147等邊三角形（分層練習(xí)）-2022-2023學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊

14.7等邊三角形（分層練習(xí)）【夯實基礎(chǔ)】一、單選題1．（2022春·上海·七年級上外附中?？计谀┫铝袟l件中，不能說明△ABC為等邊三角形的是（）A．∠A＝∠B＝60° B．∠B+∠C＝120°C．∠B＝60°，AB＝AC D．∠A＝60°，AB＝AC【答案】B【分析】根據(jù)等邊三角形的判定定理可得出答案．【詳解】A．∵∠A＝∠B＝60°，∴∠C＝60°，∴∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等邊三角形．故A選項不符合題意；B．∵∠B+∠C＝120°，∴∠A＝60°，∴△ABC不一定是等邊三角形，故B選項符合題意；C．∵∠B＝60°，AB＝AC，∴△ABC是等邊三角形．故C選項不符合題意；D．∵∠A＝60°，AB＝AC，∴△ABC是等邊三角形．故D選項不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查了等邊三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理，能熟記等邊三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵．2．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）下列說法正確的是（）A．周長相等的銳角三角形都全等B．周長相等的直角三角形都全等C．周長相等的鈍角三角形都全等D．周長相等的等邊三角形都全等【答案】D【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法依次分析各選項即可作出判斷.【詳解】A.周長相等的銳角三角形不一定全等，故錯誤；B.周長相等的直角三角形不一定全等，故錯誤；C.周長相等的鈍角三角形不一定全等，故錯誤；D.周長相等的等邊三角形都全等，本選項正確．故選：D【點睛】全等三角形的判定和性質(zhì)是初中數(shù)學(xué)的重點，貫穿于整個初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，是中考中比較常見的知識點，一般難度不大，需熟練掌握.二、填空題3．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）在△ABC中，AB=AC，請你再添加一個條件使得△ABC成為等邊三角形，這個條件可以是___（只要寫出一個即可）．【答案】或等（答案不唯一）【分析】根據(jù)等邊三角形的判定方法即可求解.【詳解】∵在△ABC中，AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，故只需或即可得出△ABC為等邊三角形.【點睛】此題主要考查等邊三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟知等邊三角形的判定方法.4．（2022春·上海·七年級專題練習(xí)）如圖，已知是等邊△內(nèi)一點，是線段延長線上一點，且，=120°，那么_____．【答案】60°【分析】由的度數(shù)利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)可得出，結(jié)合可得出為等邊三角形，而根據(jù)旋轉(zhuǎn)全等模型由易證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出，再根據(jù)即可求出的度數(shù)．【詳解】解：為等邊三角形，，．，，．又，為等邊三角形，，，．，．在和中，，，，．故答案為：60．【點睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及角的計算，通過證明，找出是解題的關(guān)鍵．5．（2022春·上海·七年級專題練習(xí)）用一根長12cm的鐵絲圍成一個等邊三角形，那么這個等邊三角形的邊長為___cm．【答案】4【分析】根據(jù)等邊三角形的定義“三條邊都相等的三角形”即可求出答案．【詳解】根據(jù)等邊三角形的三條邊相等可知其邊長cm．故答案為：4．【點睛】本題考查等邊三角形的定義．掌握其定義是解答本題的關(guān)鍵．6．（2022春·上海·七年級專題練習(xí)）如圖，已知直線l1l2，等邊三角形ABC的頂點A、C分別在直線l1、l2上，如果邊AB與直線l1的夾角∠1＝26°，那么邊BC與直線l2的夾角∠2＝_____．【答案】34°##34度【分析】先由等邊三角形的性質(zhì)得∠BAC＝∠BCA＝60°，再由平行線的性質(zhì)得：∠1+∠BAC+∠BCA+∠2＝180°，則∠1+∠2＝60°，即可求解．【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝∠BCA＝60°，∵直線l1∥l2，∴∠1+∠BAC+∠BCA+∠2＝180°，∴∠1+∠2＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∵∠1＝26°，∴∠2＝60°﹣26°＝34°，故答案為：34°．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識．熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）已知是等邊三角形，點D、E分別在AC、BC上，且，則______．【答案】60【詳解】∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABE=∠C=60°，AB=BC，在△ABE和△BCD中，∴△ABE≌△BCD（SAS），∴∠BAE=∠CBD，∴∠AFD=∠ABF+∠BAE=∠ABF+∠CBD=∠ABC=60°．故答案為：60°．考點：等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．8．（2022秋·上海寶山·七年級?？计谥校┮粋€等邊三角形的一邊長為，則它的周長是_____________．【答案】3a【詳解】解：因為等邊三角形的三邊相等，而等邊三角形的邊長為a，所以它的周長為3a．故答案為3a．9．（2022秋·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，將邊長為的等邊沿邊向右平移得到，則四邊形的周長為___________.【答案】【分析】由將邊長為2cm的等邊△ABC沿邊BC向右平移1.5cm得到△DEF，根據(jù)平移的性質(zhì)得到BE＝AD＝1.5cm，EF＝BC＝2cm，DF＝AC＝2cm，然后利用周長的定義可計算出四邊形ABFD的周長．【詳解】∵將邊長為2cm的等邊△ABC沿邊BC向右平移1cm得到△DEF，∴BE＝AD＝1.5cm，EF＝BC＝2cm，DF＝AC＝2cm，∴四邊形ABFD的周長＝AD＋AB＋BE＋EF＋FD＝1.5＋2＋1.5＋2＋2＝9（cm）．故答案為：9cm．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、平移的性質(zhì)：平移不改變圖象的大小和形狀；平移后的線段與原線段平行（或在同一直線上）且相等；對應(yīng)點的連線段等于平移的距離．10．（2022春·上海·七年級專題練習(xí)）若把一個邊長為2厘米的等邊向右平移a厘米，則平移后所得三角形的周長為__________厘米．