2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提優(yōu)思路(新高考專用)專題09數(shù)列求和(通項含絕對值數(shù)列求和)練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題09數(shù)列求和（通項含絕對值數(shù)列求和）(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、典型題型 1題型一：通項含絕對值 1題型二：通項含取整函數(shù) 3題型三：通項含自定義符號 4二、專題09數(shù)列求和（通項含絕對值數(shù)列求和）專項訓(xùn)練 5一、典型題型題型一：通項含絕對值如：求的前項和1．（2023·全國·模擬預(yù)測）在數(shù)列中，，．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．2．（23-24高二下·貴州遵義·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項和為，，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)當(dāng)n為多少時取得最大值，并求的最大值；(3)若，求數(shù)列的前n項和.3．（23-24高二下·河南南陽·開學(xué)考試）在等差數(shù)列中，，，其前項和為．(1)求出時的最大值；(2)求4．（23-24高三上·浙江紹興·期末）已知數(shù)列的前n項和為.若為等差數(shù)列，且滿足，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求.5．（23-24高二上·四川南充·期末）已知等差數(shù)列中，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．題型二：通項含取整函數(shù)如：求的前項和1．（23-24高三上·山東煙臺·期末）已知數(shù)列滿足，，用表示不超過的最大整數(shù)，則數(shù)列的前10項和為．2．（2024·海南海口·模擬預(yù)測）已知函數(shù)是高斯函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù)，如，.若數(shù)列滿足，且，記.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.3．（23-24高三上·重慶·期末）已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，．(1)求的通項公式；(2)表示不超過x的最大整數(shù)，如，．若，是數(shù)列的前n項和，求．4．（2024·山東煙臺·一模）在①；②；③是與的等比中項，三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并給出解答.問題：已知為公差不為零的等差數(shù)列，其前項和為為等比數(shù)列，其前項和為常數(shù)，，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令其中表示不超過的最大整數(shù)，求的值.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.題型三：通項含自定義符號如：記表示x的個位數(shù)字，如求的前項和1．（23-24高三上·湖北孝感·期中）設(shè)為數(shù)列的前項和，.數(shù)列前項和為且.數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）記表示的個位數(shù)字，如，求數(shù)列的前30項的和.2．（2023高三·全國·專題練習(xí)），，記表示的個位數(shù)字，如，求數(shù)列的前20項的和3．（23-24高三上·河北衡水·期中）設(shè)為數(shù)列的前項和，，數(shù)列滿足.(1)求及；(2)記表示的個位數(shù)字，如，求數(shù)列的前20項和.二、專題09數(shù)列求和（通項含絕對值數(shù)列求和）專項訓(xùn)練1．（23-24高二上·山東煙臺·期末）已知為數(shù)列的前項和，且，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.5．（2024·四川成都·二模）已知數(shù)列的前n項和，且的最大值為．(1)確定常數(shù)，并求；(2)求數(shù)列的前15項和．6．（2024高三·全國·專題練習(xí)），，（表示不超過的最大整數(shù)），求的前項和．7．（23-24高二下·廣東佛山·階段練習(xí)）從條件①；②；③中任選一個，補充在下面問題中，并給出解答.已知數(shù)列的前項和為，，_____________.(1)求的通項公式；(2)表示不超過的最大整數(shù)，記，求的前項和.8．（23-24高二上·江蘇常州·期中）已知是數(shù)列的前n項和，(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前10項和，其中表示不超過的最大整數(shù)，如，．9．