強(qiáng)化訓(xùn)練四 直線與平面所成的角、二面角的平面角的常見解法-2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)《考點(diǎn)題型技巧》精講與精練高分突破（人教A版2019必修第二冊(cè)）

專題強(qiáng)化訓(xùn)練四：直線與平面所成的角、二面角的平面角的常見解法

技巧一、定義法

利用二面角的平面角的定義，在二面角的棱上取一點(diǎn)，過該點(diǎn)在兩個(gè)半平面內(nèi)作垂直于棱的射線，兩射線所成的角

就是二面角的平面角，這是一種最基本的方法.

例：在三棱錐丫一ABC中，VA=AB=VB=AC=BC=2,KC=小，求二面角V-AB—C的大小.

解取4B的中點(diǎn)。，連接VQ,CD,,.?△E48中，VA=VB=AB=2,

為等邊三角形，...yCAB且卜。=小，

同理CD=幣,

；.NV7)C為二面角M—AB—C的平面角，

而△口?(?是等邊三角形，ZVDC=60°,

二二面角y-AB-C的大小為60。.

技巧二、三垂線法

是利用三垂線定理及其逆定理來證明線線垂直，來找到二面角的平面角的方法.這種方法關(guān)鍵是找垂直于二面角的面

的垂線.此方法是屬于較常用的.

三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.

三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它和這條斜線的射影垂直.

例：如圖，在三棱錐s-ABC中，ZSAB=ZSAC=ZABC=90°,SA=AB,SB=BC.求二面角A—SC-B的平面角

的正弦值.

解取SB的中點(diǎn)。，連接4力，則垂足為點(diǎn)。，

由已知平面SBC_L平面平面SBCn平面&4B=S8,AZ)u平面&48,

.?.AD_L平面SBC.

作AELSC,垂足為點(diǎn)E,連接。E,

貝ijDELSC,

則NAEZ)為二面角A-SC-B的平面角.

設(shè)SA=AB=2,則SB=8C=2?，AD=y[2,AC=2小，SC=4.

由題意得AE=4§,

RtZXAQE中，sin/AE￡)=^=*=坐，

.?.二面角A—SC-B的平面角的正弦值為坐.

技巧三、垂面法

作一與棱垂直的平面，該垂面與二面角兩半平面相交，得到交線，交線所成的角為二面角的平面角.關(guān)鍵在找與二面

角的棱垂直且與二面角兩半平面都有交線的平面.

例：如圖，在三棱錐S—A8C中，S4,底面ABC,ABLBC,QE垂直平分SC且分別交AC,SC于點(diǎn)。，E,又SA

=AB,SB=BC,求二面角E—8。一C的大小.

解,:SB=BC且E是SC的中點(diǎn)，

，BE是等腰三角形SBC底邊SC的中線，,SC，BE.

又已知SCd_DE,BEQDE=E,BE,DEu平面BDE,

；.SC_L平面BDE,：.SC1BD.

又&41,平面ABC,BDu平面ABC,

：.SA±BD,而SCnS4=S,SC,SAu平面SAC,

平面SAC.

?.?平面S4CC1平面BDE=DE,

平面SACC平面BDC=DC,

：.BDLDE,BDLDC,

.?.NE3C是所求二面角的平面角.

底面ABC,...SALAB,SALAC.

設(shè)&4=2,貝ijAB=2,BC=SB=2巾.

\'ABLBC,；.AC=2小，AZAC5=30°.

又已知DEVSC,；.Z￡DC=60°.

即所求的二面角等于60。.

強(qiáng)化訓(xùn)練

一、單選題

1.（2021?全國(guó)?高一）在邊長(zhǎng)為1的正方體ABCO-A旦GR中，點(diǎn)N分別為AB,BC的中點(diǎn)，則直線MN與

平面CCA所成角的大小為（）

2.（2021?浙江嘉興?高一期末）已知正四面體A8CQ,點(diǎn)”為棱A3上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為棱CD上靠近點(diǎn)C的三等

分點(diǎn)，記直線MN與所成角為凡貝ijsin?的最小值為（）

「&V34

\_Z.----Un.-----

1717

3.（2021?山東威海?高一期末）在正方體ABCO-ABCQI中，E,F,G分別為M.A8的中點(diǎn)，尸為底

面ABCQ上一動(dòng)點(diǎn)，且直線RP〃平面EFG,則QP與平面ABCO所成角的正切值的取值范圍為（）

A?筌］B.悍［

C.［1,萬|D.［冬用

4.（2021?江蘇?南京師大附中高一期末）在四棱錐P—ABCO中，A￡>=2,AB=BC=CD=\,ADIIBC,且R4=PC,

PB=PD,則直線勿與平面以冷所成角的正弦值的最大值為（）

5.（2021?全國(guó)?高一）如圖，在四面體A8CO中，AB=\,AD=20BC=3,CD=2,ZABC=ZDCB=90°,貝U

二面角A—6C—。的大小為（）

C.120°D.150°

6.（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在AABC中，AD1BC,^ABD的面積是AACO的面積的2倍，沿A。將4ABe

