非線性偏微分方程-偏微分方程數(shù)值方法

非線性偏微分方程偏微分方程數(shù)值方法非線性偏微分方程偏微分方程數(shù)值方法非線性偏微分方程定義:各階微分項(xiàng)有次數(shù)高于一的，該微分方程即為非線性微分方程(一)主要研究內(nèi)容非線性偏微分方程是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，無論在理論中還是在實(shí)際應(yīng)用中，非線性偏微分方程均被用來描述力學(xué)、控制過程、生態(tài)與經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)、化工循環(huán)系統(tǒng)及流行病學(xué)等領(lǐng)域的問題。利用非線性偏微分方程描述上述問題充分考慮到空間、時(shí)間、時(shí)滯的影響，因而更能準(zhǔn)確的反映實(shí)際。本方向主要研究非線性偏微分方程、H-半變分不等式、最優(yōu)控制系統(tǒng)的微分方程理論及其在電力系統(tǒng)的應(yīng)用。1.非線性偏微分方程的研究:我們主要研究偏微分方程解的存在唯一性(和多解性)及穩(wěn)定性;偏微分方程的初值問題、初邊值問題的整體解(包括周期解和概周期解)的存在性及漸近性;平衡解的存在性，尤其是當(dāng)問題依賴于某些參數(shù)時(shí)平衡解的分叉結(jié)構(gòu)，以及平衡解的穩(wěn)定性問題;非線性方程的數(shù)值解。2.H-半變分不等式的研究:建立具有極大單調(diào)算子擾動(dòng)的多值(S)型和偽單調(diào)型映象的廣義度理論，廣義不動(dòng)點(diǎn)指標(biāo)理論和具有非凸、不可微泛函的非線性發(fā)展型H-半變分不等式理論，由此來研究含間斷項(xiàng)的非線性偏微分方程。3.最優(yōu)控制系統(tǒng)的微分方程理論及其在電力系統(tǒng)的應(yīng)用:主要研究與電力生產(chǎn)有關(guān)的控制系統(tǒng)的理論和應(yīng)用。首先提出了對Banach空間中抽象非線性發(fā)展方程所描述的最優(yōu)控制系統(tǒng)的研究。引進(jìn)非光滑分析，研究最優(yōu)控制系統(tǒng)的微分方程，利用變分不等式理論研究多值問題、數(shù)值計(jì)算等，所獲理論成果應(yīng)用于電力系統(tǒng)的許多最優(yōu)控制問題(如:電力系統(tǒng)勵(lì)磁調(diào)節(jié)器傳遞函數(shù)的辨識、牛頓最優(yōu)潮流的數(shù)學(xué)模型等)。(二)研究方向的特色1.變分不等式理論與能量泛函的凸性密切相關(guān)，由于現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的需要，特別是研究自由邊界和固體力學(xué)問題的需要，傳統(tǒng)的方法往往都無法解決這類問題，人們對H-半變分不等式進(jìn)行研究，研究涉及現(xiàn)代分析及應(yīng)用、偏微分方程以及科學(xué)計(jì)算等眾多領(lǐng)域中亟待解決和發(fā)展的重要課題。2.該研究是現(xiàn)代數(shù)學(xué)與電力生產(chǎn)的交叉學(xué)科研究課題，它對電力生產(chǎn)及管理有著十分重要的理論指導(dǎo)意義和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，為控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)、分析和計(jì)算都可提供一些重要的理論依據(jù)。在應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科的這一研究領(lǐng)域中本課題屬于國內(nèi)外前沿性研究工作。(三)可取得的突破1.深入研究空間、時(shí)間、時(shí)滯對解的性質(zhì)的影響，諸如靜態(tài)解、周期解的存在性、解的存在性、漸近性等問題;尋求它們在含間斷項(xiàng)的非線性偏微分方程方面的突破。2.尋求和發(fā)現(xiàn)新的處理非單調(diào)、非凸不可微能量泛函的方法(如建立Ishikawa迭代序列收斂準(zhǔn)則)，建立發(fā)展型方程G-收斂準(zhǔn)則，尋求可行的光滑方法將算子方程光滑化，創(chuàng)建新的先驗(yàn)估計(jì)方法。3.應(yīng)用現(xiàn)代數(shù)學(xué)所獲得的理論，研究最有控制系統(tǒng)的微分方程，為控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)、分析和計(jì)算提供一些重要的理論依據(jù)和方法。1747年，法國的達(dá)朗貝爾等由弦振動(dòng)的研究而開創(chuàng)偏微分方程論。1760~1761年，法國的拉格朗日系統(tǒng)地研究了變分法及其在力學(xué)上的應(yīng)用。隨機(jī)微分方程數(shù)值解在隨機(jī)微分方程數(shù)值解這個(gè)領(lǐng)域，近幾年來國內(nèi)涉足它的人開始逐漸增多。它也是一門建立在隨機(jī)分析與微分方程數(shù)值解之間的新興學(xué)科。作為一個(gè)初學(xué)者，我想從它的框架簡單談一下自己的認(rèn)識，以供討論。從研究的問題本身來說它主要分為:1隨機(jī)常微分方程數(shù)值方法2隨機(jī)偏微分方程數(shù)值方法3隨機(jī)延時(shí)微分方程數(shù)值方法4倒向隨機(jī)微分方程數(shù)值方法僅這四個(gè)方面就已經(jīng)涵蓋目前非常重要的一些技術(shù)領(lǐng)域的應(yīng)用。另外從數(shù)值方法上分，它可以分為:1強(qiáng)逼近問題2弱逼近問題還有更強(qiáng)的順向逼近。國內(nèi)最早涉足這個(gè)領(lǐng)域的是山大的彭實(shí)戈老師，已經(jīng)在倒向隨機(jī)微分方程理論及隨機(jī)最優(yōu)控制方面取得了驚人的突破。國外方面，在美國做隨機(jī)常微分方程的很少(只有Hchurz，lamba幾個(gè))，做隨機(jī)偏微分方如Allen,Cao等等)。在歐洲做隨機(jī)常微分方程的很多(如Talay，程的較多(Higham，Milstein等)。另外澳洲也有專門研究隨機(jī)常微分方程的(如Burrage)。隨機(jī)微分方程(SDE)是a微分方程在哪些一個(gè)或更多期限是a隨機(jī)過程因而造成是本身一個(gè)隨機(jī)過程的解答。