2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提優(yōu)思路(新高考專用)專題06利用導(dǎo)函數(shù)研究能成立(有解)問(wèn)題練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題06利用導(dǎo)函數(shù)研究能成立（有解）問(wèn)題(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：?jiǎn)巫兞坑薪鈫?wèn)題 2題型二：雙變量不等式有解問(wèn)題 3題型三：雙變量等式有解問(wèn)題 5三、專項(xiàng)訓(xùn)練 6一、必備秘籍分離參數(shù)法用分離參數(shù)法解含參不等式恒成立問(wèn)題，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來(lái)，得到一個(gè)一端是參數(shù)，另一端是變量表達(dá)式的不等式；步驟：①分類參數(shù)（注意分類參數(shù)時(shí)自變量的取值范圍是否影響不等式的方向）②轉(zhuǎn)化：，使得能成立；，使得能成立．③求最值.二、典型題型題型一：?jiǎn)巫兞坑薪鈫?wèn)題1．（2024·四川成都·一模）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，求證：有解.2．（23-24高三上·廣東深圳·階段練習(xí)）已知．(1)討論的單調(diào)性和極值；(2)若時(shí)，有解，求的取值范圍．3．（20234·河南洛陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在處取得極值4．(1)求a，b的值；(2)若存在，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．4．（2024·安徽淮南·一模）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)已知，若存在時(shí)，不等式成立，求的取值范圍．5．（2024·廣東珠?！ひ荒＃┮阎瘮?shù)．（1）討論的單調(diào)性﹔（2）若存在，求的取值范圍．題型二：雙變量不等式有解問(wèn)題1．（23-24高三下·江蘇南京·階段練習(xí)）已知函數(shù)（）．(1)當(dāng)，求f（x）的極值．(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)，若存在，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）2．（2024·廣西柳州·二模）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)設(shè)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，存在，使，求實(shí)數(shù)的取值范圍.3．（23-24高三上·福建龍巖·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若曲線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求a的值；(2)設(shè)，若對(duì)任意，均存在，使得，求a的取值范圍．4．（23-24高二下·黑龍江大慶·）已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）證明：在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)；（Ⅲ）設(shè)，若對(duì)任意，均存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.5．（23-24高三上·福建莆田·期中）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；(2)若，且對(duì)，都，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．題型三：雙變量等式有解問(wèn)題1．（23-24高一上·湖北·期末）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，解不等式；(2)已知，當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的，總存在，使成立，求正實(shí)數(shù)m的取值范圍．2．（23-24高二上·浙江·期中）函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，總有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，對(duì)，，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.3．（23-24高一上·遼寧·期末）已知函數(shù)，.(1)若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若對(duì)任意的，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.4．（23-24高一下·陜西漢中·期中）已知函數(shù)有如下性質(zhì)：如果常數(shù)，那么該函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).(1)已知，，利用上述性質(zhì)，求函數(shù)的值域；(2)對(duì)于（1）中的函數(shù)和函數(shù)，若對(duì)任意，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的值.三、專項(xiàng)訓(xùn)練1．（23-24高一上·湖南衡陽(yáng)·期中）已知________，且函數(shù).①函數(shù)在上的值域?yàn)?；②函?shù)在定義域上為偶函數(shù).請(qǐng)你在①②兩個(gè)條件中選擇一個(gè)條件，將上面的題目補(bǔ)充完整.(1)求a，b的值；(2)求函數(shù)在R上的值域；(3)設(shè)，若，使得成立，求c的取值范圍.2．（23-24高一上·遼寧沈陽(yáng)·期中）已知函數(shù)，，(1)若對(duì)于任意的，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若不等式對(duì)及都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.3．（23-24高一上·福建泉州·期中）已知________,且整數(shù).①函數(shù)在定義域?yàn)樯蠟榕己瘮?shù);②函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?在①,②兩個(gè)條件中,選擇一個(gè)條件,將上面的題目補(bǔ)充完整,求出的值,并解答本題.(1)判斷的奇偶性,并證明你的結(jié)論;(2)設(shè),對(duì)任意的,總存在,使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.4．（23-24高一上·貴州遵義·階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．(1)若關(guān)于的方程的兩根滿足一根大于1，另外一根小于1，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)已知函數(shù)，若對(duì)任意，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．8．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)設(shè)．當(dāng)時(shí)，若對(duì)，，使，求實(shí)數(shù)的取值范圍．9．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，若，，使成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．10．（23-24高二下·重慶綦江·期中）已知函數(shù)（），（）．(1)若函數(shù)在處的切線方程為，求實(shí)數(shù)與的值；(2)當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的，存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．11．（23-24高三上·廣東深圳·階段練習(xí)）已知．