（23-24高二·全國·課后作業(yè)）已知各項均為正數(shù)的無窮數(shù)列的前項和為，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記表示不超過的最大整數(shù)，如，.令，求數(shù)列的前項和.專題09數(shù)列求和（通項含絕對值數(shù)列求和）(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、典型題型 1題型一：通項含絕對值 1題型二：通項含取整函數(shù) 7題型三：通項含自定義符號 11二、專題09數(shù)列求和（通項含絕對值數(shù)列求和）專項訓(xùn)練 14一、典型題型題型一：通項含絕對值如：求的前項和1．（2023·全國·模擬預(yù)測）在數(shù)列中，，．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題知數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，進而得；（2）由題知為單調(diào)遞減數(shù)列，再根據(jù)，，分和兩種情況討論求解即可；【詳解】（1）解：因為在數(shù)列中，，，所以，，所以，等式兩邊同加上得，因為，所以，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，．（2）解：因為，即所以，為單調(diào)遞減數(shù)列，因為，，所以，時，，時，，記的前項和為，則，所以，當(dāng)時，，；當(dāng)時，，，①，②所以，①②得：，即，綜上，2．（23-24高二下·貴州遵義·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項和為，，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)當(dāng)n為多少時取得最大值，并求的最大值；(3)若，求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)；(2)，取得最大值；(3).【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列基本量的計算，轉(zhuǎn)化已知條件求得首項和公差，即可寫出通項公式；（2）求得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得結(jié)果；（3）對分類討論，在不同情況下，借助，即可求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因為等差數(shù)列的前n項和為，，，可得，，解得，，所以.（2）根據(jù)（1）中所求，，是關(guān)于的二次函數(shù)，其對稱軸；又，所以當(dāng)n為6時取得最大值，的最大值為36.（3）因為，所以，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，綜上.3．（23-24高二下·河南南陽·開學(xué)考試）在等差數(shù)列中，，，其前項和為．(1)求出時的最大值；(2)求【答案】(1)(2)【分析】（1）求出等差數(shù)列的首項和公差，可再求出，解不等式即得；（2）由確定哪些項小于0，哪些項大于0，根據(jù)絕對值的性質(zhì)分類可求和．【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，∵，∴，∴，∴，解得，∴，令，∴，因為∴的最大值為．（2）∵，，∴，由，得，∵，，∴數(shù)列中，前項小于，第項等于，以后各項均為正數(shù)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，綜上，．4．（23-24高三上·浙江紹興·期末）已知數(shù)列的前n項和為.若為等差數(shù)列，且滿足，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)題意求出的通項公式，可求得，再由與的關(guān)系求出；（2）由的通項公式，知，分和討論，并利用等差數(shù)列前n項和公式求解.【詳解】（1）由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，又，，，，，，則，，，又，，.（2）由（1）得，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，.5．（23-24高二上·四川南充·期末）已知等差數(shù)列中，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項公式求出公差，最后寫出其通項即可；（2）分和并結(jié)合等差數(shù)列求和公式即可得到答案.【詳解】（1）數(shù)列是等差數(shù)列，且，公差，因此，.（2）由（1）知，所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，;當(dāng)時，，因此，當(dāng)時，，當(dāng)時，，綜上，.題型二：通項含取整函數(shù)如：求的前項和1．（23-24高三上·山東煙臺·期末）已知數(shù)列滿足，，用表示不超過的最大整數(shù)，則數(shù)列的前10項和為．