翻折，使翻折后BC_L平面AC。，此時(shí)二面角3-AD—C的大小為（）

7.（2021?天津南開?高一期末）如圖所示，等邊三角形43c的邊長(zhǎng)為4,。為3c的中點(diǎn)，沿AO把AADC折疊到AAOC'

處，使二面角C'為60。，則折疊后二面角A—3C'—￡＞的正切值為（）.

AG

a.-----B.摳

2

C.2D.75

8.（2020?浙江?高一期末）已知二面角。一，一夕為60,ABua,ABLI,A為垂足，CDu。，CG/,ZACD=45°,

則異面直線48與8所成角的余弦值為（）

D.

2

二、多選題

9.（2021?河北?廊坊市第一中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，已知正方體ABCB-A4CQ的棱長(zhǎng)為1,E是棱8上的動(dòng)點(diǎn),

則下列說法正確的有（）

A.印_LAR

B

B.0E〃平面A耳BA

C.二面角E-A81-A的大小為60，

D.三棱錐4-耳RE的體積的最大值為:

10.（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）如圖，四棱錐S-ABC。底面為正方形，SO_L底面A8CQ,則下列結(jié)論中正確的有

A.AC1.SB

B.A8//平面SC￡>

C.%與平面ABC。所成的角是NSAO

D.AB與SC所成的角等于。。與SC所成的角

11.（2021?浙江?臺(tái)州市路橋區(qū)東方理想學(xué)校高一階段練習(xí)）如圖，三棱柱ABC-AMG的各棱長(zhǎng)均為2,側(cè)棱BB1與

底面ABC所成的角為60。，乙44片為銳角，且側(cè)面底面A8C,下列四個(gè)結(jié)論正確的是（）

A.NABB|=60°B.ACLBB、

C.直線AG與平面ABBM所成的角為45。D.B.C1AC,

12.（2021?湖北孝感?高一期末）如圖,在正三棱柱A8C-48/G中，AB=AAi=l,P為線段B/G上的動(dòng)點(diǎn)，則下列

結(jié)論中正確的是（)

A.點(diǎn)A到平面A/8C的距離為"

B.平面4PC與底面ABC的交線平行于4P

2

TT

C.三棱錐P-A/8C的體積為定值D.二面角AMCA的大小為工

三、解答題

13.（2022?陜西?西安建筑科技大學(xué)附屬中學(xué)高一期末）如圖，在三棱錐產(chǎn)一ABC中，PALAB,PALAC,ABLBC,

PA=AB=BC^2,。為線段AC的中點(diǎn)，E為線段PC上一點(diǎn).

（1）求證：平面B￡）EJ_平面以C；

（2）求二面角P-BC-A的平面角的大小.

14.（2022?湖南?高一課時(shí)練習(xí)）如圖，A8是。。的直徑，點(diǎn)。為該圓上的一點(diǎn)，ZAOC=120°,SA_L。。所在的

平面，SA=AB,求SC與。0所在的平面所成的角的正切值.

15.(2021?浙江溫州.高一競(jìng)賽)如圖，已知三棱錐尸-ABC,底面AABC是等腰三角形，ZABC=120%△PAB是

等邊三角形，。為線段AC上一點(diǎn)，AC=3AD,二面角的大小為120。.

(1)求證：ABYPD-,

(2)求直線PC與平面加?所成角的正弦值.

16.(2021?湖北?大冶市第一中學(xué)高一階段練習(xí))在三棱錐P-A8C中，ZACB=9Q°,底面ABC.

(1)求證：平面用C,平面PBC;(2)若AC=BC=B4,M是PB的中點(diǎn).

①求AM與平面PBC所成角的正切值；②求二面角C-P8-A的大小.

17.(2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))如圖在四棱錐P-A8C。中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為。的正方形，側(cè)面皿＞，底面

ABCD，且用如條，設(shè)4分別為PC,即的中點(diǎn).

(1)求證：EF//平面PAO；

(2)求證：平面平面PQC；

(3)求直線EF與平面ABCD所成角的大小.

18.(2021?廣東白云?高一期末)如圖，叢垂直于。。所在的平面，AC為的直徑，43=3,3c=4,PA=36，

AEA.PB,點(diǎn)尸為線段8c上一動(dòng)點(diǎn).

(1)證明：平面AM_L平面PBC；

(2)當(dāng)點(diǎn)F移動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，求PB與平面4EF所成角的正弦值.