【答案】6【分析】平移不改變?nèi)切蔚闹荛L，求出原來的周長即可．【詳解】解：原三角形的周長是：，平移后的三角形周長不變，還是．故答案是：6．【點睛】本題考查圖形的平行，解題的關(guān)鍵是掌握圖形平移的性質(zhì)．11．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）在中，如果，，那么的形狀為______．【答案】等邊三角形【分析】根據(jù)三個角相等的三角形是等邊三角形證明即可．【詳解】在中，由得，又∵，∴，∴是等邊三角形．故答案為：等邊三角形．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，以及等邊三角形的判定，熟練掌握三個角相等的三角形是等邊三角形是解答本題的關(guān)鍵．12．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，將邊長為6cm的等邊△ABC沿BC邊向右平移得到△DEF．平移后，如果四邊形ABFD的周長是22cm，那么平移的距離應(yīng)該是_______cm．【答案】2【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)，得；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得，結(jié)合題意，通過列一元一次方程并求解，即可得到答案．【詳解】根據(jù)題意，得：，∴四邊形ABFD的周長∴故答案為：2．【點睛】本題考查了等邊三角形、平移的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握等邊三角形、平移的性質(zhì)，從而完成求解．三、解答題13．（2022春·上海閔行·七年級上海市閔行區(qū)莘松中學(xué)?？计谥校┮阎喝鐖D，△ABC是等邊三角形，點D、E分別在邊AB、BC的延長線上，且AD＝BE，聯(lián)結(jié)DC、AE．(1)試說明△BCD≌△ACE的理由；(2)如果BE＝2AB，求∠BAE的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)90°【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)得出AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°．可證明△BCD≌△ACE；（2）證得AC＝CE，得出∠CAE＝∠E，可求出∠E＝30°，由三角形的內(nèi)角和定理可求出答案．(1)解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°．∴∠DBC＝∠ECA=120°．∵AD＝BE，∴AD﹣AB＝BE﹣BC，即BD＝CE．在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS）；(2)解∶∵BE＝2BC，∴BC＝CE，∵AC＝BC，∴AC＝CE，∴∠CAE＝∠E，∵∠ACB＝∠CAE+∠E＝60°，∴∠E＝30°，∵∠ABE+∠E+∠BAE＝180°，∠ABE=60°，∴∠BAE＝180°﹣∠ABE﹣∠E＝90°．【點睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．14．（2022春·上?！て吣昙壠谀┤鐖D，點E是等邊△ABC外一點，點D是BC邊上一點，AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，連接ED，EC．(1)試說明△ADC與△BEC全等的理由；(2)試判斷△DCE的形狀，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)等邊三角形，理由見解析【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)得出AC＝BC，∠ACB＝60°，由SAS證明△ADC≌△BEC即可；（2）由全等三角形的性質(zhì)得出∠ACD＝∠BCE＝60°，DC＝EC，即可得出結(jié)論．（1）∵△ABC是等邊三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°，在△ADC和△BEC中，，∴△ADC≌△BEC（SAS）；（2）△DCE是等邊三角形；理由如下：∵△ADC≌△BEC，∴∠ACD＝∠BCE＝60°，DC＝EC，即△DCE是等腰三角形，∴△DCE是等邊三角形．【點睛】本題考查了等邊三角形的判定定理、直角三角形的性質(zhì)，熟記等邊三角形的判定是解題的關(guān)鍵．15．（2022春·上?！て吣昙壠谀┑冗叀鰽BC中，點P在△ABC內(nèi)，點Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，問△APQ是什么形狀的三角形？試說明你的結(jié)論．【答案】等邊三角形，證明見解析【分析】先證△ABP≌△ACQ得AP＝AQ，再證∠PAQ＝60°，從而得出△APQ是等邊三角形．【詳解】解：△APQ為等邊三角形．∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC，在△ABP與△ACQ中，∵，∴△ABP≌△ACQ（SAS），∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ，∵∠BAC＝∠BAP+∠PAC＝60°，∴∠PAQ＝∠CAQ+∠PAC＝60°，∴△APQ是等邊三角形．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，證明△ABP≌△ACQ，是解題的關(guān)鍵．16．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，是等邊三角形，是的中點，連接，延長至，使，連接．(1)等于多少度？(2)說明與相等的理由．【答案】(1)(2)理由見解析【分析】（1）先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，由可知，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)得出，在由在同一三角形中等角對等邊的性質(zhì)即可得出結(jié)論．(1)解：∵是等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴．(2)理由如下：∵是等邊三角形，∴，，∵是的中點，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)．熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．17．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖：△ABC和△ADE是等邊三角形，證明：BD=CE．【答案】見解析【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得到兩組邊對應(yīng)相等，一組角相等，從而利用SAS判定兩三角形全等，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得到BD=CE．【詳解】證明：∵△ABC和△ADE是等邊三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°．