一般，SDEs合并空白噪聲哪些能被重視作為衍生物蘇格蘭的植物學(xué)家RobertBrown的行動(dòng)(或熏肉香腸過程);然而，值得一提的是，任意波動(dòng)的其他類型是可能的，例如跳躍過程(參見[1]).內(nèi)容1背景1.1術(shù)語1.2隨機(jī)微積分1.3數(shù)值解2用途在物理2.1筆記關(guān)于"Langevin等式"3用途在可能性和財(cái)政數(shù)學(xué)4解答的存在和獨(dú)特5參考6參見背景在SDEs的最早期的工作被完成描述蘇格蘭的植物學(xué)家RobertBrown的行動(dòng)愛因斯坦's著名紙和同時(shí)由Smoluchowski。然而，其中一更加早期的工作與蘇格蘭的植物學(xué)家RobertBrown的行動(dòng)有關(guān)相信Bachelier(1900)在他的論文'猜想理論'。這工作被跟隨了Langevin.最新Ito和Stratonovich在更加堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)立足處投入了SDEs。術(shù)語在物理學(xué)，SDEs通常被寫當(dāng)Langevin等式。這些有時(shí)纏擾不清稱"Langevin等式"即使有許多可能的形式。這些包括包含一個(gè)確定部分和一另外任意的一個(gè)常微分方程空白噪聲期限。第二個(gè)形式是?？藨?zhàn)斗機(jī)Planck等式.?？藨?zhàn)斗機(jī)Planck等式是描述時(shí)間演變的一個(gè)偏微分方程概率分布作用.第三個(gè)形式是在數(shù)學(xué)和財(cái)務(wù)最頻繁使用(如下所示)的隨機(jī)微分方程。這于Langevin形式是相似的，但它在有差別的形式通常被寫。這個(gè)形式頻繁地使用由數(shù)學(xué)家和在定量財(cái)務(wù)。SDEs進(jìn)來二品種，對應(yīng)于隨機(jī)微積分的二個(gè)版本。隨機(jī)微積分蘇格蘭的植物學(xué)家RobertBrown的行動(dòng)或熏肉香腸過程數(shù)學(xué)上被發(fā)現(xiàn)是格外復(fù)雜的。熏肉香腸過程non-differentiable;因此，它要求微積分它自己的規(guī)則。使用隨機(jī)微積分的二個(gè)版本，Ito隨機(jī)微積分并且Stratonovich隨機(jī)微積分.當(dāng)你應(yīng)該使用一或其他時(shí)，它是有些模棱兩可的。方便地，你在解答可能再欣然轉(zhuǎn)換ItoSDE成等效StratonovichSDE和后面成援助;然而，使用的你一定小心當(dāng)?shù)奈⒎e分SDE最初寫下時(shí)。數(shù)值解隨機(jī)微分方程的特別是數(shù)值解和隨機(jī)偏微分方程相對地講是一個(gè)年輕領(lǐng)域。幾乎為常微分方程的解答使用的所有算法為SDEs非常不足將運(yùn)作，有非常惡劣的數(shù)字匯合。用途在物理在物理，SDEs在Langevin形式典型地被寫并且被稱為"Langevin等式"。例如，一般被結(jié)合的套優(yōu)先處理的SDEs在形式經(jīng)常被寫:那里是套未知數(shù)，fi并且gi是任意作用和ηm是，經(jīng)常被稱為的時(shí)間的任意作用"噪聲命名"。這個(gè)形式通常是能用的，因?yàn)橛凶儞Q的標(biāo)準(zhǔn)技術(shù)高次等式成數(shù)通過介紹新的未知數(shù)結(jié)合了優(yōu)先處理的等式。如果gi是常數(shù)，系統(tǒng)被認(rèn)為受疊加性噪聲支配，否則它被認(rèn)為受乘噪聲支配。這個(gè)期限是有些引入歧途的，因?yàn)樗鼇硪馕兑话惆讣词箍雌饋戆凳居邢薜陌讣?.疊加性噪聲是簡單的二個(gè)案件。正確解答可能使用平凡經(jīng)常被發(fā)現(xiàn)微積分.特別是，平凡連鎖法則微積分能使用。然而，在乘噪聲情況下，Langevin等式不是明確定義的個(gè)體獨(dú)自，并且必須指定它是否應(yīng)該解釋Langevin等式作為ItoSDE或StratonovichSDE。在物理，解答主要方法將發(fā)現(xiàn)概率分布作用作為時(shí)間功能使用等值福克戰(zhàn)斗機(jī)Planck等式(FPE)。福克戰(zhàn)斗機(jī)Planck等式是確定的偏微分方程.它告訴怎樣概率分布作用及時(shí)相似地演變于怎樣Schrdinger等式給量子波函數(shù)的時(shí)間演變或擴(kuò)散等式給化工集中的時(shí)間演變。二者擇一地?cái)?shù)值解可以獲得蒙特卡洛模仿。其他技術(shù)包括道路綜合化那在比喻畫在統(tǒng)計(jì)物理之間和量子力學(xué)(例如，?？藨?zhàn)斗機(jī)Planck等式可以被變換成Schrdinger等式通過重新調(diào)節(jié)幾可變物)或通過寫下常微分方程為統(tǒng)計(jì)片刻概率分布作用。筆記關(guān)于"Langevin等式"""在"Langevin等式"是有些不合文法命名原則。每個(gè)單獨(dú)物理模型有它自己的Langevin等式?；蛟S，"Langevin等式"或"伴生的Langevin等式"更將好遵守共同的英國用法。用途在可能性和財(cái)政數(shù)學(xué)記法用于概率論例如(和在概率論的許多應(yīng)用，財(cái)政數(shù)學(xué))是輕微地不同的。這個(gè)記法做異乎尋常的自然時(shí)間的任意作用ηm在物理公式化更加明確。也是用于出版物的記法數(shù)字方法為解決隨機(jī)微分方程。用嚴(yán)密的數(shù)學(xué)用語，ηm不能僅被選擇作為一個(gè)通常作用，而是作為a廣義函數(shù).數(shù)學(xué)公式化比物理公式化對待這復(fù)雜化以較少二義性。一個(gè)典型的等式是形式那里B表示a熏肉香腸過程(標(biāo)準(zhǔn)蘇格蘭的植物學(xué)家RobertBrown的行動(dòng))。應(yīng)該解釋這個(gè)等式作為一個(gè)不拘形式的方式表達(dá)對應(yīng)積分方程上面等式描繪行為連續(xù)的時(shí)間隨機(jī)過程xt作為平凡的總和Lebesgue積分式并且Itō積分式.A啟發(fā)式(但是非常隨機(jī)微分方程的有用的)解釋那在小規(guī)模間隔時(shí)間長度δ隨機(jī)過程xt改變它的價(jià)值由是的數(shù)量通常分布與期望μ(xt,t)δ并且變化σ(xt,t)δ并且是過程的過去行為的獨(dú)立。這如此是，因?yàn)檠庀隳c過程的增加是獨(dú)立和通常分布。作用μ指漂泊系數(shù)，當(dāng)時(shí)σ叫擴(kuò)散率。