2021年滬教版數(shù)學(xué)必修二同步第19講壓軸綜合題（練習(xí)）教師版

第19講壓軸綜合題（練習(xí)）

一、單選題

1.（2020?黑龍江雙鴨山一中高一月考）函數(shù)/（x）=sin（ox+m）3>0）在區(qū)間［—紅，二］

663

5yr

上單調(diào)遞增，且存在唯一使得/（%）=1,則①的取值范圍為（）

6

lE2Ll4】24.

A.rB.勺r川C.rL-,-］D,r

【答案】B

27r7t

r分析】由其在閉區(qū)間上遞增,而了（力在24萬(wàn)——《妙《2版：+一為增函數(shù)，列不等式

33

組求。的范圍，又存在唯一X0W［O,2］,使得/（%）=1，而。龍+工6［工,9型+工］,

66666

71j57rzy7i57r4Td,二一一，-

即一《——+—<—，求①的范圍，1取交集即可.

2662

r

Jlj/7

【詳解】由正弦函數(shù)性質(zhì)，有2br——<（ox+-<2k7r+-,即

262

_.27r,八，7t

2k冗-------<a）x<2k7r+—,

33

57r27r

???/（》）在［——，——］上單調(diào)遞增,

63

5加。4—12%

>2k7T~—co<---

63,則，,廣，keZ,又⑦>0,即0<tyW—，

27TCO6Z+12

,2吟co<--------

32

又存在唯一玉）e［0,包］，使得/（毛）=1,而此時(shí)GX+工￡［工,名竺+工］,

66666

71,57VCO式571

—<----+—<—,得g<g<3,

2662

21

綜上，有一469?一.

52

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由區(qū)間單調(diào)性，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間列不等式組，在閉區(qū)間中

，.7CTCSTICD兀、口r3?,TC，、式①7t57r、，w,.E

有。XHG［r一,----1］,其中存在唯一最大值，則一（---------1<，求參數(shù)氾圍.

66662662

2.（2021?江蘇蘇州市?蘇州中學(xué)高一月考）設(shè)向量［,b,々滿足口=忖=1,

。=—<￡—之>=60。，則向的最大值等于（）

A.1B.72C.73D.2

【答案】D

【分析】由題設(shè)知￡，B的夾角為斗，又<1一"石―G〉=生，若礪=￡,漏=反無(wú)=人

33

則O,AC,B四點(diǎn)共圓或A,C,B在以。為圓心的圓上，求兩種情況下口的最值，再確定其

最大值即可.

—?—?12萬(wàn)—?—?—?—?TT

【詳解】由。為=一一，知：a'區(qū)的夾角為彳，又<a-c,b-c>=_,

233

2冗7T

若函=￡,而=￡元=1,BPZAOB=—,ZACB=—,

33

1、如上圖，當(dāng)0,AC,8四點(diǎn)共圓，而

\AB\^b-a\=yl（b-a）2-2a-h+a-設(shè)圓的半徑為此則

2R=」"I_=2，即R=1

sinZ4cB

.?.當(dāng)且僅當(dāng)況■為圓的直徑時(shí)，有最大值|反|=|"|=2R=2.

B

2、如上圖，當(dāng)A,C,B在以。為圓心的圓上，此時(shí)|反|=|21=1，

綜上：口的最大值為2.

故選:D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將平面向量轉(zhuǎn)化為點(diǎn)共圓，根據(jù)坂的夾角為與，又

<a-c,b-c>^,討論位置關(guān)系，進(jìn)而應(yīng)用圓的性質(zhì)確定忖的最大值.

3.（2020?杭州高級(jí)中學(xué)錢塘學(xué)校高二期中）已知,，02是平面內(nèi)兩個(gè)夾角為號(hào)的單位

向量，若互=2宿+（2-2wH）,則忖+最-2萬(wàn)|+2,一目的最小值為（）

A.73B.gC.2D.V13

【答案】B

【分析】不妨用坐標(biāo)表示向量［，工,然后作礪=不,而=1，OP=a，山共線定理

得尸點(diǎn)位置，

而國(guó)+公一2a+2卜一回=2幺/一汗+,一可，括號(hào)內(nèi)利用向量模的幾何意義求最

小值.

