151分式的概念和性質（講練）-2022-2023學年八年級數(shù)學上冊重要考點(人教版)

15.1分式的概念和性質分式的概念一般地，如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.注意：（1）區(qū)別：分式的分母中含有字母；分數(shù)的分子、分母中都不含字母.（2）聯(lián)系：由于分式中的字母可以表示不同的數(shù)，所以分式比分數(shù)更具有一般性；分數(shù)是分式中字母取特定值后的特殊情況.（3）但π表示圓周率，是一個常數(shù)，不是字母，如是整式而不能當作分式.（4）是分式，與有區(qū)別，是整式，即只看形式，不能看化簡的結果.題型1：分式的概念1.下列各式中，是分式的是（）A．?b2a B．a+b2 C．12【答案】A【解析】【解答】解：A、?b2aB、a+b2C、12D、3abπ故答案為：A.【分析】利用分式的定義：分母中含有字母的式子，可得到是分式的選項.【變式11】代數(shù)式xx+1，52x，3x3A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】【解答】解：xx+1，52x，3x3x，xπ，4?故答案為：B．【分析】根據(jù)分式的定義逐項判斷即可。【變式12】在代數(shù)式32+x，3+x2，32+x，A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】【解答】解：32+x、3+x2x的分母中含字母，是分式，3+x2、3故答案為：A．【分析】形如A/B，A、B是整式，B中含有字母且B不等于0的式子叫做分式。根據(jù)分式的定義求解即可。分式有意義，無意義或等于零的條件1.分式有意義的條件：分母不等于零.2.分式無意義的條件：分母等于零.3.分式的值為零的條件：分子等于零且分母不等于零.注意：（1）分式有無意義與分母有關但與分子無關，分式要明確其是否有意義，就必須分析、討論分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值為零.（2）本章中如果沒有特殊說明，所遇到的分式都是有意義的，也就是說分式中分母的值不等于零.（3）必須在分式有意義的前提下，才能討論分式的值.題型2：分式有意義、無意義的條件2.使分式x?32x?1有意義的x的取值范圍是()A．x≥12 B．x≤12 C．x＞12【答案】D【解析】【解答】解：由2x1≠0得x≠12故答案為：D.

【分析】分式有意義的條件：分母不為0，據(jù)此解答即可.【變式21】分式x+1x(x?1【答案】x≠0且x≠1【解析】【解答】解：分式x+1x(解得x≠0且x≠1故答案：x≠0且x≠1．

【分析】根據(jù)分式有意義的條件可得x(x?1)【變式22】要使分式3x2+2【答案】任意實數(shù)【解析】【解答】解：∵分式3x∴x∴x為任意實數(shù)故答案為：任意實數(shù)

【分析】根據(jù)分式有意義的條件列出不等式求解即可。題型3：分式值為0的條件3.使分式x2?1A．1 B．?1 C．±1 D．不存在【答案】A【解析】【解答】解：由題意得：x2﹣1＝0且x+1≠0，解得：x＝1.故答案為：A.【分析】分式值為0的條件：分子為0且分母不為0，據(jù)此解答即可.【變式31】如果分式|mA．m≠2 B．m=±2 C．m=﹣2 D．m=2【答案】D【解析】【解答】解：∵分式|m∴|m|﹣2=0，2m+4≠0，解得：m=2．故答案為：D．

【分析】根據(jù)分式的值為0的條件可得|m|﹣2=0，2m+4≠0，再求出m的值即可。當x＝2時，分式x?kx+m的值為0，則k、m必須滿足的條件是【答案】k＝2且m≠－2【解析】【解答】解：由分子xk=2k=0，解得：k=2；又x+m=2+m≠0即：m≠2．故答案為k=2、m≠2．【分析】將x=2代入分式，再根據(jù)分式的值為0的條件列出xk=2k=0，x+m=2+m≠0即可得出k、m需滿足的條件?！咀兪?2】若分式2?|x|(x?1)(x?2)=0，則x=【答案】2【解析】【解答】解：∵2?|x|∴2?|x|=0，且(x?1)(x?2)≠0，∴x=±2，且x≠1，且x≠2，∴x=2．故答案為：2．