19.(2021?廣東?肇慶市高要區(qū)第二中學(xué)高一)如圖，三棱錐P-ABC中，PA^PC,AB=BC,N4PC=120。，ZABC

=90°,AC=6PB=2.

p

B

(1)求證：AC1PB；

(2)求PB與平面用C所成的角.

20.(2021?福建?閩江學(xué)院附中高一階段練習(xí))如圖，在三棱錐A-8CO中，AB_L平面BCDE為棱AC上的一點(diǎn),

且BEJ_平面ACD

(1)證明：BC±CD；

(2)設(shè)8C=CD=1,BC與平面AC。所成的角為45。，求二面角B—AO-C的大小.

21.(2021.全國(guó).高一課時(shí)練習(xí))如圖所示，在三棱柱ABC-ABC中，點(diǎn)。是45的中點(diǎn).

(1)求證：AG〃平面cnq.

⑵若A4,，平面ABC,ACJ.BC,M=1.AC=BC=y/2,求二面角4-CO-8的平面角的余弦值.

22.(2021?廣東廣州?高一期末)如圖，在四棱錐P-A3CZ)中，底面48co為正方形，PA_L底面ABC。，PA=AB,

E為線段PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段3c上一點(diǎn).

(1)證明：平面AEb"L平面PBC；

(2)若F為3c的中點(diǎn)，求二面角E—AF—3的余弦值.

23.(2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))如圖，在直角梯形A8C。中，AD//BC,ABVBC,3ZUDC,點(diǎn)E是8c的中點(diǎn).將

沿80折起，使ABLAC,連接AE、AC,DE,得到三棱錐A-BCD.

A

(1)求證：平面A8￡)J_平面BCD；

(2)若AO=1,二面角8-A￡>—E的大小為60。，求三棱錐A-8CD的體積.

24.(2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))如圖所示的幾何體由三棱錐P-A。。和正四棱錐尸—ABC。拼接而成，P。，平面

ADQ,AB//PQ,PQ=1,AB=2,AQ=&\。為四邊形ABC。對(duì)角線的交點(diǎn).

(1)求證：OP//平面AOQ；(2)求二面角O—AP—Z)的正弦值.

25.(2021?江蘇如皋?高一)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，B4_L平面ABCD,底面A8C。是平行四邊形，E、F為PD

的兩個(gè)三等分點(diǎn).

(1)求證：8E//平面AC尸;

⑵若平面W平面PSPC與平面A88所成角為9*1,36求二面角A-PDW的正弦值.

26.(2021.江蘇如皋.)如圖，在等腰三角形AOP中，4=90。，AD=4,B,C分別是AP,OP上的點(diǎn)，且8C7/A。,

E,尸分別是A8,PC的中點(diǎn)，將APBC沿著BC折起，得到四棱錐P-A3CD,連接EF.

(1)證明：EF//平面PAO；

(2)若AB=1,當(dāng)A4_L4?時(shí)，求二面角C—P￡>—A的平面角.

27.(2021?江蘇淮安?高一階段練習(xí))如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面A8CD為菱形，平面皿>_L平面ABCD,

PA=PD=2,Za4￡)=60°.

(1)求證：ADA.PB；

(2)直線PB與平面4BC。所成角為45。時(shí)，試求:

①求四棱錐P-A3CZ）的體積；

②求二面角P-AB-C正切值；

③求證：二面角D-PC—8是直二面角.

28.（2021?湖北?華中師大一附中高一期末）如圖，四棱錐P-AfiCO的底面是正方形，PA_L平面ABC。，PA^AB.

點(diǎn)E是尸￡＞的中點(diǎn)，作E產(chǎn)，PC,交PC于點(diǎn)F.

（1）設(shè)平面以5與平面ACE的交線為/,試判斷直線PB與直線/的位置關(guān)系，并給出證明;

（2）求平面A4B與平面ACE所成的較小的二面角的余弦值；

（3）求直線PO與平面AEF所成角的正切值.

29.（2021?湖南?武岡市第二中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P-MCD中，AD=2,AB=BC=CD=\,BC//AD,

NPA。=90、NP8A為銳角，平面P84,平面尸8力.

p

(1)證明：PA，平面A6Q9；

(2)若AO與平面尸皿所成角的正弦值為正，求二面角P-BD-C的余弦值.