【詳解】因?yàn)閝,02是平面內(nèi)兩個(gè)夾角為號(hào)的單位向量，所以不妨設(shè)q=（1,0），

OA=^,OB=^，作平行四邊形。4cB即為菱形，過(guò)C作A8的平行線交工軸于E,交

OB的延長(zhǎng)線于產(chǎn)，

設(shè)O0=t[+(1—r)[，則點(diǎn)。在直線A3上，。。的延長(zhǎng)線交EFTP,則

OP=2OQ=2a，

M是菱形04cB對(duì)角線的交點(diǎn)，則0MLA5，OMLEF,

加=比亙，阿=|1可，四|=苧-￡,

2，

設(shè)歷=3OM，則。是M關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn),

又

五,

V

\PB\+\PM\=|PB|+|PD|>\BD\=—,當(dāng)且僅當(dāng)B,P,D共線時(shí)等號(hào)成立,

所以|P@+|/>M的最小值是乎，

忖+最一2目+2卜一可=2卜_027I-a=2(|PB|+|PM|)的最小值是J7,

故選：B.

A

X

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛》本題考查求向量模的最小值問(wèn)題，解題關(guān)鍵是平面直角坐標(biāo)系中作

出向最e；,縱然后由向於的線性運(yùn)算得出各點(diǎn)位貴，然后利用向量模的幾何意義，結(jié)合

對(duì)稱求得最小值.

4.(2020?全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))設(shè)相eR,復(fù)數(shù)z=+在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位

于實(shí)軸上，又函數(shù)/(x)=〃zlnx+x,若曲線y=〃x)與直線/：y=2日—1有且只有一

個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)人的取值范圍為

A.U{1}B.(-oo,0]U{1}

C.(F,()]U{2}D.(F,0)U(2,”)

【答案】A

【分析】由已知求得〃？，得到/(x),利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性及過(guò)(0,-1)的切線的斜率，再

畫出圖形，數(shù)形結(jié)合，即可求得實(shí)數(shù)A的取值范圍.

【詳解】

由題意，復(fù)數(shù)z=(l+i)(加一。=(機(jī)+1)+(加一l)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上，

所以〃?一1=0,即加=1,所以〃x)=lnx+x,x>0,則/'(x)=(+l>0,所以函數(shù)

/(%)單調(diào)遞增，且當(dāng)xf0時(shí),/(x)f-8，

作出函數(shù)/(x)=lnx+x的圖象，如圖所示：

又由直線/：y=2kx-\過(guò)點(diǎn)(0,-1),

設(shè)切點(diǎn)為(不，lnxo+xo)，則在切點(diǎn)處的切線方程為y-ln%-%=('+l)(x-Xo),

X。

把(。,一1)代入，可得—1—lnx0—x()=-1—,即lnXo=O,即天=1,

即切線的坐標(biāo)為(11)，代入/：y=2日一1,可得2%=2,即％=1,

又由圖象可知，當(dāng)2人E(一8,1],即&w(_oo,_L]時(shí)，

2

曲線y=/(x)與直線/：y=2去一1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，

綜上所述，當(dāng)女€(-,；]U{“時(shí)，曲線y=/(x)與直線，：y=21有且只有一個(gè)公共

點(diǎn),

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的基本概念，考查函數(shù)零點(diǎn)的判定，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義和

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬

于中檔試題.

二、填空題

5.(2021?湖南長(zhǎng)沙市?長(zhǎng)沙一中高一月考)△MC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是

a,b,c,已知您C+吟^=_L,則A的取值范圍是___________.

cba

jr

【答案】(o,§]

【分析】由正弦定理及三角形內(nèi)角性質(zhì)得sin2A=sinCsinB，可得根據(jù)余弦

定理，應(yīng)用基本不等式有cosA22比一“一,結(jié)合/為三角形內(nèi)角，即可求A的范圍.

2bc

【詳解】由正弦定理知：

cosCcos3sinBcosC+cosBsinCsin(B+C)1

i-■——-,

sinCsin3sinCsinBsinCsinBsinA

sinA=sin[^r—(B+C)]=sin(B+C),

sin2A=sinCsinB>即。？=〃c，

,222/-)/2i

又由余弦定理知：cosA=—a2〃"—"=J■當(dāng)且僅當(dāng)：=c時(shí)等號(hào)成立,而

2bc2bc2

Ae(0,?),

/.cosAe[—,1),則Ae(0,鳥.