【答案】29【分析】直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系式和數(shù)列的取整問題的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】解：數(shù)列{an}滿足a1＝2，am+an＝am+n（m，n∈N*），設(shè)bn＝[log2an]，當(dāng)n＝m＝1時，b1＝[log22]＝1，a2＝a1+a1＝4，所以b2＝[log24]＝2，a3＝a1+a2＝6，所以b3＝[log26]＝2，a4＝a2+a2＝8，所以b4＝[log28]＝3，a5＝a2+a3＝10，所以b5＝[log210]＝3，a6＝a2+a4＝12，所以b6＝[log212]＝3，a7＝a3+a4＝14，所以b7＝[log214]＝3，a8＝a3+a5＝16，所以b8＝[log216]＝4，a9＝a4+a5＝18，所以b9＝[log218]＝4，a10＝a4+a6＝20，所以b10＝[log220]＝4，所以T10＝b1+b2+…+b10＝1+2+2+3+3+3+3+4+4+4＝29．故答案為：29．2．（2024·海南?？凇つM預(yù)測）已知函數(shù)是高斯函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù)，如，.若數(shù)列滿足，且，記.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）計算出，將兩式和做差，得出關(guān)于的隔項關(guān)系式，根據(jù)累加求和，求得通項即可；（2）由于……，給出“當(dāng)時，，……”等結(jié)論，分組計算數(shù)列的前項和即可.【詳解】（1）因為，，所以，因為，所以，將兩式相減，得：，所以數(shù)列的奇數(shù)項，偶數(shù)項分別單獨構(gòu)成等差數(shù)列.當(dāng)為奇數(shù)時，，，……，且，則，當(dāng)為偶數(shù)時，則，所以.（2）設(shè)的前項和為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以.3．（23-24高三上·重慶·期末）已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，．(1)求的通項公式；(2)表示不超過x的最大整數(shù)，如，．若，是數(shù)列的前n項和，求．【答案】(1)(2)23【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列基本量的計算可得公差和首項，即可求解，（2）根據(jù)所給定義可用列舉法求解，即可求和.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，則，，解得,故；（2）由可得前11項分別為故的前11項分別為所以.4．（2024·山東煙臺·一模）在①；②；③是與的等比中項，三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并給出解答.問題：已知為公差不為零的等差數(shù)列，其前項和為為等比數(shù)列，其前項和為常數(shù)，，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令其中表示不超過的最大整數(shù)，求的值.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】答案見解析【分析】若選（1）先求，可得，進而得，由基本量運算可得；（2）由，可得解.若選（1）先求，可得，進而得，由基本量運算可得；（2）由，可得解.若選（1）先求，可得，進而得，由基本量運算可得；（2）由，可得解.【詳解】若選：由已知，所以通項，故不妨設(shè)的公差為.則解得所以由，則，，所以.若選：由已知，，通項故.不妨設(shè)的公差為，則，解得所以.由，則，，所以.若選：由已知，所以通項，故不妨設(shè)的公差為.則，因為解得所以.由則，所以.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵一是利用基本量運算求解通項公式，二是根據(jù)判斷的值.題型三：通項含自定義符號如：記表示x的個位數(shù)字，如求的前項和1．（23-24高三上·湖北孝感·期中）設(shè)為數(shù)列的前項和，.數(shù)列前項和為且.數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）記表示的個位數(shù)字，如，求數(shù)列的前30項的和.【答案】（1）；；（2）.【分析】（1）利用可求數(shù)列的通項，利用可把轉(zhuǎn)化為，因此數(shù)列為等比數(shù)列，利用等比的數(shù)列的通項公式可求其通項，從而得到的通項公式.（2）結(jié)合（1）的通項公式可得是周期數(shù)列，且周期為5，從而利用分組求和法可求前30項的和.【詳解】解：（1）.時，，符合上式.∴.又，，而當(dāng)時，，，因為，故，因此，所以數(shù)列為等比數(shù)列，故，故.（2）由（1）得，，因為表示的個位數(shù)，因此均為周期數(shù)列，且周期為5.將數(shù)列中每5個一組，前30項和可分為6組，其前30項的和為.【點睛】本題考查數(shù)列通項以及數(shù)列求和，一般地，數(shù)列的通項與前項和的關(guān)系式，我們常利用這個關(guān)系式實現(xiàn)與之間的相互轉(zhuǎn)化，另外，數(shù)列求和應(yīng)該根據(jù)通項的形式選擇合適的求和方法，本題屬于中檔題.2．