四年級數(shù)學(xué)上冊 第8講 垂線與平行線（教師版）（知識梳理+典例分析+舉一反三+鞏固提升）（蘇教版）

第4講垂線與平行線知識點(diǎn)一：垂直與平行的特征及性質(zhì)1.認(rèn)識垂直：兩條直線相交成直角時(shí)，這兩條直線互相垂直，其中一條直線是另一條直線的垂線，這兩條直線的交點(diǎn)叫作垂足。

2.認(rèn)識平行：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線互相平行，其中一條直線是另一條直線的平行線。3.點(diǎn)到直線的距離：點(diǎn)到直線的距離是點(diǎn)到直線的垂直線段的長度。從直線外一點(diǎn)到這條直線所畫的線段中，垂直線段的長度最短。知識點(diǎn)二：垂線的畫法畫垂線有兩個(gè)重合：一是三角尺的一條直角邊與已知直線重合；二是點(diǎn)在直線上時(shí)，三角尺的直角頂點(diǎn)與這一點(diǎn)重合，點(diǎn)在直線外時(shí)，三角尺的另一條直角邊經(jīng)過這一點(diǎn)。知識點(diǎn)三：平行線的畫法2.畫平行線：（1）過直線外一點(diǎn)，畫已知直線的平行線的方法：①使三角尺的一條直角邊與已知直線重合；②使直尺靠在三角尺另一條直角邊上；③移動(dòng)三角尺，使其一條直角邊經(jīng)過直線外已知點(diǎn)，沿著三角尺另一條直角邊畫一條直線。（2）過直線外一點(diǎn)，畫已知直線的平行線只能畫一條。

垂直與平行的特征及性質(zhì)【例1】下面的第（）個(gè)字母中，既有互相平行的線段．又有互相重直的線段．A． B． C． D．【思路分析】根據(jù)垂直和平行的性質(zhì)：在同一平面內(nèi)相交成直角的兩條直線叫做互相垂直，不相交的兩條直線叫做平行線；由此解答即可．【規(guī)范解答】解：下面的字母中，既有互相平行的線段，又有互相垂直的線段的字母是A；故選：A．【名師點(diǎn)評】此題考查了垂直和平行的特征和性質(zhì)．1．兩條平行線之間的（）最短．A．線段 B．直線 C．垂線段 D．無法確定【思路分析】根據(jù)“在兩條平行線之間的線段中，垂直兩條平行線的線段最短，這條線段的長叫做平行線之間的距離”即可進(jìn)行選擇．【規(guī)范解答】解：據(jù)分析可知：兩條平行線之間垂線段最短；故選：C．【名師點(diǎn)評】此題考查了垂直和平行的特征和性質(zhì)，注意基礎(chǔ)知識的靈活運(yùn)用．2．兩條平行線之間可以作（）垂直線段．A．1條 B．無數(shù)條 C．2條【思路分析】根據(jù)平行和垂直的性質(zhì)和特征可知：兩條平行線中可以畫無數(shù)條垂線段，這些線段的長度都相等；這些垂直線段的長度叫做這兩條平行線之間的距離；進(jìn)而解答即可．【規(guī)范解答】解：由分析可知：平行線之間可以作無數(shù)條垂直線段．故選：B．【名師點(diǎn)評】此題考查了垂直和平行的特征及性質(zhì)，應(yīng)明確兩條平行線之間可以作無數(shù)條垂直線段．3．圖中（）兩條直線是互相平行的．A．①和② B．③和④ C．⑤和⑥【思路分析】根據(jù)在同一平面內(nèi)，永不相交的兩條直線互相平行；據(jù)此解答即可．【規(guī)范解答】解：根據(jù)平行的含義可知：②和③、⑤和⑥中的兩條直線互相平行．故選：C．【名師點(diǎn)評】此題考查了平行的特征和性質(zhì)，根據(jù)意義判斷即可．垂線的畫法【例2】過A點(diǎn)畫已知直線的垂線．【思路分析】把三角板的一直角邊靠緊已知直線，沿這條直線滑動(dòng)三角板，當(dāng)另一直角邊經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，沿這條直角邊畫直線，這條直線就是經(jīng)過直線外（或直線上）一點(diǎn)的這條直線的垂線．【規(guī)范解答】解：【名師點(diǎn)評】過直線外（或直線上）一點(diǎn)作已知直線的垂線，關(guān)鍵是三角板的正確、熟練使用．1．分別過點(diǎn)A畫BC的垂線．【思路分析】把三角板的一直角邊靠緊線段BC，沿這條直線滑動(dòng)三角板，當(dāng)另一直角邊經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，沿這條直角邊畫直線，這條直線就是經(jīng)過點(diǎn)A畫的BC的垂線．