23

TT

故答案為：(o,1d.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：應(yīng)用三角恒等變換、正弦定理的邊角關(guān)系確定三邊的數(shù)量關(guān)系，根

據(jù)余弦定理及基本不等式，求角/余弦值的范圍，結(jié)合三角形內(nèi)角的性質(zhì)求角的范圍.

TC711

(-X-yI,記

方程g(x)=g在xe[0,21]上的根從小到大依次為玉，Z，?…X”，求

x3+2X4+……+2x“_]+x,=.

【答案】92

【分析】由已知寫出g(x)的對(duì)稱軸方程及其周期，判斷端點(diǎn)g(0)、g(21)的值，問(wèn)題轉(zhuǎn)

化為g(x)在xw[0,21]上與y的交點(diǎn)問(wèn)題，畫出函數(shù)圖象的草圖即可確定根，進(jìn)而根

據(jù)目標(biāo)表達(dá)式及對(duì)稱軸求值.

_,,.,...「八c-.71x7t7i597rl.7TX71.71,

【詳v解】由X￡[(),21],則-------e[r一一,——,而r-------=%〃+—,知:g(x)關(guān)于

L」43312432

x=4kH對(duì)稱,

3

7衛(wèi)=8

又最小正周期為一工一，

4

/fw?/冗、1/c[、?/21TT7i、./59萬(wàn)、.’11■4、1

g(0)=sm(--)<-,g(21)=sin(----)=sin(---)=sin(--)<-,

???g(x)在xe[0,21]上的函數(shù)圖象如下，其與y=g的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，即為g(x)=；的根

%,x2,x3,x4,x5,x6

七+%_34x+x_46x+x_58

，如圖，區(qū)間內(nèi)共有6個(gè)根,且有455f)

22"T'2"T

/+2X4+2X5+4=(毛+/)+(%4+/)+(x5+/)=+~**——=92.

故答案為：92.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)在某閉區(qū)間上的交點(diǎn)問(wèn)題，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得

到草圖，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法確定根及各根之間的對(duì)稱軸.

7.(2021?江蘇蘇州市?蘇州中學(xué)高一月考)如圖，在AABC和AAEF中，B是EF的

中點(diǎn)，AB=EF=2,C4=CB=3,若同瓦42+.4尸=7，則正與前的夾角

的余弦值等于.

【答案】-

3

【分析】由題設(shè)得荏2+通.而+而.通+/.麗=7,由前一通=配求

UUIUuuu---——.1-------

ACAB'又ABBE=AB（-BF）,即可得=進(jìn)而求E尸與BC的夾角的

余弦值.

【詳解】

由圖知：AE=AB+BE>AF=AB+BF>

ABAE+ACAF^AB（AB+BE）+AC（AB+BF）^AB2+ABBE+ACAB+ACBF^1

又（前—通）2=前2_2/?礪+42=或2=9,且C4=3,AB=2，

AC-A6=2.

ABBE+ACBF=\<而而?麗=福?（一游），即

麗.（衣一麗）=；而灰=1,

又EF=2,CB=3

—-—■1

,cos<EF,BC>=-.

3

故答案為：—.

3

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)兒何圖形，結(jié)合向量加減法的幾何應(yīng)用及數(shù)量積的運(yùn)算律，得

至ij麗?麗+衣?麗=麗?（而一通）=3而?而=1,進(jìn)而求向量夾角余弦值.

8.（2021?浙江高一期末）已知H，*是平面向量，且4■是互相垂直的單位向量，若

對(duì)任意4e7?均有卜3+幾，1的最小值為1^3-e2],則\ey+3e2-e3|+p3-e2|的最小值為

【答案】3

【分析】根據(jù)E+4目的最小值為|3一￡|，代入得關(guān)于之的一元二次不等式，利用等號(hào)

可以取到判斷出△=4（1Z『—4（2月4-1）=0,然后設(shè)1為工軸的方向向量，1為y軸

方向向量，鼻=X1+》]，則得關(guān)于點(diǎn)（x,y）的軌跡方程，利用拋物線的定義將向量模長(zhǎng)

轉(zhuǎn)化為距離，計(jì)算最小值.

