有限元分析方法基本原理-2020-09-29

有限元分析方法基本原理—課程名稱：《工程有限元方法》—上課班級(jí)：金材1171—日期：2020-09-291一、碰撞測(cè)試有限元仿真實(shí)例（真實(shí)碰撞測(cè)試）2一、碰撞測(cè)試有限元仿真實(shí)例（有限元仿真）3設(shè)計(jì)（CAD）產(chǎn)品原型測(cè)試產(chǎn)品優(yōu)化最終產(chǎn)品設(shè)計(jì)（CAD）有限元仿真產(chǎn)品優(yōu)化最終產(chǎn)品高成本！開(kāi)發(fā)周期長(zhǎng)！低成本！開(kāi)發(fā)周期短！一、碰撞測(cè)試有限元仿真實(shí)例4傳統(tǒng)產(chǎn)品研發(fā)流程：現(xiàn)代化產(chǎn)品研發(fā)流程：二、金屬材料成形有限元仿真實(shí)例5

一變橫截面桿(右圖為等腰梯形)，一端固定，另一端承受拉力P，試求桿沿長(zhǎng)度方向任一截面變形大小。其中桿上邊寬度為w1，下邊寬度為w2，厚度為t，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，彈性模量為E

。三、有限單元法的基本概念:一維桿單元實(shí)例6

解：設(shè)桿任一橫截面面積為：平均應(yīng)力為，應(yīng)變?yōu)?，根?jù)力的平衡條件：

根據(jù)虎克定律：任一橫截面產(chǎn)生的應(yīng)變：①采用材料力學(xué)的研究方法進(jìn)行精確求解7將上述方程變換后得：沿桿的長(zhǎng)度方向進(jìn)行積分，得到精確解：可得桿沿長(zhǎng)度方向任一位置的變形：8給定P＝4450N，=3mm，

=250mm，

=72GPa，L1=L2=L3=L4=L/4=62.5mm=25mm，＝50mm，A1=150mm2

A2=150-0.3×62.5=131.25mm2

A3=150-0.3×62.5×2=112.5mm2

A4=150-0.3×62.5×3=93.75mm2

A5=150-0.3×62.5×4=75mm2

則：將分別帶入變形公式可得精確解為：910采用Matlab計(jì)算：②采用數(shù)值方法近似求解

將變橫截面桿沿長(zhǎng)度方向分成獨(dú)立的4小段等截面直桿，每一小段稱為一個(gè)單元，小段之間通過(guò)節(jié)點(diǎn)連接起來(lái)，這樣變橫截面桿就用5個(gè)節(jié)點(diǎn)和4個(gè)單元組成的模型來(lái)表示。11假設(shè)：任一橫截面為A，長(zhǎng)為的桿，承受外力F的作用，則桿的平均應(yīng)力為：桿的平均應(yīng)變?yōu)椋焊鶕?jù)虎克定律有：經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化得：12

上述方程與線性彈簧方程極為相似，說(shuō)明：一個(gè)中心點(diǎn)集中受力且橫截面相等的桿可以等效為一個(gè)彈簧，其等價(jià)剛度為:

因此，本題的變橫截面桿可以看作由四個(gè)線性彈簧串聯(lián)起來(lái)的模型來(lái)表示，每一個(gè)單元都可以視為一個(gè)線性彈簧，其彈性行為符合以下方程：1314

下面考慮每一個(gè)節(jié)點(diǎn)的受力，根據(jù)靜力平衡條件，每一個(gè)節(jié)點(diǎn)上的受力總和為0，即：節(jié)點(diǎn)1：節(jié)點(diǎn)2：節(jié)點(diǎn)3：節(jié)點(diǎn)4：節(jié)點(diǎn)5：15

將力寫(xiě)到右邊，得：節(jié)點(diǎn)1：節(jié)點(diǎn)2：節(jié)點(diǎn)3：節(jié)點(diǎn)4：節(jié)點(diǎn)5：16將上述方程組寫(xiě)成矩陣形式，有：17寫(xiě)成一般形式，可得：即：18

引入邊界條件，根據(jù)本題要求，節(jié)點(diǎn)1的位移為0，即，則有如下矩陣形式：19

求解上述矩陣方程，可得每個(gè)節(jié)點(diǎn)位移，進(jìn)而求得每個(gè)節(jié)點(diǎn)反作用力，每一個(gè)單元的平均應(yīng)力和應(yīng)變。即：20令P＝4450N，=3mm，

=250mm，

=72GPa，L1=L2=L3=L4=L/4=62.5mm=25mm，下面代入?yún)?shù)驗(yàn)證以上兩種方法求解的結(jié)果是否一樣？＝50mm，A1=150mm2A2=150-0.3×62.5=131.25mm2

