第2章分子動(dòng)理論2(玻耳茲曼分布-范氏氣體-自由程)-741303594

12.4玻耳茲曼分布保守場(chǎng)中粒子按勢(shì)能的分布一.麥克斯韋速度分布率二.玻耳茲曼分布函數(shù)三.玻耳茲曼粒子按勢(shì)能的分布2一.麥克斯韋速度分布速度分布函數(shù)定義式為間隔內(nèi)各種速度均有3速度空間各個(gè)方向等幾率分布，因此而因此可以猜測(cè)怎么定系數(shù)？4與分子動(dòng)能相連速度分布因子麥克斯韋速率分布率5

若分子速度的大小被限制在v

v+dv內(nèi)，方向可以任意，這些分子的速度矢量端點(diǎn)都在半徑為v,厚度為dv的球殼內(nèi)。由于在平衡態(tài)時(shí)分子速度的方向是均勻分布的，取球殼的體積4

v2dv作為體積元,有討論：可得∴有6單位時(shí)間、單位面積上的分子碰壁數(shù)

小柱體dAvxdtx器壁n各種速度方向、大小的分子都有，怎么辦？用小柱體法！

作如圖的小柱體，處于小柱體內(nèi)的，是速度基本上為的分子，它們都能在dt時(shí)間內(nèi)碰到面積

dA上

先看對(duì)速度為的分子按速度空間來看，應(yīng)對(duì)速度空間積分7

小柱體內(nèi)的分子數(shù)為n

vxdtdA

如圖小柱體內(nèi)，速度在附近，速度空間體積元dvxdvydvz內(nèi)的分子數(shù)是小柱體dAvxdtx器壁n它們都能在dt時(shí)間內(nèi)碰到面積

dA上

我們應(yīng)考慮以dA為底的各種各樣的小柱體，而且要考慮到有個(gè)分布在速度空間附近麥?zhǔn)纤俣确植己瘮?shù)：?jiǎn)挝惑w積內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率這就要用到麥克斯韋速度分布函數(shù)

:8小柱體dAvxdtx器壁n把各種方向大小的(vxvyvz)分子都考慮進(jìn)來，就要積分：?jiǎn)挝?/p>

時(shí)間里打到單位面積上的總分子數(shù)為（x,y,z）9積分公式：（x,y,z）=

10單位時(shí)間、單位面積上的分子碰壁數(shù)

化簡(jiǎn)一下11

p0V

Ap外T求：【解】設(shè)t時(shí)刻容器內(nèi)分子數(shù)為N，則：例.如圖所示，已知：p0>>p外，體積V，T保持不變，小孔面積

A按麥?zhǔn)戏植嫉?，N12積分：得：例如對(duì)氧

氣，設(shè)V=103cm3，

t=62.3s則計(jì)算得：T=300K時(shí)，

A=0.1mm2溫度相同時(shí),13應(yīng)用舉例：擴(kuò)散法分離同位素

生產(chǎn)核武器時(shí)，235U濃度需高達(dá)90%天然鈾235U的豐度為0.71%因?yàn)榻饘賃要在2500K以上才能成為鈾蒸汽所以采用在室溫下具有高蒸汽壓的U化合物UF6

分離238UF6（質(zhì)量m238）和235UF6（質(zhì)量m235）：假如和相同，多孔膜真空同位素混合氣n235n23814

“分離系數(shù)”：經(jīng)計(jì)算要使235U濃度達(dá)90%，級(jí)聯(lián)數(shù)為1131,這需要占用大量的廠房，消耗大量的電力。讓新比例的同位素混合氣向下一級(jí)真空室擴(kuò)散，又可以使235U的比例增大?！嗉?jí)擴(kuò)散器15麥克斯韋速率分布律的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證1920.Stern實(shí)驗(yàn)

1934.葛正權(quán)實(shí)驗(yàn)

1955.Milletandkusch實(shí)驗(yàn)葛正權(quán)實(shí)驗(yàn)O---鉍蒸氣源,

溫度為TS1,S2,S3---狹縫Q---圓筒,轉(zhuǎn)速可達(dá)

500轉(zhuǎn)/秒G---玻璃薄板16實(shí)驗(yàn)的物理思想:

設(shè)速率為v

的分子沉積在P’處,

飛行時(shí)間一定的S

值相應(yīng)于一定的分子速率

v弧長(zhǎng)PP’

