江蘇省啟東市高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 第9課時(shí) 1.3.1 三角函數(shù)的周期性教案 蘇教版必修4

江蘇省啟東市高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)第9課時(shí)1.3.1三角函數(shù)的周期性教案蘇教版必修4主備人備課成員教學(xué)內(nèi)容本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容來(lái)自江蘇省啟東市高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)的第9課時(shí)，具體為1.3.1三角函數(shù)的周期性。本節(jié)課的主要內(nèi)容有：

1.理解三角函數(shù)周期性的概念，掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的周期性。

2.學(xué)會(huì)利用周期性進(jìn)行三角函數(shù)的簡(jiǎn)化計(jì)算和求解。

3.能夠運(yùn)用周期性解決實(shí)際問題，提高解決問題的能力。

4.培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力。

教學(xué)重點(diǎn)為三角函數(shù)周期性的理解和運(yùn)用，教學(xué)難點(diǎn)為周期性在實(shí)際問題中的運(yùn)用。核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，主要包括：

1.邏輯推理：通過探究三角函數(shù)的周期性，培養(yǎng)學(xué)生從具體實(shí)例中抽象出一般性規(guī)律的能力，提高其邏輯推理水平。

2.數(shù)學(xué)建模：引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用周期性解決實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型解決問題的能力。

3.直觀想象：通過圖形演示和實(shí)際操作，幫助學(xué)生建立直觀的周期性概念，提高其空間想象能力。

4.數(shù)據(jù)分析：培養(yǎng)學(xué)生利用周期性對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、處理和解釋的能力，提高其數(shù)據(jù)分析能力。

5.數(shù)學(xué)運(yùn)算：在學(xué)習(xí)三角函數(shù)周期性的過程中，培養(yǎng)學(xué)生熟練運(yùn)用運(yùn)算規(guī)則，提高其數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。

6.數(shù)學(xué)抽象：通過學(xué)習(xí)三角函數(shù)的周期性，培養(yǎng)學(xué)生從具體情境中抽象出數(shù)學(xué)模型的能力，提高其數(shù)學(xué)抽象水平。

7.數(shù)學(xué)建模：引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用周期性解決實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型解決問題的能力。學(xué)習(xí)者分析1.知識(shí)基礎(chǔ)：學(xué)生在之前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，已經(jīng)掌握了初中階段的三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)，如正弦、余弦和正切函數(shù)的定義和性質(zhì)。同時(shí)，學(xué)生也掌握了函數(shù)的一般概念和性質(zhì)，這為學(xué)習(xí)三角函數(shù)的周期性提供了基礎(chǔ)。

2.學(xué)習(xí)興趣與能力：高中生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的探究欲望較強(qiáng)，特別是對(duì)于函數(shù)這一重要數(shù)學(xué)概念。學(xué)生已經(jīng)具備一定的邏輯思維能力和抽象思維能力，能夠從具體實(shí)例中抽象出一般性規(guī)律。同時(shí)，學(xué)生在之前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中已經(jīng)培養(yǎng)了較強(qiáng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和數(shù)據(jù)分析能力。

3.學(xué)習(xí)風(fēng)格：學(xué)生的學(xué)習(xí)風(fēng)格多樣，有善于通過自學(xué)和思考解決問題的，也有喜歡與同學(xué)討論和合作的。這要求教師在教學(xué)過程中既要注重啟發(fā)式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，又要充分發(fā)揮小組合作的作用，讓學(xué)生在討論和交流中共同進(jìn)步。

4.可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：在理解三角函數(shù)周期性的概念時(shí)，學(xué)生可能會(huì)對(duì)周期性的本質(zhì)和應(yīng)用產(chǎn)生困惑。尤其是在實(shí)際問題中運(yùn)用周期性求解時(shí)，可能會(huì)遇到難以將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的問題。此外，學(xué)生在運(yùn)用周期性進(jìn)行計(jì)算和求解時(shí)，可能會(huì)出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤或邏輯推理不嚴(yán)密的情況。

針對(duì)以上分析，教師在教學(xué)過程中應(yīng)關(guān)注學(xué)生的個(gè)體差異，針對(duì)不同學(xué)生的學(xué)習(xí)需求進(jìn)行有針對(duì)性的指導(dǎo)，幫助學(xué)生克服困難和挑戰(zhàn)，提高教學(xué)質(zhì)量。學(xué)具準(zhǔn)備多媒體課型新授課教法學(xué)法講授法課時(shí)第一課時(shí)師生互動(dòng)設(shè)計(jì)二次備課教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：確保每位學(xué)生都有《江蘇省啟東市高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)第9課時(shí)1.3.1三角函數(shù)的周期性教案蘇教版必修4》的教材或?qū)W習(xí)資料，以便學(xué)生能夠跟隨教學(xué)進(jìn)度進(jìn)行學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)。