【分析】利用分式的值為0的性質可以得到2?|x|=0，且(x?1)(x?2)≠0，再求解即可。當x=時，分式x2【答案】4【解析】【解答】解：根據(jù)題意可知x2解得：x=?4.故答案為：4.【分析】根據(jù)分式等于0時，分子等于等于且分母不為0.從而列出混合組，求解即可.已知分式x+12?x，當x取a時，該分式的值為0；當x取b時，分式無意義，則ab的值等于【答案】1【解析】【解答】解：分式x+12?x當x=a時，a+12?a當a+1＝0時，解得：a＝﹣1時，該分式的值為0；當x=b時，b+12?b當2﹣b＝0時，解得：b＝2，即x＝2時分式無意義，此時b＝2，則ab＝（﹣1）2＝1．故答案為：1．

【分析】先根據(jù)分式的值為0的條件求出a的值，再根據(jù)分式無意義的條件求出b的值，最后將a、b的值代入計算即可。分式的基本性質分式的分子與分母同乘(或除以)一個不等于0的整式，分式的值不變，這個性質叫做分式的基本性質，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）.注意：（1）基本性質中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知條件中隱含著的條件，一般在解題過程中不另強調；M≠0是在解題過程中另外附加的條件，在運用分式的基本性質時，必須重點強調M≠0這個前提條件.（2）在應用分式的基本性質進行分式變形時，雖然分式的值不變，但分式中字母的取值范圍有可能發(fā)生變化.例如：，在變形后，字母的取值范圍變大了.題型4：分式的基本性質4.下列等式中，正確的是（）A．ab=a+1C．ab=a【答案】B【解析】【解答】解：A.abB.abC.abD.0.故答案為：B．

【分析】根據(jù)分式的基本性質逐項判斷即可。【變式41】如果把分式中x+y2xyA．擴大為原來的2倍 B．縮小為原來的1C．不變 D．擴大為原來的4倍【答案】B【解析】【解答】解：分別用2x和2y去代換原分式中的x和y，得2x+2y2×2x×2y可見新分式縮小為原來的12故答案為：B．

【分析】分別用2x和2y去代換原分式中的x和y，然后化簡求值，從而判斷即可.【變式42】若把分式xyx+y的x和y都擴大3倍，那么分式xyA．擴大3倍 B．擴大9倍 C．擴大4倍 D．不變【答案】A【解析】【解答】解：把分式xyx+y3x×3y即分式的值擴大3倍．故答案為：A

【分析】根據(jù)已知列出算式，再根據(jù)分式的基本性質進行化簡即可。分式的變號法則對于分式中的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變；改變其中任何一個或三個，分式成為原分式的相反數(shù).分式的約分，最簡分式與分數(shù)的約分類似，利用分式的基本性質，約去分子和分母的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分.如果一個分式的分子與分母沒有相同的因式（1除外），那么這個分式叫做最簡分式.注意：根據(jù)分式的基本性質有，.根據(jù)有理數(shù)除法的符號法則有.分式與互為相反數(shù).分式的符號法則在以后關于分式的運算中起著重要的作用.注意：（1）約分的實質是將一個分式化成最簡分式，即約分后，分式的分子與分母再沒有公因式.（2）約分的關鍵是確定分式的分子與分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系數(shù)的最大公約數(shù)與相同因式最低次冪的積；當分式的分子、分母中含有多項式時，要先將其分解因式，使之轉化為分子與分母是不能再分解的因式積的形式，然后再進行約分.題型5：約分及最簡分式5.①分式?xx2A．?1x?y B．?1x+y C．【答案】A【解析】【解答】原式=?x=?1故答案為：A．

【分析】先把分母因式分解，再進行約分運算，即可得出答案.②下列分式①b8a②3x2y9xy2③a+b【答案】①③【解析】【解答】解：∵3x2y9xy∴②④⑤不是最簡分式，①③不能再化簡，是最簡分式．故答案為：①③．

【分析】根據(jù)最簡分式的的定義逐項判斷即可?！咀兪?1】約分：（1）x58x2=（2）7m2n【答案】（1）x（2）m（3）1【解析】【解答】解：（1）原式=x2?x（2）原式=7mm?m?7mn?(?5n)=m（3）原式=(a?b)2故答案為x38，【分析】根據(jù)分式的基本性質進行約分即可?！咀兪?2】化簡分式xy+xx2的結果是【答案】y+1【解析】【解答】解：xy+x故答案為：y+1【分析】利用分式的性質計算求解即可。化簡x2?4x【答案】x?2【解析】【解答】解：x=故答案為：x?2