=S17實(shí)驗(yàn)中,圓筒轉(zhuǎn)動(dòng)約十幾小時(shí);用測(cè)微光度計(jì)測(cè)定薄玻璃板上各處分子的沉積厚度分子的沉積厚度隨S的變化關(guān)系實(shí)驗(yàn)結(jié)果：符合麥克斯韋速率分布率分子數(shù)與速率的關(guān)系18二.玻耳茲曼分布函數(shù)玻耳茲曼把麥?zhǔn)纤俣确植纪茝V到理想氣體處在保守力場(chǎng)的情形。19在坐標(biāo)附近單位坐標(biāo)間隔內(nèi)速度附近單位速度間隔內(nèi)分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比物理含義？20區(qū)間內(nèi)分子數(shù)分布于單位體積內(nèi)的分子數(shù)三.玻耳茲曼粒子按勢(shì)能的分布21重力場(chǎng)中粒子按重力勢(shì)能分布22高度計(jì)的原理：式中

P0=n0kT為地面處的壓強(qiáng)，此式假設(shè)了高處與低處的溫度T

相同所以上式稱為恒溫氣壓公式可以從氣壓計(jì)上氣壓的讀數(shù)P

知道離地面的高度

h23任何物質(zhì)微粒(氣體、液、固體分子、原子、布朗粒子等)在任何保守場(chǎng)(重力場(chǎng)、靜電場(chǎng)--)中運(yùn)動(dòng)性形均相同愈小粒子數(shù)愈多原子中粒子數(shù)按能級(jí)的分布基態(tài)粒子數(shù)最多242.5氣體分子的平均自由程一.平均碰撞頻率二.真空的概念25發(fā)難：荷蘭化學(xué)家巴洛特---擴(kuò)散與矛盾分子運(yùn)動(dòng)論的佯謬解釋：粒子走了一條艱難曲折的路26平均自由程平均碰撞頻率描述的物理量是27一.平均碰撞頻率典型的推導(dǎo)必要的假設(shè)：1)同種分子分子有效直徑2)彈性碰撞3)一個(gè)分子動(dòng)其余不動(dòng)平均來看相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度為2829推導(dǎo)：跟蹤a分子平均碰撞頻率——一個(gè)分子一秒鐘被碰的次數(shù)碰撞截面3031令3233二.真空的概念理論公式表明34但容器的線度l<<實(shí)際分子的平均自由程就是容器的線度l與壓強(qiáng)無關(guān)微觀上的真空時(shí)35例1標(biāo)況下平均碰撞頻率和平均自由程解:36例2直徑5厘米的容器內(nèi)部充滿氮?dú)庹婵斩?0-3Pa

求:常溫(293K)下平均自由程的理論計(jì)算值解：37>>容器線度5厘米382.6范德瓦耳斯方程一.范氏氣體模型二.真實(shí)氣體的狀態(tài)方程三.范氏氣體等溫線與真實(shí)氣體等溫線39真實(shí)氣體問題解決問題的基本思路：真實(shí)氣體用理想氣體模型有兩個(gè)明顯缺陷:

理想氣體忽略了分子本身的體積（即忽略了分子間的斥力）理想氣體忽略了分子間的引力必須建新的模型

從物理上審視理想氣體模型→結(jié)果→與實(shí)際比較分子力：t=47~s=915~引力斥力力分子斥力引力rfo

分子間在距離較近時(shí)表現(xiàn)為斥力距離較遠(yuǎn)時(shí)表現(xiàn)為引力一.范德瓦耳斯氣體模型41范氏微觀簡(jiǎn)化模型：

（1）分子是直徑為d（~10-10m）的剛性小球;dsrfO范氏氣體模型（2）在d–s

范圍內(nèi)分子間有恒定吸引力。有引力的分子剛球模型s稱為分子作用球半徑。當(dāng)分子碰撞時(shí)才反映出排斥力。sr0r合力斥力引力dfO10-9m分子力42二.真實(shí)氣體的狀態(tài)方程1mol理氣狀態(tài)方程理氣分子活動(dòng)的空間實(shí)際測(cè)量值431mol

氣體分子的空間體積為=分子本身體積之和BA1.斥力引起對(duì)活動(dòng)空間的修正一對(duì)分子空間體積為44引入一個(gè)因子b

修正理氣方程中的實(shí)測(cè)與分子種類有關(guān)完成了第一步的修正1mol理氣狀態(tài)方程452.考慮分子間引力引起的修正理氣P--分子碰壁的平均作用力動(dòng)量定理真實(shí)氣體βpia理氣壓強(qiáng)實(shí)測(cè)壓強(qiáng)為什么不考慮器壁和分子之間的吸引力？46

并不影響氣體對(duì)器壁的壓強(qiáng)