2.輔助材料：為了幫助學(xué)生更好地理解三角函數(shù)周期性的概念，準(zhǔn)備相關(guān)的圖片、圖表、視頻等多媒體資源。例如，可以準(zhǔn)備正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖像，以及周期性的具體實(shí)例和應(yīng)用場(chǎng)景的圖片和視頻。

3.實(shí)驗(yàn)器材：如果本節(jié)課涉及實(shí)驗(yàn)部分，需要確保實(shí)驗(yàn)器材的完整性和安全性。例如，準(zhǔn)備一些簡(jiǎn)單的測(cè)量工具，如尺子、量角器等，以及一些演示用的三角函數(shù)模型或玩具。

4.教室布置：根據(jù)教學(xué)需要，對(duì)教室進(jìn)行適當(dāng)?shù)牟贾谩？梢栽O(shè)置分組討論區(qū)，供學(xué)生在小組合作時(shí)進(jìn)行討論和交流；同時(shí)，也可以設(shè)置實(shí)驗(yàn)操作臺(tái)，供學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作。

5.教學(xué)工具：準(zhǔn)備投影儀、計(jì)算機(jī)、白板等教學(xué)工具，以便教師能夠清晰地展示教學(xué)內(nèi)容，并與學(xué)生進(jìn)行互動(dòng)。

6.學(xué)習(xí)任務(wù)單：準(zhǔn)備一份詳細(xì)的學(xué)習(xí)任務(wù)單，列出學(xué)生需要完成的任務(wù)和學(xué)習(xí)目標(biāo)，以便學(xué)生能夠明確學(xué)習(xí)任務(wù)和方向。

7.解答疑惑：準(zhǔn)備一些常見的疑問和解答，以便在課堂上能夠及時(shí)解答學(xué)生的問題，幫助學(xué)生更好地理解和掌握知識(shí)。教學(xué)流程1.導(dǎo)入新課（用時(shí)5分鐘）

通過展示一些生活中的周期性現(xiàn)象，如擺鐘的擺動(dòng)、月亮的圓缺等，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注周期性的概念。提問：“你們認(rèn)為什么是周期性？在數(shù)學(xué)中，周期性是如何定義的？”讓學(xué)生思考并分享他們的理解。進(jìn)而引入本節(jié)課的主題：三角函數(shù)的周期性。

2.新課講授（用時(shí)15分鐘）

（1）首先，介紹正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的周期性定義和性質(zhì)。舉例說明，如正弦函數(shù)sin(x)的周期為2π，余弦函數(shù)cos(x)的周期也為2π，正切函數(shù)tan(x)的周期為π。

（2）其次，講解如何利用周期性進(jìn)行三角函數(shù)的簡(jiǎn)化計(jì)算和求解。例如，當(dāng)要求解sin(3x)+cos(4x)在一個(gè)周期內(nèi)的解析式時(shí)，可以利用周期性將其轉(zhuǎn)化為sin(x)+cos(x)的形式。

（3）最后，介紹周期性在實(shí)際問題中的應(yīng)用。例如，在物理中，正弦函數(shù)可以用來(lái)描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)；在工程中，余弦函數(shù)可以用來(lái)分析交流電的變化規(guī)律。

3.實(shí)踐活動(dòng)（用時(shí)10分鐘）

（1）讓學(xué)生分組討論，每組選擇一個(gè)周期性現(xiàn)象，如擺鐘的擺動(dòng)、心臟跳動(dòng)的規(guī)律等，嘗試用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和函數(shù)模型來(lái)描述和分析。

（2）每組展示他們的討論成果，其他組進(jìn)行評(píng)價(jià)和提問。教師引導(dǎo)學(xué)生從周期性的角度去思考和解決問題。

（3）讓學(xué)生利用計(jì)算器或數(shù)學(xué)軟件，繪制一些周期性函數(shù)的圖像，觀察和分析其周期性特點(diǎn)。

4.學(xué)生小組討論（用時(shí)10分鐘）

（1）教師提出一些關(guān)于周期性的問題，讓學(xué)生進(jìn)行小組討論。例如：“周期性在現(xiàn)實(shí)生活中有哪些應(yīng)用？如何利用周期性解決實(shí)際問題？”

