2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提優(yōu)思路(新高考專用)專題01利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的切線問題練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題01利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的切線問題(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 3題型一：在型求切線方程 3題型二：過型求切線方程 3題型三：已知切線斜率求參數(shù) 3題型四：確定過一點(diǎn)可以做切線條數(shù) 4題型五：已知切線條數(shù)求參數(shù) 4題型六：距離問題轉(zhuǎn)化為相切問題 5題型七：公切線問題 5三、專項(xiàng)訓(xùn)練 6一、必備秘籍1、切線的斜率：函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，即.2、曲線的切線問題（基礎(chǔ)題）（1）在型求切線方程已知：函數(shù)的解析式.計(jì)算：函數(shù)在或者處的切線方程.步驟：第一步：計(jì)算切點(diǎn)的縱坐標(biāo)（方法：把代入原函數(shù)中），切點(diǎn).第二步：計(jì)算切線斜率.第三步：計(jì)算切線方程.切線過切點(diǎn)，切線斜率。根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程得到切線方程：.（2）過型求切線方程已知：函數(shù)的解析式.計(jì)算：過點(diǎn)（無論該點(diǎn)是否在上）的切線方程.步驟：第一步：設(shè)切點(diǎn)第二步：計(jì)算切線斜率；計(jì)算切線斜率；第三步：令：，解出，代入求斜率第四步：計(jì)算切線方程.根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程得到切線方程：.3、已知，過點(diǎn)，可作曲線的（）條切線問題第一步：設(shè)切點(diǎn)第二步：計(jì)算切線斜率；第三步：計(jì)算切線方程.根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程得到切線方程：.第四步：將代入切線方程，得：，整理成關(guān)于得分方程；第五步：題意已知能作幾條切線，關(guān)于的方程就有幾個(gè)實(shí)數(shù)解；4、已知和存在（）條公切線問題第一步設(shè)的切點(diǎn)設(shè)的切點(diǎn)求公切線的斜率寫出并整理切線整理得：整理得：聯(lián)立已知條件消去得到關(guān)于的方程，再分類變量，根據(jù)題意公切線條數(shù)求交點(diǎn)個(gè)數(shù)；消去得到關(guān)于的方程再分類變量，根據(jù)題意公切線條數(shù)求交點(diǎn)個(gè)數(shù)；二、典型題型題型一：在型求切線方程1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（是的導(dǎo)函數(shù)），則曲線在處的切線方程為．2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）曲線在處的切線的斜率為.3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）曲線在處的切線方程為．4．（2024·上海閔行·二模）函數(shù)在處的切線方程為.題型二：過型求切線方程1．（23-24高三上·江蘇徐州·階段練習(xí)）過點(diǎn)作曲線的切線，則切線的條數(shù)為．2．（2024·云南·模擬預(yù)測(cè)）曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線方程為.3．（2024·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）過點(diǎn)作曲線的切線，寫出一條切線方程：.4．（23-24高三下·山東德州·開學(xué)考試）過點(diǎn)與曲線相切的直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為.題型三：已知切線斜率求參數(shù)1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若直線與曲線相切，則的最小值為（

）A． B．－2 C．－1 D．02．（23-24高二下·廣東東莞·階段練習(xí)）直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C．1 D．23．（2024·湖南婁底·一模）若直線是指數(shù)函數(shù)且圖象的一條切線，則底數(shù)（

）A．2或 B． C． D．或4．（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）若直線是曲線的一條切線，則實(shí)數(shù)．（…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．）題型四：確定過一點(diǎn)可以做切線條數(shù)1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線，則切線共有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，過點(diǎn)可作曲線的切線條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．43（多選）（23-24高三上·湖北·期末）設(shè)，點(diǎn)是直線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作函數(shù)圖象的切線，可能作（

）A．0條 B．1條 C．2條 D．3條題型五：已知切線條數(shù)求參數(shù)1．（23-24高二下·福建福州·期中）若曲線有且僅有一條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則正數(shù)a的值為（）A． B． C． D．2．（23-24高三上·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·期末）若過點(diǎn)可以作三條直線與曲線相切，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（23-24高二下·遼寧·階段練習(xí)）過點(diǎn)可作曲線的三條不同的切線，實(shí)數(shù)的取值范圍為.4．（23-24高二下·陜西咸陽·階段練習(xí)）若曲線有且僅有兩條過點(diǎn)的切線，則實(shí)數(shù)a的值為.三、專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·二模）已知曲線在處的切線與直線垂直，則（

）A．3 B． C．7 D．2．（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·期中）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則a的值為（