【規(guī)范解答】解：【名師點(diǎn)評】過直線外（或直線上）一點(diǎn)作已知直線的垂線，關(guān)鍵是三角板的正確、熟練使用．畫垂線要求出垂足．2．如圖中P點(diǎn)表示一塊石頭，請你畫出石頭垂直下落的路線．【思路分析】空中的物體下落的路線是與水平面垂直的直線所在的線段，把物體看作一點(diǎn)，水平面看作一條直線，即過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線．把三角板的一直角邊靠緊水平面所在的直線，沿這條直線滑動(dòng)三角板，當(dāng)另一直角邊經(jīng)過點(diǎn)P時(shí)，沿這條直角邊畫的線段就是石塊下落的路線．【規(guī)范解答】解：如圖中P點(diǎn)表示一塊石頭，畫出石頭垂直下落的路線（圖中紅色虛線）．【名師點(diǎn)評】過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線，關(guān)鍵是三角板的正確、熟練使用．3．按要求畫圖．過點(diǎn)C畫直線a的垂線．【思路分析】把三角板的一條直角邊與已知直線重合，沿直線移動(dòng)三角板，使三角板的另一條直角邊和C點(diǎn)重合，過C點(diǎn)沿三角板的直角邊，向已知直線畫直線即可，因?yàn)橹本€a向右的長度不夠，所以要向右延長．【規(guī)范解答】解：【名師點(diǎn)評】本題考查了學(xué)生垂線的作法，培養(yǎng)學(xué)生的作圖能力．平行線的畫法【例3】在方格紙上，過點(diǎn)A作直線l的垂線和平行線．【思路分析】方格橫線互相平行，縱線互相平行，橫線與縱線互相垂直．直線l與方格中的橫線重合，過點(diǎn)A作與點(diǎn)A所在縱線重合的直線就與直線l垂直；過點(diǎn)A作與點(diǎn)A所在橫線重合的直線就與直線l平行．【規(guī)范解答】解：在方格紙上，過點(diǎn)A作直線l的垂線（直線l′）和平行線（直線l″）．【名師點(diǎn)評】由于方格橫線互相平行，縱線互相平行，橫線與縱線互相垂直，在方格中畫已知直線的平行線、垂線比較容易．1．中壩路和長江路平行，而且利民超市就在中壩路上．請你在圖中畫出中壩路．【思路分析】把利民超市看作一個(gè)點(diǎn)，長江路看作一條直線，過利民超市作長江路的平行線．把三角板的一邊靠緊長江路的所在的直線，另一邊靠緊一直尺，沿直尺滑動(dòng)三角板，當(dāng)與長江路緊靠的一邊經(jīng)過已知點(diǎn)（利民超市）時(shí)，沿這邊畫直線，這條直線就與長江路平行，中壩路就在這條直線上．【規(guī)范解答】解：中壩路和長江路平行，而且利民超市就在中壩路上．在圖中畫出中壩路（下圖）．【名師點(diǎn)評】過已知直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線，關(guān)鍵是三角板與直尺（或另一三角板）的配合使用．2．按要求畫圖．A．畫一組平行線．B．以平等線間的距離為邊長，在平行線間畫一個(gè)正方形．【思路分析】先畫出一組平行線，再在兩條平行線中畫出一條垂線段，然后以這條垂線段的兩個(gè)端點(diǎn)為正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)，在兩條平行線上分別截取和垂線段相等的兩條線段，連接截取的另兩個(gè)端點(diǎn)即可得出正方形．【規(guī)范解答】解：如圖：【名師點(diǎn)評】解答此題應(yīng)明確：所作出的正方形的邊長等于這兩條平行線之間的垂線段的長度．3．過直線外一點(diǎn)畫已知直線的平行線．【思路分析】過直線外一點(diǎn)畫已知直線的平行線的方法是：把一三角板一邊與已知直線重合，另一邊靠緊一直尺，沒直尺滑動(dòng)三角板，當(dāng)已知直線重合的一邊經(jīng)過已知點(diǎn)時(shí)，沿這邊畫直線，所畫的直線就與已知直線平行．【規(guī)范解答】解：過直線外一點(diǎn)畫已知直線的平行線：【名師點(diǎn)評】用三角板和直尺畫過直線外一點(diǎn)畫已知直線的平行線，是常用的方法，要掌握畫法．一．選擇題（共6小題）1．（2014秋?馬關(guān)縣校級期末）過直線上一點(diǎn)可以畫（）直線與已知直線垂直．A．1條 B．2條 C．無數(shù)條 D．