A3=150-0.3×62.5×2=112.5mm2A4=150-0.3×62.5×3=93.75mm2

A5=150-0.3×62.5×4=75mm2

則：每個(gè)單元的等效剛度系數(shù)k1=(150+131.25)×72×1000000/(2×62.5)=162×106N/Mk2=(131.25+112.5)×72×1000000/(2×62.5)=140.4×106N/Mk3=(112.5+93.75)×72×1000000/(2×62.5)=118.8×106N/Mk4=(93.75+75)×72×1000000/(2×62.5)=97.2×106N/M21總體剛度矩陣：應(yīng)用邊界條件u1=0和負(fù)荷P＝4450N,可以得到：22求解上述方程可得：精確解為：2324

兩種結(jié)果非常接近，誤差非常小，如果要求更高的精度，可以劃分更多的節(jié)點(diǎn)和單元。但是，精確解采用嚴(yán)格的物理數(shù)學(xué)模型，通過(guò)積分等數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)才能得出結(jié)果，而離散化方法只需求解線性方程組就能求解，便于計(jì)算機(jī)編程求解，其結(jié)果能夠達(dá)到要求。求出位移后，其它參數(shù)就可以求解了。25每個(gè)單元的平均應(yīng)力：26③有限單元法概念

基本思想：將結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散，用有限個(gè)容易分析的單元來(lái)表示復(fù)雜的工程結(jié)構(gòu)，各單元之間通過(guò)節(jié)點(diǎn)相互連接，根據(jù)有限元基本理論建立有限元總體平衡方程KU=F，然后求解。有限元法是目前最為成功的通用工程分析方法和工具，并將在相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)期內(nèi)保持領(lǐng)先優(yōu)勢(shì)。2728三、有限單元法的基本概念:二維平面單元單元節(jié)點(diǎn)幾何模型逐個(gè)計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃嚱M集整體剛度矩陣并求解KU=F，得到節(jié)點(diǎn)位移計(jì)算模型內(nèi)部任意點(diǎn)的位移有限元理論推薦教材：29[1]LoganD.L.2007.Afirstcourseinthefiniteelementmethod(Nelson:Toronto,Ontario,Canada).中文譯本：《有限元方法基礎(chǔ)教程》

[2]ChandrupatlaT.R.2012.IntroductiontoFiniteElementsinEngineering(PrenticeHall:NewJersey).中文譯本：《工程中的有限元方法》，曾攀(譯)四、有限單元法的軟件實(shí)現(xiàn)CAE（ComputerAidedEngineering）技術(shù)，即計(jì)算機(jī)輔助工程技術(shù)，是近20年發(fā)展起來(lái)的一種新興學(xué)科，是一個(gè)涉及面廣，集計(jì)算力學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)、工程科學(xué)、工程管理學(xué)、現(xiàn)代計(jì)算技術(shù)等多種學(xué)科與工程于一體的綜合性、知識(shí)密集性的數(shù)值模擬分析技術(shù)，在現(xiàn)代工業(yè)技術(shù)改造與高新技術(shù)發(fā)展中具有重要的地位和作用。.30CAE軟件是包含了數(shù)值計(jì)算技術(shù)、數(shù)據(jù)庫(kù)、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、工程分析與仿真等在內(nèi)的綜合型軟件系統(tǒng)，基本結(jié)構(gòu)如下：用戶界面CADCAMCAPPPDM…數(shù)據(jù)管理系統(tǒng)數(shù)據(jù)庫(kù)知識(shí)庫(kù)專(zhuān)家系統(tǒng)前處理有限元分析后處理靜力分析動(dòng)力學(xué)分析振動(dòng)模態(tài)分析熱分析（溫度場(chǎng)）電磁場(chǎng)分析計(jì)算流體力學(xué)分析耦合分析31CAE軟件可分為專(zhuān)用與通用兩類(lèi)：針對(duì)特定類(lèi)型工程或產(chǎn)品所開(kāi)發(fā)的用于產(chǎn)品性能分析、預(yù)測(cè)和優(yōu)化分析的軟件，稱為專(zhuān)用CAE軟件，如顯式動(dòng)力學(xué)分析軟件LS/DYNA、焊接仿真軟件SysWeld、金屬鍛造仿真軟件Deform、金屬板料成型仿真軟件AutoForm、斷裂仿真軟件PhiPsi等。32

可以對(duì)多種類(lèi)型工程和產(chǎn)品的物理力學(xué)性能進(jìn)行分析、模擬、預(yù)測(cè)、評(píng)價(jià)和優(yōu)化，以實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品技術(shù)創(chuàng)新的軟件，稱為通用CAE軟件，比如

ANSYS（美國(guó)）、ABAQUS（法國(guó)）、ADINA（美國(guó)）、ALGOR（美國(guó)）、NASTRAN（美國(guó)）、COMSOL（瑞典）等。33

目前我國(guó)缺乏具備自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)的通用有限元軟件。34五、ANSYS有限元分析軟件（1）建模