）A． B． C． D．3．（23-24高二下·黑龍江大興安嶺地·階段練習(xí)）曲線，在點(diǎn)處的切線斜率為（

）A．0 B． C．1 D．4．（2024·河北邯鄲·二模）設(shè)函數(shù)的圖像與軸相交于點(diǎn)，則該曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B． C． D．5．（23-24高二下·浙江·期中）函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程（

）A． B．C． D．6．（23-24高二下·安徽六安·階段練習(xí)）已知直線與曲線相切于點(diǎn)，則（

）A．-3 B．-1 C．5 D．67．（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）曲線上的點(diǎn)到直線距離的最小值為（

）A． B． C． D．8．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A．y＝x＋3 B．y＝4x－3 C．y＝2x＋1 D．y＝x－39．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測(cè)）若直線與曲線相切，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．10．（多選）（23-24高二下·安徽六安·階段練習(xí)）若點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，下列選項(xiàng)中，的可能取值有（

）A． B． C． D．11．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）寫出函數(shù)的一條斜率為正的切線方程：．12．（23-24高二下·廣西桂林·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若第一象限內(nèi)的點(diǎn)在曲線上，則到直線的距離的最小值為.13．（23-24高二下·河南三門峽·階段練習(xí)）若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則.14．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）曲線與的公切線方程為.專題01利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的切線問題(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 3題型一：在型求切線方程 3題型二：過型求切線方程 4題型三：已知切線斜率求參數(shù) 7題型四：確定過一點(diǎn)可以做切線條數(shù) 8題型五：已知切線條數(shù)求參數(shù) 10題型六：距離問題轉(zhuǎn)化為相切問題 13題型七：公切線問題 16三、專項(xiàng)訓(xùn)練 18一、必備秘籍1、切線的斜率：函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，即.2、曲線的切線問題（基礎(chǔ)題）（1）在型求切線方程已知：函數(shù)的解析式.計(jì)算：函數(shù)在或者處的切線方程.步驟：第一步：計(jì)算切點(diǎn)的縱坐標(biāo)（方法：把代入原函數(shù)中），切點(diǎn).第二步：計(jì)算切線斜率.第三步：計(jì)算切線方程.切線過切點(diǎn)，切線斜率。根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程得到切線方程：.（2）過型求切線方程已知：函數(shù)的解析式.計(jì)算：過點(diǎn)（無論該點(diǎn)是否在上）的切線方程.步驟：第一步：設(shè)切點(diǎn)第二步：計(jì)算切線斜率；計(jì)算切線斜率；第三步：令：，解出，代入求斜率第四步：計(jì)算切線方程.根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程得到切線方程：.3、已知，過點(diǎn)，可作曲線的（）條切線問題第一步：設(shè)切點(diǎn)第二步：計(jì)算切線斜率；第三步：計(jì)算切線方程.根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程得到切線方程：.第四步：將代入切線方程，得：，整理成關(guān)于得分方程；第五步：題意已知能作幾條切線，關(guān)于的方程就有幾個(gè)實(shí)數(shù)解；4、已知和存在（）條公切線問題第一步設(shè)的切點(diǎn)設(shè)的切點(diǎn)求公切線的斜率寫出并整理切線整理得：整理得：聯(lián)立已知條件消去得到關(guān)于的方程，再分類變量，根據(jù)題意公切線條數(shù)求交點(diǎn)個(gè)數(shù)；消去得到關(guān)于的方程再分類變量，根據(jù)題意公切線條數(shù)求交點(diǎn)個(gè)數(shù)；二、典型題型題型一：在型求切線方程1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（是的導(dǎo)函數(shù)），則曲線在處的切線方程為．【答案】．【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義先求出切線的斜率，再求出切點(diǎn)坐標(biāo)，有點(diǎn)斜式求出切線方程即可.【詳解】由題意設(shè)切點(diǎn)，因?yàn)椋?，得，由?dǎo)數(shù)幾何意義知：，又，所以，故曲線在處的切線方程為：，整理得：.故答案為：.2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）曲線在處的切線的斜率為.【答案】【分析】根據(jù)條件，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，可得，故答案為?3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）曲線在處的切線方程為．【答案】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求得答案.【詳解】由題意得，且，時(shí)，，所以曲線在處的切線方程為，即，故答案為：4．（2024·上海閔行·二模）函數(shù)在處的切線方程為.【答案】【分析】切線的斜率是在處的導(dǎo)數(shù)，切線過，由直線的點(diǎn)斜式方程可以求出切線方程.【詳解】，，所以，所以在處的切線方程為，即，故答案為：.題型二：過型求切線方程1．（23-24高三上·江蘇徐州·階段練習(xí)）過點(diǎn)作曲線的切線，則切線的條數(shù)為．【答案】2【分析】設(shè)切點(diǎn)為，再根據(jù)切線方程得到，化簡(jiǎn)得，再構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.【詳解】由已知可得，，定義域?yàn)?，，所以點(diǎn)不在曲線上.當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，即直線方程為，此時(shí)相交，不合題意，舍去，設(shè)切點(diǎn)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，曲線在點(diǎn)處切線的斜率.所以有，則，則，則有，化簡(jiǎn)得，即，其中，令，，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，故當(dāng)，取得最小值，，又因?yàn)椋液瘮?shù)連續(xù)不間斷，則存在滿足，又因?yàn)?且函數(shù)連續(xù)不間斷，所以存在滿足，綜上，，共有兩個(gè)零點(diǎn)，即切線的條數(shù)為2.故答案為：2.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是將切線條數(shù)轉(zhuǎn)化為的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)和零點(diǎn)存在定理求出其零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.2．（2024·云南·模擬預(yù)測(cè)）曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線方程為.【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，則，，切線的斜率為，所以切線方程為，又切線過原點(diǎn)，所以，即，解得，所以切線方程為.故答案為：3．（2024·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）過點(diǎn)作曲線的切線，寫出一條切線方程：.【答案】或（寫出一條即可）【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線方程，將代入求得切點(diǎn)坐標(biāo)，即可得切線方程.【詳解】由可得，設(shè)過點(diǎn)作曲線的切線的切點(diǎn)為，則，則該切線方程為，將代入得，解得或，故切點(diǎn)坐標(biāo)為或，故切線方程為或，故答案為：或4．（23-24高三下·山東德州·開學(xué)考試）過點(diǎn)與曲線相切的直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為.【答案】【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求出過切點(diǎn)的切線方程，代入已知點(diǎn)求出，即可求出直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由，得，則過切點(diǎn)的切線方程為，把點(diǎn)代入切線方程得，，即，因?yàn)?，而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以只有一個(gè)解，所以，所以切線方程的斜率為，所以切線方程為，令，解得.故過點(diǎn)與曲線相切的直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：.題型三：已知切線斜率求參數(shù)1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若直線與曲線相切，則的最小值為（

