2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第五章數(shù)列5.2.2.2等差數(shù)列習(xí)題課學(xué)案含解析新人教B版選擇性必修第三冊

PAGE第2課時(shí)等差數(shù)列習(xí)題課關(guān)鍵實(shí)力·素養(yǎng)形成類型一由遞推公式寫數(shù)列的項(xiàng)【典例】1.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn滿意a1=QUOTE,an+2Sn·Sn-1=0(n≥2,n∈N+),則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=________.

2.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3n2+2n.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(2)推斷{an}是否為等差數(shù)列.【思維·引】1.已知數(shù)列前n項(xiàng)和Sn和數(shù)列的第n項(xiàng)an的關(guān)系式,用等差數(shù)列定義證出數(shù)列QUOTE是等差數(shù)列.2.利用n=1時(shí),a1=S1,當(dāng)n≥2,n∈N+時(shí)an=Sn-Sn-1求an,用等差數(shù)列的定義證明.【解析】1.因?yàn)閍n+2Sn·Sn-1=0,所以an=-2Sn·Sn-1.當(dāng)n=1時(shí),a1=QUOTE.當(dāng)n≥2,n∈N+時(shí),an=Sn-Sn-1,所以Sn-Sn-1=-2SnSn-1①.因?yàn)閍1=QUOTE,所以SnSn-1≠0,①式的兩邊同除以SnSn-1得:QUOTE-QUOTE=-2即:QUOTE-QUOTE=2,所以數(shù)列QUOTE是首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列,所以QUOTE=2+2(n-1)=2n,即:Sn=QUOTE,則an=-2SnSn-1=-QUOTE(n≥2).因?yàn)閍1=QUOTE不滿意an=-QUOTE(n≥2),所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=QUOTE答案:QUOTE2.(1)因?yàn)镾n=3n2+2n,所以當(dāng)n≥2時(shí)Sn-1=3(n-1)2+2(n-1)=3n2-4n+1,所以an=Sn-Sn-1=(3n2+2n)-(3n2-4n+1)=6n-1.又a1=S1=5,滿意an=6n-1,所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=6n-1.(2)由(1)知,an+1-an=[6(n+1)-1]-(6n-1)=6,所以{an}是等差數(shù)列.【素養(yǎng)·探】在關(guān)于已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn求an的問題中,常常利用核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)運(yùn)算,依據(jù)Sn與an的關(guān)系,由Sn求an.將本例2的條件“Sn=3n2+2n”改為“Sn=3n2+2n-1”,如何解答【解析】(1)因?yàn)镾n=3n2+2n-1,所以當(dāng)n≥2時(shí)Sn-1=3(n-1)2+2(n-1)-1=3n2-4n,所以an=Sn-Sn-1=(3n2+2n-1)-(3n2-4n)=6n-1.又a1=S1=4,不滿意an=6n-1,所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=QUOTE(2)由(1)知,當(dāng)n≥2時(shí),an+1-an=[6(n+1)-1]-(6n-1)=6,但a2-a1=11-4=7≠6,所以{an}不滿意等差數(shù)列的定義,{an}不是等差數(shù)列.【類題·通】1.由Sn求通項(xiàng)公式an的步驟第一步:令n=1,則a1=S1,求得a1;其次步:令n≥2,則an=Sn-Sn-1;第三步:驗(yàn)證a1與an的關(guān)系:(1)若a1適合an,則an=Sn-Sn-1.(2)若a1不適合an,則an=QUOTE2.Sn與an的關(guān)系式的應(yīng)用Snan(1)“和”變“項(xiàng)”.首先依據(jù)題目條件,得到新式(與條件所給項(xiàng)的和相鄰),然后作差將“和”轉(zhuǎn)化為“項(xiàng)”之間的關(guān)系,最終求通項(xiàng)公式.(2)“項(xiàng)”變“和”.首先將an轉(zhuǎn)化為Sn-Sn-1,得到Sn與Sn-1的關(guān)系式,然后求Sn.提示:關(guān)于數(shù)列的式子中,假如含有如an-1,Sn-1,必需注明n≥2.【習(xí)練·破】設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,并且對于隨意n∈N+,an與1的等差中項(xiàng)等于QUOTE,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.【解析】由題意知,QUOTE=QUOTE,得Sn=QUOTE,所以a1=S1=1,又因?yàn)閍n+1=Sn+1-Sn=QUOTE[(an+1+1)2-(an+1)2],所以(an+1-1)2-(an+1)2=0.即(an+1+an)(an+1-an-2)=0,因?yàn)閍n>0,所以an+1-an=2,所以{an}是以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,所以an=2n-1.【加練·固】數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=-QUOTEn2+n-1,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.