隨機(jī)過程xt叫a擴(kuò)散過程和通常是aMarkov過程.SDE的正式解釋被給根據(jù)什么構(gòu)成解答對SDE。有解答對SDE，一種強(qiáng)的解答和一種微弱的解答的二個(gè)主要定義。兩個(gè)要求過程的存在xt那解決SDE的積分方程版本。二句謊言之間的區(qū)別在部下的概率空間(ΩFPr)。一種微弱的解答包括a概率空間并且滿足積分方程的過程，而一種強(qiáng)的解答是滿足等式的過程和被定義在一個(gè)特定概率空間。一個(gè)重要例子是等式為幾何學(xué)蘇格蘭的植物學(xué)家RobertBrown的行動(dòng)哪些是等式為a的價(jià)格的動(dòng)力學(xué)股票在黑Scholes定價(jià)財(cái)政數(shù)學(xué)的模型選擇。也有更加一般的隨機(jī)微分方程，系數(shù)μ并且σ取決于不僅過程的現(xiàn)值xt，而且在過程的早先價(jià)值和可能在其他過程的當(dāng)前或早先價(jià)值也是。在那個(gè)案件解答過程，x不是Markov過程，并且它稱Itō過程而不是擴(kuò)散過程。當(dāng)系數(shù)僅依靠禮物和通過價(jià)值x定義的等式稱隨機(jī)延遲微分方程。解答的存在和獨(dú)特和以確定普通和偏微分方程，知道是重要的特定SDE是否有一種解答，并且是否它是獨(dú)特的。下列是一個(gè)典型的存在和獨(dú)特定理為Itō采取價(jià)值的SDEsn-尺寸歐幾里德的空間Rn并且由駕駛m-尺寸蘇格蘭的植物學(xué)家RobertBrown的行動(dòng)B;證明在ksendal(2003年，?5.2)也許被發(fā)現(xiàn)。讓T0，和讓是可測函數(shù)為哪些那里存在常數(shù)C并且D這樣為所有t?[0,T]和所有x并且y?Rn的地方讓Z是獨(dú)立的一個(gè)隨機(jī)變量σ-引起的代數(shù)Bs,s?0，和與有限二次矩:然后隨機(jī)微分方程或初值問題xt=Z;有Pr-幾乎肯定獨(dú)特t-連續(xù)的解答(t,ω)|?xt(ω)這樣x是適應(yīng)對濾清FtZ引起Z并且Bs,s?t和參考adomian，喬治(1983)。隨機(jī)系統(tǒng)數(shù)學(xué)在科學(xué)和工程學(xué)(169)。奧蘭多，F(xiàn)L:學(xué)術(shù)出版社公司。adomian，喬治(1986)。非線性隨機(jī)操作員等式.奧蘭多，F(xiàn)L:學(xué)術(shù)出版社公司。adomian，喬治(1989)。在物理的非線性隨機(jī)系統(tǒng)理論和應(yīng)用數(shù)學(xué)和它的應(yīng)用(46)。Dordrecht:Kluwer學(xué)術(shù)出版者小組。ksendal，BerntK。(2003).隨機(jī)微分方程:介紹以應(yīng)用.柏林:Springer。國際標(biāo)準(zhǔn)書號3-540-04758-1.Teugels，J。并且SundB。(eds。)(2004)。保險(xiǎn)統(tǒng)計(jì)計(jì)算科學(xué)百科全書.Chichester:威里，523-527。C.W.Gardiner(2004)。隨機(jī)方法手冊:為物理、化學(xué)和自然科學(xué).Springer，415。托馬斯?Mikosch(1998)?；镜碾S機(jī)微積分:以財(cái)務(wù)視線內(nèi).新加坡:世界科學(xué)出版，212。國際標(biāo)準(zhǔn)書號981-02-3543-7.Bachelier，L.，(1900)。Théoriedelaspeculation(用法語)，PhD論文.NUMDAM:用英語在1971書'股市'Eds的任意字符。P.H.Cootner。高性能科學(xué)計(jì)算研究一、研究內(nèi)容一般地，構(gòu)成實(shí)際應(yīng)用物理過程的各個(gè)不同階段的物理模型，可分別由不同類型的時(shí)間相關(guān)或無關(guān)的偏微分方程在給定的物理區(qū)域上描述。如何針對不同偏微分方程的問題設(shè)計(jì)合適的網(wǎng)格和離散格式，如何設(shè)計(jì)可擴(kuò)展的并行算法及其并行實(shí)現(xiàn)技術(shù)，在離散網(wǎng)格上給出方程的近似解，是我們研究的兩個(gè)主要方面。本項(xiàng)目的研究以科學(xué)計(jì)算的共性問題為核心，包括具有最優(yōu)復(fù)雜性的計(jì)算方法研究和能發(fā)揮計(jì)算機(jī)浮點(diǎn)計(jì)算峰值性能的實(shí)現(xiàn)技術(shù)研究，同時(shí)應(yīng)用本項(xiàng)目科學(xué)計(jì)算的共性問題的研究成果，解決一批我國具有重大需求的科學(xué)計(jì)算問題。1.創(chuàng)新計(jì)算方法的基礎(chǔ)理論研究計(jì)算數(shù)學(xué)是研究可在計(jì)算機(jī)上運(yùn)行的數(shù)值算法的構(gòu)造及其數(shù)學(xué)理論的學(xué)科。過去五十多年科學(xué)計(jì)算發(fā)展的歷史表明:基礎(chǔ)計(jì)算方法的重要突破如有限元方法、多重網(wǎng)格方法、快速傅里葉變換等都極大地改變了科學(xué)計(jì)算的面貌。我們將研究有限元新型算法包括多重網(wǎng)格與區(qū)域分解算法、均勻化多尺度算法、自適應(yīng)高精度算法和各類方法的耦合，動(dòng)力系統(tǒng)的保結(jié)構(gòu)算法，守恒律高分辨率差分格式，各類快速算法包括非規(guī)則網(wǎng)格的快速傅里葉變換等，同時(shí)研究新的應(yīng)用領(lǐng)域大規(guī)模高速集成電路中電磁信息計(jì)算中的計(jì)算方法。研究重點(diǎn)在并行自適應(yīng)算法與理論，保結(jié)構(gòu)計(jì)算方法的理論與應(yīng)用，大規(guī)模高速集成電路中電磁信息計(jì)算。1.1并行自適應(yīng)算法與理論這里自適應(yīng)方法主要是指網(wǎng)格自適應(yīng)方法，是一類滲透到了偏微分方程數(shù)值解、非線性逼近論、偏微分方程約束的最優(yōu)工程設(shè)計(jì)、網(wǎng)格產(chǎn)生等科目研究的方法?，F(xiàn)在網(wǎng)格自適應(yīng)方法主要分為三種主要的類型，分別叫做h-方法、p-方法和r-方法。其中h-方法是對網(wǎng)格進(jìn)行自適應(yīng)的局部加密和稀疏化，p-方法是在網(wǎng)格的不同位置使用不同的基函數(shù)，r-方法是進(jìn)行網(wǎng)格點(diǎn)的重新分布，又叫做移動(dòng)網(wǎng)格方法。