）A． B．－2 C．－1 D．0【答案】C【詳解】根據(jù)直線與函數(shù)相切，可得以及，即可換元構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值求解.【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為．由已知，得，則，解得．又切點(diǎn)在切線與曲線上，所以，所以．令，則．令，解得．當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減．所以，即，所以，則的最小值為－1．故選：C．2．（23-24高二下·廣東東莞·階段練習(xí)）直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線斜率，再由切點(diǎn)在直線與曲線上列方程即可得解.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，則，且，解得，，故選：D3．（2024·湖南婁底·一模）若直線是指數(shù)函數(shù)且圖象的一條切線，則底數(shù)（

）A．2或 B． C． D．或【答案】D【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，列式運(yùn)算求得的值.【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)函數(shù)，求導(dǎo)得，切線方程化成斜截式為，由題設(shè)知，顯然，即，由，得，即，即，即，化簡(jiǎn)得，令，即，利用指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)，可知或，即或，解得或.故選：D.4．（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）若直線是曲線的一條切線，則實(shí)數(shù)．（…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．）【答案】【分析】根據(jù)切線的斜率為1，利用導(dǎo)數(shù)列方程，求得切點(diǎn)的坐標(biāo)，代入切線方程，求得的值.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，又，切線的斜率，解得，所以切點(diǎn)為，代入切線方程，得.故答案為：.題型四：確定過一點(diǎn)可以做切線條數(shù)1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線，則切線共有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出斜率，結(jié)合斜率公式列方程求出切點(diǎn)坐標(biāo)即可得解.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，由可得，則過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線的斜率，故，即，解得，故過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線共有1條．故選：A．2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，過點(diǎn)可作曲線的切線條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】求出的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，寫出切線方程，把代入，得到關(guān)于的方程，根據(jù)方程解的個(gè)數(shù)即可得出切線的條數(shù)．【詳解】解法一

由，得．設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線方程為，把代入可得，即，因?yàn)?，所以該方程?個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，故切線有2條．解法二

由，得，令，得．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故的極小值為，且，則點(diǎn)在曲線的下方，數(shù)形結(jié)合可知，過點(diǎn)可作曲線的2條切線．故選：B3（多選）（23-24高三上·湖北·期末）設(shè)，點(diǎn)是直線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作函數(shù)圖象的切線，可能作（