∴∠BAD=∠CAE．在△BAD與△CAE中，∴△BAD≌△CAE（SAS）．∴BD=CE【點睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)；證明線段相等常常通過三角形全等進(jìn)行解決，全等的證明是正確解答本題的關(guān)鍵．18．（2022春·上海·七年級專題練習(xí)）如圖，已知與都是等邊三角形，點D在邊上，說明的理由．解：因為是等邊三角形（已知），所以，（等邊三角形的意義）因為是等邊三角形（已知）所以（等邊三角形的意義）所以（等式性質(zhì)）得在與中；所以（）所以（）又因為，所以（等量代換）所以（）【答案】，全等三角形的對應(yīng)角相等；，內(nèi)錯角相等，兩直線平行【分析】先證明，再證明，可得，從而可得結(jié)論.【詳解】解：因為是等邊三角形（已知），所以（等邊三角形的性質(zhì)）．因為是等邊三角形（已知），所以（等邊三角形的性質(zhì)）．所以（等式性質(zhì)），得．在與中，，所以．所以（全等三角形的對應(yīng)角相等）．又因為，所以（等量代換）．所以（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．故答案為，全等三角形的對應(yīng)角相等；，內(nèi)錯角相等，兩直線平行．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒ǎ部疾榱说冗吶切蔚男再|(zhì)．19．（2022春·上?！て吣昙壠谀┤鐖D，已知△ACM是等邊三角形，點E在邊CM上，以CE為邊作等邊△CEF，聯(lián)結(jié)AE并延長交CF的延長線于點N，聯(lián)結(jié)MF并延長交AC的延長線于點B，聯(lián)結(jié)BN．(1)說明△ACE≌△MCF的理由；(2)說明△CNB為等邊三角形的理由．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由△ACM和△CEF是等邊三角形，得CA=CM，CE=CF，∠ACM=∠ECF=60°，再利用SAS即可證出△ACE≌△MCF；（2）由△ACE≌△MCF，得∠CAE=∠CMF，由∠ACN=∠ACM+∠ECF=120°，∠MCB=180°∠ACM=120°，可得∠ACN=∠MCB，再利用ASA證出△ACN≌△MCB，得到CN=CB，再由∠BCN=180°∠ACM∠ECF=60°，即可證明△CNB是等邊三角形．(1)證明：△ACM和△CEF是等邊三角形，∴CA=CM，CE=CF，∠ACM=∠ECF=60°，在△ACE和△MCF中，，∴△ACE≌△MCF（SAS）；(2)解：∵△ACE≌△MCF（SAS），∴∠CAE=∠CMF，∵∠ACN=∠ACM+∠ECF=120°，∠MCB=180°∠ACM=120°，∴∠ACN=∠MCB，在△ACN與△MCB中，，∴△ACN≌△MCB（ASA），∴CN=CB，∵∠BCN=180°∠ACM∠ECF=60°，∴△CNB是等邊三角形．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【能力提升】一、單選題1．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，△ABC、△DEF和△GMN都是等邊三角形，且點E、M在線段AC上，點G在線段EF上，那么∠1+∠2+∠3等于（）A．90° B．120° C．150° D．180°【答案】D【分析】由等邊三角形的性質(zhì)和平角的定義以及三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵△ABC、△DEF和△GMN都是等邊三角形，∴∠GMN＝∠MGN＝∠DEF＝60°，∵∠1+∠GMN+∠GME＝180°，∠2+∠MGN+∠EGM＝180°，∠3+∠DEF+∠MEG＝180°，∴∠1+∠GMN+∠GME+∠2+∠MGN+∠EGM+∠3+∠DEF+∠MEG＝3×180°，∵∠GME+∠EGM+∠MEG＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝3×180°﹣180°﹣3×60°＝180°；故選：D．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、平角的定義；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理是解決問題的關(guān)鍵．2．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，已知點B、C、E在一直線上，、都是等邊三角形，聯(lián)結(jié)和，與相交于點F，與相交于點G，下列說法不一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)和“SAS”證明可得A選項；可利用“ASA”證明可得C、D選項，利用排除法求解即可．【詳解】解：∵、都是等邊三角形，∴，=60°，，∴∠ACB+∠ACD=∠ECD+∠ACD，即∠ACE=∠BCD，∴（SAS），∴BD=AE，（故A正確）；∴∠AEC=∠BDC，又，，∴（ASA），∴EG=FD，（故C正確），F(xiàn)C=GC，（故D正確）由于B項不能由已知條件得到，故B錯誤，故選：B．【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．3．（2022春·上?！て吣昙壠谀┤鐖D，是繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°后所得的圖形，點恰好在上，，則∠D的度數(shù)是（

）．A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】B【分析】先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，再根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)角的和差可得，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，是等邊三角形，，，，，，故選：B．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理等知識點，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．（2022春·七年級單元測試）如圖，在等邊△ABC中，∠BAD＝20°，AE＝AD，則∠CDE的度數(shù)是（）A．10° B．12.5° C．15° D．20°【答案】A【分析】先求出，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出，可求出，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出，即可求出答案．【詳解】解：是等邊三角形，，，，，，，，，．故選：A．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形的外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理等知識點的綜合運用，解題的關(guān)鍵是考查了學(xué)生運用定理進(jìn)行推理和計算的能力．5．（2022秋·上海閔行·七年級校考階段練習(xí)）如圖，中，，將沿射線的方向平移，得到．