2

［詳解］卜3+/弓|=同+22^^3+2|e||>|e3-e2|=|e3|-2e2e3+|e2|,即

A2+2/l^+2^^-l>0,所以A=4(L)2—4(21*-1)=0,即

..\2....

(e,e3j—20263+1=0，設(shè)4為x軸的方向向量，02為丁軸方向向量，所以

e3--xe{+ye2.對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為(x，y),所以/一2y+l=0,得/=2()?-$；

厘+3心目+$一司=|(l,3)-(x,y)|+|(x,y)-(0,l)|,因?yàn)閂=2(y-g)為拋物線

f=2y向上平移g■個(gè)單位，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),準(zhǔn)線為y=0,所以點(diǎn)(x,y)至此0,1)

的距離與到y(tǒng)=0的距離相等，

|(l,3)-(x,y)|+|(x,j)-(0,l)|=|(l-x,3-y)|+|y|>|3-y|+|y|=3,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=l

時(shí)，取最小值.

故答案為：3

【點(diǎn)睛】關(guān)于向量模長(zhǎng)的問(wèn)題，一般沒(méi)有坐標(biāo)時(shí)，利用平方公式展開計(jì)算；有坐標(biāo)時(shí)，代

入坐標(biāo)公式求解，涉及模長(zhǎng)的最值問(wèn)題，一般需要轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，或者點(diǎn)到線

的距離等問(wèn)題，利用幾何方法求解.

三、解答題

2

9.(2021?浙江高一期末)已知函數(shù)/(x)=l----.

2+1

(1)求證：f(x)是奇函數(shù)；

(2)若對(duì)任意xe(O,乃)，恒有/(log,(a+asinx))+/jlog2—一求實(shí)數(shù),

Vcos-x+\)

的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析；(2)［2,+8).

【分析】⑴計(jì)算化簡(jiǎn)〃一%),得出x)=—/(x)即可證明；

(2)根據(jù)奇函數(shù)得出了(log2(a+asinx))N.f(Iog2(cos2%+1)),再根據(jù)單調(diào)性得出

2

log2(a+tzsin%)>log2(cosx+l),進(jìn)而得出aNcos1恒成立,令.=i+sinx,可

1+sinx

得aNl—f+2,利用單調(diào)性求出y=l-，+2的最大值即可.

【詳解】

V-I

（1）證明：/（x）的定義城是必又

2--1_F-1_1-2X

且/（一幻=-f(x),

2-”+112V+1

------r1

2*

所以，/（X）是奇函數(shù).

1

(2)解：由/(log2(〃+asinx))+/log>0,

2cos2尤+1

]

W/(log(a+tzsinx))>

22cos2x+l

因?yàn)?（X）是奇函數(shù),

所以/(1幅(a+asinx))"卜唱島7T

2

即/(log2(a+?sinx))>/^log2(cosx+l

又因?yàn)椤癤）在《上單調(diào)遞增,

所以10g2(a+asinx)Nlog2(cos2x+l),

即a+asinx2cos2x+1，

所以，對(duì)任意xe(0,%),a之cos-x+1恒成立,

1+sinx

設(shè)，=l+sinx,te(1,2].

cos2x+12-sin2x一產(chǎn)+2f+l1,

則nil--------=---------=-----------=一一1+2n.

l+sinx1+sinx

因?yàn)楹瘮?shù)>=1—f+2在，G（1,2］上單調(diào)遞減，

t

所以1一f+2<2,即""7+1<2,則。22,

1+sinx

所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍是［2,+8）.

【點(diǎn)睛】本題考查奇偶性和單調(diào)性的綜合應(yīng)用，考查不等式的恒成立問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是

COS2r4-1I

利用函數(shù)是奇函數(shù)和單調(diào)遞增得出"f恒成立，換元得出。2--/+2,再利用

l+sinxt

單調(diào)性求出y=；-f+2最大值.

10.（2020?陜西西安市?長(zhǎng)安一中高一月考）是否存在實(shí)數(shù)。，使得函數(shù)

153C兀

y=sin_x+acosx+-a一一在閉區(qū)間0,—上的最大值為1,若存在，求出對(duì)應(yīng)的a

822」

值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由？

3

【答案】存在，a=-.