將h-方法和p-方法結(jié)合可以得到h-p方法，也可以將r-方法和p-方法結(jié)合得到r-p方法。網(wǎng)格自適應(yīng)方法最根本的目標(biāo)在于使用最少的計(jì)算資源來解決問題，從而可以在現(xiàn)有的硬件資源條件下擴(kuò)大計(jì)算的規(guī)模和提高計(jì)算的精度。針對當(dāng)前國際研究發(fā)展的趨勢和本項(xiàng)目應(yīng)用問題的需求，我們主要的研究內(nèi)容集中在下面的二個(gè)方面:網(wǎng)格方法在偏微分方程數(shù)值解中的應(yīng)用研究摘要:該文的主要目的是研究無網(wǎng)格方法,并將其應(yīng)用于偏微分方程的數(shù)值解過程中.與傳統(tǒng)的網(wǎng)格方法不同,無網(wǎng)格方法的核心是用"點(diǎn)云"離散求解區(qū)域,并基于當(dāng)?shù)攸c(diǎn)云離散結(jié)構(gòu),引入二次極小曲面逼近空間導(dǎo)數(shù).該文先以代表定常不可壓位勢繞流的Laplace方程為例,研究了Laplace方程的無網(wǎng)格離散形式,并運(yùn)用GMRES高效算法對其快速求解,數(shù)值模擬了典型的圓柱繞流;并通過不同點(diǎn)云尺度的數(shù)值模擬,顯示出點(diǎn)云尺度對計(jì)算精度的影響.在此基礎(chǔ)上,將該方法推廣應(yīng)用到解算Euler方程組.針對守恒型Euler方程組的無網(wǎng)格離散形式,借鑒非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格方法附加耗散模型,采用五步Runge-Kutta顯式時(shí)間推進(jìn)格式求解.并且基于點(diǎn)云離散結(jié)構(gòu),引入了當(dāng)?shù)貢r(shí)間步長、殘值光順等加速收斂技術(shù),數(shù)值模擬了對稱和非對稱翼型繞流,獲得較好的計(jì)算結(jié)果.該文還對基于點(diǎn)云結(jié)構(gòu)的無網(wǎng)格計(jì)算軟件的面向?qū)ο笤O(shè)計(jì)模式進(jìn)行了研究,著重于提高軟件的復(fù)用性和Matlab偏微分方程工具箱簡介1.概述本文只給出該工具箱的函數(shù)列表，讀者應(yīng)先具備偏微分方程的基本知識，然后根據(jù)本文列出的函數(shù)查閱Matlab的help，便可掌握該工具箱的使用。2.偏微分方程算法函數(shù)列表adaptmesh生成自適應(yīng)網(wǎng)絡(luò)及偏微分方程的解assemb生成邊界質(zhì)量和剛度矩陣assema生成積分區(qū)域上質(zhì)量和剛度矩陣assempde組成偏微分方程的剛度矩陣及右邊hyperbolic求解雙曲線型偏微分方程parabolic求解拋物線型偏微分方程pdeeig求解特征型偏微分方程pdenonlin求解非線性型微分方程poisolv利用矩陣格式快速求解泊松方程3.圖形界面函數(shù)pdecirc畫圓pdeellip畫橢圓pdemdlcv轉(zhuǎn)化為版本1.0式的*.m文件pdepoly畫多邊形pderect畫矩形pdetool偏微分方程工具箱的圖形用戶界面4.幾何處理函數(shù)csgchk檢查幾何矩陣的有效性csgdel刪除接近邊界的小區(qū)decsg將固定的幾何區(qū)域分解為最小區(qū)域initmesh產(chǎn)生最初的三角形網(wǎng)絡(luò)jigglemesh微調(diào)區(qū)域內(nèi)的三角形網(wǎng)絡(luò)poimesh在矩形區(qū)域上產(chǎn)生規(guī)則的網(wǎng)絡(luò)refinemesh細(xì)化三角形網(wǎng)絡(luò)wbound寫一個(gè)邊界描述文件wgeom寫一個(gè)幾何描述文件pdecont畫輪廓圖pdemesh畫偏微分方程的三角形網(wǎng)絡(luò)pdeplot畫偏微分方程的三角形網(wǎng)絡(luò)pdesurf畫表面圖命令5.通用函數(shù)pdetriq三角形單元的品性度量poiasma邊界點(diǎn)對快速求解泊松方程的"貢獻(xiàn)"矩陣poicalc規(guī)范化的矩陣格式的點(diǎn)索引poiindex規(guī)范化的矩陣格式的點(diǎn)索引sptarn求解一般的稀疏矩陣的特征值問題tri2grid由三角形格式轉(zhuǎn)化為矩形格式《偏微分方程中多尺度問題的數(shù)值解法》偏微分方程數(shù)值方法理論及其應(yīng)用、有限元方法、多重網(wǎng)格法與區(qū)域分解法"偏微分方程數(shù)值求解中的自適應(yīng)網(wǎng)格方法研究"人工邊界方法:無界區(qū)域上的偏微分方程數(shù)值解"有限元高精度理論及算法"、"具有奇異解的偏微分方程的數(shù)值解法"、"無界域上偏微分方程的數(shù)值解法"、"多尺度有限元方法及其快速算法"、"快速數(shù)值計(jì)算算法及軟件"偏微分方程數(shù)值解法2所謂的偏微分方程(PDE)是指含兩個(gè)以上自變量的微分方程。偏微分方程的求解一般說來太過復(fù)雜，所以現(xiàn)在還沒有一個(gè)對所有偏微分進(jìn)行求解的理論，所謂的求解偏微分方程也只是對某些人們比較熟悉的類型進(jìn)行求解。對于一個(gè)形如A(x,y)Uxx+B(x,y)Uxy+C(x,y)Uyy=f(x,y,U,Ux,Uy)inΩ的偏微分方程其中Ω是給定的平面有界區(qū)域。如果B^2-4AC0橢圓型B^2-4AC=0拋物線型B^2-4AC0雙曲線型如果ABC是常數(shù)，方程被稱為擬線性方程。以上三類方程，人們有較成熟的解法。這三類方程也有物理意義，比如橢圓型方程常見于電磁場的分布，拋物線型方程常見于擴(kuò)散，雙曲線型常見于波動(dòng)，后兩者還常會(huì)帶有對時(shí)間的求導(dǎo)項(xiàng)。這些方程，往往在一定的條件下才能有定解:Dirichlet條件，又稱第一類邊界條件，設(shè)定初值Neumann條件，又稱第二類邊界條件，設(shè)定邊值條件很多情況下，兩者都有，稱為混合邊界條件。我的課題中涉及到一個(gè)物質(zhì)隨著流動(dòng)相在色譜柱里運(yùn)動(dòng)的方程，能夠描述物質(zhì)濃度波在柱內(nèi)的運(yùn)動(dòng)和變形，因此會(huì)包括一階時(shí)間項(xiàng)和二階空間項(xiàng)，有個(gè)專有名詞--對流擴(kuò)散方程，是種拋物線型和雙曲線型的混合型方程。