考慮器壁的吸引力后分子給器壁的沖量一覽表關(guān)鍵:在器壁吸引分子的同時(shí)，氣體分子也吸引器壁

飛向器壁的過程中彈性碰撞的過程中

飛離器壁的過程中總計(jì)分子同樣大小的動(dòng)量增加分子同樣大小的動(dòng)量減小由于動(dòng)量增加多出來的沖量47修正為內(nèi)壓強(qiáng)基本完成了第二步的修正由于分子之間存在引力而造成對(duì)器壁壓強(qiáng)減少481)與碰壁的分子數(shù)成正比2)與對(duì)碰壁分子有吸引力作用的分子數(shù)成正比即寫成內(nèi)壓強(qiáng)49與分子的種類有關(guān)需實(shí)際測(cè)量1mol范氏氣體狀態(tài)方程為與分子有關(guān)的修正因子查表對(duì)CO2：a=3.64

10-1

米6

帕/摩爾2，b=4.36米3/摩爾50任意摩爾數(shù)的范氏氣體方程范德瓦爾斯(1837-1923)

荷蘭人范德瓦耳斯由于在研究氣態(tài)和液態(tài)方程方面的貢獻(xiàn),

獲1910年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。51數(shù)據(jù)：1摩爾氮?dú)庠赥=273K時(shí)的數(shù)據(jù)：這表明范氏方程適用性更大實(shí)

驗(yàn)

值計(jì)

算

值p(atm)v（l）pv(latm)l)(atm))((2.-+bapvv122.4122.4122.411000.222422.2422.405000.0623531.1722.677000.0532537.2722.659000.0482543.4022.410000.046446.422.0.CO等溫壓縮實(shí)驗(yàn)2pVO三.范氏氣體的等溫線和真實(shí)氣體的等溫線真實(shí)氣體的等溫線壓強(qiáng)計(jì).v(10-3m3.kg-1)k2.1773.231.10C210C130Cp/×105Pa45.5o比容壓強(qiáng)48.10C氣汽液共存液CO2

等溫線臨界點(diǎn)48C13C00CPVo臨界點(diǎn)范德瓦爾斯等溫線和真實(shí)氣體等溫線的比較′AA..過飽和蒸汽（云室）過熱液體（氣泡室）不可能實(shí)現(xiàn)范氏氣體能較好地描述真實(shí)氣體AA′BB′AB′′B.B.′55相圖與水的三相點(diǎn)物質(zhì)的汽、液、固三相的變化，是在一定的溫度（T）和壓強(qiáng)(P)下發(fā)生的相圖常以P-T圖的形式畫出:這時(shí)等溫線是一條垂直線相變時(shí)體積會(huì)發(fā)生變化，同時(shí)有一定的熱量吸入或放出。56前面OK段汽液共存的狀態(tài)（壓強(qiáng)不變）只是一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)相應(yīng)的壓強(qiáng)就是飽和蒸汽壓。

不同溫度T1,T2,TK有不同的飽和蒸汽壓。

汽液共存點(diǎn)構(gòu)成的曲線（OK）上方為液相，下方為汽相。OK線稱為汽化線。

同理，通過O點(diǎn)有另外兩條相變曲線稱為熔解線，升華線。O稱為三相點(diǎn)。57可以看出，水的三相點(diǎn)相應(yīng)于確定的壓強(qiáng)和溫度，是唯一的（為什么）。它不象水的冰點(diǎn)（二相點(diǎn)）和沸點(diǎn)（二相點(diǎn)）,隨壓強(qiáng)而改變。（它們只是在1大氣壓下才是0oC,

和100oC,）它被取作國(guó)際公認(rèn)的溫度標(biāo)準(zhǔn)。58范氏氣體內(nèi)能理想氣體：分子動(dòng)能考慮1mol氣體范氏氣體：除分子動(dòng)能外，還有勢(shì)能Ep(v)。勢(shì)能多大？例.設(shè)分子間距為無限大時(shí)分子之間的勢(shì)能為零，即氣體體積為無限大時(shí)氣體的勢(shì)能為零證明1mol范氏氣體的內(nèi)能為：59【證】范氏氣體由于分子力的存在，靠活塞處分子受向內(nèi)的力，(內(nèi)壓強(qiáng)為Pi)分子力是保守力，保守力的功與系統(tǒng)勢(shì)能的關(guān)系為

piVSdl1mol60

1mol范氏氣體：證畢當(dāng)氣體體積增大，活塞右移時(shí)，活塞處氣體分子也向右移動(dòng)，受的保守引力作負(fù)功，或Pi

作負(fù)功：612.7輸運(yùn)過程三種基本輸運(yùn)過程：內(nèi)摩擦，熱傳導(dǎo)，擴(kuò)散。當(dāng)流體內(nèi)各部分流動(dòng)速度不同時(shí)，就有內(nèi)摩擦（或粘滯）現(xiàn)象。宏觀性質(zhì)不均勻的非平衡態(tài)在不受外界的影響下由于分子的熱運(yùn)動(dòng)和分子之間的碰撞宏觀性質(zhì)均勻的平衡態(tài)一.內(nèi)摩擦62設(shè)兩個(gè)大平板之間裝有流體，下板靜止，上板沿x方向勻速運(yùn)動(dòng)。板間流體都被帶動(dòng)，但是各層流體的定向運(yùn)動(dòng)速度不同，存在流速梯度。流體設(shè)在zo處,面積dS的上層對(duì)下層的內(nèi)摩擦力