【解析】n=1時(shí),a1=S1=-QUOTE+1-1=-QUOTE,當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=-QUOTEn2+n-1-QUOTE=-3n+QUOTE,因?yàn)閍1=-QUOTE不適合an=-3n+QUOTE,所以an=QUOTE類型二實(shí)際應(yīng)用題【典例】《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學(xué)名著,由明代數(shù)學(xué)家程大位編著,它對我國民間普及珠算和數(shù)學(xué)學(xué)問起到了很大的作用,是東方古代數(shù)學(xué)的名著.在這部著作中,很多數(shù)學(xué)問題都是以歌訣形式呈現(xiàn)的,“九兒問甲歌”就是其中一首:一個(gè)公公九個(gè)兒,若問生年總不知,自長排來差三歲,共年二百又零七,借問長兒多少歲,各兒歲數(shù)要詳推.在這個(gè)問題中,記這位公公的第n個(gè)兒子的年齡為an,則a1= ()A.23 B.32 C.35 【思維·引】兒子的歲數(shù)成等差數(shù)列,問題是知道公差及前9項(xiàng)和,求首項(xiàng).【解析】選C.由題意可得兒子的歲數(shù)成等差數(shù)列,設(shè)公差為d,其中公差d=-3,S9=207,即S9=9a1+QUOTE×(-3)=207,解得a1=35.【內(nèi)化·悟】解答等差數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問題的關(guān)鍵是什么?提示:關(guān)鍵是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列問題,從而確定出等差數(shù)列的首項(xiàng)、公【類題·通】應(yīng)用等差數(shù)列解決實(shí)際問題的一般思路【習(xí)練·破】植樹節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線馬路一側(cè)植樹,每人植樹一棵,相鄰兩棵樹相距10m,起先時(shí)需將樹苗集中放置在某一棵樹坑旁邊,使每位同學(xué)從各自樹坑動(dòng)身前來領(lǐng)取樹苗來回所走的路程總和最小,此最小值為________【解析】假設(shè)20位同學(xué)是1號到20號依次排列,使每位同學(xué)從各自樹坑動(dòng)身前來領(lǐng)取樹苗來回所走的路程總和最小,則樹苗需放在第10或第11號樹坑旁,此時(shí)兩側(cè)的同學(xué)所走的路程分別組成以20為首項(xiàng),20為公差的等差數(shù)列,故全部同學(xué)來回的總路程為S=9×20+QUOTE×20+10×20+QUOTE×20=2000.答案:2000類型三數(shù)列求和問題角度1裂項(xiàng)求和與并項(xiàng)求和問題【典例】1.已知函數(shù)f(n)=QUOTE且an=f(n)+f(n+1),則a1+a2+a3+…+a100等于 ()A.0 B.100C.-100 D.102002.等差數(shù)列{an}中,a7=4,a19=2a9.(1)求{an}的通項(xiàng)公式.(2)設(shè)bn=QUOTE,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.【思維·引】1.先求出通項(xiàng)公式an,然后兩項(xiàng)一組,即可求解數(shù)列的前100項(xiàng)的和.2.(1)依據(jù)題意列方程組求首項(xiàng)和公差,寫出通項(xiàng)公式;(2)對bn進(jìn)行適當(dāng)變形,選擇裂項(xiàng)相消法進(jìn)行數(shù)列求和.【解析】1.選B.因?yàn)閍n=f(n)+f(n+1),所以由已知條件知an=QUOTE即an=QUOTE所以an=(-1)n·(2n+1),所以an+an+1=2(n是奇數(shù)),所以a1+a2+a3+…+a100=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a99+a100)=2+2+2+…+2=100.2.(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則an=a1+(n-1)d.因?yàn)镼UOTE所以QUOTE解得a1=1,d=QUOTE.所以{an}的通項(xiàng)公式為an=QUOTE.(2)bn=QUOTE=QUOTE=QUOTE-QUOTE,所以Sn=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=QUOTE.【素養(yǎng)·探】在裂項(xiàng)求和與并項(xiàng)求和有關(guān)的問題中,常常利用核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)運(yùn)算,通過對數(shù)列通項(xiàng)結(jié)構(gòu)特征的分析和適當(dāng)變形,選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠛?將本例1的條件改為“an=(-1)n(3n-2)”,試求a1+a2+…+a10.【解析】a1+a2+…+a10=-1+4-7+10+…+(-1)10·(3×10-2)=(-1+4)+(-7+10)+…+[(-1)9·(3×9-2)+(-1)10·(3×10-2)]=3×5=15.角度2求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)的和【典例】等差數(shù)列{an}中,a2=4,a4+a7=15.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=-2an+25,求數(shù)列{|bn|}的前n項(xiàng)和.【思維·引】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,由通項(xiàng)公式可得方程組,解方程組可得首項(xiàng)和公差,即可得到所求通項(xiàng);(2)求bn=-2an+25,分析{bn}中的項(xiàng)何時(shí)為正,何時(shí)為負(fù),分狀況求和.【解析】(1)等差數(shù)列{an}的公差設(shè)為d,a2=4,a4+a7=15,可得QUOTE解得QUOTE則an=n+2.(2)bn=-2an+25=21-2n,設(shè){bn}的前n項(xiàng)和為Sn=QUOTEn(19+21-2n)=20n-n2,當(dāng)n≤10時(shí),數(shù)列{|bn|}的前n項(xiàng)和為20n-n2;當(dāng)n≥11時(shí),數(shù)列{|bn|}的前n項(xiàng)和為S10-(Sn-S10)=2S10-Sn=200-20n+n2,綜上可得數(shù)列{|bn|}的前n項(xiàng)和為Tn=QUOTE【類題·通】1.