參考答案:

1.A

【詳解】

如圖，連接AC,A。交AQ于。，連接0C,

???點(diǎn)M,N分別為A3,8c的中點(diǎn)，

.,.MN//AC,

由正方體的性質(zhì)可知CQ_L平面4ORA，

COJ.AR又\D[\DC=D,

：.A。，平面。CA,

/.ZACO為直線AC與平面DC\所成角，也即為直線MN與平面0cA所成角，

在直角三角形AC0中，A0=—,AC=y[2

2

：.ZACO=~,

6

故選：A

2.A

【詳解】

解：不妨設(shè)正四面體ABC。的棱長(zhǎng)為3,則底面三角形的高為*x3=|石，該四面體的高為,32-(6『=6,

BN=AN=>/BC2+CN2-2BC-CNCOS60°=^32+l2-2x3xlxl=5/7,要求直線MN與BC所成的最小角，即為直

線BC與平面ABN所成角，記點(diǎn)C到平面ABN的距離為h,

由=匕一38,得;=解得〃=警，所以直線BC與平面A3N所成角的正弦值為

3辰「屈

h_一!9——回，即sin6的最小值為"?.

----=--------=------19

BC319

故選：A.

由題意，如上圖示，面EFG在正方體ABCQ-ABGA上的截面為EbG“且”為QC中點(diǎn),

???AP〃平面EFG,而面ABCDJ/面EFG,

二￡>/u面ABCD,,又p為底面ABCD上一動(dòng)點(diǎn)，則戶在BC上，

DF與平面ABCD所成角為4）尸4,

當(dāng)尸與B重合時(shí)，最小，此時(shí)tanNQBA="L=也，

當(dāng)P與C重合時(shí)，⑷PD,最大,止匕時(shí)tanNOCR=*=l；

/?tanZDPD}e[y^,l].

故選：B

4.C

【詳解】

取A￡＞中點(diǎn)。，連接PO、BO、CO,設(shè)C。與BO交于F,連接PF,

在等腰梯形ABCD中，由AO〃8c且BO=BC=CD=OD,

故四邊形。。CB為菱形，所以BOLCO,又PB=PD,且尸為8。的中點(diǎn),

所以皿，「尸，又PFnCO=F,所以BO_L平面PCO,

過0作O〃_LPF交PF于”，由BD1平面PCO,

故又PFCBD=F,所以O(shè)H_L平面

設(shè)PO=f,OF=—AB=—,故OH=/—,一，又4￡)=2O￡),

22V4r+1

故點(diǎn)A到平面PBD的距離"=20H=J：,

設(shè)直線處與平面PBD所成角的大小為。，則

sin0=-^―=------2t------2,22

PA.“山\~21-V4+53

"75'4/+—+5

當(dāng)且僅當(dāng)4/=2即f=立時(shí)取等號(hào),

廠2

7

故直線PA與平面尸8。所成角的正弦值的最大值為:,

故選：C

5.B

【詳解】

如圖，作BE"CD,且BE=CD.連接A￡,ED,四邊形8CDE是平行四邊形，

因?yàn)閆ABC=NDCB=90。,則ZEfiC=180°-90°=90°,

所以/ABE就是二面角A-3C-。的平面角，

由平行四邊形8COE得。E=8C=3,BE=CD=2,

由NABC=N￡BC=90。，且48("|8后=8,A8,8Eu平面ABE,得BCJ■平面ABE,

而AEu平面ABE,所以BC_LAE,所以￡D_LM,

所以AE=JA￡)2-EO2='12—9=6，

AB2+BE2-AE21+4-3=1

△AED中,cosZABE=所以ZABE=60。,

2ABBE2x1x22

故選：B.

6.C

【詳解】

在“WC中，因?yàn)锳D-LBC,沿AD將AABC翻折，

可得所以N8E>C為二面角8—A￡)—C的平面角,

又因?yàn)?CL平面AC。，且C￡)u平面ACD,所以3C_LCD,

由乙ABD的面積是AACD的面積的2倍，可得BD=2CD,

CD1

在直角△BCD中，因?yàn)锽D=2CD,可得cosNBOC=—=-,

BD2

又由NB￡)C=6(y,即二面角B-A￡>-C的大小為60。.

故選：C.

7.C

【詳解】

由條件可知NBOC=60,取BC'的中點(diǎn)E,連結(jié)4E,DE,

VAE=AC',DB=DC',

:.AEYBC,DEIBC,

.?.NAEZ)是二面角A-BC-3的平面角，

QAB=4,AD=2^5,

?.?△比心'是等邊三角形，DE=—BD=y[3,

2

tanZAED=—=^=2

DEG

故選：C

8.B

【詳解】

如下圖所示:

設(shè)C0=2,ADVl,AB=C，以。、CO為鄰邊作平行四邊形ACDE,

在平面夕內(nèi)，ADLI,8=2,ZACD=45,貝UAZ)=8sinNAC￡>=0，AC=CQcos45。=0，

vABLI,ADVI,Mutz,A￡>u￡,

所以，為二面角。-/一月的平面角，即/區(qū)4。=60,

?.?A8=AZ)=血，.[△AB。為等邊三角形，則8￡>=&,

?.?四邊形ACDE為平行四邊形，，OE〃4C,即DE/〃,

?.?AD±/,ABI/,.1.DELAB,DELAD,

QAB\A￡>=A,.?.￡)E_L平面

Q8￡>u平面8￡),則BE=JBD?+DE?=2，

在平行四邊形ACZJE中，A￡〃C￡>且AE=CO=2,

所以，異面直線AB與CD所成角為44E或其補(bǔ)角，

在△ABE中，AB=6,AE=BE=2,由余弦定理可得cosNBAE=+八￡-=走

2ABAE4

因此，異面直線A8與CD所成角的余弦值為變.