(或粘滯力)為;下層對(duì)上層的內(nèi)摩擦力為其反作用力。

63宏觀實(shí)驗(yàn)規(guī)律：

內(nèi)摩擦系數(shù)(或粘滯系數(shù)),

與流體的性質(zhì)和狀態(tài)有關(guān),

可以實(shí)驗(yàn)測(cè)定。測(cè)定

的實(shí)驗(yàn)裝置簡(jiǎn)圖：A筒保持一定的轉(zhuǎn)速，B筒相應(yīng)地偏轉(zhuǎn)一定的角度（可由小鏡反射的光線測(cè)得）；小鏡ABC64從微觀分子動(dòng)理論推導(dǎo)得（見后面）：懸絲的扭轉(zhuǎn)系數(shù)和B筒的半徑都是已知的，可算出內(nèi)摩擦力；小鏡ABC速度梯度和面積也可以直接測(cè)得；于是，從公式可以算出內(nèi)摩擦系數(shù)

。與實(shí)驗(yàn)基本符合。65從分子運(yùn)動(dòng)角度看內(nèi)摩擦現(xiàn)象：從分子運(yùn)動(dòng)看,各層流體的流速不同,是在各層分子無規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)之上加上去的定向運(yùn)動(dòng)的速度不同。由于熱運(yùn)動(dòng),下層的分子跑到上層時(shí)帶去較小的定向動(dòng)量;上層的分子跑到下層時(shí)帶去較大的定向動(dòng)量,下層的定向動(dòng)量增大,所以宏觀上看等于下層受到了指向前方的內(nèi)摩擦力。66內(nèi)摩擦現(xiàn)象的微觀本質(zhì)是：分子在無序的熱運(yùn)動(dòng)中輸運(yùn)定向動(dòng)量的過程簡(jiǎn)化模型:(1)認(rèn)為dS上下交換的分子都是沿z軸運(yùn)動(dòng)的，并且單位體積中各有的分子沿+z,-z方向運(yùn)動(dòng)。下面近似地推導(dǎo)關(guān)系式：微觀本質(zhì):67

這樣,在dt時(shí)間內(nèi),從

dS一側(cè)跑到另一側(cè)的分子數(shù)為（2）假設(shè)分子越過

dS面之前都是在離dS面距離約為平均自由程處發(fā)生最后一次碰撞的而且它們帶過來的定向動(dòng)量，就是在那里的定向動(dòng)量……

“一次同化論”假設(shè)68

分子由上到下攜帶的動(dòng)量是;

分子由下到上攜帶的動(dòng)量是.

因此,在dt時(shí)間內(nèi),

在dS下方的流體層凈增加的定向動(dòng)量為69由牛Ⅱ,dS下方的流體層相應(yīng)受到的內(nèi)摩擦力就是因?yàn)槎ㄏ蜻\(yùn)動(dòng)動(dòng)量為p=mu70二.熱傳導(dǎo)宏觀實(shí)驗(yàn)規(guī)律：在dt時(shí)間內(nèi)，通過x0

處dS面，沿+x

方向傳遞的熱量為當(dāng)流體內(nèi)各部分溫度不同時(shí)，就有熱傳導(dǎo)現(xiàn)象。71說明：(1)負(fù)號(hào)的意義：熱量總是由高溫處傳向低溫處。

若dx=x2-x1>0,dT=T2-T1>0,

則dQ<0-----表示向-x方向傳熱；(2)導(dǎo)熱系數(shù)

：與流體的性質(zhì)和狀態(tài)有關(guān),可以實(shí)驗(yàn)測(cè)定，也可以理論推導(dǎo)得（不要求）式中Cv——定容比熱72實(shí)驗(yàn)指出：

一般與壓強(qiáng)P無關(guān)；

但在壓強(qiáng)很低時(shí)

隨壓強(qiáng)p的減小而減?。ɡ纾磕懀?。理論上如何解釋

73

理論上解釋：所以

一般與P無關(guān)。

但是在壓強(qiáng)P很低時(shí)，，

所以

就與P有關(guān)了：