）A．0條 B．1條 C．2條 D．3條【答案】BC【分析】設(shè)為直線上任意一點(diǎn)，切點(diǎn)為求出切線方程，將代入切線方程，轉(zhuǎn)化為根的個(gè)數(shù)求解即可.【詳解】設(shè)為直線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，切點(diǎn)為，則函數(shù)圖象在點(diǎn)B處的切線方程為，即，

整理得，，解得1或當(dāng)時(shí)，，方程僅有一個(gè)實(shí)根，切線僅可以作1條；當(dāng)時(shí)，，方程有兩個(gè)不同實(shí)根，切線可以作2條.故選：.題型五：已知切線條數(shù)求參數(shù)1．（23-24高二下·福建福州·期中）若曲線有且僅有一條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則正數(shù)a的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，將原點(diǎn)坐標(biāo)代入，整理得，結(jié)合計(jì)算即可求解.【詳解】設(shè)，則，設(shè)切點(diǎn)為，則，所以切線方程為，又該切線過原點(diǎn)，所以，整理得①，因?yàn)榍€只有一條過原點(diǎn)的切線，所以方程①只有一個(gè)解，故，解得.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切點(diǎn)未知，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，確定方程的解與根的判別式之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.2．（23-24高三上·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·期末）若過點(diǎn)可以作三條直線與曲線相切，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)出切點(diǎn)，表示出切線方程，將點(diǎn)代入，則關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程有三個(gè)實(shí)根，通過分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象有三個(gè)不同交點(diǎn)的問題求解即可．【詳解】由，得，設(shè)切點(diǎn)為,，過切點(diǎn)的切線方程為，代入點(diǎn)坐標(biāo)化簡(jiǎn)為，即這個(gè)方程有三個(gè)不等式實(shí)根，令，求導(dǎo)得到，由，得，由，得，或，故函數(shù)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故得,結(jié)合，，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，得，故選：D．

3．（23-24高二下·遼寧·階段練習(xí)）過點(diǎn)可作曲線的三條不同的切線，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】或或.【分析】求導(dǎo)，根據(jù)點(diǎn)斜式求解切線方程，將代入切線方程得即可將問題轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且利用判別式即可求.【詳解】由.設(shè)切點(diǎn)為則曲線在點(diǎn)的切線方程為.又因?yàn)榍芯€過點(diǎn)代入切線方程得即所以即方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且所以解得或或故答案為：或或.4．（23-24高二下·陜西咸陽·階段練習(xí)）若曲線有且僅有兩條過點(diǎn)的切線，則實(shí)數(shù)a的值為.【答案】/【分析】構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得其單調(diào)性和極值，進(jìn)而求得實(shí)數(shù)的取值.【詳解】設(shè)點(diǎn)為曲線上一點(diǎn)，則又，則，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，又切線過點(diǎn)，則，即令，則，則時(shí)，單調(diào)遞減；時(shí)，單調(diào)遞增；時(shí)，單調(diào)遞減，則時(shí)取得極小值，時(shí)取得極大值，又，當(dāng)時(shí)，恒成立，時(shí)，，又由題意得方程有2個(gè)根，則與圖像有2個(gè)交點(diǎn)，則.