【分析】先利用因式分解化簡分子和分母，再利用約分化簡即可。化簡分式x2?92x?6【答案】x+3【解析】【解答】解：x=(x+3)(x?3)=x+3故答案為：x+32【分析】先對分子分母進行因式分解再約分即可。分式的通分與分數(shù)的通分類似，利用分式的基本性質，使分式的分子和分母同乘適當?shù)恼?，不改變分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分.注意：（1）通分的關鍵是確定各分式的最簡公分母：一般取各分母所有因式的最高次冪的積作為公分母.（2）如果各分母都是單項式，那么最簡公分母就是各系數(shù)的最小公倍數(shù)與相同字母的最高次冪的乘積；如果各分母都是多項式，就要先把它們分解因式，然后再找最簡公分母.（3）約分和通分恰好是相反的兩種變形，約分是對一個分式而言，而通分則是針對多個分式而言.題型6：分式的通分6.把分式1x?y，1x+y，1A．x﹣y B．x+yC．x2﹣y2 D．（x+y）（x﹣y）（x2﹣y2）【答案】C【解析】【解答】解：分式1x?y，1x+y，則最簡公分母是（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2．故答案為：C.【分析】先分解第三個分式的分母，然后根據(jù)最簡公分母確定即可.【變式61】12a2b與【答案】6【解析】【解答】12a2b故答案為：6

【分析】根據(jù)最簡公分母的定義求解即可。分式1x2【答案】x（x+2）（x2）【解析】【解答】解：1?則最簡公分母為x（x+2）（x2），故答案為：x（x+2）（x2）．

【分析】根據(jù)最簡公分母的定義求解即可。分式1x2?y【答案】x(x+y)(x?y)【解析】【解答】解：兩個分式可化為：1(x+y)(x?y)，1故最簡公分母：x(x+y)(x?y)，故答案為：x(x+y)(x?y)．

【分析】先將題干中分式的分母因式分解，再根據(jù)最簡公分母的定義求解即可?！咀兪?2】通分：（1）2b3a2（2）2xx2【答案】（1）解：分式：2b3a2，?∴2b3a（2）解：分式：2xx2?9，x∴2xx2?9【解析】【分析】（1）先確定最簡公分母，然后通分即可；

（2）先分解兩個分式的分母確定最簡公分母，然后進行通分可得結果.（3）1x2?6x+9，【答案】解：因為它們的最簡公分母是3(x?3)所以,1x2x1【解析】【分析】先分解三個分式的分母，然后確定最簡公分母，最后通分可得結果.題型7：根據(jù)分式的正負求字母取值范圍7.若分式2x?5x2A．x為任意數(shù) B．x<52 C．x>5【答案】B【解析】【解答】解：∵分式2x?5x2+4∴2x5<0，解得x<5故答案為：B.【分析】根據(jù)分式的值為負數(shù)可得分子、分母異號，由分母為正數(shù)可得分子為負數(shù)，從而列出不等式求解可得x的范圍.【變式71】若分式2x?1xA．x為任意實數(shù) B．x<12 C．x>1【答案】C【解析】【解答】解：∵x2∴分式2x?1x2+3解得：x>1故答案為：C.【分析】先求出2x?1>0，再解不等式即可。【變式72】若分式x?1(x+1)2的值為負數(shù)，則x的取值范圍是【答案】x＜1且x≠1【解析】【解答】解：∵分式x?1(x+1)∴x1＜0，x+1≠0∴x＜1且x≠1故答案為：x＜1且x≠1．