(1)討論的單調(diào)性和極值；(2)若時(shí)，有解，求的取值范圍．12．（2023·青海西寧·二模）設(shè)函數(shù)．(1)若函數(shù)在其定義域上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，若在[上存在，使成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．13．（23-24高二上·河南·期末）已知函數(shù)在處取得極值．(1)求a，b的值；(2)若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．專題06利用導(dǎo)函數(shù)研究能成立（有解）問(wèn)題(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 1題型一：?jiǎn)巫兞坑薪鈫?wèn)題 1題型二：雙變量不等式有解問(wèn)題 6題型三：雙變量等式有解問(wèn)題 11三、專項(xiàng)訓(xùn)練 15一、必備秘籍分離參數(shù)法用分離參數(shù)法解含參不等式恒成立問(wèn)題，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來(lái)，得到一個(gè)一端是參數(shù)，另一端是變量表達(dá)式的不等式；步驟：①分類參數(shù)（注意分類參數(shù)時(shí)自變量的取值范圍是否影響不等式的方向）②轉(zhuǎn)化：，使得能成立；，使得能成立．③求最值.二、典型題型題型一：?jiǎn)巫兞坑薪鈫?wèn)題1．（2024·四川成都·一模）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，求證：有解.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求出、的值，利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程；（2）化簡(jiǎn)得出函數(shù)的解析式，利用可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，則，，則，故當(dāng)時(shí)，在處的切線方程為，即.（2）證明：當(dāng)時(shí)，，，，因?yàn)椋什坏仁接薪?2．（23-24高三上·廣東深圳·階段練習(xí)）已知．(1)討論的單調(diào)性和極值；(2)若時(shí)，有解，求的取值范圍．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，，討論和兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性和極值；（2）首先不等式參變分離為，在時(shí)有解，再構(gòu)造函數(shù)，，轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，令，得，，得，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，，得，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)，函數(shù)取得極小值，綜上可知，時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，無(wú)增區(qū)間，無(wú)極值；時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間，極小值，無(wú)極大值.（2）由題意可知，，時(shí)有解，則，在時(shí)有解，即，設(shè)，，，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以的最大值為，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.3．（20234·河南洛陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在處取得極值4．(1)求a，b的值；(2)若存在，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用題給條件列出關(guān)于a，b的方程組，解之并進(jìn)行檢驗(yàn)后即可求得a，b的值；（2）利用題給條件列出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，解之即得實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】（1），則．因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極值4，所以，解得此時(shí)．易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則是函數(shù)的極大值點(diǎn)，符合題意．故，．（2）若存在，使成立，則．由（1）得，，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．4．（2024·安徽淮南·一模）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)已知，若存在時(shí)，不等式成立，求的取值范圍．【答案】(1)函數(shù)在區(qū)間，上均單調(diào)遞減(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，將原不等式轉(zhuǎn)化為，即；再根據(jù)（1），可知在單調(diào)遞減，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)換為在，兩邊同取自然對(duì)數(shù)，采用分離參數(shù)法可得在上能成立，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）解：的定義域?yàn)橐驗(yàn)?，所以．令，則，所以函數(shù)在區(qū)間單增；在區(qū)間單減．又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，所以函數(shù)在區(qū)間，上均單調(diào)遞減；（2）解：當(dāng)，時(shí)，所求不等式可化為，即，易知，由（1）知，在單調(diào)遞減，故只需在上能成立．兩邊同取自然對(duì)數(shù)，得，即在上能成立．令，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，，所以，又，故的取值范圍是．5．（2024·廣東珠?！ひ荒＃┮阎瘮?shù)．（1）討論的單調(diào)性﹔（2）若存在，求的取值范圍．【答案】（1）分類討論，答案見(jiàn)解析；（2）．【分析】(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再按和分別討論導(dǎo)函數(shù)值正負(fù)而得解；(2)構(gòu)造函數(shù)，討論時(shí)在的值的正負(fù)，時(shí)再分段討論最小值情況即可得解.【詳解】(1)函數(shù)的定義域?yàn)?0，+∞)，，當(dāng)時(shí)，，則在上遞增，當(dāng)時(shí)﹐由得，由，得，由，得，于是有在上遞增，在上遞減；由，得，，當(dāng)時(shí)，，滿足題意，當(dāng)時(shí)，令，，在上遞增，則不合題意，當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，于是有在上遞減，在上遞增，，則時(shí)，，綜上，的取值范圍為．【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：對(duì)于能成立問(wèn)題，(1)函數(shù)f(x)定義區(qū)間為D，，a≥f(x)成立，則有a≥f(x)min；(2)函數(shù)f(x)定義區(qū)間為D，，a≤f(x)成立，則有a≤f(x)max.題型二：雙變量不等式有解問(wèn)題1．（23-24高三下·江蘇南京·階段練習(xí)）已知函數(shù)（）．(1)當(dāng)，求f（x）的極值．(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)，若存在，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）【答案】(1)極小值為3；極大值為4ln7－3(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求出極值即可；（2）存在，使，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上,即可求解.