初一-第03講-整式的乘法與平方差公式(提高)-教案

學科教師輔導講義學員編號：年級：七年級課時數(shù)：3學員姓名：輔導科目：數(shù)學學科教師：授課主題第03講---整式的乘法與平方差公式授課類型T同步課堂P實戰(zhàn)演練S歸納總結(jié)教學目標掌握整式的乘法法則，能夠準確計算整式乘法的計算題；理解平方差公式，了解平方差公式的幾何背景，會靈活運用平方差公式進行計算。授課日期及時段T（Textbook-Based）——同步課堂體系搭建體系搭建一、知識框架二、知識概念（一）整式的乘法1、單項式與單項式相乘法則：把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘，其余字母連同它的指數(shù)保持不變，作為積的因式。2、單項式與多項式相乘法則：根據(jù)分配律用單項式乘以多項式的每一項，再把所得的積相加。公式如下：都是單項式）3、多項式與多項式相乘法則：先用一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。公式如下：都是單項式）（二）平方差公式1、平方差公式：，即兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差。公式的推導：。平方差公式的逆用即平方差公式的特點：（1）左邊是兩個二項式的積，，在這兩個二項式中，有一項（a）完全相同，另一項（b和-b）互為相反數(shù)。（2）右邊是乘式中兩項的平方差（相同項的平方減去符號相反項的平方）（3）公式中的a和b可以是具體數(shù)，也可以是單項式和多項式。2、平方差公式的幾何意義如圖兩幅圖中，陰影部分的面積相等，第一個圖的陰影部分的面積是：a2﹣b2，第二個圖形陰影部分的面積是：（a+b）（a﹣b），則a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）平方差公式的幾何意義還有很多，有興趣的同學可以鉆研一下。3、平方差公式的應用。平方差公式一般運用在化簡求值，找規(guī)律簡便計算中等。會涉及到平方差公式的逆用。典例分析典例分析考點一：整式的乘法例1、下列運算正確的是（）A．（x2）3+（x3）2=2x6 B．（x2）3?（x2）3=2x12 C．x4?（2x）2=2x6 D．（2x）3?（﹣x）2=﹣8x5【解析】A例2、下列計算正確的是（）A．（﹣2a）?（3ab﹣2a2b）=﹣6a2b﹣4a3bB．（2ab2）?（﹣a2+2b2﹣1）=﹣4a3b4C．（abc）?（3a2b﹣2ab2）=3a3b2﹣2a2b3D．（ab）2?（3ab2﹣c）=3a3b4﹣a2b2c【解析】D例3、若（am+1bn）（a2m﹣1b2n）=a5b6（a、b均不等于1和0）則求m+n的值．【解析】解：（am+1bn）（a2m﹣1b2n）=a3mb3n=a5b6m=，n=2，m+n=+2=例4、“三角”表示3abc，“方框”表示﹣4xywz，則=【解析】根據(jù)題意得：原式=9mn×（﹣4n2m5）=﹣36m6n3。故答案為：﹣36m6n3例5、計算：（1）（﹣4ab3）（﹣ab）﹣（ab2）2（2）（1.25×108）×（﹣8×105）×（﹣3×103）（3）（x2y﹣xy2﹣y3）（﹣4xy2）（4）anb2[3bn﹣1﹣2abn+1+（﹣1）2003]【解析】（1）原式=a2b4（2）原式=3×1017（3）原式=﹣3x3y3+2x2y4+xy5（4）原式=3anbn+1﹣2an+1bn+3﹣anb2例6、若（x2+px﹣）（x2﹣3x+q）的積中不含x項與x3項（1）求p、q的值；（2）求代數(shù)式（﹣2p2q）2+（3pq）﹣1+p2012q2014的值【解析】解：（1）（x2+px﹣）（x2﹣3x+q）=x4+（p﹣3）x3+（q﹣3p﹣）x2+（qp+1）x+q，∵積中不含x項與x3項，∴P﹣3=0，qp+1=0∴p=3，q=﹣，（2）（﹣2p2q）2+（3pq）﹣1+p2012q2014=[﹣2×32×（﹣）]2++×（﹣）2=35例7、已知代數(shù)式（mx2+2mx﹣1）（xm+3nx+2）化簡以后是一個四次多項式，并且不含二次項，請分別求出m，n的值，并求出一次項系數(shù)．【解析】解：（mx2+2mx﹣1）（xm+3nx+2）=mxm+2+3mnx3+2mx2+2mxm+1+6mnx2+4mx﹣xm﹣3nx﹣2，因為該多項式是四次多項式，所以m+2=4，解得：m=2，原式=2x4+（6n+4）x3+（3+12n）x2+（8﹣3n）x﹣2∵多項式不含二次項∴3+12n=0，解得：n=，所以一次項系數(shù)8﹣3n=8.75考點二：平方差公式例1、下列等式成立的是（）A．（a+4）（a﹣4）=a2﹣4 B．2a2﹣3a=﹣a C．a(chǎn)6÷a3=a2 D．（a2）3=a6【解析】D例2、已知a=20162，b=2015×2017，則（）A．a(chǎn)=b B．a(chǎn)＞b C．a(chǎn)＜b D．a(chǎn)≤b【解析】B例3、下列各式中不能用平方差公式計算的是（）A．（2a+b）（2a﹣b） B．（2a+b）（b﹣2a） C．（2a+b）（﹣2a﹣b） D．