（2）每組選出一個(gè)代表進(jìn)行回答，其他組進(jìn)行評(píng)價(jià)和補(bǔ)充。教師引導(dǎo)學(xué)生從多角度去思考和解決問題。

（3）讓學(xué)生舉例說明，如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為周期性問題的數(shù)學(xué)模型，并解釋其周期性特點(diǎn)。

5.總結(jié)回顧（用時(shí)5分鐘）

對(duì)本節(jié)課的主要內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)回顧，強(qiáng)調(diào)三角函數(shù)周期性的定義、性質(zhì)和應(yīng)用。提醒學(xué)生要注意周期性在實(shí)際問題中的運(yùn)用，提高解決問題的能力。

總用時(shí)：45分鐘知識(shí)點(diǎn)梳理本節(jié)課的主要知識(shí)點(diǎn)包括：

1.三角函數(shù)周期性的概念：周期性是指函數(shù)值按照一定的規(guī)律重復(fù)出現(xiàn)的一種性質(zhì)。對(duì)于三角函數(shù)，周期性指的是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的值在一定范圍內(nèi)按照固定間隔重復(fù)出現(xiàn)。

2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的周期性：正弦函數(shù)sin(x)和余弦函數(shù)cos(x)的周期都是2π，即每隔2π個(gè)單位長(zhǎng)度，函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)。正切函數(shù)tan(x)的周期是π，即每隔π個(gè)單位長(zhǎng)度，函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)。

3.周期性的性質(zhì)：周期性具有以下性質(zhì)：

a.周期性是周期函數(shù)的基本屬性，與函數(shù)的振幅、相位等無(wú)關(guān)。

b.周期函數(shù)的周期是函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)的最小距離。

c.周期函數(shù)的周期性不會(huì)因?yàn)槠揭啤⑸炜s等變換而改變。

4.周期性的應(yīng)用：周期性在數(shù)學(xué)、物理、工程等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。例如，在物理學(xué)中，正弦函數(shù)可以用來(lái)描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)；在電子學(xué)中，余弦函數(shù)可以用來(lái)分析交流電的變化規(guī)律。

5.周期性的求解和應(yīng)用：利用周期性可以簡(jiǎn)化三角函數(shù)的求解過程。例如，當(dāng)要求解三角方程時(shí)，可以利用周期性將方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式，從而簡(jiǎn)化求解步驟。

6.周期性在實(shí)際問題中的應(yīng)用：在實(shí)際問題中，周期性可以幫助我們建立數(shù)學(xué)模型，從而更好地理解和解決問題。例如，在分析人口增長(zhǎng)、股市走勢(shì)等問題時(shí)，可以利用周期性來(lái)建立數(shù)學(xué)模型，預(yù)測(cè)未來(lái)的發(fā)展趨勢(shì)。板書設(shè)計(jì)1.三角函數(shù)周期性的定義和性質(zhì)

①周期性：函數(shù)值按照一定規(guī)律重復(fù)出現(xiàn)的性質(zhì)

②三角函數(shù)的周期性：正弦函數(shù)sin(x)、余弦函數(shù)cos(x)的周期為2π，正切函數(shù)tan(x)的周期為π

③周期性的性質(zhì)：周期函數(shù)的基本屬性，與函數(shù)的振幅、相位等無(wú)關(guān)；周期是函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)的最小距離；周期性不會(huì)因?yàn)槠揭啤⑸炜s等變換而改變

2.周期性的應(yīng)用

①數(shù)學(xué)中的應(yīng)用：簡(jiǎn)化三角函數(shù)的求解過程，如求解三角方程

②物理中的應(yīng)用：描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)，分析交流電的變化規(guī)律

③工程中的應(yīng)用：分析信號(hào)的變化趨勢(shì)，設(shè)計(jì)濾波器等

3.周期性在實(shí)際問題中的應(yīng)用

①建立數(shù)學(xué)模型：分析人口增長(zhǎng)、股市走勢(shì)等問題

②預(yù)測(cè)發(fā)展趨勢(shì)：利用周期性進(jìn)行趨勢(shì)分析和預(yù)測(cè)