再將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度后，恰使點與點C重合，點的對應(yīng)點是點，若，則的度數(shù)為（）．A．50 B．60 C．70 D．80【答案】B【分析】根據(jù)平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等，得到，為等邊三角形，進(jìn)而得到，利用平角的定義，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：將沿射線的方向平移，得到，∴，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度后，恰使點與點C重合，點的對應(yīng)點是點，∴，∴為等邊三角形，∴，∴；故選B．【點睛】本題考查平移，旋轉(zhuǎn)，以及等邊三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等，是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2022春·上海楊浦·七年級校考期末）在等邊三角形中，，與相交于點，，垂足為，則______．【答案】##120度【分析】由“”可證≌，可得，即可求解．【詳解】解：是等邊三角形，，，在和中，，≌，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．7．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）a、b、c為△ABC的三條邊，滿足條件點（a﹣c，a）與點（0，﹣b）關(guān)于x軸對稱，判斷△ABC的形狀_____．【答案】等邊三角形．【分析】由兩點關(guān)于x軸對稱可得ac=0，a=b，進(jìn)而根據(jù)三角形三邊關(guān)系判斷△ABC的形狀即可．【詳解】解：∵點（ac，a）與點（0，b）關(guān)于x軸對稱，∴ac=0，a=b，∴a=b=c，∴△ABC是等邊三角形，故答案為等邊三角形．【點睛】此題主要考查兩點關(guān)于x軸對稱的坐標(biāo)的特點：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．8．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如果等邊三角形的邊長為m厘米，那么這個三角形的面積等于_____平方厘米（用含m的代數(shù)式表示）．【答案】【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和三角形面積公式解答即可．【詳解】因為等邊三角形的邊長為m厘米，可得等邊三角形的高是厘米，所以這個三角形的面積=×m×m=m2平方厘米；故答案為．【點睛】此題考查等邊三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是得出等邊三角形的高．9．（2022春·七年級單元測試）邊長為2的正三角形的面積是____．【答案】．【詳解】試題分析：過A作AD⊥BC，∵AB=AB=BC=2，∴BD=CD=BC=1，在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理得：AD==，則S△ABC=BC?AD=，故答案為．考點：等邊三角形的性質(zhì)．10．（2022秋·上海·七年級期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，將這個三角形折疊，使點B與點A重合，折痕交邊AB于點M，交BC于點N，如果BN＝2NC，那么∠ABC＝_____度．【答案】30【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠1＝∠B，NA＝NB，求出∠ANC＝60°，再利用三角形的外角定理得∠2＝2∠B，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，∵將這個三角形折疊，使點B與點A重合，折痕交AB于點M，交BC于點N，∴∠1＝∠B，NA＝NB，∵BN＝2NC，∴AN＝2NC，∵∠C＝90°，∴∠CAN＝30°，∴∠ANC＝60°，∵∠2＝2∠B，∴∠B＝30°，故答案為：30．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖形全等，即得到對應(yīng)角相等，對應(yīng)線段相等．也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．11．（2022春·上海·七年級專題練習(xí)）如圖所示，已知邊長為2的正三角形ABC中，P0是BC邊的中點，一束光線自P0發(fā)出射到AC上的P1后，依次反射到AB、BC上的點P2和P3，且1＜BP3＜（反射角等于入射角），則P1C的取值范圍是_____．【答案】【分析】首先利用光的反射定律及等邊三角形的性質(zhì)證明△P0P1C∽△P2P1A∽△P2P3B，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得到用含P3B的代數(shù)式表示P1C的式子，然后由1＜BP3＜，即可求出P1C長的取值范圍．【詳解】解：∵反射角等于入射角，∴∠P0P1C＝∠P2P1A＝∠P2P3B，又∵∠C＝∠A＝∠B＝60°，∴△P0P1C∽△P2P1A∽△P2P3B，∴＝＝，設(shè)P1C＝x，P2A＝y(tǒng)，則P1A＝2﹣x，P2B＝2﹣y．∴＝＝，∴，∴x＝（2+P3B）．又∵1＜BP3＜，∴1＜x＜，即P1C長的取值范圍是：1＜P1C＜．故答案為：1＜P1C．【點睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)找出對應(yīng)點是解此題的關(guān)鍵，難度較大．三、解答題12．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，已知等邊△ABC和等邊△CDE，P、Q分別為AD、BE的中點．(1)試判斷△CPQ的形狀并說明理由．(2)如果將等邊△CDE繞點C旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中△CPQ的形狀會改變嗎？請你將圖2中的圖形補(bǔ)畫完整并說明理由．【答案】(1)等邊三角形，理由見解析(2)不變，圖及理由見解析【分析】（1）由“有一內(nèi)角為60°的等腰三角形為等邊三角形”進(jìn)行判斷與證明；（2）通過全等三角形△ACD≌△BCE、△ACP≌△BCQ的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等的性質(zhì)推知△CPQ的兩邊PC＝QC、內(nèi)角∠PCQ＝60°，從而確定△CPQ是等邊三角形．(1)如圖1，△CPQ是等邊三角形．理由如下：∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，∴∠C＝60°，AC＝BC，DC＝EC，∴AC﹣DC＝BC﹣EC，即AD＝BE．∵P、Q分別為AD、BE的中點，∴PD＝EQ，∴CD+DP＝CE+EQ，即CP＝CQ，∴△CPQ是等邊三角形；(2)如果將等邊△CDE繞點C旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中△CPQ的形狀不會改變．