2

【分析】利用平方關(guān)系對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)整理，進(jìn)而利用X的范圍確定COSX的范圍，根據(jù)

二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)。的范圍進(jìn)行分類討論,求得函數(shù)的最大值.

,53

【詳解】V=1-COS2X+47COSX+-47——

-82

’aYa25al

=—COS%——H---------1---------------，

I2j482

當(dāng)0<x4一時(shí)，OKcosxWl,

2

若@>1,即〃>2,則當(dāng)cosx=l時(shí)

2

53?

Xnax+一3=1，

oZ

二。=藥<2（舍去），

13

若即0WaW2,則當(dāng)cosx=3時(shí),

22

cr51

-------1-----CL-----1,

482

3

，。=一或Q=-4(舍去).，

2

若3<0,即a<0EI寸,

2

則當(dāng)COSX=0時(shí)乂儂=1〃_；=1，

oZ

/.?=—>0(舍去).

3

綜上所述,存在a=士符合題設(shè).

2

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：該題主要考查了三角函數(shù)的求最值以及二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)

在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定、軸動(dòng)區(qū)間定、軸定區(qū)間動(dòng)，不論哪種類

型，解決的關(guān)鍵是考查對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系，當(dāng)含有參數(shù)時(shí)，要依據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系

進(jìn)行分類討論.

11.(2021?江西宜春市?高安中學(xué)高一期末(理))己知函數(shù)

/(x)=Asin(x+9)(A>0，ee(0仁J,y=/(x)的部分圖象，如圖所示，P、。分

別為該圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為點(diǎn)R的坐標(biāo)為且

⑵若方程sinxcosx+l=4(x)(a?l)在區(qū)間0,丁內(nèi)恰有一個(gè)根，求”的取值范

圍.

【答案】⑴/(x)=0sin[x+?J；⑵，+°°.

nn

【分析】(1)由題設(shè)求“X)的周期，根據(jù)戶的坐標(biāo)并結(jié)合圖象有'+9=2求9,過(guò)。

42

n

作X軸的垂線，垂足為S,利用NQRS=NPRQ-1?列方程求4寫出解析式即可.

37c

(2)令g(x)=-sinxcosx+a(sinx+cosx)-l,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為g(x)在在區(qū)間0,[-

內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，應(yīng)用換元法令，=sinx+cosx可得g(x)=//(。=且

fe[o,0],討論在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)情況，并結(jié)合正弦函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)確定/,的

范圍.

JT

【詳解】(1)由解析式知：T=2肛又P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為一，

4

2

:'A=O,故/(%)=0$皿在+?).

(2)令g(x)=-sinxcosx+4(x)-l=-sinxcosx+?(sinx+cosx)-l,

二方程sinxcosx+l=4(x)(aNl)在區(qū)間0,—內(nèi)恰有一個(gè)根等價(jià)于函數(shù)g(x)在在

區(qū)間o，T內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn).

設(shè)1=sinx+cosx=V2sin[x+?當(dāng)XE0,子時(shí)，［工。,夜］又

sinxcosx=5[(sinx+cosx)2-1

—sinxcosx+(sinx+cosx)—1re[0,V2],

22

?［3,1

h(t)=--t2+at--,則函數(shù)g(x)在0,學(xué)內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，可知

//0)=—；/+〃一；在［o,、Q］內(nèi)最多有一個(gè)零點(diǎn)

①當(dāng)0為人(。的零點(diǎn)時(shí)，-g=0顯然不成立；

②當(dāng)庭為的零點(diǎn)時(shí)，由伍一3=0,得。=這，把。=史代入

244

一4產(chǎn)+G-'=0中，得__1『+述1__1=0,解得/夜，也，不符合題意.

2224222

③當(dāng)零點(diǎn)在區(qū)間(0,夜卜時(shí)，

若/="一1=0，得”=1,此時(shí)零點(diǎn)為1,即t=l,由f=J5sin(x+?)的圖象知不符

合題意；

191

若△=1—1>0,即。>1,設(shè)一萬(wàn)廣+〃一］=。的兩根分別為:,由4/2=1，且拋

物線的對(duì)稱軸為f=a>l，則兩根同時(shí)為正，要使//(7)=-；/+G—；在［。,及］內(nèi)恰

7?⑴>0

有一個(gè)零點(diǎn)，則一個(gè)根在（0,1）內(nèi)，另一個(gè)根在（&,+8）內(nèi)，所以，/?（、反）〉o,解得

/7（0）<0

3&

a>-----

4

綜上，。的取值范圍為［乎,+8?