③解決實(shí)際問題：利用周期性優(yōu)化工程設(shè)計(jì)、提高生產(chǎn)效率等

板書設(shè)計(jì)要求簡(jiǎn)潔明了，突出重點(diǎn)，同時(shí)具有藝術(shù)性和趣味性，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動(dòng)性。可以通過使用清晰的符號(hào)、圖表、顏色等元素，使得板書更具吸引力。例如，可以使用不同顏色的粉筆標(biāo)出周期性的性質(zhì)，或者用圖示來(lái)展示三角函數(shù)的周期性應(yīng)用。通過這樣的設(shè)計(jì)，學(xué)生能夠更容易地理解和記憶知識(shí)點(diǎn)，提高學(xué)習(xí)效果。重點(diǎn)題型整理1.三角函數(shù)周期性的判斷

題目：判斷以下函數(shù)是否為周期函數(shù)，若是，指出其周期。

答案：函數(shù)f(x)=sin(2x)+cos(3x)是周期函數(shù)，其周期為2π/2=π。

2.利用周期性簡(jiǎn)化三角函數(shù)表達(dá)式

題目：利用周期性簡(jiǎn)化以下三角函數(shù)表達(dá)式。

答案：f(x)=sin(x)+sin(3x)可以簡(jiǎn)化為f(x)=2sin(2x)cos(x)。

3.周期性在實(shí)際問題中的應(yīng)用

題目：某城市去年的人口為100萬(wàn)人，今年的人口為102萬(wàn)人。假設(shè)人口增長(zhǎng)呈現(xiàn)周期性，求明年的人口預(yù)測(cè)值。

答案：設(shè)人口增長(zhǎng)函數(shù)為f(x)，其周期為T。根據(jù)題意，f(0)=100,f(1)=102。由周期性可知，f(2)=f(0)=100,f(3)=f(1)=102。因此，人口增長(zhǎng)呈現(xiàn)4年一個(gè)周期的周期性。明年的人口預(yù)測(cè)值為f(3)=102萬(wàn)人。

4.周期性在物理中的應(yīng)用

題目：一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)方程為x(t)=A*sin(ωt+φ)，其中A為振幅，ω為角頻率，φ為初相位。若系統(tǒng)的周期為T，求ω與T的關(guān)系。

答案：周期T與角頻率ω的關(guān)系為T=2π/ω。

5.周期性在工程中的應(yīng)用

題目：設(shè)計(jì)一個(gè)低通濾波器，使得輸入信號(hào)的頻率低于1kHz時(shí)，輸出信號(hào)的頻率為0.5kHz。

答案：可以設(shè)計(jì)一個(gè)周期為2kHz的三角函數(shù)濾波器，其傳遞函數(shù)為H(ω)=sin(ω)/sin(2ω)。當(dāng)輸入信號(hào)的頻率低于1kHz時(shí)，輸出信號(hào)的頻率為0.5kHz。作業(yè)布置與反饋本節(jié)課的作業(yè)包括以下幾個(gè)部分，以鞏固所學(xué)知識(shí)并提高能力：

a.判斷以下三角函數(shù)是否為周期函數(shù)，若是，指出其周期。

1.f(x)=sin(x)

2.f(x)=cos(2x)

3.f(x)=tan(x)

b.利用周期性簡(jiǎn)化以下三角函數(shù)表達(dá)式。

1.f(x)=sin(x)+cos(3x)

2.f(x)=2sin(2x)cos(x)-sin(4x)

c.求解以下實(shí)際問題。

1.某城市去年的人口為100萬(wàn)人，今年的人口為110萬(wàn)人。假設(shè)人口增長(zhǎng)呈現(xiàn)周期性，求明年的人口預(yù)測(cè)值。

2.一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)方程為x(t)=A*sin(ωt+φ)，其中A為振幅，ω為角頻率，φ為初相位。若系統(tǒng)的周期為T，求ω與T的關(guān)系。

d.設(shè)計(jì)一個(gè)低通濾波器，使得輸入信號(hào)的頻率低于1kHz時(shí)，輸出信號(hào)的頻率為0.5kHz。

2.作業(yè)反饋

及時(shí)對(duì)學(xué)生的作業(yè)進(jìn)行批改和反饋，指出存在的問題并給出改進(jìn)建議。例如：

a.在判斷三角函數(shù)周期性的作業(yè)中，有些學(xué)生可能沒有正確理解周期性的概念，或者沒有正確計(jì)算出周期。在反饋中，可以指出周期性的定義，并指導(dǎo)學(xué)生如何計(jì)算周期。

b.在簡(jiǎn)化三角函數(shù)表達(dá)式的作