【分析】根據(jù)分式的值為負數(shù)可得x1＜0，x+1≠0即可求出x的取值范圍。題型8：化簡求值解方程組8.已知＝0，求的值．【分析】直接利用算術平方根的性質以及絕對值的性質結合分式有意義的條件得出x，y的值，進而代入求出答案．【解答】解：∵＝0，∴x﹣3y＝0，x2﹣9＝0，x+3≠0，解得：x＝3，y＝1，則＝＝2．所以的值是2．【點評】此題主要考查了算術平方根的性質以及絕對值的性質，正確得出x，y的值是解題關鍵．【變式81】已知xyz≠0，且滿足x+3y+7z＝0，3x﹣4y﹣18z＝0，求的值．【分析】根據(jù)二元一次方程組的解法即可利用z表示出x與y，然后代入原式即可求出答案．【解答】解：由題意可知：，解得：∴原式＝＝＝【點評】本題考查分式的值，解題的關鍵是將三元一次方程組轉變?yōu)槎淮畏匠探M，本題屬于基礎題型．【變式82】已知x2﹣3xy﹣4y2＝0（y≠0），試求代數(shù)式的值．【分析】根據(jù)題意可得x﹣4y＝0或x+y＝0，即x＝4y或x＝﹣y，把x＝4y，x＝﹣y代入計算即可．【解答】解：∵x2﹣3xy﹣4y2＝0（y≠0），即（x﹣4y）（x+y）＝0，∴x﹣4y＝0或x+y＝0，即x＝4y或x＝﹣y，當x＝4y時，原式＝＝，當x＝﹣y時，原式＝＝2，答：代數(shù)式的值為或2．【點評】本題考查分式的值，由題意得到x＝4y或x＝﹣y是正確解答的前提．題型9：化簡求值整體代入法9.已知x+y＝6，xy＝9，求的值．【分析】首先化簡，然后把x+y＝6，xy＝9代入化簡后的算式計算即可．【解答】解：∵x+y＝6，xy＝9，∴＝＝＝＝．【點評】此題主要考查了分式的值，分式求值歷來是各級考試中出現(xiàn)頻率較高的題型，而條件分式求值是較難的一種題型，在解答時應從已知條件和所求問題的特點出發(fā)，通過適當?shù)淖冃?、轉化，才能發(fā)現(xiàn)解題的捷徑．【變式91】（1）已知＝1，求的值；（2）已知+＝2，求的值．【分析】（1）用a代替b代入原式化簡即可；（2）把2ab＝a+b代入原式化簡即可．【解答】解：（1）由得b＝a，代入式子得，；（2）由得2ab＝a+b代入式子得，．【點評】本題考查了分式的求值問題，關鍵是整體代入方式化簡．【變式92】已知＝2，求的值．【分析】先把＝2，變形為x＝2y，再代入，求解即可．【解答】解：∵＝2，∴x＝2y，∴＝．【點評】本題考查了分式的值，掌握整體代入思想的運用是解題的關鍵．題型10：化簡求值設輔助參數(shù)10.已知＝＝＝，且2b﹣d+5f≠0，求的值．【分析】由于＝＝＝，那么可得a＝b，c＝d，e＝f，把a、c、e的值同時代入所求的代數(shù)式中即可求值．【解答】解：∵＝＝＝，∴a＝b，c＝d，e＝f，∴＝＝＝．【點評】本題考查了分式的值，整體代入、分式化簡的有關知識．【變式101】已知：a：b：c＝2：3：5，求分式的值．【分析】設a、b、c均為k的倍數(shù)，然后用k表示出a、b、c，再把a、b、c的值代入代數(shù)式進行計算即可得解．【解答】解：∵a：b：c＝2：3：5，∴設a＝2k，b＝3k，c＝5k，（k≠0）∴＝＝＝﹣，即分式的值是﹣．【點評】本題考查了分式的值，利用“設k法”表示出a、b、c是解題的關鍵．【變式102】已知：，求代數(shù)式的值．【分析】設t＝，則x、y、z可以用同一個字母來表示，然后將其代入代數(shù)式，然后將代數(shù)式化簡即可．【解答】解：設t＝，則x＝2t①y＝3t②z＝4t③將①②③代入代數(shù)式，得＝＝，所以，代數(shù)式的值是．【點評】本題體現(xiàn)了轉化思想，將未知數(shù)x、y、z轉化為含有相同字母的量，然后代入所求代數(shù)式，只要將代數(shù)式化簡即可．題型11：分式與規(guī)律性題11.觀察下面一列分式：，﹣，，﹣，…（1）計算這列分式中，一個分式與它前一個分式的商，你有什么發(fā)現(xiàn)？（2）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出第n個分式．【分析】（1）按要求分別進行計算，得到商都是﹣；（2）先看分式的符號，第一個+，第二個﹣，依次可以看作（﹣1）n+1，分母的系數(shù)是1、2、4、8、都是2的冪；分母中x項，依次為x、x2、x3、x4…，得出第n個分式．【解答】解：（1）﹣＝﹣，÷（﹣）＝﹣，﹣÷＝﹣，…，發(fā)現(xiàn)：一個分式與它前一個分式的商，都是﹣；（2）第1個分式：，第2個分式：﹣，第3個分式：，第4個分式：﹣，…第n個分式：．【點評】本題考查了分式的定義、分式的除法和數(shù)字類的規(guī)律問題，分式的除法運算，根據(jù)除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)進行計算，對于分式中的規(guī)律問題，分解為三個問題考慮：分式的符號、分子、分母；把各個規(guī)律結合在一起，得出結論即可．【變式111】觀察式子：，﹣，，﹣，…，根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律知，第8個式子為．【分析】根據(jù)已知分式可以找到規(guī)律：第n個分式為（﹣1）n+1?．【解答】解：∵，﹣，，﹣，…，∴第n個分式為（﹣1）n+1?，∴第8個式子為（﹣1）8+1?＝﹣；故答案是：﹣．【點評】本題考查了分式的定義．解答該題時，是根據(jù)已知式子，找出第n個式子的通式后，再來求第8個式子的【變式112】觀察下列各式：2×＝2+；3×＝3+；4×＝4+…若n為正整數(shù)，用含n的等式表示上述規(guī)律．【分析】觀察以上等式，不難發(fā)現(xiàn)（n+1）×＝（n+1）+，其中，n為正整數(shù)．【解答】解：∵2×＝2+；3×＝3+；4×＝4+…，∴（n+1）×＝（n+1）+（n是正整數(shù)）．【點評】本題考查了分式的定義．仔細觀察數(shù)據(jù)的變化情況是解題的關鍵．一、單選題1．若分式x?2x+3的值等于0，則xA．2 B．2 C．3 D．3【答案】A【解析】【解答】解：由題意得：x?2=0x+3≠0，