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：

（1）由最高點(diǎn)坐標(biāo)及圖象求。，應(yīng)用線段的幾何關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)列方程求參數(shù)4寫

出解析式；

（2）利用輔助角公式、換元法，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)最多只有一個(gè)零點(diǎn)，注

意所得零點(diǎn)需結(jié)合換元前的三角函數(shù)，驗(yàn)證是否只存在一個(gè)零點(diǎn).

12.（2021?江蘇省贛榆高級(jí)中學(xué)高一月考）己知函數(shù)/（x）=Asin（的+。）（其中

717T

A>0,0>0,|°|<—）的圖象與x軸的交于46兩點(diǎn)，A,6兩點(diǎn)的最小距離為一，

22

且該函數(shù)的圖象上的一個(gè)最高點(diǎn)的坐標(biāo)為（二,2.

（1）求函數(shù)“X）的解析式;

（2）求證：存在大于g的正實(shí)數(shù)天,使得不等式*”>2百在區(qū)間（事,&）有解.

（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

【答案】（1）/（x）=2sinl2x+1j；（2）證明見解析.

71

【分析】（1）山題可得A=2,周期為乃，則可求出。=2,由/=2可解得

兀

（P

）問(wèn)題可化為|/（x）|>2百X：在區(qū)間（小，&）有解，再求解不等式

(2)

V3日-r

sinf2x+—j>n

二-即可.

2

【詳解】

解：⑴由題意可知，A=2,故函數(shù)_/(%)的周期為左，故0=2,

故)(x)=2sin(2x+。),

冗冗TT

則0H——二—+2k肛％￡Z,即夕=—+2k7i,keZ,

623

..7T71

??1?<5，-?中=3,

/(x)=2sin(2x+])；

(2)證明：因?yàn)樾」十?dāng)》€(wěn)卜0，、。)時(shí),0<Inx<—,

2

原不等式可化為|/(x)|>2百Inx,

又因?yàn)?<lnx<,，則26x」>2>/51nx,

22

要使得I/(x)|>2囪Inx在(%,右)有解，只需I/(x)|>在區(qū)間卜。,風(fēng))有解,

代入得：sin(2x+q)>,

、,心2%+()>告解得，即乃+]ZeZ時(shí)、

此時(shí)與區(qū)間(左兀，左兀+2)與區(qū)間(餐,〃)的交集為空集,

當(dāng)sin2x+—<—,即xe(A7F—g,左萬(wàn)一

Z￡Z時(shí),

I3j2123yl

(7C2萬(wàn)、(

令Z=1得J時(shí)，滿足sinI2x+—

又因?yàn)楣手恍柙坏仁皆趨^(qū)間(％,人)有解.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)不等式有解問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為

\f(x)|>26xg在區(qū)間(％,灰)有解，從而求解sinf2x+yj>3

2

13.(2020?廣東高一月考)已知函數(shù)/(x)=R(sinx-cosx)+sinxcosx+l.

TTTT

(1)若〃x)WO對(duì)xe恒成立，求實(shí)數(shù)人的取值范圍；

(2)當(dāng)％<—1時(shí)，求函數(shù)/⑺在［0,2句上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【答案】(1)

令sinx—cosx=t,則可得y=A/+^~^-+120對(duì)，e成立，即

【分析】(1)

可列式求出；

k+號(hào)-+1=0,解得[=k+Jd+3,t=k-y]k2+3>可得

(2)由(1)2

0<八<1,&<一3,即可判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù).

]—*

【詳解】（1）令sinx-cosx=,,則l-2sinxcosx=/，sinxcosx=----

2

.（乃）

r=V2sinx~—71TC71

當(dāng)9時(shí),x---esinx--e-[-1,0].

I4J~44474）

/(x)>O^txe恒成立，化為y=h+L^L+120對(duì)fw［一正,0］成立.

???/一2燈-340對(duì)?。垡灰?01亙成立，；.2+2夜4-340，

Ji(M

：.k<—，即后的取值范圍是一8,一.