偏微分方程數(shù)值解法差分方法有限元方法擬譜方法自適應(yīng)格點(diǎn)方法小波分析方法解偏微分方程解決的方向:微分算子的計(jì)算或表達(dá)時(shí)間的差分離散邊界的處理收斂性分析誤差的估計(jì)穩(wěn)定性分析微分算子的自適應(yīng)計(jì)算時(shí)間和空間的自適應(yīng)計(jì)算差分法從定解問題的微分或積分形式出發(fā),用數(shù)值微商或數(shù)值積分公式導(dǎo)出相應(yīng)的線性代數(shù)方程組.構(gòu)造逼近微分方程定解問題的差分格式:直接差分化法,積分插值法以及有限體積法或廣義差分法.差分解的存在唯一性,收斂性以及穩(wěn)定性的研究.這些理論問題為對差分解作出先驗(yàn)估計(jì).基于極值定理以及能量不等式作估計(jì).有限元法從定解問題的變分形式出發(fā),用Ritz-Galerkin方法導(dǎo)出相應(yīng)的線性代數(shù)方程組.中文譯名?偏微分方程的多尺度小波方法本書系《小波分析及其應(yīng)用》第6卷，是一本論文集。小波分析是目前國際上公認(rèn)的最新時(shí)-頻分析工具，由于其具有自適應(yīng)性和數(shù)學(xué)顯微鏡性質(zhì)，而成為眾多學(xué)科共同關(guān)注的焦點(diǎn)。從數(shù)學(xué)角度講，小波分析對函數(shù)逼近、調(diào)和分析、統(tǒng)計(jì)學(xué)、微分和積分方程的數(shù)值解等均產(chǎn)生直接的影響。本書作為小波分析與一般偏微分方程(PDE-partialDifferentialEquation)技術(shù)的橋梁，將多尺度分解的概念引入到了PDE的數(shù)值求解，可有效的分析較復(fù)雜問題。書中內(nèi)容分為6部分:(1)回顧了基于多層預(yù)調(diào)節(jié)及多網(wǎng)格技術(shù)的有限元法，多尺度空間分解框架，域內(nèi)橢圓形問題的多尺度解法。(2)快速小波算法(壓縮與自適應(yīng)方面):D維二階橢圓形PDE的自適應(yīng)解的小波配置方法，求解非線性PDE的自適應(yīng)小波分析，基于小波包最佳基的動(dòng)態(tài)自適應(yīng)概念在對流擴(kuò)散PDE中的應(yīng)用，求解橢圓算子方程中的非線性近似與自適應(yīng)技術(shù)。(3)積分方程的小波求解，包括強(qiáng)橢圓邊界積分方程的多尺度Galerkin法。(4)小波多尺度求解PDE的軟件工具與數(shù)值實(shí)例。(5)多尺度分析在湍流中的應(yīng)用。(6)偏微分算子的小波分析。本書收集的14篇論文代表了當(dāng)前小波在偏微分方程應(yīng)用中的最新進(jìn)展，可供小波理論及應(yīng)用、PDE等應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域的科研人員學(xué)習(xí)參考。(力學(xué)系馬堅(jiān)偉)小波分析方法小波分析方法解偏微分方程思路:Galerkin方法為基礎(chǔ);半群方法為基礎(chǔ).基于偏微分方程或積分方程的信號處理,流體動(dòng)力學(xué)的問題就能用此方程描述.這些問題解的特征為光滑的(smooth),非振蕩的(non-oscillatory),shock.方法為:算子和解投影到小波基上.基函數(shù)的消失矩特性使得解和算子能夠稀疏表達(dá),因此就能給出快速,自適應(yīng)算法.這些算法基于在光滑區(qū)域用較少的小波系數(shù),在奇異區(qū)域得用較多的小波系數(shù).解這類方程重要的一步為時(shí)間的離散.因?yàn)檫M(jìn)化方程的擴(kuò)散項(xiàng),標(biāo)準(zhǔn)的顯格式容許小的時(shí)間步長.另外,隱格式容許大的時(shí)間步長,但在每一步得解線性方程組,這就給應(yīng)用帶來了困難.B.Alpert,G.Beylkin,Tchamitchian(1990-2005)用的方法:Wavelet-Galerkinmethod,Taylor-Galerkinmethod,配點(diǎn)方法,非標(biāo)準(zhǔn)小波表示.JohnWeiss用小波Galerkin方法(Daubechies,1992,1993).用的是時(shí)間差分,空間離散.計(jì)算比較復(fù)雜,但精度好.小波Galerkin方法Galerkin配點(diǎn)方法:通過投影將連續(xù)算子離散化為矩陣形式,此方法的困難在于二重積分的數(shù)值計(jì)算;為解決這困難,研究者提出了函數(shù)基用小波基,此方法被稱為小波Galerkin方法.在作數(shù)值逼近計(jì)算時(shí),因?yàn)橛昧诵〔ɑ?因此很多算子可用稀疏矩陣表示,那么小波Galerkin方法就為作快速數(shù)值計(jì)算提供了算法.總的來說,小波Galerkin方法在作逼近分析時(shí)比Adomian分解方法更可靠,在作數(shù)值逼近計(jì)算時(shí)比Galerkin方法速度更快.算法復(fù)雜性為另外,得分析穩(wěn)定性;不同小波基礎(chǔ)的誤差估計(jì);時(shí)間空間的自適應(yīng).Legendre多小波的非標(biāo)準(zhǔn)表示的優(yōu)點(diǎn):算子矩陣稀疏;子區(qū)間元素相同;維數(shù)低;可線性化非線性項(xiàng).Legendre多小波不連續(xù),微分算子的處理方法:通過尺度方程導(dǎo)出系數(shù)方程組,解此方程組可得到算子矩陣;用傳統(tǒng)的弱導(dǎo)數(shù)通過積分計(jì)算算子矩陣.此小波處理邊界有優(yōu)勢.邊界的處理?構(gòu)造多分辨分析,使得小波基滿足邊界條件.用插值小波,配點(diǎn)方法.變系數(shù)的處理?時(shí)間空間的自適應(yīng)?應(yīng)用小波分析求解微分方程研究作者:來源:信息與計(jì)算科學(xué)系責(zé)任編輯:xinxi課題主持人:孫濤項(xiàng)目組成員:孫濤、李震、武斌、趙燕項(xiàng)目研究時(shí)間:2010.5-2012.5項(xiàng)目研究內(nèi)容:主要研究應(yīng)用小波分析進(jìn)行微分方程的求解特別是偏微分方程的數(shù)值求解。