理由如下：如圖2，∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，AC＝BC，DC＝EC，∵∠ACD＝∠DCE﹣∠ACE，∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE，∴∠ACD＝∠BCE，∴在△ACD與△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，即∠CAP＝∠CBQ．∵P是AD的中點，Q是BE的中點，∴AP＝AD，BQ＝BE，∴AP＝BQ，∴在△ACP與△BCQ中，，∴△ACP≌△BCQ（SAS），∴PC＝QC，∠BCQ＝∠ACP，∵∠BCQ+∠ACQ＝∠ACB＝60°，∴∠ACP+∠ACQ＝60°，∴∠PCQ＝60°，∴△CPQ是等邊三角形．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)．根據(jù)等邊三角形的判定：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．13．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，已知△ABC是等邊三角形，點D、E分別在邊BC、AC上．(1)如果AD⊥BC，BE⊥AC，試證明∠APE＝60°的理由；(2)如果BD＝EC，那么“∠APE＝60°”是否還能成立？請說明理由．【答案】(1)見解析(2)仍然成立，理由見解析【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的三線合一，可知∠DAC＝30°，在直角△AEP中，即可得出∠APE＝60°；（2）易證△ABD≌△BCE，得∠BAD＝∠CBE，又∠CBE+∠ABE＝60°，則∠BAD+∠ABE＝60°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得∠APE＝60°．(1)∵△ABC是等邊三角形中，AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠DAC＝30°，∴在直角△AEP中，∠APE＝90°﹣30°＝60°；(2)仍然成立．理由如下：在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE，∴∠BAD＝∠CBE，又∠CBE+∠ABE＝60°，∴∠APE＝∠BAD+∠ABE＝60°．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，應(yīng)熟記等腰三角形的三線合一及證明三角形全等的幾個判定方法．14．（2022春·上海閔行·七年級上海市閔行區(qū)莘松中學(xué)?？计谀┮阎喝鐖D，△ABC、△CDE都是等邊三角形，AD、BE相交于點O，點M、N分別是線段AD、BE的中點．(1)求∠DOE的度數(shù)；(2)試判斷△MNC的形狀，并說明理由．【答案】(1)∠DOE=60°；(2)△MNC是等邊三角形，理由見解析【分析】（1）證明△ACD≌BCE（SAS），得∠ADC=∠BEC，再求出∠ADE+∠BED=120°，即可得出∠DOE的度數(shù)；（2）證明△ACM≌△BCN得CM=CN，∠ACM=∠BCN，再求出∠MCN=60°，即可得出△MNC是等邊三角形．（1）解：∵△ABC、△CDE都是等邊三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌BCE（SAS），∴∠ADC=∠BEC，∵△DCE是等邊三角形，∴∠CED=∠CDE=60°，∴∠ADE+∠BED=∠ADC+∠CDE+∠BED=∠ADC+60°+∠BED=∠BEC+∠CED+60°=∠DEC+60°=60°+60°=120°，∴∠DOE=180°（∠ADE+∠BED）=60°；（2）解：△MNC是等邊三角形，理由如下：由（1）得：△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，AD=BE，又∵點M、N分別是線段AD、BE的中點，∴AM=AD，BN=BE，∴AM=BN，在△ACM和△BCN中，，∴△ACM≌△BCN（SAS），∴CM=CN，∠ACM=∠BCN，又∵∠ACB=60°，∴∠ACM+∠MCB=60°，∴∠BCN+∠MCB=60°，∴∠MCN=60°，∴△MNC是等邊三角形．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)與判定、三角形的外角性質(zhì)等知識，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．15．（2022春·上海·七年級校聯(lián)考期末）在等邊中，，垂足為，延長到，使，連結(jié)、．(1)與有怎樣的關(guān)系？請說明你的理由．(2)把改成什么條件，還能得到中的結(jié)論？【答案】(1)，理由見解析(2)是邊的中線或是的平分線【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)CD＝AC＝BC，∠CBD＝∠ABC＝∠ACB，由CE＝BC，得CE＝CD，則有∠E＝∠CDE，再由三角形的外角性質(zhì)∠ACD＝∠E＋∠CDE，即有∠E＝∠ACD，從而得∠E＝∠CBD，故得BD＝DE；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，等邊三角形的相應(yīng)的高線，中線，角平分線重合，據(jù)此進(jìn)行求解即可．（1）解：，理由如下：等邊，，，，，，，是的外角，，，，；（2）解：∵是等邊三角形，等邊三角形的相應(yīng)的高線，中線，角平分線重合，可把改為：是邊的中線或是的平分線，（1）的結(jié)論仍然成立．【點睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是對等邊三角形的“三線合一”的掌握．16．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）已知：如圖，點B，C，D在同一直線上，△ABC和△CDE都是等邊三角形，BE交AC于點F，AD交CE于點H，（1）求證：△BCE≌△ACD；（2）求證：CF＝CH；（3）判斷△CFH的形狀并說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）△CFH是等邊三角形，理由見解析．【分析】（1）利用等邊三角形的性質(zhì)得出條件，可證明：△BCE≌△ACD；（2）利用△BCE≌△ACD得出∠CBF=∠CAH，再運用平角定義得出∠BCF=∠ACH進(jìn)而得出△BCF≌△ACH因此CF=CH．（3）由CF=CH和∠ACH=60°根據(jù)“有一個角是60°的三角形是等邊三角形可得△CFH是等邊三角形．【詳解】解：（1）∵∠BCA=∠DCE=60°，∴∠BCE=∠ACD．又BC=AC、CE=CD，∴△BCE≌△ACD．（2）∵△BCE≌△ACD，∴∠CBF=∠CAH．∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACH=60°．∴∠BCF=∠ACH．又BC=AC，∴△BCF≌△ACH．∴CF=CH．（3）∵CF=CH，∠ACH=60°，∴△CFH是等邊三角形．【點睛】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)；普通兩個三角形全等共有四個定理，即AAS、ASA、SAS、SSS．