2025年高考數(shù)學復習解答題提優(yōu)思路(新高考專用)專題04數(shù)列求通項(隔項等差(等比)數(shù)列)練習(學生版+解析)

專題04數(shù)列求通項（隔項等差（等比）數(shù)列）(典型題型歸類訓練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：隔項等差數(shù)列 2題型二：隔項等比數(shù)列 3三、專題04數(shù)列求通項（隔項等差（等比）數(shù)列）專項訓練 4一、必備秘籍1、隔項等差數(shù)列已知數(shù)列，滿足，則；（其中為常數(shù)）；或則稱數(shù)列為隔項等差數(shù)列，其中：①構(gòu)成以為首項的等差數(shù)列，公差為；②構(gòu)成以為首項的等差數(shù)列，公差為；2、隔項等比數(shù)列已知數(shù)列，滿足，則；（其中為常數(shù)）；或則稱數(shù)列為隔項等比數(shù)列，其中：①構(gòu)成以為首項的等比數(shù)列，公比為；②構(gòu)成以為首項的等比數(shù)列，公比為；二、典型題型題型一：隔項等差數(shù)列1．（23-24高三上·湖南益陽·期末）已知是等差數(shù)列，滿足：對，，則數(shù)列的通項公式＝（）A．n B．n﹣1 C．n﹣ D．n+2．（2024高三·全國·專題練習）已知數(shù)列的前項和為，，，則的值為，的值為.3．（2024·廣西·二模）在等差數(shù)列中，，且等差數(shù)列的公差為4.(1)求；4．（2024高三·全國·專題練習）已知數(shù)列{an}滿足an＋an＋1＝2n，a1＝1(n∈N*)，求數(shù)列{an}的通項公式．5．（四川省眉山市2024屆高中第三次診斷性考試數(shù)學（文史類）試題）將①，，②，③，之一填入空格中（只填番號），并完成該題.已知是數(shù)列前n項和，___________.(1)求的通項公式；4．（江蘇省蘇州市第十中學2023-2024學年高二數(shù)學10月階段檢測數(shù)學試題）在①，②，③，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答（注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答給分）已知正項數(shù)列滿足，，__________.(1)求數(shù)列的通項公式：三、專題04數(shù)列求通項（隔項等差（等比）數(shù)列）專項訓練1．（廣東省深圳市2023屆高三二模數(shù)學試題）已知數(shù)列滿足，，，.(1)求數(shù)列的通項公式；2．（湖南省九校聯(lián)盟2024屆高三下學期第二次聯(lián)考數(shù)學試題）已知數(shù)列的前項和為，滿足；數(shù)列滿足，其中.(1)求數(shù)列的通項公式；3．（河北省唐山市玉田縣2018-2019學年高一下學期期中數(shù)學試題）已知數(shù)列的前項和為，，且，，（）（1）求，并證明：當時，．4．（新疆維吾爾自治區(qū)普通高考2022屆高三第一次適應(yīng)性檢測數(shù)學（理）試題）已知數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列的通項公式；專題04數(shù)列求通項（隔項等差（等比）數(shù)列）(典型題型歸類訓練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：隔項等差數(shù)列 2題型二：隔項等比數(shù)列 5三、專題04數(shù)列求通項（隔項等差（等比）數(shù)列）專項訓練 8一、必備秘籍1、隔項等差數(shù)列已知數(shù)列，滿足，則；（其中為常數(shù)）；或則稱數(shù)列為隔項等差數(shù)列，其中：①構(gòu)成以為首項的等差數(shù)列，公差為；②構(gòu)成以為首項的等差數(shù)列，公差為；2、隔項等比數(shù)列已知數(shù)列，滿足，則；（其中為常數(shù)）；或則稱數(shù)列為隔項等比數(shù)列，其中：①構(gòu)成以為首項的等比數(shù)列，公比為；②構(gòu)成以為首項的等比數(shù)列，公比為；二、典型題型題型一：隔項等差數(shù)列1．（23-24高三上·湖南益陽·期末）已知是等差數(shù)列，滿足：對，，則數(shù)列的通項公式＝（）A．n B．n﹣1 C．n﹣ D．n+【答案】C【分析】由得，兩式相減得，可得d的值，可得答案.【詳解】解：由得，兩式相減得，故.故選.【點睛】本題主要考查由遞推公式求等差數(shù)列的通項公式，由已知得出是解題的關(guān)鍵.2．（2024高三·全國·專題練習）已知數(shù)列的前項和為，，，則的值為，的值為.【答案】20231【分析】由數(shù)列的遞推關(guān)系式可得{an}的奇數(shù)項、偶數(shù)項都是以2為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式求解即可得到答案.【詳解】將n＝1代入an＋an＋1＝2n＋1中得a2＝3－1＝2.由an＋an＋1＝2n＋1①，得an＋1＋an＋2＝2n＋3②.②－①，得an＋2－an＝2，所以數(shù)列{an}的奇數(shù)項、偶數(shù)項都是以2為公差的等差數(shù)列，則a21＝1＋10×2＝21，a20＝2＋9×2＝20，S21＝(a1＋a3＋a5＋…＋a21)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a20)＝＋＝231.故答案為：20；231【點睛】本題考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用，考查等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.3．（2024·廣西·二模）在等差數(shù)列中，，且等差數(shù)列的公差為4.(1)求；【答案】(1)；【分析】（1）利用等差數(shù)列的求出公差，再求得首項后可得通項公式；【詳解】（1）設(shè)的公差為，則，，又，所以，所以，．4．