無法確定【思路分析】在同一平面內(nèi)，過直線上一點(diǎn)有并且只有一條直線與已知直線垂直．據(jù)此解答．【規(guī)范解答】解：過直線上一點(diǎn)可以作1條直線和已知直線垂直．故選：A．【名師點(diǎn)評】本題考查了學(xué)生：在同一平面內(nèi)，過直線上一點(diǎn)有并且只有一條直線與已知直線垂直的知識．2．（2011秋?武城縣期末）過直線外的一點(diǎn)，畫已知直線的平行線，這樣的平行線可以畫（）A．1條 B．2條 C．無數(shù)條【思路分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，過直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線，能作且只能作一條．【規(guī)范解答】解：過直線外的一點(diǎn)，畫已知直線的平行線，這樣的平行線可以畫1條．故選：A．【名師點(diǎn)評】此題主要考查了平行線的性質(zhì)．3．（2018秋?新華區(qū)期末）數(shù)學(xué)書封面相鄰的兩條邊（）A．互相平行 B．互相垂直 C．可能互相平行也可能互相垂直【思路分析】數(shù)學(xué)書的封面是長方形，根據(jù)長方形的特征，對邊平行且相等，4個(gè)角都是直角．所以相鄰的兩條邊互相垂直，由此解答．【規(guī)范解答】解：數(shù)學(xué)書封面相鄰的兩條邊互相垂直．故選：B．【名師點(diǎn)評】此題主要考查長方形的特征，對邊平行且相等，4個(gè)角都是直角，據(jù)此解決問題．4．（2018秋?蔚縣期末）下面圖形中，有兩組平行線的圖形是（）A． B． C． D．【思路分析】根據(jù)平行線的定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫平行線；據(jù)此分別分析即可．【規(guī)范解答】解：A、長方形有2組對邊平行；B、四邊形沒有平行線；C、五邊形沒有平行線；D、梯形有1組平行線；所以有兩組平行線的圖形是長方形；故選：A．【名師點(diǎn)評】此題考查了平行線的含義，應(yīng)靈活應(yīng)用．5．（2019春?醴陵市期末）從平行四邊形一條邊上的一點(diǎn)到對邊可以引（）垂線．A．1 B．3 C．無數(shù)【思路分析】因?yàn)閺囊粭l邊上的一點(diǎn)向?qū)呑鞔咕€，即過直線外一點(diǎn)只能作一條已知直線的垂線．【規(guī)范解答】解：由分析得出：從平行四邊形的一條邊上的一點(diǎn)到對邊可以引一條垂線．故選：A．【名師點(diǎn)評】此題主要考查過直線外一點(diǎn)只能作一條已知直線的垂線．6．（2013?福田區(qū)校級模擬）過直線外一點(diǎn)畫已知直線的垂線，可以畫（）條．A．一條 B．兩條 C．無數(shù)條【思路分析】因過直線外一點(diǎn)有并且只有一條直線與已知直線垂直．據(jù)此可解答．【規(guī)范解答】解：因過直線外一點(diǎn)有并且只有一條直線與已知直線垂直，所以過直線外一點(diǎn)畫已知直線的垂線，可以畫1條．故選：A．【名師點(diǎn)評】本題考查了學(xué)生對過直線外一點(diǎn)向已知直線作垂線的唯一性的掌握情況．二．填空題（共6小題）7．過線段AB外的一點(diǎn)C，可以畫1條與線段AB平行的直線．【思路分析】根據(jù)平行的性質(zhì)：過直線外一點(diǎn)，畫已知直線的平行線，只能畫一條；據(jù)此解答即可．【規(guī)范解答】解：根據(jù)平行的性質(zhì)可知：過線段AB外的一點(diǎn)C，可以畫1條與線段AB平行的直線．故答案為：1．【名師點(diǎn)評】此題考查了平行的性質(zhì)，注意基礎(chǔ)知識的積累和運(yùn)用．8．（2014秋?柘城縣校級期末）過直線外一點(diǎn)畫這條直線的垂線，只能畫1條．【思路分析】根據(jù)垂線的性質(zhì)可知過一點(diǎn)作已知直線的垂線，能作且只能作1條；【規(guī)范解答】解：由垂線的性質(zhì)：過直線外一點(diǎn)畫這條直線的垂線，能作且只能作一條；故答案為：1．【名師點(diǎn)評】本題主要考查了垂線的性質(zhì)．9．在同一平面內(nèi)，過直線外一點(diǎn)，能畫1條已知直線的平行線，能畫1條已知直線的垂線．