同時還要結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，創(chuàng)造條件證明三角形全等是正確解答本題的關(guān)鍵．17．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，點O為平面直角坐標(biāo)系的原點，點A在x軸上，△AOC是邊長為2的等邊三角形．（1）寫出△AOC的頂點C的坐標(biāo)：_____．（2）將△AOC沿x軸向右平移得到△OBD，則平移的距離是_____（3）將△AOC繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)得到△OBD，則旋轉(zhuǎn)角可以是_____度（4）連接AD，交OC于點E，求∠AEO的度數(shù)．【答案】（1）（﹣1，）；（2）2；（3）120；（4）∠AEO=90°．【分析】（1）過C作CH⊥AO于H，則HO=1，根據(jù)勾股定理可得，則可求點C坐標(biāo)；（2）根據(jù)平移的性質(zhì)可得△AOC沿x軸向右平移2個單位得到△OBD；（3）由等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)可得，旋轉(zhuǎn)角=∠AOD=120°；（4）根據(jù)平移的性質(zhì)可得AC∥OD，進(jìn)而可證△ACE≌△DOE，則CE=OE，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得結(jié)論【詳解】（1）如圖，過C作CH⊥AO于H，則HO=AO=1，∴Rt△COH中，，∴點C的坐標(biāo)為，故答案為；（2）由平移可得，平移的距離=AO=2，故答案為2；（3）由旋轉(zhuǎn)可得，旋轉(zhuǎn)角=∠AOD=120°，故答案為120；（4）如圖，∵AC∥OD，∴∠CAE=∠ODE，∠ACE=∠DOE，又∵AC=DO，∴△ACE≌△DOE，∴CE=OE，∴AD⊥CO，即∠AEO=90°．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、平移的性質(zhì).旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段夾角等于旋轉(zhuǎn)角.關(guān)鍵利用等邊三角形的性質(zhì)轉(zhuǎn)換邊角關(guān)系求解.18．（2022春·上海閔行·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知△ABC是等邊三角形，點D、E、F分別在、、上，且，，試說明的理由．解：因為，（已知），所以是等邊三角形（）所以．又因為△ABC是等邊三角形（已知），所以（）所以（等量代換），因為∠（），即，所以（）在和中，，所以（）所以（）【答案】見詳解【分析】根據(jù)等邊三角形性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)外角關(guān)系及三角形全等的性質(zhì)與判定直接填寫即可得到答案．【詳解】解：因為，（已知），所以是等邊三角形（有一個角是的等腰三角形是等邊三角形）所以．又因為△ABC是等邊三角形（已知），所以（等邊三角形三個角都是）所以（等量代換），因為（三角形外角等于與它不相鄰兩個內(nèi)角之和

），即，所以（等量代換）在和中，，所以（）所以（全等三角形對應(yīng)邊相等）【點睛】本題考查等邊三角形性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)外角關(guān)系及三角形全等的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是根據(jù)兩次等邊三角形轉(zhuǎn)換角度相等．19．（2022春·七年級單元測試）如圖，在等邊△ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，DE∥AB，過點E作EF⊥DE，交BC的延長線于點F．（1）求∠F的度數(shù)；（2）若CD＝2，求DF、EF的長．【答案】（1）∠F＝30°；（2）DF＝4，EF＝2．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EDC＝∠B＝60°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解；（2）易證△EDC是等邊三角形，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝60°，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝90°﹣∠EDC＝30°；（2）∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，∴△EDC是等邊三角形．∴ED＝DC＝2，∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝4，∴EF＝DE＝2．【點睛】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，以及直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記30度的角所對的直角邊等于斜邊的一半．20．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）說理填空：如圖，點E是DC的中點，EC=EB，∠CDA=120°，DF//BE，且DF平分∠CDA，求證：△BEC為等邊三角形．解：因為DF平分∠CDA（已知）所以∠FDC=∠________．（

）因為∠CDA=120°（已知）所以∠FDC=______°．因為DF//BE（已知）所以∠FDC=∠_________．（____________________________________）所以∠BEC=60°，又因為EC=EB，（已知）所以△BCE為等邊三角形．（_____________________________）【答案】∠ADC；角平分線的意義；60；∠BEC；兩直線平行，同位角相等；有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形．【分析】利用角平分線的性質(zhì)得出∠FDC的度數(shù)，再利用平行線的性質(zhì)得出∠BEC的度數(shù)，進(jìn)而得出△BCE為等邊三角形．【詳解】解：∵DF平分∠CDA，（已知）∴∠FDC=∠ADC．（角平分線的意義）∵∠CDA=120°，（已知）∴∠FDC=60°．∵DF∥BE，（已知）∴∠FDC=∠BEC=60°．（兩直線平行，同位角相等）∴∠BEC=60°又∵EC=EB，（已知）∴△BCE為等邊三角形．（有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形）【點睛】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定以及平行線的性質(zhì)，根據(jù)已知得出∠FDC=∠BEC是解題關(guān)鍵．21．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，∠1=∠2，AD=AE，∠B=∠ACE，且B、C、D三點在一條直線上，（1）試說明△ABD與△ACE全等的理由；（2）如果∠B=60°，試說明線段AC、CE、CD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）見詳解；（2）CE=AC+CD，理由見解析．