2024-2025學年北京市豐臺區(qū)第十二中學高二上學期10月月考數(shù)學試題（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年北京市豐臺區(qū)第十二中學高二上學期10月月考數(shù)學試題一、單選題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.過A0,1,B3A.?60° B.60° C.1202.已知直線l經(jīng)過點A(1,1,2),B(0,1,0)，平面α的一個法向量為n=(?2,0,?4)，則(

)A.l//α B.l⊥α

C.l?α D.l與α相交，但不垂直3.如圖，平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，E為BC的中點，AB=a，A.a?12b+c B.a4.設點A2,3,?4在xOy平面上的射影為B，則OB等于(

)A.29 B.5 C.255.在以下4個命題中，不正確的命題的個數(shù)為(

)①若a?b=②若三個向量a,b,③若a,b,④a?A.1個 B.2個 C.3個 D.4個6.已知向量a,b，則“a+b?a?b=0”是“aA.必要而不充分 B.充分而不必要

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7.已知PA=(2,1,?3)，PB=(?1,2,3)，PC=(7,6,λ)，若P，A，B，C四點共面，則λ=A.9 B.?9 C.?3 D.38.設A，B，C，D是空間不共面的四點，且滿足AB?AC=0，AC?AD=0?，ABA.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.不確定9.布達佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達·芬奇方磚，在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案(如圖1)，把三片這樣的達·芬奇方磚形成圖2的組合，這個組合表達了圖3所示的幾何體．若圖3中每個正方體的棱長為1，則點A到平面QGC的距離是(

)

A.14 B.12 C.210.正多面體也稱柏拉圖立體，被譽為最有規(guī)律的立體結構，是所有面都只由一種正多邊形構成的多面體(各面都是全等的正多邊形).數(shù)學家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體.如圖，已知一個正八面體ABCDEF的棱長為2，M，N分別為棱AD，AC的中點，則直線BN和FM夾角的余弦值為(

)

A.56 B.116 C.11.在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點M和N分別是正方形ABCD和BB1C1C的中心，點P為正方體表面上及內(nèi)部的點，若點A.32 B.38 C.12.菱形ABCD的邊長為4，∠A=60°，E為AB的中點(如圖1)，將?ADE沿直線DE翻折至?A′DE處(如圖2)，連接A′B，A′C，若四棱錐A′?EBCD的體積為43，點F為A′D的中點，則A.312 B.232 C.二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分。13.已知向量a=(?1,2,1),?b=(3,x,y)，且a//b，則x+y=14.已知i，j，k為空間兩兩垂直的單位向量，且a=i+2j?k，b=315.已知a=2,?2,3,b=1,1,?2，則向量a在向量16.已知直線l斜率的取值范圍是?3,1，則l的傾斜角的取值范圍是

17.長方體ABCD?A1B1C1D1中，AD=AA1=3,AB=4,E,F,G分別是棱C1D1,BC,CC1的中點，M18.如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD,PA=AB=1.G為PC的中點，M為?PBD內(nèi)一動點(不與P,B,D三點重合).給出下列四個結論：

①直線BC與PD所成角的大小為π4；②AG⊥BM；③GM的最小值為33；④若AM=2其中所有正確結論的序號是

．三、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。19.(本小題12分)已知空間中三點A?2,0,2,B?1,1,2(1)求a?(2)求向量a與向量b夾角的大小．20.(本小題12分)如圖，平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，以頂點A為端點的三條棱長都是1，∠BAD=90

(1)用a,b,c表示(2)求BM?A21.(本小題12分)如圖，正方體ABCD?A1B1C1D

(1)求證：BD1//(2)若點F是線段BD1的中點，求直線DF與平面D22.(本小題12分)如圖，在四棱錐P?ABCD中，PD⊥平面ABCD,AB//CD,∠ADC=90°，且(1)求證：AB⊥平面PAD；(2)求平面PAD與平面PBC夾角的余弦值；(3)在棱PB上是否存在點G(G與P,B不重合)，使得DG與平面PBC所成角的正弦值為23？若存在，求PGPB23.(本小題12分)學習閱讀以下材料，應用所學知識解決下面的問題．類比于二維空間(即平面)，向量a可用二元有序數(shù)組a1,a2表示，若n維空間向量a用n元有序數(shù)組a1,a①數(shù)乘運算：ka②加法運算：a+③數(shù)量積運算：a?④向量的模：a=⑤對于一組向量aii=1,2,?,m，若存在一組不同時為零的實數(shù)ki⑥在n維向量空間中，基底是一組線性無關的向量e1,e2,?,en設Ai是n元集合A=1,2,?,n的子集，集合Ai元素的個數(shù)記為Ai，若集合組A1,A2,?,Am同時滿足以下2個條件，則稱集合組A(1)當n=3時，集合組A1,A2,?,(2)當n=8時，集合組A1,A2,?,(3)Ai是n元集合A=1,2,?,n的子集，若集合組A1,A2參考答案1.B

2.B

3.B

4.D

5.C

6.A

7.B

8.A

9.C

10.D

11.A

12.A

13.?9

14.?3

15.?1,?1,2

16.0,π17.11418.①②④

19.(1)已知A(?2,0,2)，B(?1,1,2)，C(?3,0,3)．a(chǎn)=b=所以a+則a?((2)根據(jù)向量點積公式a?a?|a|b則cosθ=所以θ=120