【思路分析】根據(jù)相交的定義可知：過直線外一點(diǎn)可以畫無數(shù)條與它相交的直線；根據(jù)平行和垂直的性質(zhì)：過直線外一點(diǎn)畫已知直線的垂線，可以畫一條；過直線外一點(diǎn)畫已知直線的平行線，可以畫一條，據(jù)此解答．【規(guī)范解答】解：在同一平面內(nèi)，過直線外一點(diǎn)，能畫1條已知直線的平行線，能畫1條已知直線的垂線．故答案為：1、1．【名師點(diǎn)評】此題考查了直線的性質(zhì)及平行、垂直的性質(zhì)，注意基礎(chǔ)知識的識記和理解．10．在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線互相平行；如果相交成直角，那么這兩條直線互相垂直．【思路分析】根據(jù)平行線含義：在同一個(gè)平面內(nèi)兩條不相交的直線叫做平行線，也可以說這兩條直線互相平行；當(dāng)兩條直線相交成直角時(shí)，這兩條直線互相垂直；據(jù)此解答．【規(guī)范解答】解：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線互相平行；如果相交成直角，那么這兩條直線互相垂直．故答案為：互相平行，互相垂直．【名師點(diǎn)評】此題主要考查平行線和互相垂直的含義，應(yīng)注意理解和運(yùn)用．11．如圖各組直線中，哪組互相平行？哪組互相垂直？互相平行的是②，互相垂直的是④．【思路分析】兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說這兩條直線互相垂直；在同一個(gè)平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線；據(jù)此解答．【規(guī)范解答】解：根據(jù)垂直和平行的意義可知，互相平行的是②，互相垂直的是④．故答案為：②，④．【名師點(diǎn)評】此題考查了垂直與平行的意義及辨識．12．（2018秋?武城縣期末）從直線外一點(diǎn)到這條直線所畫的垂直線段最短，它的長度叫做點(diǎn)到直線的距離．【思路分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的含義：從直線外的一點(diǎn)向這條直線所畫的垂直線段的長度，叫做這點(diǎn)到直線的距離；從直線外一點(diǎn)到這條直線所畫的垂線段最短；據(jù)此解答即可．【規(guī)范解答】解：從直線外一點(diǎn)到這條直線所畫的線段中，垂直線段最短，它的長度就叫點(diǎn)到直線的距離；故答案為：垂直線段，點(diǎn)到直線的距離．【名師點(diǎn)評】此題考查了點(diǎn)到直線的距離的含義．三．判斷題（共5小題）13．（2019秋?巨野縣期末）過直線外一點(diǎn)畫已知直線的平行線．可以畫無數(shù)條．×．（判斷對錯(cuò)）【思路分析】過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行．據(jù)此解答．【規(guī)范解答】解：過直線外一點(diǎn)畫已知直線的平行線，只有一條．故答案為：×．【名師點(diǎn)評】本題主要考查了過直線外一點(diǎn)與已知直線平行的唯一性．14．?dāng)?shù)學(xué)書封面的兩條相鄰的邊是互相平行的．×（判斷對錯(cuò)）【思路分析】根據(jù)長方形的特征，對邊平行且相等，4個(gè)角都是直角，可知，長方形相鄰的兩條邊互相垂直，相對的兩邊互相平行，據(jù)此即可解答．【規(guī)范解答】解：由分析可知：數(shù)學(xué)書封面的兩條相鄰的邊是互相垂直的，所以本題說法錯(cuò)誤；故答案為：×．【名師點(diǎn)評】此題主要考查長方形的特征，注意平時(shí)基礎(chǔ)知識的積累．15．將直線AB向上平移10厘米，平移后的直線和原直線互相平行．√（判斷對錯(cuò)）【思路分析】根據(jù)“在同一平面內(nèi)，永不相交的兩條直線互相平行”可知：將直線AB向上平移10厘米，平移后的直線和原直線互相平行；據(jù)此解答即可．【規(guī)范解答】解：將直線AB向上平移10厘米，平移后的直線和原直線互相平行，所以本題說法正確；故答案為：√．【名師點(diǎn)評】此題考查了平行的特征和性質(zhì)，根據(jù)意義判斷即可．16．畫出直線AB的垂線，如圖圖中小麗的畫法是正確的．