4

故選：B.

9.ABD

【詳解】

對(duì)于A：連接A。，BC,則ARJ.A。，8,面AORA，4^<=面4。。4,所以COLAR,因?yàn)镃￡>DAQ=。,

所以AR上面AAC。，因?yàn)槊嫠訣41A0,故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于B：因?yàn)槊妗q。〃平面4片區(qū)4,REu面DCCR,所以RE〃平面4月84,故選項(xiàng)B正確；

對(duì)于C：二面角E-A用-A即為二面角-A,因?yàn)?,面4蜴8A，所以NC瓦8即為所求角，在Rt^CB田中,

ZCB,B=45,故選項(xiàng)C不正確;

對(duì)于D：設(shè)A〃nAQ=O,則匕一^^九叫+勿…^)①磔二人口，因?yàn)锳R=0,OB|==—v6,三%

2

點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)C到0B,的距離最大，此時(shí)OC==乎所以S,。*最大為:

~2'

1也1

夜

乙

所以

最大

值為

XX一

3-2一3-

故選ABD

10.ABCD

【詳解】

ABC￡)是正方形，則月CJ_B￡>,又5。_1_面480ACu面A8C￡>,所以SO_LAC,

SDCBD=D,SRBOu平面S3。，

所以AC_L平面SB。，而S8u平面SB。，所以ACJ_S8,A正確；

AB!/CD,A8<z平面SCO,COu平面SC。，所以A8//平面SC￡>,B正確；

SOJ_底面ABC。，所以弘與平面A3。所成的角是NSAO,C正確；

AB//CD,AB與SC所成的角等于OC與SC所成的角，D正確，

故選：ABCD.

11.ACD

【詳解】

如圖，過A作4”，4勺，，為垂足，連結(jié)如圖建立空間直角坐標(biāo)系

對(duì)于A選項(xiàng)，側(cè)棱網(wǎng)與底面ABC所成角為60,4小內(nèi)為銳角，且側(cè)面"441底面ABC,：.ZAA,Bt=60。

,又三棱柱A8C-AB|G的各棱長(zhǎng)相等，可知四邊形AA8田為菱形，ZABB1=ZA41B=60°,故A選項(xiàng)正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，易知A(0,0,V3),C(-1,V3,V3),B(-2,0,V3),B,(-l,0,0),

衣=(-1,6,0),西=(1,0,—6)?.亞?西=一1/0,故B選項(xiàng)不正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，由題意可知NC①”即為AG與平面44田8所成的角，

tanZC,AH=^=l,：.ZCtAH=4S\故C選項(xiàng)正確；

AH

對(duì)于D選項(xiàng)，^C=(0,V3,V3),AC;=(0,V3,-x/3),.?.而?記=0

因此8。LAC”故D選項(xiàng)正確.

故選：ACD

【點(diǎn)睛】

本題考查了空間向量與立體幾何綜合，考查了學(xué)生空間想象，邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題

12.BC

【解析】

【分析】

根據(jù)點(diǎn)面距、面面平行、線面平行、二面角等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，由此確定正確選項(xiàng).

【詳解】

A選項(xiàng)，四邊形ABB,是正方形，所以所以與=#，

但AM與BC不垂直，所以AM與平面A8C不垂直，所以A到平面48C的距離不是正，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

2

B選項(xiàng)，根據(jù)三棱柱的性質(zhì)可知，平面A8C〃平面ABC一所以從尸〃平面A8C,

設(shè)平面APC與平面A8C的交線為/,根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可知Af/〃，B選項(xiàng)正確.

C選項(xiàng)，由于BC〃BC，4GN平面ABC,8Cu平面\BC,所以B、C、H平面A8C.所以「到平面A.BC的距離為定值,

所以三棱錐尸-A8c的體積為定值，C選項(xiàng)正確.