【分析】（1）根據(jù)AAS證明△ABD與△ACE全等即可；（2）利用全等三角形的性質(zhì)和等邊三角形的判定和性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）∵∠1=∠2，∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，在△ABD與△ACE中，∴△ABD≌△ACE（AAS）；（2）CE=AC+CD，理由如下：由（1）可得△ABD≌△ACE：BD=CE，AB=AC，∵∠B=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=AC，∴BD=CE=BC+CD=AC+CD，即CE=AC+CD．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握判定方法是解題關(guān)鍵．22．（2022春·上海·七年級專題練習(xí)）如圖，在等邊△ABC中，邊AB=6厘米，若動點P從點C開始，按C→B→A→C的路徑運動，且速度為1厘米/秒，設(shè)點P的運動時間為秒．(1)當(dāng)t=3秒時，判斷AP與BC的位置關(guān)系，并說明理由．(2)當(dāng)△PBC的面積為△ABC面積的一半時，求t的值．(3)另有一點Q，從點C開始，按C→A→B→C的路徑運動，且速度為1.5厘米/秒，若P、Q兩點同時出發(fā)，當(dāng)P、Q中有一點到達(dá)終點時，另一點也停止運動．當(dāng)t為何值時，直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分．【答案】(1)AP⊥BC，證明見解析(2)9秒或15秒(3)秒或秒【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；(2)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和三角形的面積公式即可得到結(jié)論；(3)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和三角形的周長公式即可得到結(jié)論．(1)解：當(dāng)t=3秒時，CP=3×1=3(cm)，∵在等邊△ABC中，AB=6cm，∴BC=AB=6cm，∴此時，P為BC的中點，∴AP為等邊△ABC的中線，∴AP⊥BC；(2)解：∵由題意得：，∴當(dāng)P為AB中點時，滿足題意，此時，P點運動路程為：BC＋BP=6＋3=9(cm)，∴P點運動時間為：9÷1=9(秒)；當(dāng)P為AC中點時，滿足題意，此時，P點運動路程為：BC＋AB＋AP=6＋6＋3=15(cm)，∴P點運動的時間為：15÷1=15(秒)，∴綜上，t的值為9秒或15秒；(3)解：∵點P的速度為1厘米/秒，點Q的速度為1.5厘米/秒，∴由題意得：當(dāng)時，點P在BC上，點Q在AC上，∴PC＋CQ=t＋1.5t=2.5tcm，，∴2.5t=9，解得：，符合；當(dāng)時，點Q在AB上，點P在BC上，，，．，解得：，∴不符合，舍去；當(dāng)時，P、Q都在AB上，不符合題意；當(dāng)時，點Q在BC上，點P在AB上，∴BP=(t－6)cm，BQ=(1.5t－12)cm，，，解得：，符合，∴綜上，符合條件的t的值為：秒或秒．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，動點問題的解決方法，用時間t表示出各時段的線段的長度列出方程求解是解題的關(guān)鍵．23．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，點D、E、F分別在AB、BC、CA上，△DEF是等邊三角形，且∠1＝∠2＝∠3，△ABC是等邊三角形嗎？試說明理由．【答案】是，理由見解析【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠EDF＝∠DEF＝∠DFE＝60°，根據(jù)平角的定義得到∠ADF＝∠BED＝∠CFE，由三角形的內(nèi)角和得到∠A＝180°﹣∠2﹣∠ADF，∠B＝180°﹣∠1﹣∠BED，∠C＝180°﹣∠3﹣∠CFE，于是得到結(jié)論．【詳解】解：△ABC是等邊三角形，理由：∵△DEF是等邊三角形，∴∠EDF＝∠DEF＝∠DFE＝60°，∵∠1＝∠2＝∠3，∴∠ADF＝∠BED＝∠CFE，∴∠A＝180°﹣∠2﹣∠ADF，∠B＝180°﹣∠1﹣∠BED，∠C＝180°﹣∠3﹣∠CFE，∴∠A＝∠B＝∠C=60°，∴△ABC是等邊三角形．【點睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，平角的定義．熟練掌握等邊三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖（1），等邊△ABC中，D是AB邊上的動點，以CD為一邊，向上作等邊△EDC，連接AE．(1)△DBC和△EAC會全等嗎？請說說你的理由；(2)試說明AEBC的理由；(3)如圖（2），將（1）動點D運動到邊BA的延長線上，所作仍為等邊三角形，請問是否仍有AEBC？證明你的猜想．【答案】(1)全等，理由見解析(2)見解析(3)是，證明見解析【分析】（1）要證兩個三角形全等，已知的條件有AC＝BC，CE＝CD，我們發(fā)現(xiàn)∠BCD和∠ACE都是60°減去一個∠ACD，因此兩三角形全等的條件就都湊齊了（SAS）；（2）要證AE∥BC，關(guān)鍵是證∠EAC＝∠ACB，由于∠ACB＝∠ACB，那么關(guān)鍵是證∠EAC＝∠ACB，根據(jù)（1）的全等三角形，我們不難得出這兩個角相等，也就得出了證平行的條件．（3）同（1）（2）的思路完全相同，也是通過先證明三角形BCD和ACE全等，得出∠EAC＝∠B＝60°，又由∠ABC＝∠ACB＝60°，得出這兩條線段之間的內(nèi)錯角相等，從而得出平行的結(jié)論．【詳解】（1）△DBC和△EAC會全等證明：∵△ABC和△EDC是等邊三角形，∴∠ACB＝60°，∠DCE＝60°∴∠BCD＝60°﹣∠ACD，∠ACE＝60°﹣∠ACD∴∠BCD＝∠ACE在△DBC和△EAC中，∵，∴△DBC≌△EAC（SAS），（2）∵△DBC≌△EAC∴∠EAC＝∠B＝60°又∠ACB＝60°∴∠EAC＝∠ACB∴AE∥BC（3）結(jié)論：AE∥BC理由：∵△ABC、△EDC為等邊三角形∴BC＝AC，DC＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°∠BCA+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE在△DBC和△EAC中，∵，∴△DBC≌△EAC（SAS），∴∠EAC＝∠B＝60°又∵∠ACB＝60°∴∠EAC＝∠ACB∴AE∥BC．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)；本題中（1）（2）問實際是告訴解（3）題的步驟，通過全等三角形來得出角相等是解題的關(guān)鍵．25．（2022春·七年級單元測試）如圖1，將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖2，固定△ABC，使△DEC繞點C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點D恰好落在AB邊上時，填空：①線段DE與AC的位置關(guān)系是；②設(shè)△BDC的面積為S1，△AEC的面積為S2，則S1與S2的數(shù)量關(guān)系是．