預(yù)期目標(biāo)是研究應(yīng)用小波理論進(jìn)行微分方程求解的已有成果，分析比較各種方法在理論與應(yīng)用上的優(yōu)缺點(diǎn)，同時(shí)對其在適用范圍、計(jì)算精度、計(jì)算復(fù)雜性、收斂性以及穩(wěn)定性等方面進(jìn)行對比，從而有針對性的對各種方法進(jìn)行改進(jìn)或完善;對將小波方法應(yīng)用于偏微分方程數(shù)值求解的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行研究，形成基本的小波方法;對小波方法求解偏微分方程的小波基的特點(diǎn)進(jìn)行分析，明確用于偏微分方程數(shù)值解法的小波基的數(shù)學(xué)特性，設(shè)計(jì)用小波方法求解偏微分方程的一般數(shù)學(xué)方法。研究成果形式:論文和研究報(bào)告。偏微分方程是需要常微分方程和隨機(jī)微分(隨機(jī)過程)兩門課做基礎(chǔ)的需同時(shí)具備邊界條件和初始條件。只給邊界條件，一般無法解。如題目無初始條件，可自定(設(shè))一些初始條件。只有范圍的結(jié)果,但不能求出精確的解.給了邊界就能.穩(wěn)定性分析是針對某一特定的差分算法來說的。而并不是對偏微分方程來說的。一般是用Fouier分析的辦法來做。你可以看一下余德浩,湯華中編的科學(xué)出版社出版的"微分方程數(shù)值解法"里面216頁有一些相關(guān)的東西。比較常用的差分算法有Lax_Wendroff格式以及MacCormack格式。另外，你如果想要解析解的話，估計(jì)可能要用特征線法。或者分離變量法看一下。微分方程數(shù)值解?NumericalSolutionsofDifferentialEquations課程編號:S080800XJ001課程屬性:學(xué)科基礎(chǔ)課學(xué)時(shí)/學(xué)分:40/2預(yù)修課程:高等數(shù)學(xué)(包括數(shù)學(xué)分析與線性代數(shù))、數(shù)學(xué)物理方程、計(jì)算方法、程序設(shè)計(jì)。教學(xué)目的和要求:本課程為數(shù)學(xué)、物理、力學(xué)、化學(xué)及工程科學(xué)等專業(yè)碩士研究生的選修課。主要講授常微分方程和偏微分方程差分方法的算法、穩(wěn)定性和收斂性理論，內(nèi)容包括常微分方程初值與邊值問題的數(shù)值解法，拋物型、雙曲型及橢圓型偏微分方程的差分方法等。通過本課程學(xué)習(xí)，希望學(xué)生掌握數(shù)值求解微分方程的一些基本方法，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)計(jì)算數(shù)學(xué)的專業(yè)課或在各自的專業(yè)工作中應(yīng)用科學(xué)計(jì)算這一重要研究手段打下基礎(chǔ)。內(nèi)容提要:第一章常微分方程初、邊值問題數(shù)值解法Euler方法;Runge-Kutta方法;線性多步方法;穩(wěn)定性、收斂性和誤差估計(jì);常微分方程邊值問題的數(shù)值方法。第二章拋物型方程的差分方法差分格式建立的基礎(chǔ);顯式、隱式差分格式;差分格式的穩(wěn)定性和收斂性;高維拋物型方程的差分方法;交替方向隱式差分方法。第三章雙曲型方程的差分方法一維雙曲型方程的特征線方法;一階線性雙曲型方程(組)的差分方法;雙曲型守恒律方程及守恒型差分格式;二階波動(dòng)方程的差分方法。第四章橢圓型方程的差分方法Poisson方程第一邊值問題的差分方法;Poisson方程的有限體積方法;差分方法的收斂性和誤差估計(jì);橢圓型差分方程的迭代解法;多重網(wǎng)格方法。教材余德浩、湯華中，《微分方程數(shù)值解法》，科學(xué)出版社，北京，2002。張文生，《科學(xué)計(jì)算中的偏微分方程有限差分法》，科學(xué)出版社，北京，2006。主要參考書:[1]J.W.Thomas.NumericalPartialDifferentialEquations:FiniteDifferenceMethods.Springer-VerlagNewYorkInc.1995.[2]胡健偉、湯懷民，《微分方程數(shù)值方法》，科學(xué)出版社，北京，1999。偏微分方程數(shù)值解的兩類主要方法:差分方法和有限元方法二課程性質(zhì)、目的與任務(wù)《偏微分方程數(shù)值解》是信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)的一門專業(yè)課，學(xué)生通過學(xué)習(xí)一些典型、通用的偏微數(shù)值方法，掌握用差分法，有限元法求解偏微分方法的基本理論，理解這些方法構(gòu)造的基本思想，學(xué)會(huì)編制差分法和有限元法的計(jì)算程序，同時(shí)通過學(xué)習(xí)一些基本概念和基本理論(如穩(wěn)定性、收斂性、誤差估計(jì)培養(yǎng)一定的理論分析能力。等)三教學(xué)基本內(nèi)容與基本要求教學(xué)基本內(nèi)容包括:1.拋物型方程的有限差分方法2.雙曲型方程的有限差分方法3.橢圓型方程的有限差分方法4.變分原理5.有限單元法6.有限元方法理論基礎(chǔ)教學(xué)基本要求1.掌握差分法和有限元法的基本理論2.了解用差分法和有限元法計(jì)算偏微分方程的誤差估計(jì)方法3.能獨(dú)立編制差分法和有限元法的計(jì)算程序多尺度問題中的偏微分方程數(shù)值方法《微分方程數(shù)值解》第一章緒論一、學(xué)習(xí)目的通過本章的學(xué)習(xí)，了解偏微分方程中的三大類方程，以及偏微分的一些基本概念。計(jì)劃8學(xué)時(shí)。二、課程內(nèi)容第一節(jié)數(shù)學(xué)物理方程中的三大類方程(一)拋物型方程典型方程:熱傳導(dǎo)方程，由空間物體的熱傳導(dǎo)問題導(dǎo)出。利用物理中傳熱學(xué)的傅里葉實(shí)驗(yàn)定律。(二)雙曲型方程典型方程:波動(dòng)方程，由兩端固定的細(xì)弦振動(dòng)導(dǎo)出。利用胡克定律、牛頓第二定律等。(三)橢圓型方程典型方程:調(diào)和方程(Laplace方程)，由靜電場的電位勢或沒有熱源的熱傳導(dǎo)等導(dǎo)出。第二節(jié)數(shù)學(xué)物理方程中的基本概念何為線性的或非線性的，給出一個(gè)方程怎么判斷它是哪類方程，定解問題的三種提法等。三、重點(diǎn)、難點(diǎn)提示和教學(xué)手段本章重點(diǎn)是三類方程的導(dǎo)出和偏微分方程中的基本概念。難點(diǎn)是導(dǎo)出過程的理論推導(dǎo)。四、思考與練習(xí)掌握、吸收所學(xué)知識。