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，∴，令，可得1＜x＜7，令f＇（x）＜0，可得0＜x＜1或x＞7，∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（0，1），（7，＋∞），單調(diào)增區(qū)間為（1，7）∴x＝1時(shí)，函數(shù)取得極小值為3；x＝7時(shí)，函數(shù)確定極大值為4ln7－3；（2），令，若，則，∴f（x）在區(qū)間（0，＋∞）上單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，f（x）在上單調(diào)遞減，∴f（x）在上的最大值為，，令，得，當(dāng)時(shí)，，∴單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，∴g（x）單調(diào)遞增，∴在上的最小值為，由題意可知，解得，又∵，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，4）．2．（2024·廣西柳州·二模）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)設(shè)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，存在，使，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)分類討論，答案見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再分類討論求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間作答.（2）利用（1）的結(jié)論求出在上的最大值，再利用給定條件，構(gòu)建不等式并分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)最大值作答.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，而，當(dāng)時(shí)，由得，由得，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，由得，由得，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時(shí)，由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，而，則，任意，存在，使等價(jià)于，恒成立，則有，成立，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即有在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，因此當(dāng)時(shí)，最大值為，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.3．（23-24高三上·福建龍巖·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若曲線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求a的值；(2)設(shè)，若對(duì)任意，均存在，使得，求a的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程（含參數(shù)a），由切線過(guò)原點(diǎn)求出a的值；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性并求出上的最大值，由二次函數(shù)性質(zhì)求在上的最大值，根據(jù)已知不等式恒（能）成立求參數(shù)a的范圍.【詳解】（1）由，可得．因?yàn)?，，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線方程為：，因?yàn)榍芯€經(jīng)過(guò)，所以，解得．（2）由題知的定義域?yàn)?，，令，解得或，因?yàn)樗?，所以，令，即，解得：，令，即，解得：或，所以增區(qū)間為，減區(qū)間為．因?yàn)?，所以函?shù)在區(qū)間的最大值為，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故在區(qū)間上，所以，即，故，所以的取值范圍是.4．（23-24高二下·黑龍江大慶·）已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）證明：在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)；（Ⅲ）設(shè)，若對(duì)任意，均存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析；（Ⅲ）.【分析】（Ⅰ）將代入求出切點(diǎn)坐標(biāo)，由題可得，將代入求出切線斜率，進(jìn)而求出切線方程．（Ⅱ）設(shè)，則，由導(dǎo)函數(shù)研究的單調(diào)性進(jìn)，而得出答案．（Ⅲ）題目等價(jià)于，易求得，利用單調(diào)性求出的最小值，列不等式求解．【詳解】（Ⅰ），所以，即切線的斜率，且，從而曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（Ⅱ）設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.又，故在存在唯一零點(diǎn).所以在存在唯一零點(diǎn).（Ⅲ）由已知，轉(zhuǎn)化為，且的對(duì)稱軸所以.

由(Ⅱ)知，在只有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.又，所以當(dāng)時(shí)，.所以，即，因此，的取值范圍是.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是高考的重要考點(diǎn)，本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用單調(diào)性解決函數(shù)的恒成立問(wèn)題，存在性問(wèn)題等，屬于一般題．5．（23-24高三上·福建莆田·期中）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；(2)若，且對(duì)，都，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，注意構(gòu)造中間函數(shù)判斷的符號(hào)；（2）構(gòu)造研究其單調(diào)性證在上恒成立，再應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究在上的最大值，結(jié)合已知恒能成立有即可求范圍.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)，所以．設(shè)，則，故在上遞減．，即，在上單調(diào)遞減，最小值為．（2）令，則在上恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以，即在上恒成立；又，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為．綜上，只需，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．題型三：雙變量等式有解問(wèn)題1．（23-24高一上·湖北·期末）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，解不等式；(2)已知，當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的，總存在，使成立，求正實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解法求得正確答案.（2）先求和在區(qū)間上的值域，然后列不等式組來(lái)求得的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，由，解得或，所以不等式的解集為.（2）當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱軸為，且，，所以對(duì)任意的，.時(shí)，是增函數(shù)，，由得，若對(duì)任意的，總存在，使成立，所以，解得，所以正實(shí)數(shù)的取值范圍是.2．