D選項(xiàng)，設(shè)。是8c的中點(diǎn)，由于AC=AB,AC=4B,所以A2,3C，4Q，8C,所以二面角4-BC-A的平面角

為/AQA,由于AAXAQ,所以NAQAwt,D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：BC

B

13.(1)見解析

嗚

【解析】

【分析】

(1)由線面垂直的判定定理可得平面ABC,從而可得3D,證明8。，AC,再根據(jù)線面垂直的判定定

理可得8。，平面PAC,再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得證；

(2)由線面垂直的性質(zhì)可得R4J.BC,再根據(jù)線面垂直的判定定理可得BCJ?平面則有BCJ.P8,從而可

得NPBA即為二面角P—BC—A的平面角，從而可得出答案.

(1)

證明：因?yàn)橐訽LAB,PAVAC,43cAe=A,

所以24_L平面ABC,

又因5￡)u平面ABC,所以R4_L8￡>,

因?yàn)椤榫€段AC的中點(diǎn)，AB=BC,

所以5￡>_LAC,

又R4nAC=A,所以BD_L平面以C,

又因?yàn)镼u平面BDE,

所以平面_平面B4C；

(2)

解：由(1)得24_L平面A8C,

又3Cu平面A3C,所以24L8C,

因?yàn)锳B_LBC,PA[}AB=A,

所以8c，平面R鉆，

因?yàn)镻Bu平面弘8,所以8CJ_P8,

所以NP8A即為二面角尸一BC-A的平面角,

在R/APIB中，PA^AB^l,

TT

所以tan/P84=l,所以NPBA=一,

4

TT

即二面角P-BC-A的平面角的大小為

4

14.空

3

【解析】

【分析】

連結(jié)AC,則NSC4為SC與e。所在的平面所成的角，設(shè)SA=AB=2,求出AC的長(zhǎng)度，即可得出答案.

【詳解】

連結(jié)AC,由SALeO所在的平面

所以NSC4為SC與e。所在的平面所成的角

設(shè)&4=A3=2,則AO=OC=1

AC=yjAO2+0C2-2AOOCcosl20°=也

所以tanNSC4=^=*=^

ACG3

15.(1)證明見解析

⑵文

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、余弦定理，結(jié)合線面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可;

(2)根據(jù)二面角的定義、線面角的定義，結(jié)合余弦定理進(jìn)行求解即可.

(1)

取AB中點(diǎn)。，連接P。，DO.

因?yàn)殂@為等邊三角形，所以POLA6.

設(shè)A8=l,因?yàn)锳ABC為等腰三角形，且/4BC=120。，所以

AC=^l+l-2xlxlx（-l）=y/3,AD=*,

在△ABD中，ZBAC=30°,由余弦定理得：

B0=Jl+」xlx與立=蟲,

V3323

所以D4=￡>8,故。O_LA8.因?yàn)镻OC|OO=O,PO,OOu平面POO,所以平面PQ。，從而

（2）

在R4上取點(diǎn)E,使AE=；AP,連接ED,則以）//PC,

所以直線PC與平面B45所成角等于直線與平面R4B所成角，

由（1）43_1平面2。。，得平面PDO_L平面/MB,過￡>作。尸_LPO于F,則Of_L平面上4B,連接EF,則NDEF

為直線即與平面加所成的角.

又由（1）知二面角P-AB-O的平面角為/PO￡>=120。，所以NDOF=60。，

設(shè)AB=1,則40=且，AE=-,0D=-AD=—.P0=—,

33262

所以在APOD中，余弦定理得：

在/\PAD中求得，cosAPAD=0A+A)—=B,

IPA-AD8

在中，余弦定理得：

由席哼器=警W.

1

,…口DF43舊

所以smZ.DEF===----

9以DE71326,

6

即直線PC與平面RW所成角的正弦值為豆叵.

26

16.(1)證明見解析(2)①&②60。

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)題意，得到和ACL8C,證得BCL平面用C,再由面面垂直的判定定理，即可得到平面PACL

平面PBC.

(2)①取PC的中點(diǎn)。，連接AD,DM,得出。M是斜線AM在平面P8C上的射影，得到N4WD是AM與平面PBC

An

所成角，再由tanNWOuFy,即可求解，②取AB中點(diǎn)尸,過戶作EF_LP8于E,連接，可證明NCEF是二面角

DM

C-PB-A的平面角，解直角三角形求其大小即可.

【詳解】

(1)由題意，因?yàn)镻4_L面ABC,5。<=面48<7,.?.~4_18。，

又ZACB=90,,即AC_LBC,QPAIAC=A,.?.3C_L平面以C,

?.?BCu平面P8C,...平面PACJ?平面PBC.

(2)①取PC的中點(diǎn)。，連接AO,DM.

AC=PA,:.ADPC.

由（1）知，BC_L平面PAC,

又4>u平面PAC,.?.3C_LAD.而PCc3C=C.r.AD_L平面PBC,

所以DM是斜線AM在平面PBC上的射影，

所以/AMD是AA/與平面P8C所成角，且

設(shè)AC=8C=PA=2a,則由M是PB中點(diǎn)得0M=，BC=a,

2

An1—

AD=ypia，所以tanZ.AMD=-----=yj2,

DM

即AM與平面尸8C所成角的正切值為血.