第二章常微分方程初值問題數(shù)值解法一、學(xué)習(xí)目的通過本章的學(xué)習(xí)，對常微分方程初值問題的幾個(gè)典型方法了解、掌握，并能編寫程序。計(jì)劃8學(xué)時(shí)。二、課程內(nèi)容2.1歐拉法(一)歐拉法的格式:用差商代替微商。(二)收斂性研究通過分析截?cái)嗾`差確定格式的收斂速度。(三)穩(wěn)定性研究格式對初值誤差的連續(xù)依賴性。2.2梯形法、隱式格式的迭代計(jì)算用梯形公式近似計(jì)算積分得到常微分方程的梯形公式，而且是一個(gè)隱式格式。估算梯形法的整體截?cái)嗾`差。2.3單步法、Runge-Kutta法用泰勒級數(shù)構(gòu)造一般的單步法，幾種不同的Runge-Kutta法，以及各自的優(yōu)缺點(diǎn)。其中經(jīng)典的四階Runge-Kutta法尤為重要。2.4線性多步法用Lagrange插值近似小分割上的曲線，得到線性多步法。Adams外插、內(nèi)插公式等。2.5誤差的事后估計(jì)法、步長的自動(dòng)選擇何為誤差的事后估計(jì)法，以及如何利用事后估計(jì)法得到的截?cái)嗾`差作為步長h自動(dòng)選擇的標(biāo)準(zhǔn)。2.6高階常微分方程(組)的數(shù)值方法怎樣把高階微分方程轉(zhuǎn)化為一階的方程組，然后怎么對方程組利用前面所介紹的方法進(jìn)行近似計(jì)算。三、重點(diǎn)、難點(diǎn)提示和教學(xué)手段本章重點(diǎn)是利用各種方法求方程的近似解。難點(diǎn)是方法的推導(dǎo)以及局部和整體截?cái)嗾`差的估計(jì)。四、思考與練習(xí)復(fù)習(xí)所學(xué)內(nèi)容，計(jì)算課堂上沒有推導(dǎo)的幾種格式的截?cái)嗾`差，然后完成布置的作業(yè)。第三章拋物型方程的差分格式一、學(xué)習(xí)目的掌握有關(guān)差分格式以及穩(wěn)定性的一些基本概念，會(huì)構(gòu)造差分格式并可用兩種方法分析差分格式的穩(wěn)定性。了解差分格式穩(wěn)定性的定義及其含義。計(jì)劃14學(xué)時(shí)。二、課程內(nèi)容3.1差分格式建立的基礎(chǔ)對所考慮的方程的初邊值問題進(jìn)行網(wǎng)格剖分，建立差分格式。學(xué)習(xí)三種差商代替微商的方法。學(xué)會(huì)用算子形式表示差分格式。3.2顯示差分格式一維常系數(shù)熱傳導(dǎo)方程的古典顯式格式，以及系數(shù)依賴于x的一維熱傳導(dǎo)方程的顯式格式。計(jì)算各自的截?cái)嗾`差。3.3隱式差分格式由向后差商得到古典隱式格式，推導(dǎo)常用的Crank-Nicolson隱式格式和加權(quán)的六點(diǎn)隱式格式，知道前兩種是六點(diǎn)加權(quán)隱式格式的特殊形式。系數(shù)依賴于x,t的一維熱傳導(dǎo)方程的隱式格式。3.4解三對角形方程組的追趕法在求解隱式差分方程時(shí)形成一個(gè)線性代數(shù)方程組，它的系數(shù)矩陣是三對角形矩陣，因此要學(xué)會(huì)用追趕法求這類方程組，分為追和趕兩步。3.5差分格式的穩(wěn)定性和收斂性學(xué)習(xí)-圖方法、矩陣法、Fourier級數(shù)法(VonNeumann方法)分析差分格式的穩(wěn)定性。重點(diǎn)用矩陣法和VonNeumann方法分析前面學(xué)習(xí)的幾種差分格式，并比較后兩種方法的優(yōu)劣。對于收斂性利用Lax等價(jià)性定理轉(zhuǎn)化為對穩(wěn)定性的研究。3.6非線性拋物型方程的差分解法舉例包括Richtmyer線性方法和Less三層差分格式。對于Less三層差分格式要對第二層利用其他方法求出。3.7二維拋物型方程的差分格式初邊值問題要進(jìn)行三維方向的網(wǎng)格剖分，其中方法與一維的類似，也有顯式和隱式之分，以及穩(wěn)定性分析等，其中顯式簡單，但效果沒有隱式好。3.8交替方向的隱式差分格式(ADI格式)為了提高精度和滿足無條件穩(wěn)定的差分格式，把每一時(shí)間層的計(jì)算分成幾步進(jìn)行，而使每步具有一維格式的特點(diǎn)，提出以下幾種格式:Peaceman-Rachford格式、Douglas-Rachford格式、Mitchell-Fairweather格式等。三、重點(diǎn)、難點(diǎn)提示和教學(xué)手段本章重點(diǎn)是利用各種方法求方程的近似解，用矩陣法和VonNeumann方法進(jìn)行穩(wěn)定性分析。難點(diǎn)是格式的理論導(dǎo)出和穩(wěn)定性分析。四、思考與練習(xí)復(fù)習(xí)所學(xué)內(nèi)容，編寫一定的程序，用兩種方法進(jìn)行穩(wěn)定性分析，然后完成布置的作業(yè)。第四章橢圓型方程的差分格式一、學(xué)習(xí)目的掌握橢圓型方程的五點(diǎn)、九點(diǎn)差分格式，掌握極值原理，收斂性分析和誤差估計(jì)。計(jì)劃14個(gè)學(xué)時(shí)。二、課程內(nèi)容4.1正方形區(qū)域中的Laplace方程Dirichlet邊值問題的差分模擬對Dirichlet邊值問題從x和y軸方向進(jìn)行網(wǎng)格剖分得到Laplace方程的五點(diǎn)差分格式。然后轉(zhuǎn)化為解一個(gè)線性矩陣。4.2Neumann邊值問題的差分模擬由于邊值問題通過告訴它的法向量在邊值的值，這樣關(guān)鍵就是如何把這個(gè)條件轉(zhuǎn)化為邊值上的解。利用中心差商代替微商把導(dǎo)數(shù)邊值轉(zhuǎn)為一般的邊值條件。4.3混合邊值問題區(qū)域的一部分是Dirichlet條件而另一部分是Neumann條件，那么對于Neumann條件利用類似上節(jié)的方法處理邊值問題。4.4非矩形區(qū)域當(dāng)區(qū)域不是規(guī)則的矩形時(shí)，我們對這種區(qū)域的鄰接邊界的內(nèi)部結(jié)點(diǎn)需要特別的處理，它到邊界的距離可以是非整數(shù)倍的分割。也可以得到Laplace方程的五點(diǎn)差分格式，它是前面五點(diǎn)格式的推廣。4.5極坐標(biāo)形式的差分格式有的時(shí)候所求區(qū)域是圓環(huán)、環(huán)形域或扇形域，采用極坐標(biāo)形式更為方便，此時(shí)應(yīng)該把一般的Poisson方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)的形式。在極坐標(biāo)情況下會(huì)出現(xiàn)奇異點(diǎn)，故需要附加條件，對它需特別處理。