（23-24高二上·浙江·期中）函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，總有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，對(duì)，，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意恒成立，采用變量分離法得，求解出的最大值，從而得解；（2）根據(jù)題意可得出，在上的值域?yàn)樵谏系闹涤虻淖蛹?，根?jù)子集運(yùn)算規(guī)則解得參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：由得，當(dāng)時(shí)，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，故，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)等號(hào)成立，故；綜合得：；（2）記，，因?yàn)閷?duì)，，使得，所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，故，因?yàn)?，所以，即，又，?3．（23-24高一上·遼寧·期末）已知函數(shù)，.(1)若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若對(duì)任意的，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，由函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，得即可解決；（2）記函數(shù)，的值域?yàn)榧?，，的值域?yàn)榧?，則對(duì)任意的，總存在，使得成立，又，的值域分，，求解，即可解決.【詳解】（1）由題知，，因?yàn)榈膱D象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）記函數(shù)，的值域?yàn)榧?，，的值域?yàn)榧?，則對(duì)任意的，總存在，使得成立，因?yàn)榈膱D象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，所以當(dāng)，，，得，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，顯然不滿足題意；當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋驗(yàn)?，所以，解得；?dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，因?yàn)?，所以，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.4．（23-24高一下·陜西漢中·期中）已知函數(shù)有如下性質(zhì)：如果常數(shù)，那么該函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).(1)已知，，利用上述性質(zhì)，求函數(shù)的值域；(2)對(duì)于（1）中的函數(shù)和函數(shù)，若對(duì)任意，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)，則有，，再根據(jù)給定的性質(zhì)即可求解；（2）求出的值域，根據(jù)題意易得的值域是的值域的子集，由此列出不等式組，求解即可得出的范圍.【詳解】（1）依題意，，設(shè)，，則.令，.由已知性質(zhì)得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.又∵，，，∴.∴的值域?yàn)?（2）為減函數(shù)，故，.由題意得，當(dāng)時(shí)，的值域是的值域的子集，∴解得.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域的求法，函數(shù)的任意和存在性問(wèn)題的解法以及化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題.三、專項(xiàng)訓(xùn)練1．（23-24高一上·湖南衡陽(yáng)·期中）已知________，且函數(shù).①函數(shù)在上的值域?yàn)椋虎诤瘮?shù)在定義域上為偶函數(shù).請(qǐng)你在①②兩個(gè)條件中選擇一個(gè)條件，將上面的題目補(bǔ)充完整.(1)求a，b的值；(2)求函數(shù)在R上的值域；(3)設(shè)，若，使得成立，求c的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)所選條件，利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求a，b的值；（2）根據(jù)函數(shù)解析式，利用函數(shù)奇偶性結(jié)合基本不等式，求函數(shù)在R上的值域；（3）由已知條件，分類討論即可求解.【詳解】（1）選①函數(shù)在上的值域?yàn)?，，函?shù)在上單調(diào)遞增，可得，解得．選②函數(shù)在定義域上為偶函數(shù)，可得，解得.所以.（2），函數(shù)定義域?yàn)镽，因，則為奇函數(shù)．當(dāng)時(shí)，，由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以；當(dāng)時(shí)，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以；當(dāng)時(shí)，；所以的值域?yàn)?（3）若，使得成立，則有，即，當(dāng)時(shí)，，不合題意；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，解得；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，，解得；所以c的取值范圍為.2．（23-24高一上·遼寧沈陽(yáng)·期中）已知函數(shù)，，(1)若對(duì)于任意的，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若不等式對(duì)及都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意在上的值域是在上的值域的子集，通過(guò)分類討論函數(shù)單調(diào)性，求解函數(shù)最值，解不等式組求出實(shí)數(shù)的取值范圍.（2）在為單調(diào)增函數(shù)，所以，由對(duì)任意都恒成立，求解t的取值范圍.【詳解】（1）由題意在上的值域是在上的值域的子集，即，函數(shù)在上是增函數(shù)，，，函數(shù)圖像開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線，①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為增函數(shù)，，，∴，此時(shí)無(wú)解；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，，，，此時(shí)無(wú)解；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，，，，解得；④當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為減函數(shù)，，，∴，解得；綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.（2）由題意知，對(duì)任意都恒成立，由在為單調(diào)增函數(shù)，所以，即對(duì)都恒成立，，解得，即t的取值范圍為.3．（23-24高一上·福建泉州·期中）已知________,且整數(shù).①函數(shù)在定義域?yàn)樯蠟榕己瘮?shù);②函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?在①,②兩個(gè)條件中,選擇一個(gè)條件,將上面的題目補(bǔ)充完整,求出的值,并解答本題.