（2024高三·全國·專題練習）已知數(shù)列{an}滿足an＋an＋1＝2n，a1＝1(n∈N*)，求數(shù)列{an}的通項公式．【答案】an＝【詳解】解：由an＋an＋1＝2n①，得n≥2時，an－1＋an＝2(n－1)②.由①－②得an＋1－an－1＝2，所以該數(shù)列奇數(shù)項和偶數(shù)項分別成公差為2的等差數(shù)列，由a1＋a2＝2，得a2＝1，∴an＝5．（四川省眉山市2024屆高中第三次診斷性考試數(shù)學（文史類）試題）將①，，②，③，之一填入空格中（只填番號），并完成該題.已知是數(shù)列前n項和，___________.(1)求的通項公式；【答案】(1)【分析】（1）若選①，類比作差證明數(shù)列是隔項等差數(shù)列即可；若選②，利用類比作差和階差法可以求解；若選③，利用公式作差后因式分解，找出與的關(guān)系，再根據(jù)等差數(shù)列的定義和通項公式即可求出.（2）利用數(shù)學歸納法證明結(jié)論即可.【詳解】（1）若選①：因為所以，兩式相減得，所以是隔項等差數(shù)列，且，所以為奇數(shù)，為偶數(shù)，所以.若選②：，所以，兩式相減得，，所以，所以.若選③：因為①，所以②，所以，即，所以，所以，所以，所以，因為，所以，所以，所以，又，所以，所以，所以，所以是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，所以，所以的通項公式.6．（2023屆山東省濰坊市三縣高三最后一次模擬考試理數(shù)）已知數(shù)列滿足．（1）若，求數(shù)列的前項和；【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由得．兩式相減，得,分奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況，分別利用等差數(shù)列通項公式求解即可；【詳解】（I）由，得，兩式相減，得．所以數(shù)列是首項為，公差為4的等差數(shù)列；數(shù)列是首項為，公差為4的等差數(shù)列．由，，得．所以①當為奇數(shù)時，，．②當為偶數(shù)時，．所以題型二：隔項等比數(shù)列1．(多選）（廣東省廣州市白云區(qū)2023-2024學年高二上學期期中數(shù)學試題）已知數(shù)列中，，，，則下列說法正確的是（

）A． B．是等比數(shù)列 C． D．【答案】ABD【分析】先由分析出數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項均為等比數(shù)列，再逐項判斷即可.【詳解】解：數(shù)列中，，，所以，即因為，所以所以所以數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項，均為以為公比的等比數(shù)列所以對A，，故A正確；對B，由分析知，是等比數(shù)列，故B正確；對C，，故C錯誤；對D，，故D正確.故選：ABD.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是通過對已知數(shù)列的遞推公式進行變形整理，得到新的遞推公式，從而得到數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項均為等比數(shù)列.2．（北京市大興區(qū)2023屆高三上學期期末檢測數(shù)學試題）已知數(shù)列中，，，，則下列結(jié)論錯誤的是（）A． B．C．是等比數(shù)列 D．【答案】D【分析】AB項，分別令，，求出的值驗證；CD項，由可得，得，繼而得到及均為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項求解.【詳解】當時，，故A正確.當時，，當時，，，故B正確.C項，，，所以得，所以，是以為首項，為公比的等比數(shù)列，故C正確.D項，由C項得，又，，是以為首項，為公比的等比數(shù)列，，故D錯誤.故選：D3．（四川省德陽市2023-2024學年高二下學期期中數(shù)學理科試題）已知正項等比數(shù)列對任意的均滿足．(1)求的通項公式；【答案】(1)【分析】（1）根據(jù)，得當時，，兩式相除可求得公比，再求出首項，再根據(jù)等比數(shù)列得通項即可得解；【詳解】（1）設(shè)公比為，由，得當時，，兩式相除得，所以，又，則，所以（舍去），所以；4．（江蘇省蘇州市第十中學2023-2024學年高二數(shù)學10月階段檢測數(shù)學試題）在①，②，③，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答（注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答給分）已知正項數(shù)列滿足，，__________.(1)求數(shù)列的通項公式：由，得,所以，數(shù)列是首項為3，公比4為的等比數(shù)列，,數(shù)列是首項為6，公比為4的等比數(shù)列，,綜上，數(shù)列的通項公式為.2．（湖南省九校聯(lián)盟2024屆高三下學期第二次聯(lián)考數(shù)學試題）已知數(shù)列的前項和為，滿足；數(shù)列滿足，其中.(1)求數(shù)列的通項公式；【答案】(1)【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系式可得是首項為1，公比為的等比數(shù)列，再根據(jù)可分別對的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別求通項公式可得；【詳解】（1）由①，當時，②，得，當時，，是首項為1，公比為的等比數(shù)列，故，由③.由得，又④.④-③得，的所有奇數(shù)項構(gòu)成首項為1，公差為2的等差數(shù)列：所有偶數(shù)項構(gòu)成首項為2，公差為2的等差數(shù)列.得.綜上可得；3．（河北省唐山市玉田縣2018-2019學年高一下學期期中數(shù)學試題）已知數(shù)列的前項和為，，且，，（）（1）求，并證明：當時，．【答案】（1）；見證明；【分析】（1）取代入即可求出，要證明，只需要把換成之