（2）猜想論證當(dāng)△DEC繞點C旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時，小明猜想（1）中S1與S2的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分別作出了△BDC和△AEC中BC、CE邊上的高，請你證明小明的猜想．（3）拓展探究已知∠ABC=60°，點D是角平分線上一點，BD=CD=4，DE∥AB交BC于點E（如圖4）．若在射線BA上存在點F，使S△DCF=S△BDE，請直接寫出相應(yīng)的BF的長．【答案】（1）①DE∥AC；②S1=S2；（2）見解析；（3）或．【分析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=CD，然后求出△ACD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠ACD=60°，然后根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行解答；②根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC=AD，再根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC=AB，然后求出AC=BD，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出點C到AB的距離等于點D到AC的距離，然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等解答；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BC=CE，AC=CD，再求出∠ACN=∠DCM，然后利用“角角邊”證明△ACN和△DCM全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面積相等證明；（3）過點D作DF1∥BE，求出四邊形BEDF1是菱形，根據(jù)菱形的對邊相等可得BE=DF1，然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可知點F1為所求的點，過點D作DF2⊥BD，求出∠F1DF2=60°，從而得到△DF1F2是等邊三角形，然后求出DF1=DF2，再求出∠CDF1=∠CDF2，利用“邊角邊”證明△CDF1和△CDF2全等，根據(jù)全等三角形的面積相等可得點F2也是所求的點，然后在等腰△BDE中求出BE的長，即可得解．【詳解】（1）①∵△DEC繞點C旋轉(zhuǎn)點D恰好落在AB邊上，∴AC=CD，∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°，∴△ACD是等邊三角形，∴∠ACD=60°，又∵∠CDE=∠BAC=60°，∴∠ACD=∠CDE，∴DE∥AC；②∵∠B=30°，∠C=90°，∴CD=AC=AB，∴BD=AD=AC，∴△BDC的面積和△ADC的面積相等，∵DE∥AC，∴△ADC的面積和△AEC的面積相等，∴△BDC的面積和△AEC的面積相等，即S1=S2；故答案為：DE∥AC；S1=S2；（2）如圖，∵△DEC是由△ABC繞點C旋轉(zhuǎn)得到，∴BC=CE，AC=CD，∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°，∴∠ACN=∠DCM，∵在△ACN和△DCM中，，∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN=DM，∴△BDC的面積和△AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），即S1=S2；（3）如圖，過點D作DF1∥BE，∵DE∥AB，∴四邊形BEDF1是平行四邊形，∵∠ABC=60°，BD平分∠ABC，DE∥AB，∴∠DBE=∠BDE=30°，∴BE=DE，∴四邊形BEDF1是菱形，所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，此時S△DCF1=S△BDE；過點D作DF2⊥BD，∵∠ABC=60°，F(xiàn)1D∥BE，∴∠F2F1D=∠ABC=60°，∵BF1=DF1，∠F1BD=∠ABC=30°，∠F2DB=90°，∴∠F1DF2=∠ABC=60°，∴△DF1F2是等邊三角形，∴DF1=DF2，∵BD=CD，∠ABC=60°，點D是角平分線上一點，∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°，∴∠CDF1=180°﹣∠BCD=180°﹣30°=150°，∠CDF2=360°﹣150°﹣60°=150°，∴∠CDF1=∠CDF2，∵在△CDF1和△CDF2中，，∴△CDF1≌△CDF2（SAS），∴點F2也是所求的點，∵∠ABC=60°，點D是角平分線上一點，DE∥AB，∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°，又∵BD=4，∴BE=×4÷cos30°=2÷，∴BF1=，BF2=BF1+F1F2==，故BF的長為或．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟練掌握等底等高的三角形的面積相等，以及全等三角形的面積相等是解題的關(guān)鍵，（3）要注意符合條件的點F有兩個．26．（2022春·上?！て吣昙壠谀┰诘冗匒BC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M、N，D為ABC外一點，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及AMN的周長Q與等邊△ABC的周長L的關(guān)系．(1)如圖1，ABC是周長為9的等邊三角形，則△AMN的周長Q＝；(2)如圖2，當(dāng)點M、N邊AB、AC上，且DM＝DN時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是；此時＝；(3)點M、N在邊AB、AC上，且當(dāng)DM≠DN時，猜想（2）問的兩個結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明．【答案】(1)6；(2)，＝；(3)結(jié)論仍然成立，證明見解析【分析】（1）構(gòu)建全等三角形來實現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換．延長AC至E，使CE＝BM，連接DE．根據(jù)題意得到∠MBD＝∠NCD＝90°，那么三角形MBD和ECD中，有了一組直角，MB＝CE，BD＝DC，因此兩三角形全等，那么DM＝DE，∠BDM＝∠CDE，∠EDN＝∠BDC﹣∠MDN＝60°．三角形MDN和EDN中，有DM＝DE，∠EDN＝∠MDN＝60°，有一條公共邊，因此兩三角形全等，MN＝NE，至此我們把BM轉(zhuǎn)換成了CE，把MN轉(zhuǎn)換成了NE，因為NE＝CN+CE，因此NM＝BM+CN．可根據(jù)L的值確定與Q的值；（2）如果DM＝DN，∠DMN＝∠DNM，因為BD＝DC，那么∠DBC＝∠DCB＝30°，也就有∠MBD＝∠NCD