故答案為：.題型六：距離問題轉(zhuǎn)化為相切問題1．（23-24高二下·山東棗莊·階段練習(xí)）點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最小值是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】問題轉(zhuǎn)化為過點(diǎn)的切線與直線平行時(shí)，點(diǎn)P到直線的距離最小，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再用點(diǎn)到直線的距離公式即可求得答案.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，所以當(dāng)點(diǎn)處的切線和直線平行時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最?。?yàn)橹本€的斜率等于1，曲線的導(dǎo)數(shù)，令，可得或(舍去)，所以在曲線上與直線平行的切線經(jīng)過的切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以點(diǎn)P到直線的最小距離為.故選：D.2．（23-24高二下·四川成都·階段練習(xí)）函數(shù)圖象上的點(diǎn)到直線的距離的最小值是（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】設(shè)與直線平行且與函數(shù)圖象相切的直線方程為：，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切點(diǎn)，再求出切點(diǎn)到直線的距離，即得答案.【詳解】解：設(shè)與直線平行且與函數(shù)圖象相切的直線方程為：，設(shè)切點(diǎn)為，又因?yàn)?，所以，解得，所以切點(diǎn)，又因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，所以函數(shù)圖象上的點(diǎn)到直線的距離的最小值是.故選：B.3．（23-24高二下·四川達(dá)州·階段練習(xí)）若點(diǎn)P是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的最小距離為（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】求出平行于的直線與曲線相切的切點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式可得結(jié)論．【詳解】設(shè)，函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，當(dāng)曲線在點(diǎn)處的切線平行于直線時(shí)，，則，而，解得，于是，平行于的直線與曲線相切的切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以點(diǎn)到直線的最小距離即點(diǎn)到直線的距離．故選：D4．（2024·山東·一模）已知A，B分別為直線和曲線上的點(diǎn)，則的最小值為．【答案】/【分析】由題意的最小值為到直線上距離的最小值，再設(shè)，則當(dāng)處的切線與平行時(shí)取得最小值.【詳解】由題意的最小值為曲線上點(diǎn)到直線距離的最小值，設(shè)，則為增函數(shù)，令則，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.故，即在曲線下方.則當(dāng)處的切線與平行時(shí)取得最小值.設(shè)，對(duì)求導(dǎo)有，由可得.故當(dāng)時(shí)取最小值.故答案為：題型七：公切線問題1．（23-24高二下·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）已知直線是曲線與曲線的公切線，則（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)是圖象上的切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線上的切點(diǎn)，繼而求出t的值，結(jié)合切線方程，即可求得答案.【詳解】由題意知直線是曲線與曲線的公切線，設(shè)是圖象上的切點(diǎn)，，所以在點(diǎn)處的切線方程為，即①令，解得，即直線與曲線的切點(diǎn)為，所以，即，解得或，當(dāng)時(shí)，①為，不符合題意，舍去，所以，此時(shí)①可化為，所以，故選：A2．（23-24高二下·河南·階段練習(xí)）過原點(diǎn)的直線與曲線都相切，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)出切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合兩點(diǎn)式斜率公式列式，即可求解.【詳解】由得，由得，設(shè)過原點(diǎn)的直線分別與曲線相切于點(diǎn)，則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，且，故，所以直線的斜率為，所以，所以，所以，即，代入得.故選：D3．（2024·遼寧·二模）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)且的圖象在公共點(diǎn)處有相同的切線，則，切線方程為.【答案】【分析】設(shè)公共點(diǎn)為，即可得到，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，從而求出，即可求出切點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出，再求出切線方程.【詳解】設(shè)公共點(diǎn)為，則，即，所以，所以，由，，所以，，又在公共點(diǎn)處有相同的切線，所以，即，所以，則，，則，則，所以切線方程為，即.故答案為：；4．（23-24高二下·四川廣安·階段練習(xí)）已知直線既是曲線的切線，也是曲線的切線，則.【答案】/【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可.【詳解】設(shè)曲線與的切點(diǎn)分別為，易知兩曲線的導(dǎo)函數(shù)分別為，，所以，則.故答案為：.三、專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·二模）已知曲線在處的切線與直線垂直，則（

）A．3 B． C．7 D．【答案】C【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，再結(jié)合垂直關(guān)系列式計(jì)算即得.【詳解】由，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，由曲線在處的切線與直線垂直，得，所以.故選：C2．（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·期中）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則a的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】運(yùn)用導(dǎo)數(shù)幾何意義及導(dǎo)數(shù)公式求得切線的斜率，結(jié)合兩直線垂直進(jìn)而求得a的值.【詳解】由題設(shè)，知曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，由，則，所以.故選：A3．（23-24高二下·黑龍江大興安嶺地·階段練習(xí)）曲線，在點(diǎn)處的切線斜率為（

）A．0 B． C．1 D．【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算求解導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線斜率即可.【詳解】因?yàn)椋?，則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為.故選：A.4．（2024·河北邯鄲·二模）設(shè)函數(shù)的圖像與軸相交于點(diǎn)，則該曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令可計(jì)算出切點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線斜率，即可得解.【詳解】令，即，即，解得，故，，則，則其切線方程為：，即.故選：C.5．（23-24高二下·浙江·期中）函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】因?yàn)?所以，所以，所以在點(diǎn)處的切線方程為，即，故選：B.6．（23-24高二下·安徽六安·階段練習(xí)）已知直線與曲線相切于點(diǎn)，則（

）A．-3 B．-1 C．5 D．6【答案】B【分析】由題意知在曲線上，可求出a，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求得切線斜率，結(jié)合切點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得答案.【詳解】由題意知在曲線上，故，即，則，則，則切線方程為，將代入，得，故選：B7．（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）曲線上的點(diǎn)到直線距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)切點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可求解.【詳解】令，則，設(shè)該曲線在點(diǎn)處的切線為，需求曲線到直線的距離最小，必有該切線的斜率為2，所以，解得，