4I4J

(2)由⑴知/(X)化為y=內(nèi)+號(hào)-+1,其中￡=及5皿卜-￡卜|-夜,夜］.

1_/_____

由H---1-1=0,t'Pz2—2kt—3=0得j二k±J%?+3.

當(dāng)攵<一1時(shí)，公>1，〃2+3>2,一正+3<-2,-VF+2<-3-

,-----,-----3

令4=Z+jF+3，爐+3,則丫2=-3，；.4=一廠.

，2

由。2<_3知0<_9<]，,0<4<].二&5布(％_7)=，2無(wú)解，

&sin(x_?]=f|在xe[0,2句上有兩解.

&<一1時(shí),函數(shù)“X)在[0,2句上有兩個(gè)零點(diǎn).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)不等式的恒成立問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是將不等式轉(zhuǎn)化為

/一2笈一3W0對(duì)fe[-應(yīng)，。]恒成立，考查零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為

友sinX-彳=/2和啦sin(x-解的個(gè)數(shù).

14.(2019?福建省福州第二中學(xué)高一期末)如圖，已知AABC的面積為14,D、七分別

為邊被比上的點(diǎn)，且AD：r)B=BE:￡C=2:l,AE與CD交于P.設(shè)存在4和〃使

AP=AAE'PD=/.iCD,而=G，BC^h.

(1)求2及〃；

(2)用萬(wàn)，b表示麗;

(3)求4c的面積.

6414-

【答案】(1)2=—>I-1——；(2)--aH—b：(3)4.

7777

.___(2

【分析】(1)用Z，B作為基底表示出向量而=九通=%

AP=AD+DP=-AB+DA=根據(jù)向量相等得到方程組，即可解

3

得；

(2)根據(jù)向量加法運(yùn)算法則,計(jì)算可得；

又Q=丸荏=9亞，再根據(jù)2PAe=-S.CE可得?

(3)先由SJCE=§^LABC,A,x1V-AC9Q

【詳解】(1)-.■AD:DB=I3E:EC=2:1,AB=a<前=6，

A

二

cE

_______9_

AE-AB+BE=a+—hCD=CB+BD=-h--a,

33

?.AP=AAE^PD=^CD

__.(y\_〃口卻,

.?.AP=4G+—6,PD=

k3,

:.AD^AP+PD=A\a+^

(1V(2V

—2—4〃+—A,-/J,b

<3)\3>

―-2—?2

又?.?AO=—A5=—M,

33

\12L6

Z〃=-A=

337

,解得v

4,

鏟_〃=0,=

7

(2)由(1)知麗=

3J3

.-.BP=BD+DP=--a+-b+-a}=--a+-b.

33J77

(3)-.BE:EC=2:1,S,.。=14,

.-.°5AACE_=13s_-3-，

又?."=/詬=9通，

7

_6614

?qv—x——4.

-7ACE

L73

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：第（1）問(wèn)的關(guān)鍵是用基底表示向量，然后解方程組；第（2）問(wèn)的關(guān)

鍵是運(yùn)用向量的加法；第（3）問(wèn)的關(guān)鍵是尋找面積之間的關(guān)系.

15.（2020?河南洛陽(yáng)市?洛陽(yáng)一高高二月考（文））已知復(fù)數(shù)

z=Ig"-2m-2）+（蘇+3〃?+2/，根據(jù)以下條件分別求實(shí)數(shù)m的值或范圍.

（1）z是純虛數(shù)；（2）z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的第二象限.

【答案】⑴m=3.（2）1+G<〃2<3或-1<根<l-6.

試題分析：（1）由純虛數(shù)，可知實(shí)部等于0,虛部不等于0,即

（m2-2/n-2）=0

｛V7.（2）對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第二象限，所以實(shí)部小于0,且對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0,

m2+3m+2^0

0<m2-2m-2<1

虛部大于0,即｛

m2+3m+2>0

試題解析：⑴由z=lg(>一2加一2)+(/+3加+2卜是純虛數(shù)得

Jg(m2-2m-2^=0

m2+3/n+2w0

「m2-2m—2=1

即{2所以m=3.

m'+3m+2w0

Ig(m2-2m-2^<0

（2）根據(jù)題意得｛

m2+3m+2>0

2