影響事務(wù)A的概率.與面積、體積有關(guān)的幾何概型【例2】(1)如圖所示，來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所探討的幾何圖形．此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC.△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ.在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則()A．p1＝p2 B．p1＝p3C．p2＝p3 D．p1＝p2＋p3(2)在一個(gè)球內(nèi)有一棱長(zhǎng)為1的內(nèi)接正方體，一動(dòng)點(diǎn)在球內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則此點(diǎn)落在正方體內(nèi)部的概率為()A.eq\f(6,π) B.eq\f(3,2)πC.eq\f(3,π) D.eq\f(2\r(3),3π)思路點(diǎn)撥：(1)依據(jù)幾何圖形特征．分別計(jì)算區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面積應(yīng)用面積型幾何概型定義推斷．(2)所求概率涉及到體積問(wèn)題應(yīng)用與體積有關(guān)的幾何概型公式求解．(1)A(2)D[(1)法一：設(shè)直角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則區(qū)域Ⅰ的面積即△ABC的面積，為S1＝eq\f(1,2)bc，區(qū)域Ⅱ的面積S2＝eq\f(1,2)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,2)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)))eq\s\up12(2)－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))eq\s\up12(2),2)－\f(1,2)bc))＝eq\f(1,8)π(c2＋b2－a2)＋eq\f(1,2)bc＝eq\f(1,2)bc，所以S1＝S2，由幾何概型的學(xué)問(wèn)知p1＝p2，故選A.法二：不妨設(shè)△ABC為等腰直角三角形，AB＝AC＝2，則BC＝2eq\r(2)，所以區(qū)域Ⅰ的面積即△ABC的面積，為S1＝eq\f(1,2)×2×2＝2，區(qū)域Ⅲ的面積S3＝eq\f(π×\r(2)2,2)－2＝π－2，區(qū)域Ⅱ的面積S2＝π×12－(π－2)＝2.依據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式，得p1＝p2＝eq\f(2,π＋2)，p3＝eq\f(π－2,π＋2)，所以p1≠p3，p2≠p3，p1≠p2＋p3，故選A.(2)由題意可知這是一個(gè)幾何概型問(wèn)題，棱長(zhǎng)為1的正方體的體積V1＝1，球的直徑是正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，故球的半徑R＝eq\f(\r(3),2)，球的體積V2＝eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\f(\r(3),2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(\r(3),2)π，則此點(diǎn)落在正方體內(nèi)部的概率P＝eq\f(V1,V2)＝eq\f(2\r(3),3π).]解與面積體積相關(guān)的幾何概型問(wèn)題的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)1依據(jù)題意確認(rèn)是否是與面積體積有關(guān)的幾何概型問(wèn)題；2找出或構(gòu)造出隨機(jī)事務(wù)對(duì)應(yīng)的幾何圖形，利用圖形的幾何特征計(jì)算相關(guān)面積體積；3套用公式，從而求得隨機(jī)事務(wù)的概率.eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．(1)若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入如圖所示的長(zhǎng)方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，則質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率是()A.eq\f(π,2)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,6)D.eq\f(π,8)(2)有一個(gè)底面圓的半徑為1、高為2的圓柱，點(diǎn)O為這個(gè)圓柱底面圓的圓心，在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為_(kāi)_______．(1)B(2)eq\f(2,3)[(1)設(shè)質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑的半圓內(nèi)為事務(wù)A，則P(A)＝eq\f(陰影面積,長(zhǎng)方形面積)＝eq\f(\f(1,2)π·12,1×2)＝eq\f(π,4).(2)先求點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離小于1或等于1的概率，圓柱的體積V圓柱＝π×12×2＝2π，以O(shè)為球心，1為半徑且在圓柱內(nèi)部的半球的體積V半球＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(2,3)π.則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離小于1或等于1的概率為：eq\f(\f(2,3)π,2π)＝eq\f(1,3)，故點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為：1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).]勻稱隨機(jī)數(shù)與隨機(jī)模擬方法【例3】利用隨機(jī)模擬方法計(jì)算由y＝1和y＝x2所圍成的圖形的面積．[解]以直線x＝1，x＝－1，y＝0，y＝1為邊界作矩形，(1)利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生兩組0～1區(qū)間的勻稱隨機(jī)數(shù)，a1＝RAND，b＝RAND；(2)進(jìn)行平移和伸縮變換，a＝2(a1－0.5)；(3)數(shù)出落在陰影內(nèi)的樣本點(diǎn)數(shù)N1，用幾何概型公式計(jì)算陰影部分的面積．例如做1000次試驗(yàn)，即N＝1000，模擬得到N1＝698，所以P＝eq\f(N1,N)＝eq\f(陰影面積,矩形面積)＝eq\f(698,1000)，即陰影面積S＝矩形面積×eq\f(698,1000)＝2×eq\f(698,1000)＝1.396.用隨機(jī)模擬方法估計(jì)幾何概型的步驟①確定須要產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的組數(shù)，如長(zhǎng)度、角度型只用一組，面積型須要兩組；②由基本領(lǐng)件空間對(duì)應(yīng)的區(qū)域確定產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的范圍；③由事務(wù)A發(fā)生的條件確定隨機(jī)數(shù)應(yīng)滿意的關(guān)系式；④統(tǒng)計(jì)事務(wù)A對(duì)應(yīng)的隨機(jī)數(shù)并計(jì)算A的頻率來(lái)估計(jì)A的概率.eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．現(xiàn)向圖中所示正方形內(nèi)隨機(jī)地投擲飛鏢，試用隨機(jī)模擬的方法求飛鏢落在陰影部分的概率．[解](1)利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生兩組0至1區(qū)間內(nèi)的勻稱隨機(jī)數(shù)a1，b1(共N組)；(2)經(jīng)過(guò)平移和伸縮變換，a＝2(a1－0.5)，b＝2(b1－0.5)；(3)數(shù)出滿意不等式b<2a－eq\f(4,3)，即6a－3b>4的數(shù)組數(shù)N1.所求概率P≈eq\f(N1,N).可以發(fā)覺(jué)，試驗(yàn)次數(shù)越多，概率P越接近eq\f(25,144).1．幾何概型適用于試驗(yàn)結(jié)果是無(wú)窮多且事務(wù)是等可能發(fā)生的概率模型．2．幾何概型主要用于解決與長(zhǎng)度、面積、體積有關(guān)的問(wèn)題．3．留意理解幾何概型與古典概型的區(qū)分．4．理解如何將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何概型的問(wèn)題，利用幾何概型公式求解，概率公式為P(A)＝eq\f(構(gòu)成事務(wù)A的區(qū)域長(zhǎng)度面積或體積,試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度面積或體積).1．推斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)幾何概型的基本領(lǐng)件有多數(shù)多個(gè)． ()(2)幾何概型的概率與構(gòu)成事務(wù)的區(qū)域形態(tài)無(wú)關(guān)． ()(3)隨機(jī)數(shù)只能用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生． ()(4)x是[0,1]上的勻稱隨機(jī)數(shù)，則利用變量代換y＝(b－a)x＋a可得[a，b]上的勻稱隨機(jī)數(shù)． ()[答案]