（2a﹣b）（﹣2a﹣b）【解析】C例4、計算：（1）（x+2）（x﹣2）（x2+4）（2）（2a+b）（2a﹣b）﹣4a（a﹣b）（3）（4）4002﹣399×401（5）（2x﹣3y）（3y+2x）﹣（4y﹣3x）（3x+4y）（6）（x+y）（x-y）+（2x+y）（2x-y）【解析】（1）原式=x4﹣16（2）原式=﹣b2+4ab（3）原式=12.32（4）原式=1（5）原式=13x2﹣25y2（6）原式=5x2-2y2例5、若（N+2005）2=123456789，求（N+2015）（N+1995）的值．【解析】解：∵（N+2015）（N+1995）=[（N+2005）+10][（N+2005）﹣10]=（N+2005）2﹣102（N+2005）2=123456789∴原式=123456789﹣100=123456689例6、兩個兩位數(shù)的十位數(shù)字相同，一個數(shù)的個位數(shù)字是6，另一個數(shù)的個位數(shù)字是4，它們的平方差是220，求這兩個兩位數(shù)．【解析】解：設這兩個兩位數(shù)的十位數(shù)字是x，則這個兩位數(shù)依次表示為10x+6，10x+4，∴（10x+6）2﹣（10x+4）2=220解得：x=5∴這個兩位數(shù)分別是56和54考點三：平方差公式的幾何意義例1、乘法公式的探究及應用．（1）如圖1，可以求出陰影部分的面積是（2）如圖2，若將陰影部分裁剪下來，重新拼成一個矩形，它的寬是，長是，面積是（寫成多項式乘法的形式）（3）比較左、右兩圖的陰影部分面積，可以得到乘法公式（用式子表達）（4）運用你所得到的公式，計算：①10.3×9.7②（x+2y﹣3）（x﹣2y+3）【解析】（1）a2﹣b2（2）寬是：a﹣b，長是：a+b，面積是：（a+b）（a﹣b）；（3）（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；（4）10.3×9.7=（10+0.3）（10﹣0.3）=100﹣0.09=99.91（x+2y﹣3）（x﹣2y+3）=[x+（2y﹣3）][x﹣（2y﹣3）]=x2﹣（2y﹣3）2=x2﹣（4y2﹣12y+9）=x2﹣4y2+12y﹣9例2、如圖1所示，從邊長為a的正方形紙片中減去一個邊長為b的小正方形，再沿著線段AB剪開，把剪成的兩張紙拼成如圖2的等腰梯形，（1）設圖1中陰影部分面積為S1，圖2中陰影部分面積為S2，請直接用含a、b的代數(shù)式表示S1和S2；（2）請寫出上述過程所揭示的乘法公式．【解析】解：（1）∵大正方形的邊長為a，小正方形的邊長為b，∴S1=a2﹣b2S2=（2a+2b）（a﹣b）=（a+b）（a﹣b）；（2）根據(jù)題意得：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2例3、如圖，邊長為a的大正方形是由邊長為b的小正方形和四個全等的梯形拼成的，請利用此圖證明平方差公式【解析】先求出梯形的高為（a﹣2b），再根據(jù)四個梯形的面積列出等式整理即可得證．證明：∵四個梯形是全等梯形，∴梯形的高為∴四個梯形的面積=4××（a+b）×=a2﹣b2整理得（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2P(Practice-Oriented)——實戰(zhàn)演練實戰(zhàn)演練實戰(zhàn)演練課堂狙擊1、下列運算中，正確的是（）A．2x4﹣3x2=﹣x2 B．2x4+3x2=5x6 C．2x4?3x2=6x8 D．2x4?3x2=6x6【解析】D2、設（xm﹣1yn+2）?（x5my﹣2）=x5y3，則nm的值為．【解析】解：∵（xm﹣1yn+2）?（x5my﹣2）=xm﹣1+5myn+2﹣2=x5y3∴m﹣1+5m=5，n+2﹣2=3解得m=1，n=3∴nm=31=33、某同學在計算一個多項式乘以﹣3x2時，因抄錯運算符號，算成了加上﹣3x2，得到的結(jié)果是x2﹣4x+1，那么正確的計算結(jié)果是多少？【解析】這個多項式是（x2﹣4x+1）﹣（﹣3x2）=4x2﹣4x+1正確的計算結(jié)果是：（4x2﹣4x+1）?（﹣3x2）=﹣12x4+12x3﹣3x24、若（x2+ax+1）?（﹣ax3）的展開式中，不含有x4項，則3a﹣1的值為【解析】解：（x2+ax+1）（﹣ax3）=﹣ax5﹣a2x4﹣ax3展開式中不含x4項，則a2=0∴a=0∴3a﹣1=1﹣1=05、計算：（1）（﹣4xy3）?（xy）+（﹣3xy2）2（2）3（3m﹣n）2?（3m﹣n）3?（n﹣3m）（3）（4）（﹣2x3y）?（3xy2﹣4xy+1）（5）（3x﹣2）（3x+2）﹣6（x2+x﹣1）（6）（2x2﹣4）（2x﹣1﹣x）【解析】（1）原式=7x2y4（2）原式==﹣（3m﹣n）6（3）原式=﹣x4y4z﹣3x4y4z=﹣x4y4z（4）原式=﹣6x4y3+8x4y2﹣2x3y（5）原式=3x2﹣6x+2（6）原式=x3﹣2x2﹣2x+46、當m、n為何值時，x[x（x+m）+nx（x+1）+m]的展開式中，不含有x2和x3的項？