√（判斷對錯(cuò)）【思路分析】過直線外（或直線上）一點(diǎn)作已知直線的垂線的方法是：把三角板的一直角邊靠緊已知直線，沿這條直線滑動(dòng)三角板，當(dāng)另一直角邊經(jīng)過已知點(diǎn)時(shí)，沿這條直角邊畫直線，這條直線就是經(jīng)過直線外一點(diǎn)的這條直線的垂線．【規(guī)范解答】解：如圖畫出直線AB的垂線，如圖圖中小麗的畫法是正確的原題說法正確．故答案為：√．【名師點(diǎn)評】過直線外（或直線上）一點(diǎn)作已知直線的垂線，三角板的正確、熟練使用是關(guān)鍵．17．畫已知直線的垂線，只能畫1條．×．（判斷對錯(cuò)）【思路分析】根據(jù)垂線的定義進(jìn)行判斷即可．【規(guī)范解答】解：平面內(nèi)畫已知直線的垂線，可以畫無數(shù)條．故答案為：×．【名師點(diǎn)評】此題主要考查垂線的定義，正確把握垂線的定義是解答本題的關(guān)鍵．四．操作題（共2小題）18．中壩路和長江路平行，而且利民超市就在中壩路上．請你在圖中畫出中壩路．【思路分析】把利民超市看作一個(gè)點(diǎn)，長江路看作一條直線，過利民超市作長江路的平行線．把三角板的一邊靠緊長江路的所在的直線，另一邊靠緊一直尺，沿直尺滑動(dòng)三角板，當(dāng)與長江路緊靠的一邊經(jīng)過已知點(diǎn)（利民超市）時(shí)，沿這邊畫直線，這條直線就與長江路平行，中壩路就在這條直線上．【規(guī)范解答】解：中壩路和長江路平行，而且利民超市就在中壩路上．在圖中畫出中壩路（下圖）．【名師點(diǎn)評】過已知直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線，關(guān)鍵是三角板與直尺（或另一三角板）的配合使用．19．（2020?海淀區(qū)）過A點(diǎn)作對邊的垂線和平行線．【思路分析】過A點(diǎn)作對邊的垂線和平行線，把點(diǎn)A的對邊看作一條直線的一部分，即過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線和平行線．過A點(diǎn)作對邊的垂線：把三角板的一直角邊靠緊點(diǎn)A的對邊，沿這條線段滑動(dòng)三角板，當(dāng)另一直角邊經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，沿這條直角邊畫的直線就是過A點(diǎn)作對邊的垂線；過A點(diǎn)作對邊的平行線：把三角板的一邊靠緊點(diǎn)A的對邊，另一邊靠緊一直尺，沿直尺滑動(dòng)三角板，當(dāng)與點(diǎn)A的對邊重合的一邊經(jīng)過已知點(diǎn)時(shí)，沿這邊畫直線就是過點(diǎn)A點(diǎn)作的對邊的平行線．【規(guī)范解答】解：過A點(diǎn)作對邊的垂線（紅色）和平行線（綠色）．【名師點(diǎn)評】過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線和平行線，三角板、三角板與直尺（或另一三角板）正確、熟練使用的配合使用是關(guān)鍵．五．解答題（共3小題）20．木工師傅常常把兩把曲尺的一邊緊靠木板的一邊，再看另一邊對應(yīng)曲尺上的刻度．如果相等，木工師傅就能判斷木板的兩邊平行．你能說出其中的道理嗎？【思路分析】根據(jù)垂直和平行的特征及性質(zhì)可知：平行線間的距離處處相等；解答即可．【規(guī)范解答】解：木工師傅常常把兩把曲尺的一邊緊靠木板的一邊，再看另一邊對應(yīng)曲尺上的刻度．如果相等，木工師傅就能判斷木板的兩邊平行，因?yàn)槠叫芯€間的距離處處相等．【名師點(diǎn)評】明確平行線間的距離處處相等，是解答此題的關(guān)鍵．21．（2019秋?昌樂縣期末）操作題，按要求作圖．（1）請你在田字格里畫一個(gè)有2組平行線的平面圖形．（2）過A點(diǎn)畫已知直線的垂線，再過B點(diǎn)畫已知直線的垂線．畫出的這兩條直線有什么關(guān)系？【思路分析】（1）已學(xué)過的有兩組平行線的圖形有：長方形、正方形、平行邊形．據(jù)此即可在田字格里畫一個(gè)有2組平行線的平面圖形．（2）過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線的方法是：把三角板的一直角邊與已知直線重合，沿這條直線滑動(dòng)三角板，當(dāng)另