GUI:Preprocessor;命令流：/prep7（2）加載及求解

GUI:Solution；命令流：/solu（3）觀察結(jié)果GUI：GeneralPostproc，TimeHistPostproc命令流：/post1,/post2635確定工作路徑和分析標(biāo)題（File<ChangeTile）選定單元（Plane182,Beam188,Shell181,Solid185）定義實(shí)常數(shù)（殼單元的厚度）或截面屬性（梁?jiǎn)卧?/p>

的形狀）定義材料性質(zhì)（多種材料需要增加材料類(lèi)型）創(chuàng)建幾何模型（注意有時(shí)需要Glue）劃分有限元網(wǎng)格施加載荷和約束（邊界條件）建模：36求解ANSYS/Structural求解功能Static--結(jié)構(gòu)靜力問(wèn)題（包括線性和非線性問(wèn)題），應(yīng)用最廣泛Modal--模態(tài)振動(dòng)特性計(jì)算分析（結(jié)構(gòu)固有頻率和振型）Harmonic--諧波分析（正弦激勵(lì)作用下的響應(yīng)）Transient--瞬態(tài)分析（任意隨時(shí)間變化載荷作用下的響應(yīng)）Spectrum--譜分析（輸入數(shù)據(jù)為響應(yīng)和頻率的關(guān)系曲線）EigenBuckling--特征值屈曲分析（線性）

37幾何模型和有限元模型：關(guān)鍵點(diǎn)線面體單元節(jié)點(diǎn)幾何模型有限元模型38ANSYS中的坐標(biāo)系：總體坐標(biāo)系局部坐標(biāo)系節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)系單元坐標(biāo)系結(jié)果坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系根據(jù)用途劃分：根據(jù)幾何類(lèi)型劃分：39ANSYS中單元類(lèi)型按形狀分類(lèi)：（1）質(zhì)點(diǎn)單元（如質(zhì)量單元Mass21）（2）線單元（如彈簧單元Combin14、桿Link180、梁Beam188、管單元Pipe288）（3）面單元（二維平面Plane182、殼Shell181等）（4）體單元（如Solid185等）（5）其它輔助單元，如預(yù)緊單元Pret179

，可以處理預(yù)緊螺栓；接觸單元，如CONTA172；目標(biāo)單元，如TRAGE17040plane182單元PLANE182?用于?2?維實(shí)體結(jié)構(gòu)建模。本單元即可用作平面單元?(平面應(yīng)力、平面應(yīng)變或廣義平面應(yīng)變)，也可作為軸對(duì)稱單元。本單元有四個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)?2?個(gè)自由度：節(jié)點(diǎn)??x?和?y?方向的平移。41ANSYS梁?jiǎn)卧狟eam188是一種3D線性、二次或三次的2節(jié)點(diǎn)梁?jiǎn)卧eam189是一種3D二次3節(jié)點(diǎn)梁?jiǎn)卧Ｃ總€(gè)節(jié)點(diǎn)有六個(gè)或者七個(gè)自由度，包括x、y、z?方向的平動(dòng)自由度和繞x、y、z?軸的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，還有一個(gè)可選擇的翹曲自由度。該單元非常適合線性、大角度轉(zhuǎn)動(dòng)或大應(yīng)變非線性問(wèn)題。ANSYS殼單元SHELL181單元適合對(duì)薄的到具有一定厚度的殼體結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析。它是一個(gè)4結(jié)點(diǎn)單元，每個(gè)結(jié)點(diǎn)具有6個(gè)自由度：x,y,z方向的位移自由度和繞X,Y,Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。Shell181單元非常適用于分析線性的，大轉(zhuǎn)動(dòng)變形和非線性的大形變。SHELL181單元可以應(yīng)用在多層結(jié)構(gòu)的材料，如復(fù)合層壓殼體或者夾層結(jié)構(gòu)的建模。ANSYS桿單元-Link180簡(jiǎn)介L(zhǎng)INK180單元是有著廣泛工程應(yīng)用的桿單元，它可以用來(lái)模擬桁架、纜索、連桿、彈簧等等。這種三維桿單元是桿軸方向的拉壓?jiǎn)卧?，每個(gè)節(jié)點(diǎn)具有三個(gè)自由度：沿節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)系X、Y、Z方向的平動(dòng)。本單元不承受彎矩。本單元具有塑性、蠕變、旋轉(zhuǎn)、大變形、大應(yīng)變等功能。同時(shí)本單元還具有彈性、各向同性塑性硬化、動(dòng)力塑性硬化、Hill（各向異性塑性）、Chaboche（非線性塑性硬化）以及蠕變等性能。ANSYS三維實(shí)體單元-Solid185單元Solid185單元用于構(gòu)造三維固體結(jié)構(gòu).單元通過(guò)8個(gè)節(jié)點(diǎn)來(lái)定義,每個(gè)節(jié)點(diǎn)有3個(gè)沿著xyz方向平移的自由度.單元具有超彈性,應(yīng)力鋼化，蠕變,大變形和大應(yīng)變能力.還可采用混合模式模擬幾乎不可壓縮彈塑材料和完全不可壓縮超彈性材料。Solid185應(yīng)用十分廣泛。45AN