【解析】x[x（x+m）+nx（x+1）+m]=x（x2+mx+nx2+nx+m）=（1+n）x3+（m+n）x2+mx，根據(jù)結(jié)果中不含x2和x3的項，得到1+n=0，m+n=0，解得：m=1，n=﹣17、若（x2+nx+3）（x2﹣3x+m）的展開式中不含x2和x3項，求m，n的值【解析】解：原式的展開式中，含x2的項是：mx2+3x2﹣3nx2=（m+3﹣3n）x2含x3的項是：﹣3x3+nx3=（n﹣3）x3由題意得：，解得8、化簡求值：已知：（x+a）（x﹣）的結(jié)果中不含關于字母x的一次項，求（a+2）2﹣（1﹣a）（﹣a﹣1）的值．【解析】（x+a）（x﹣）=x2+ax﹣x﹣a=x2+（a﹣）x﹣a由題意得a﹣=0則a=（a+2）2﹣（1﹣a）（﹣a﹣1）=a2+4a+4+1﹣a2=4a+5當a=時，原式=4×+5=119、如圖（1）所示，邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形，如圖（2）是由圖（1）中陰影部分拼成的一個長方形．（1）請你分別表示出這兩個圖形中陰影部分的面積：a2﹣b2、（a+b）（a﹣b）．（2）請問以上結(jié)果可以驗證哪個乘法公式？a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．（3）試利用這個公式計算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1．【解析】（1）∵大正方形的面積為a2，小正方形的面積為b2，故圖（1）陰影部分的面積值為：a2﹣b2，圖（2）陰影部分的面積值為：（a+b）（a﹣b）．故答案為：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）（2）以上結(jié)果可以驗證乘法公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）故答案為：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）（3）原式=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1=264﹣1+1=264課后反擊1、下列各題，計算正確的是（）A．﹣3a2?4a3=﹣12a6 B．（x3）2=x9C．（﹣3m3）3=﹣9mx9 D．（﹣xn）2=x2n【解析】D2、化簡：3（x﹣y）2?[﹣（y﹣x）3][﹣（x﹣y）4]【解析】原式=3（x﹣y）2?[﹣（y﹣x）3][﹣（x﹣y）4]=3（y﹣x）2?[﹣（y﹣x）3][﹣（y﹣x）4]=3×（﹣）×（﹣）×（y﹣x）9=（y﹣x）93、通過計算幾何圖形的面積可表示一些代數(shù)恒等式，如圖可表示的代數(shù)恒等式是（）A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．2a（a+b）=2a2+2ab D．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2【解析】C4、計算：（1）（﹣a2b）（b2﹣a+）（2）﹣6a3b?（﹣2ab2c）（3）﹣2a2b（3ab2﹣ab﹣1）（4）（5a2﹣a+1）（﹣3a2）【解析】（1）原式=﹣a2b3+a3b﹣a2b（2）原式=12a4b3c（3）原式=﹣6a3b3+2a3b2+2a2b（4）原式=﹣15a4+a3﹣3a25、某同學在計算一個多項式乘以﹣2a時，因抄錯運算符號，算成了加上﹣2a，得到的結(jié)果是a2+2a﹣1，那么正確的計算結(jié)果是多少？【解析】∵計算一個多項式乘以﹣2a時，因抄錯運算符號，算成了加上﹣2a，得到的結(jié)果是a2+2a﹣1，∴這個多項式為：a2+2a﹣1+2a=a2+4a﹣1，∴正確的計算結(jié)果是：﹣2a（a2+4a﹣1）=﹣2a3﹣8a2+2a6、（1）（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1（n是正整數(shù)）（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（32014+1）﹣【解析】解：（1）原式=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1=（22﹣1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1=（24﹣1）（24+1）…（22n+1）+1=24n﹣1+1=24n（2）原式=（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）…（32014+1）﹣=（32﹣1）（32+1）（34+1）…（32014+1）﹣=（34028﹣1）﹣=﹣7、如圖，大正方形的邊長為m，小正方形的邊長為n，若用x、y表示四個相同長方形的兩邊長（x＞y），給出以下關系式：①x+y=m；②x﹣y=n；③xy=．其中正確的關系式的個數(shù)有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【解析】