20.(1)因為平行六面體ABCD?A1B1C1D所以M是A1C1又因為AB=a,AD=那么BM=因為BA1=所以BM=|BM因為∠BAD=90°，所以a?b=0所以c?|BM|2(2)因為AC所以BM==1

21.(1)連接D1C，D1

O,E分別是D1C,BC的中點，∴OE//B又BD1?平面DC1∴BD1//(2)如圖所示，以點D為坐標原點，分別以DA,DC,DD1所在直線為

則D(0,0,0)，C1(0,2,2)，E(1,2,0)，B(2,2,0),D∴DC1=(0,2,2)設n=(x,y,z)為平面D則n?DC1=0設直線DF與平面DC1Esinθ=故直線DF與平面DC1E

22.(1)因為PD⊥平面ABCD,AB?平面ABCD，所以PD⊥AB，又因為AB//CD,∠ADC=90所以AD⊥AB，而AD∩PD=D,AD,PD?平面PAD，所以AB⊥平面PAD；(2)因為PD⊥平面ABCD,AD,CD?平面ABCD，所以PD⊥CD,PD⊥AD，而CD⊥AD，于是建立如圖所示的空間直角坐標系，D0,0,0由(1)可知：AB⊥平面PAD，所以平面PAD的法向量為AB=設平面PBC的法向量為m=(x,y,z)，PB則有m設平面PAD與平面PBC夾角為θ，cosθ=(3)設PG=λPBλ∈于是有x,y,z?2=λDG=2λ,λ,2?2λ，由(2)可知平面PBC的法向量為假設DG與平面PBC所成角的正弦值為23，則有23=即PGPB

23.(1)當n=3時，A=1,2,3集合組A1,A2,?,Am具有性質P當Ai=1時，則Ai當Ai=3時，則Ai若集合組A1,A2,?,則對于其他集合Aj(j≠1)，要使則Aj所有可能集合為?,1,2,故集合組A1,A具有性質P的集合組中只可能包含1,若集合組中存在兩個集合Ai,A則Ai∩Aj=故集合組A1,A2,?,故m≤3．若集合組為：1,2,則有①Ai=1②Ai∩所以集合組A1,A綜上，m的最大值為3，相應滿足條件的集合組為：A1(2)集合A=1,2,3,?,n設其子集Ai對應向量αi=(若Ai為奇數(shù)，則k=1naik為奇數(shù)，即又由0×0=0×1=1×0=0,1×1=1可知，若Ai∩Aj為偶數(shù)，則αi且由條件可知，Ai≠?，且當n=8時，A=1,2,3,?,8若集合組為：1,2,則有①Ai=1②Ai∩所以集合組A1,A2,下面證明當m=9時，任意集合A9，集合組：1設A1則α1若集合組為：1,2,設集合A9對應向量α其中x1,x2,?,x8不妨理解為這9個集合對應8維空間中的9個向量α1且αi?αi為奇數(shù)，i=1,2,?,9，下面用反證法證明A1,A證明：假設A1,A由α9則α9若x1=1時，則x1則α9?α所以x1≠1，則同理，由α9?α故α9=0,0,0,?,0則A9=0，這與條件故集合組：1,下面證明任意集合組A1,A證明：假設存在一個集合組A1,A(i)設集合組中A1,A2,?,若α1,α又由Ai對應向量αi=(ai1,a則α9=i=18λiα即可轉化為存在不全為0的9個整數(shù)k1使得k1且其中向量等式中的整系數(shù)k1,k2,?,則k1其中α1?α若k1為奇數(shù)，則k1α故這與k1α1同理可得ki均為偶數(shù)，i=2,3,?,9這與9個整系數(shù)k1,k因此，若α1,α2,?,(ii)設集合組中A1,A2,?,若其中A1,A2,?,又由Ai對應向量αi=(ai1,a則存在λi∈Q，且λi不全為0,i=1,2,?,8即存在不全為0的8個整數(shù)t1,t且其中向量等式中的整系數(shù)t1,t2,?,則t1其中α1?α若t1為奇數(shù)，則t1α這與t1所以t1同理可得ti均為偶數(shù)，i=2,3,?,8這與8個整系數(shù)t1,t因此，若向量α1,α2,?,由(i)(ii)可知假設錯誤，故任意集合組A1,A綜上所述，m的最大值為8．(3)集合A=1,2,3,?,n若集合組為：1,2,則有①Ai=1為奇數(shù)，其中i=1,2,3,?,n；②即滿足條件①②，所以集合組A1,A2,下面證明當m=n+1時，任意集合An+1，集合組：1,2不妨設A1則α1若集合組為：1,2,3,?,n,設集合An+1對應向量αn+1=x1,x2,?,xn不妨理解為這n+1個集合對應n維空間的n+1個向量α1此時αi?α且αi?α下面用反證法證明集合組A1,A證明：假設集合組A1,Aαn+1則αn+1若x1=1時，則x1則αn+1?α1為奇數(shù)，這與條件所以x1≠1，則同理，由αn+1?α故αn+1=0,0,0,?,0則An+1=0，這與條件故任意集合組：1,2,下面證明任意集合組A1,A證明：假設存在一個集合組A1,A(i)設集合組中A1,A2,?,若α1,α又由Ai對應向量αi=(ai1,a則αn+1=i=1nλiα即可轉化為存在不全為0的n+1個整數(shù)k1使得k1且其中向量整系數(shù)k1,k2,?,則k1其中α1?α若k1為奇數(shù)，則k1α這與k1α1同理可得ki均為偶數(shù)，i=2,3,?,n+1這與n