（2023高三·全國·專題練習(xí)），，記表示的個位數(shù)字，如，求數(shù)列的前20項的和【答案】【分析】由定義可得為1,3,5,7,9、為3,5,7,9,1周期數(shù)列，將數(shù)列中每5個一組，前20項和可分為4組再利用裂項相消計算可得答案.【詳解】因為，分別表示，的個位數(shù)，所以為1,3,5,7,9的周期數(shù)列，且周期為5，為3,5,7,9,1周期數(shù)列，且周期為5，將數(shù)列中每5個一組，前20項和可分為4組，其前20項的和為故答案為：.3．（23-24高三上·河北衡水·期中）設(shè)為數(shù)列的前項和，，數(shù)列滿足.(1)求及；(2)記表示的個位數(shù)字，如，求數(shù)列的前20項和.【答案】(1)，；(2)【分析】（1）根據(jù)，可求數(shù)列的通項，符合等差數(shù)列定義，可直接求出通項；（2）根據(jù)、的前5項可知數(shù)列是有周期性的，故可以求出前5項的和，再乘以4即可.【詳解】（1）當(dāng)時，，由于也滿足，則.，，，是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，.（2），的前5項依次為1，3，5，7，9.，的前5項依次為3，5，7，9，1.易知，數(shù)列與的周期均為5，的前20項和為.二、專題09數(shù)列求和（通項含絕對值數(shù)列求和）專項訓(xùn)練1．（23-24高二上·山東煙臺·期末）已知為數(shù)列的前項和，且，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用數(shù)列遞推式求數(shù)列的通項公式，結(jié)合累乘法求解；（2）分，兩種情況，利用等差數(shù)列的求和公式求解.【詳解】（1）由，得（），兩式相減得，即（），所以當(dāng)時，，經(jīng)檢驗也符合上式，故；（2）由題意，記，則數(shù)列的前項和，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，綜上，2．（23-24高三上·遼寧丹東·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的公差為整數(shù)，，設(shè)其前n項和為，且是公差為的等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解公差，進而可求解，（2）分類討論，即可根據(jù)等差數(shù)列求和公式求解.【詳解】（1）設(shè)的公差為，依題意得，所以，即，化簡得，解得或（舍去），，所以經(jīng)檢驗滿足題意.（2）依題意得，，，其前項和，當(dāng)時，，，故，當(dāng)時，，故所以.3．（23-24高三下·河南·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)證明見解析(2)當(dāng)時，；當(dāng)時，【分析】（1）由已知遞推公式，構(gòu)造等式，根據(jù)等差數(shù)列的定義可證得結(jié)論；（2）由（1）中的結(jié)論可求數(shù)列的通項，得到數(shù)列的通項，根據(jù)通項的符號去絕對值求前n項和.【詳解】（1）由，①當(dāng)時，．②①-②，得，又，則．即，故數(shù)列是等差數(shù)列．（2）由，令得，由，可知等差數(shù)列的公差，所以．設(shè)，則數(shù)列為遞增數(shù)列，其前4項為負，從5項開始為正，設(shè)的前n項和為，若，．若，．綜上，當(dāng)時，；當(dāng)時，．4．（23-24高二下·山東德州·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)當(dāng)時，求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由條件，根據(jù)當(dāng)時，可得，結(jié)合等比數(shù)列的定義求數(shù)列的通項公式，（2）由（1）求，分別在條件下，結(jié)合等差數(shù)列求和公式求數(shù)列的前n項和.【詳解】（1）由已知當(dāng)時，，所以.又，所以，所以；（2）因為，，所以，，，令，可得，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以.5．（2024·四川成都·二模）已知數(shù)列的前n項和，且的最大值為．(1)確定常數(shù)，并求；(2)求數(shù)列的前15項和．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)題意，求得，結(jié)合，即可求得數(shù)列的通項公式；（2）由（1）求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】（1）解：由數(shù)列的前n項和，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得當(dāng)時，取得最大值，即，解得，所以，

當(dāng)時，，當(dāng)時，（符合上式），所以數(shù)列的通項公式為.（2）解：由（1）知，可得，且當(dāng)