②取AB中點(diǎn)F,過F作耳'_LP3于E,連接CE,

由AC=8C可得CF-LAB,又PA_L面ABC,:.PAA.CF,

-.-PA±CF,CFLAB,PA^}AB=A,

.?.《尸_1平面%6,

EF是C￡在平面匕的射影，

:.CEVPB,

.?.NCEF是二面角C-PB-A的平面角，

在Rt，BC中,由PC?BC=CE?PB可得CE=巴世=壟窄”■=述~a

PB2島3

XCF=-AB=—x2a=V2a,

22

./…CF缶73

所以在直角△CEF中CE2展2，

---a

3

故NCEF=60°.

17.(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)45°.

【解析】

【分析】

(1)連接AC,可得在ACR4中切〃P4,由線線平行即可得到線面平行.(2)先由側(cè)面皿)，底面ABC。得到CD1

平面PAO進(jìn)而得到CDLPA,,再由三角形三邊關(guān)系得到PAA.PD,即可得到線面垂直，再利用面面垂直的判定定理

得證面面垂直.(3)由(1)中結(jié)論可將直線EF與平面ABC。所成角轉(zhuǎn)化為直線％與平面A8CD所成角NP4E),即

可直接在△%￡＞中求解.

【詳解】

(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形,連接AC,則ACc8。=尸，尸為AC中點(diǎn)，E為PC中點(diǎn)，所以在ACPA中EF//PA,

且B4u平面上4￡),

平面PAD,所以EF〃平面PAD.

(2)因?yàn)槠矫婷螅綣_平面

平面PA￡)n平面筋8=M＞，且四邊形ABC。為正方形，

所以CD_LAD,CDu平面ABCD,

所以C￡＞1平面PAD,所以C￡)_LR4,

又PA=PD=^AD,

2

所以△皿＞是等腰直角三角形，且NAPD=90。，

即尸4_LP￡?,CDcPO=。，且CRPOu平面PDC,

所以PA_L平面PDC,

又R4u平面E4B,所以平面PAB_L平面尸DC.

(3)因?yàn)镋F//P4,

所以直線EF與平面A8C。所成角的大小等于直線P4與平面A8CD所成角的大小，

因?yàn)閭?cè)面PAD_L底面A8CD,所以/抬。就是直線R4與平面A8CD所成角，在△”￡＞中，PA=PD=—AD,所

2

以NPAD=45°,

所以直線EF與平面A8CD所成角的大小為45。.

18.(1)證明見解析；(2)生叵.

19

【解析】

【分析】

(1)利用線面垂直的性質(zhì)可得PA_L8C，結(jié)合AS-L8c可得BC_L平面E1B,根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明;

(2)由題意可得3E=6，過點(diǎn)E作EG//PA交A8于點(diǎn)G(如圖)，得出EG=&，

進(jìn)而和S,AEC，結(jié)合等體積法即可求出點(diǎn)B到平面AEC的距離，從而得出結(jié)果.

【詳解】

(1)證明：因?yàn)樾薮怪庇?。。所在的平面，即PAL平面ABC,8Cu平面A8C,

所以PAJLBC,又AC為0。的直徑，所以

因?yàn)槭?所以BCJ?平面Q4B,

又AEu平面B4J5,所以BC_LAE,

因?yàn)锳ELPB,BC"B=B,

所以A￡_L平面PBC,又AEu平面AEF,

所以平面平面PBC.

(2)解：因?yàn)锳B=3,PA=3披，所以尸B=JAB，+以2=3百，

又AELPB,所以AE=W4=&,

由可得BE=G，

如圖，過點(diǎn)E作EG〃外交A3于點(diǎn)G,則笠=未，可得EG=g，

又BC=4,所以EC=jBC、BE2=M，

所以s△詼=gA&BC=6,S4C=；AE-EC=￥，

設(shè)點(diǎn)3到平面A￡C的距離為/7,

=y

由^E-ABC^B-AEC，可得鼻S4ABC，EG=-S^AEC-h,解得〃=4,

3J19

所以當(dāng)點(diǎn)F移動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，尸8與平面AEF所成角的正弦值為—=處.

BE19

TT

19.(1)證明見解析；(2)y.

【解析】

【分析】

(1)取AC的中點(diǎn)為。，連接80,P0,在AB4C中，由%=PC,得至lJP0J_4C,在ABAC中，由BA=BC,得到

B0LAC,再利用線面垂直的判定定理證明；

(2)易知PO2+BO2^PB2,得到POLBO,再由B0VAC,得至ljB。，平面ABC,進(jìn)而得到N0PB為PB與平面PAC

所成的角求解.