解得：x=2.

【分析】分式等于零的條件是分子等于零，且分母不等于零，依此列式求解，即可解答.2．若把分式3xx+yA．擴大3倍 B．擴大9倍 C．不變 D．縮小3倍【答案】C【解析】【解答】∵把分式3xx+y3×3x3x+3y∴分式的值不變.故答案為：C.【分析】分別把分式3xx+y3．如果分式2xx+y中的x和yA．擴大2倍 B．擴大4倍C．縮小為原來的一半 D．不變【答案】D【解析】【解答】解：把分式2xx+y4x2x+2y=2x故答案為：D．

【分析】利用分式的性質判斷即可。4．下列變形從左到右一定正確的是（）A．ab=a?2b?2 B．ab=【答案】D【解析】【解答】A.因為分子，分母都－2，不符合分式基本選擇；B.因為沒有給出c≠0的條件；C.因為分子，分母分別平方不符合分式基本選擇.D.原式若有意義則隱含x≠0，所以分子，分母同除以x，符合分式基本選擇.故答案為：D

【分析】根據(jù)分式的定義判斷即可5．下列不屬于分式12x2A．（2x2﹣18）（4x+12） B．16（x﹣3）（x+3）C．4（x﹣3）（x+3） D．2（x+3）（x﹣3）【答案】D【解析】【解答】解：∵12xx4x+12=x∴最簡公分母是4（x+3）（x﹣3），A、（2x2﹣18）（4x+12）=2（x+3）×4（x﹣3）（x+3），故本選項錯誤；B、16（x+3）（x﹣3）=4×4（x﹣3）（x+3），故本選項錯誤；C、4（x+3）（x﹣3）=4（x+3）（x﹣3），故本選項錯誤；D、2（x+3）（x﹣3）不是公分母，故本選項正確；故選D．【分析】先把各個分母分解因式，再找出最簡公分母，即可得出選項．二、填空題6．化簡：6ab3【答案】3【解析】【解答】解：6ab故答案為：3b【分析】利用分式的基本性質進行約分，即可得到答案.7．若分式x3x+2的值為0，則x的值為【答案】0【解析】【解答】解：由題意可得x=0且3x+2≠0，解得x=0.故答案為：0.【分析】根據(jù)分式值為0的條件“分子等于0，且分母不為0”可得x=0且3x+2≠0，求解可得x的值.8．若分式x?2x+1的值為0，則x=【