4.6矩形區(qū)域上的Poisson方程的五點(diǎn)差分逼近的斂速分析利用極值原理分析五點(diǎn)差分格式的斂速估計(jì)。4.7一般二階線性橢圓型方程差分逼近及其性質(zhì)研究通過一些實(shí)例學(xué)習(xí)二階線性橢圓型方程的差分格式。4.8橢圓型差分方程的迭代解法由于前面介紹的各種邊值問題的差分格式最終都是解一個(gè)大型的線性方程組。那么怎樣求這個(gè)大型的線性方程組?本節(jié)介紹三種迭代法(Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代、超松弛迭代)。通過比較Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代的斂速發(fā)現(xiàn)，Gauss-Seidel迭代是Jacobi迭代的兩倍。雖然前兩者都收斂，但是他們的速度還是比較慢，如果選擇適當(dāng)?shù)乃沙谝蜃?，利用超松弛方法可以大大提高斂速，故如何選擇最佳松弛因子是關(guān)鍵。4.9多重網(wǎng)格法簡介學(xué)習(xí)為何引入多重網(wǎng)格法，有哪些優(yōu)點(diǎn)?包括二重網(wǎng)格法和多重網(wǎng)格法等。三、重點(diǎn)、難點(diǎn)提示和教學(xué)手段本章重點(diǎn)是:差分格式的建立，極值原理及數(shù)值解的收斂性分析。教學(xué)難點(diǎn):邊界條件的處理及非均勻部分差分格式的建立。四、思考與練習(xí)復(fù)習(xí)所學(xué)內(nèi)容，編寫一定的程序，然后完成布置的作業(yè)。第五章雙曲型方程的差分格式一、學(xué)習(xí)目的掌握一階擬線性雙曲型方程(組)的特征線法，一階雙曲型方程(組)的差分方法，以及二階線性雙曲型方程的差分方法。計(jì)劃12個(gè)學(xué)時(shí)。二、課程內(nèi)容5.1一階擬線性雙曲型方程的特征線法對于一階(擬)線性雙曲型方程，通過一條特征曲線，把一個(gè)偏微分問題轉(zhuǎn)化為常微分問題，然后再對此常微分方程進(jìn)行近似求解，就可以求出原問題的近似解。給出這樣的方程要知道怎么求它的特征曲線、特征方程以及特征關(guān)系。5.2一階擬線性雙曲型方程(組)的特征線法對于一階(擬)線性雙曲型方程組，首先求出它的正規(guī)形式，以及它的兩個(gè)特征曲線、特征方程和特征關(guān)系。同上節(jié)一樣也是把偏微分方程沿著特征方向轉(zhuǎn)化為常微分方程組的形式。再用歐拉法對常微分方程組近似求解。5.3一階雙曲型方程的差分格式如果通過向前差商代替對t方向的微商，用中心差商代替對行x方向的微商,經(jīng)過驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)恒不穩(wěn)定的格式，所以通過改進(jìn)此格式得到Lax-Friedrichs格式。根據(jù)方程系數(shù)的不同對x方向的微商向前差商或向后差商就是Courant-Isaacson-Rees格式。如果對時(shí)間層進(jìn)行中心差商代替就是跳蛙格式。還有Lax-Wendroff格式和隱式的Crank-Nicolson格式。5.4一階雙曲型方程組的差分格式類似一階雙曲型方程的差分格式，也有Lax-Friedrichs格式和Courant-Isaacson-Rees格式，以及Courant-Friedrichs-Lewy條件。5.5二階雙曲型方程的差分格式有顯式格式和隱式格式之分，但是由于雙曲型方程的初值問題比較復(fù)雜，因此對告訴初始時(shí)刻速度的初始條件需要像處理Neumann問題進(jìn)行差商代替微商。三、重點(diǎn)、難點(diǎn)提示和教學(xué)手段本章重點(diǎn)是:一階擬線性雙曲型方程(組)的特征線法，一階雙曲型方程(組)的差分方法，以及二階線性雙曲型方程的差分方法。教學(xué)難點(diǎn):一階擬線性雙曲型方程組的特征線法的導(dǎo)出。四、思考與練習(xí)復(fù)習(xí)所學(xué)內(nèi)容，編寫一定的程序，然后完成布置的作業(yè)。第六章非線性雙曲型守恒律方程的差分格式一、學(xué)習(xí)目的掌握何為雙曲型守恒律、弱解的定義，和幾種典型的差分格式:守恒型差分格式，單調(diào)差分格式，TVD差分格式等。計(jì)劃8個(gè)學(xué)時(shí)。二、課程內(nèi)容6.1非線性雙曲型守恒律簡介、弱解的定義怎樣判斷一個(gè)方程組的對應(yīng)Jacobi矩陣的特征值和特征向量決定此方程組是(嚴(yán)格)雙曲型守恒律的?以及什么是弱解，為什么需要提出弱解的概念，有什么優(yōu)點(diǎn)?6.2一階擬線性雙曲型方程(組)的特征線法把一階的線性雙曲型方程中的Lax-Friedrichs格式和Lax-Wendroff格式推廣到雙曲型守恒律方程，可以證明它們都是守恒型差分格式。6.3單調(diào)差分格式此前的守恒型差分格式雖然收斂到弱解，但是不能保證極限是唯一物理解，所以提出單調(diào)差分格式，這種格式若收斂，則收斂到唯一物理解。給出滿足什么條件才是單調(diào)差分格式。另外這種格式只有一階精度，對于高精度還在研究中。6.4TVD差分格式由于前面提到的單調(diào)差分格式精度不高，所以為了能夠得到精度較高且能得到唯一物理解的差分格式，由A.Harten于1983年提出了總變差減少差分格式(TVD)。本節(jié)給出什么格式是TVD格式，以及保單調(diào)格式，并且證明前面討論的差分格式在一定條件下都是TVD差分格式。6.5對一維方程組的推廣把Lax-Wendroff格式和Lax-Friedrichs格式可以推廣到一維方程組的情況。三、重點(diǎn)、難點(diǎn)提示和教學(xué)手段本章重點(diǎn)是:課本中對雙曲型守恒律方程提出的各種差分方法。教學(xué)難點(diǎn):各種差分格式的理論導(dǎo)出。四、思考與練習(xí)復(fù)習(xí)所學(xué)內(nèi)容，然后完成布置的作業(yè)。第六章有限元方法簡介一、學(xué)習(xí)目的對有限元方法有所了解，知道它提出的理論依據(jù)，以及它的優(yōu)缺點(diǎn)。計(jì)劃4個(gè)學(xué)時(shí)。二、課程內(nèi)容7.1二階常微分方程邊值問題的有限元解法對于常微分邊值問題，介紹如何利用有限元方法把邊界條件當(dāng)成最小化泛函的一部分，以及怎樣在給定的集合上某一個(gè)函數(shù)類中找到一個(gè)使泛函I達(dá)到極小值的函數(shù)。7.2偏微分方程邊值問題的有限元解法與常微分邊值問題類似，也是歸結(jié)為泛函求極小的一種解法，不過偏微分問題相對