【詳解】

(1)如圖所示：

取AC的中點(diǎn)為。，連接B。，P0.

在ABAC中，-：PA=PC,。為AC的中點(diǎn)，

：.P0LAC,

在ABAC中，\-BA=BC,。為AC的中點(diǎn),

：.B0：LAC,

\'0PH0B=0,OP,02u平面0P8,

，4C_L平面OPB,

平面POB,

：.AC±BP

(2)在直角三角形43c中，由AC=2,。為AC的中點(diǎn)，得80=1.

在等腰三角形4PC中，由N4PC=120。，得尸0=且，

3

又?.?PB=迫，

3

：.PO2+BO2=PB2,BPPO±BO,

XBO1AC,ACH0P=0,

：.80_L平面ABC,

即NOPB為PB與平面南C所成的角.

OP1

在R#OB中,cosZOPB=——=一,

PB2

TT

因?yàn)镹OPBe0,y,

TT

所以NOPB=§,

ir

所以PB與平面B4C所成的角大小為

20.(1)證明見解析(2)60°

【解析】

【分析】

(1)推導(dǎo)出BE_LCD,ABLCD,從而CD,平面ABE,由此能證明BC,CD

(2)由8E_L平面AC。，NBCE即為BC與平面AC。所成角，得到/BCE=NBC4=45°,BC=AB=\,過點(diǎn)B

作交AO于尸，連結(jié)EF,推導(dǎo)出AOJ_平面8EF,ADA.EF,從而N8尸E是二面角8-AD-C的平面角,

由此能求出二面角8-40-C的大小.

【詳解】

(1)證明：,..8E_L平面ACC,CZ)u平面ACC,:.BELCD,

BCD,CDu平面BCD,：.AB1.CD,

'：ABHBE=B,平面ABE,

：BCu平面ABE,ABCA.CD.

(2)：BE_L平面ACO,NBCE即為BC與平面AC。所成角，

?：BC=CD=l,BC與平面AC。所成的角為45。，

：.ZBCE=ZBCA=45°,BC=AB=\,

過點(diǎn)8作8"LAD,交A。于F,連結(jié)EF,

'JBFLAD,BE_LAD,BECBF=B,BEF,

VEFc^F?BEF,：.ADLEF,

，NBFE是二面角B-AD-C的平面角，

?：BE=立,吁^￡=逅，

2AD3

../REBE73

.,smZBFE=——=—,

BF2

由題圖知，二面角B-A。-C的平面角為銳角，

二面角B-AD-C的大小為60°.

21.(1)證明見解析.

⑵立.

2

【解析】

【分析】

(1)連接Bq交8c于點(diǎn)M,連接M。，由中位線定理得O"〃AG，從而可得線面平行;

(2)證明平面48gA,得N8Q8是二面角片-C3-B的平面角，然后在三角形中求得其余弦值.

(1)

連接交BC于點(diǎn)M,連接MQ,如圖，

則M是BG中點(diǎn)，又。是A8中點(diǎn)，所以。M//AG，

MDu平面COq,4，0平面€7)瓦，所以AG〃平面CDB1；

⑵

平面ABC,C￡>u平面45C,所以

又AC=BC,。是43中點(diǎn)，所以CD1.A8,

ABcA41=A,A8,eu平面4陰4，所以平面A叫A，

BQu平面A8BM，所以C3L8Q,所以/與。8是二面角g-(7。一8的平面角,

由AC_L5C,A4=l,AC=BC=近,得AB=2,BD=\,BB、=1,所以BQ=6,

cosZB.DB=.

12

22.(1)證明見解析

⑵李

6

【解析】

【分析】

(1)證明出A3,平面PBC,利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；

(2)設(shè)%=他=2,取A8的中點(diǎn)G,連接EG,過點(diǎn)G在平面ABC。內(nèi)作GM，AF,垂足為點(diǎn)連接,

分析可知二面角E-AF-B的平面角為/EMG,計(jì)算出AEMG三邊邊長(zhǎng)，由此可求得/EMG的余弦值，即可得解.

(1)

證明：平面A8CD,BC^nABCD,:.BCVPA,

?.?四邊形ABC。為正方形，則

?：PAr\AB=A,BCL^^PAB,vAEc￥ffiMB.:.AEA.BC,

■.■PA=AB,E為尸B的中點(diǎn)，則A￡_LP3,

?"BnBC=8,.?.隹_1平面尸8。，?.?/1￡：＜=平面4￡1尸，，平面4￡77平面「8(7.

(2)

解：設(shè)R4=AB=2,取A8的中點(diǎn)G,連接EG,過點(diǎn)G在平面ABC。內(nèi)作G/W_LAF,垂足為點(diǎn)M