(1)判斷的奇偶性,并證明你的結(jié)論;(2)設(shè),對(duì)任意的,總存在,使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)奇函數(shù),證明見(jiàn)解析;(2)【分析】(1)選①時(shí),根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì),定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,圖像關(guān)于軸對(duì)稱,求出,選②時(shí),根據(jù)單調(diào)性,代入函數(shù)值可求出,根據(jù)兩種情況下所求出的的值,代入中,利用奇偶函數(shù)的定義證明奇偶性即可;(2)由(1)結(jié)論求出在R上的值域,再求出在的值域,因?yàn)?,使得成立,只需值域是值域的子集即可,進(jìn)而求出的取值范圍.【詳解】（1）解:當(dāng)選①時(shí):因?yàn)樵诙x域?yàn)樯蠟榕己瘮?shù),所以,所以,且為偶函數(shù),所以故所以,;當(dāng)選②時(shí):因?yàn)閱握{(diào)遞增,在區(qū)間上的值域?yàn)?所以即,解得,綜上:.因?yàn)?所以,所以,故,所以是奇函數(shù);（2）解:由(1)知,,當(dāng)時(shí),,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立,所以,即時(shí),,當(dāng),,因?yàn)槭瞧婧瘮?shù),所以即時(shí),,綜上:,記值域?yàn)榧?,,記值域?yàn)榧?,,,使得成立,,,.4．（23-24高一上·貴州遵義·階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．(1)若關(guān)于的方程的兩根滿足一根大于1，另外一根小于1，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)已知函數(shù)，若對(duì)任意，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)奇偶性求得參數(shù)值，設(shè)，則函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，，從而得到實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）對(duì)任意，總存在，使得成立等價(jià)于的值域是值域的子集.【詳解】（1）是上的奇函數(shù)，，即，又，．即關(guān)于的方程的兩根滿足一根大于1，另外一根小于1，設(shè)，則函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，∴，即，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是；（2）由（1）知，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，∴，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，∴，綜上，的值域；∵，，∴的值域.∵對(duì)任意，總存在，使得成立，∴，即，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍為．5．（23-24高二下·廣東肇慶·階段練習(xí)）已知函數(shù)（為常數(shù)）(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)不等式在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(2)【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的解析式，對(duì)參數(shù)分類討論結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即可求解；（2）根據(jù)不等式的有解性問(wèn)題，分離參數(shù)、構(gòu)造新函數(shù)求出新函數(shù)的最值即可秋求解.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，解得，若，則，所以在上單調(diào)遞增，若，則，所以在上單調(diào)遞減，綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）在上有解，在上有解，在上有解，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，且，所以，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.6．（23-24高二下·北京順義·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；(3)是否存在，使得成立，若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)；(2)遞增；(3)存在，.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.（2）由導(dǎo)數(shù)值恒正判斷函數(shù)單調(diào)遞增.（3）假定存在，分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討最大值即可得解.【詳解】（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，則，而，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）當(dāng)時(shí)，，，因此，所以函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞增.（3）假定存在，使得成立，即存在，不等式成立，令，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得，即函數(shù)在上遞增，則，即，于是，而，因此，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，則，所以的取值范圍是.7．（23-24高三上·福建莆田·期中）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；(2)若，且對(duì)，都，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，注意構(gòu)造中間函數(shù)判斷的符號(hào)；（2）構(gòu)造研究其單調(diào)性證在上恒成立，再應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究在上的最大值，結(jié)合已知恒能成立有即可求范圍.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)，所以．設(shè)，則，故在上遞減．，即，在上單調(diào)遞減，最小值為．（2）令，則在上恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以，即在上恒成立；又，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為．綜上，只需，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．8．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)設(shè)．當(dāng)時(shí)，若對(duì)，，使，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)【分析】（1）求導(dǎo)根據(jù)極值點(diǎn)的大小關(guān)系可得導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間，進(jìn)而可得函數(shù)單調(diào)性；（2）由（1）在上的最小值為，再將題意轉(zhuǎn)化為在上的最小值不大于在上的最小值，進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)的最值討論即可.【詳解】（1）∵，∴，令，可得兩根分別為1，，∵，∴當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減．（2），，由（1）知，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，∴在上的最小值為．對(duì)，，使，即在上的最小值不大于在上的最小值，（*）又，∴①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)與（*）矛盾；②當(dāng)時(shí)，，同樣與（*）矛盾；③當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，，解不等式，可得，∴實(shí)數(shù)b的取值范