裂項(xiàng)相消求和(1)適用數(shù)列:形如QUOTE(bn-an=d,d為常數(shù))的數(shù)列可以用裂項(xiàng)求和.(2)裂項(xiàng)形式:QUOTE=QUOTE.(3)規(guī)律發(fā)覺:一是通項(xiàng)公式特征不明顯的要對通項(xiàng)公式變形,如分別常數(shù)、有理化等;二是裂項(xiàng)后不是相鄰項(xiàng)相消的,要寫出前兩組、后兩組視察消去項(xiàng)、保留項(xiàng).(4)特別裂項(xiàng):①Q(mào)UOTE=QUOTE=QUOTE.②QUOTE=QUOTE-QUOTE.③QUOTE=QUOTE.④QUOTE=1+QUOTE.2.關(guān)于并項(xiàng)法求數(shù)列的和(1)適用形式:①適用于形如an=(-1)nf(n)的搖擺數(shù)列.②項(xiàng)成周期改變的數(shù)列.(2)求和方法:①形如an=(-1)nf(n)的數(shù)列用并項(xiàng)法把相鄰項(xiàng)的一正一負(fù)兩項(xiàng)并作一項(xiàng),從而使通項(xiàng)降次,得以轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求解.②針對一些特別的數(shù)列,將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特別的性質(zhì),因此在求數(shù)列的和時(shí),可將這些項(xiàng)放在一起先求和,然后再求原數(shù)列的前n項(xiàng)和.3.數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和的三種類型的求解策略(1)等差數(shù)列{an}的各項(xiàng)都為非負(fù)數(shù),這種情形中數(shù)列{|an|}就等于數(shù)列{an},可以干脆求解.(2)等差數(shù)列{an}中,a1>0,d<0,這種數(shù)列只有前邊有限項(xiàng)為非負(fù)數(shù),從某項(xiàng)起先其余全部項(xiàng)都為負(fù)數(shù),可把數(shù)列{an}分成兩段處理.(3)等差數(shù)列{an}中,a1<0,d>0,這種數(shù)列只有前邊有限項(xiàng)為負(fù)數(shù),其余都為非負(fù)數(shù),同樣可以把數(shù)列分成兩段處理.【習(xí)練·破】已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,n∈N+,滿意a1+a2=10,S5=40.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=|13-an|,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由題意知,a1+a2=2a1+d=10,S5=5a3=40,即a3=8,所以a1+2d=8,所以QUOTE所以an=4+(n-1)·2=2n+2.(2)令cn=13-an=11-2n,bn=|cn|=|11-2n|=QUOTE設(shè)數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Qn,則Qn=-n2+10n.當(dāng)n≤5時(shí),Tn=b1+b2+…+bn=Qn=-n2+10n.當(dāng)n≥6時(shí),Tn=b1+b2+…+bn=c1+c2+…+c5-(c6+c7+…+cn)=-Qn+2Q5=n2-10n+2(-52+10×5)=n2-10n+50.【加練·固】1.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S3=15,a5+a9=30.(1)求an及Sn.(2)若數(shù)列{bn}滿意bn(Sn-n)=2(n∈N+),數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,求證:Tn<2.【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由題意可得QUOTE即QUOTE解得QUOTE則an=3+2(n-1)=2n+1,所以Sn=3n+QUOTE=n2+2n.(2)由題意可得bn=QUOTE=QUOTE=2QUOTE,所以Tn=b1+b2+…+bn=2QUOTEQUOTE=2QUOTE<2.2.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=-QUOTEn2+QUOTEn,求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Tn.【解析】a1=S1=101,當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=-QUOTEn2+QUOTEn--QUOTE(n-1)2+QUOTE(n-1)=-3n+104,a1=S1=101也適合上式,所以an=-3n+104,令an=0,n≈34.7,故n≥35時(shí),an<0,n≤34時(shí),an>0,所以對數(shù)列{|an|},n≤34時(shí),Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=-QUOTEn2+QUOTEn,當(dāng)n≥35時(shí),Tn=|a1|+|a2|+…+|a34|+|a35|+…+|an|=a1+a2+…+a34-a35-…-an=2(a1+a2+…+a34)-(a1+a2+…+an)=2S34-Sn=QUOTEn2-QUOTEn+3502,所以Tn=QUOTE課堂檢測·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.求值:1-3+5-7+9-11+…+2017-2019= ()A.-2020 B.-1010 C.-505 D.1【解析】選B.1-3+5-7+9-11+…+2017-2019=(1+5+9+…+2017)-(3+7+11+…+2019)=QUOTE(1+2017)-QUOTE=-1010.2.QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.原式=QUOTE+QUOTE+…+