2021年滬教版數(shù)學(xué)必修二同步第10講 向量的概念和線性運(yùn)算（練習(xí)）教師版

第10講向量的概念和線性運(yùn)算（練習(xí)）

夯實(shí)基礎(chǔ)

一、單選題

1.（2021?天津市第八中學(xué)高一月考）有關(guān)向量M和向量5,下列四個說法中：

①若同=0,則0=0；

②若同=|可，則彳=5或1=一5；

③若M/區(qū)，則同明；

④若萬=。，則一M

其中的正確有（）

A.1B.2C.3I）.4

【答案】B

【分析】由零向量的定義、向量的模、共線向量的定義，即可得出結(jié)果.

【詳解】由零向量的定義，可知①④正確：

由向量的模定義，可知②不正確；

由向量共線可知③不正確.

故選：B

2.（2021?江蘇泰州市?泰州中學(xué)高一月考）在中，為8c邊上的中線，E

為的中點(diǎn)，則麗=（）

D.-AB+-AC

44

【答案】A

【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算法則，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.

【詳解】根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，可得：EB=ED+DB=-AD+-CB=

22

-x-(AB+AC)+-(AB-AC)=-AB--AC.

22244

故選：A.

3.(2021?天津市薊州區(qū)擂鼓臺中學(xué)高一月考)平行四邊形/順中，元+麗-麗等于

()

A.CBB.fiCC.5CD-AC

【答案】B

【分析】由平行四邊形/比力得，BA^CD，由此可得選項(xiàng).

【詳解】在平行四邊形4及力中，BA^CD，所以配+麗一函=元，

故選：B.

4.(2021?浙江高一期末)已知40是AABC的BC邊上的中線，若麗=瓦/=5,

則麗^等于()

A./(b-口)B./(a+b)C.'(a-'〃)D.-/(a+0)

【答案】B

【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)锳W是AA6c的8C邊上的中線，所以M為5c的中點(diǎn)，

所以疵=荏+麗^=而+(團(tuán)+

1_1____1]_

^-AB+-AC=-a+-h.

2222

故選：B

5.(2021?江蘇省昆山中學(xué)高一月考)已知點(diǎn)。為△A8C所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若動點(diǎn)P滿

足麗=礪+2(通+/)(%.()),則點(diǎn)一定P經(jīng)過△鉆。的()

A.外心B.內(nèi)心C.垂心D.重心

【答案】I)

【分析】取BC的中點(diǎn)。,由方=西+川麗+衣)(％.0),得而=2X而，從而可

得而與而共線，得直線AP與直線AD重合，進(jìn)而得結(jié)論

【詳解】解：取BC的中點(diǎn)。，則A5+%6=24萬，

因?yàn)辂?礪+4(通+恁)(％.0),

所以A戶=2/14萬,

所以Q與亞共線，即直線AP與直線A。而合，

所以直線4尸一定過△ABC的重心，

故選：D

6.(2021?天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)高一月考)下列各式中不能化簡為而的是

()

A.(AB-DC)-CBB.AD-(CD+DC)

C.-(.CB+MC)-(DA+BM)D.-BM-DA+MB

【答案】D

【分析】根據(jù)向量加減法的法則，分別判斷每個選項(xiàng)，得到正確答案.

【詳解】(而—就)一區(qū)=麗+1+函=而；

AD-(Cl5+DC)=Ab-6=AD;

-(CB+MC)-(DA+W)=-(GB+BM)-DX-MC=-CM-a4+CM=AD:

-BM-DA+MB=2MB+AD^AD

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查向量的加減運(yùn)算，關(guān)鍵是準(zhǔn)確靈活使用向量的加法和減法運(yùn)算法則，注

意使用相反向量進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

7.(2021?浙江高一期末)下列各式中，不能化簡為國的是()

A.PA+AB-BQB.(^B+PC)+(BA-0C)

C.QC-QP+CQD.AB+(PA+BQ)

【答案】A

【分析】直接利用向量的加減法--計(jì)算即可.

【詳解】對于A:PA+AB-BQ^PB-BQ;

對于B:(AB+PC)+(BA-QC)=AB+BA+PC-QC=CQ-CP=PQ.

對于C:QC-QP+CQ=QC+CQ-QP=PQ;

對于D：AB+(PA+BQ)=AB+BQ+PA=PA+AQ=PQ.

故選：A

二、填空題

8.(2021?天津市第八中學(xué)高一月考)CD+AM+BC+MB=.

【答案】AD

【分析】利用向量加法的三角形法則化簡可得結(jié)果.

【詳解】CD+AM+BC+MB=AM+MB+BC+a5=AD

故答案為：A.D.

9.(2021?浙江高一期末)已知向量￡=(X,3),加=(4,6)且；1〃力，則％=.

【答案】2

【分析】根據(jù)平面向量共線的坐標(biāo)表示可得出關(guān)于大的等式，由此可解得實(shí)數(shù)8的值.

【詳解】已知向量Z=(x,3),5=(4,6)且則6x=4x3=12,解得x=2.

故答案為：2.

10.(2021?江蘇高一課時練習(xí))如圖所示，已知/少3,B,。是線段/〃的兩個三等分點(diǎn),

分別以圖中各點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)，模長度大于1的向量有.

?----?-----?-----?

ABCD

【答案】AC,CA,BD,DB,AD,DA

【分析】結(jié)合圖形，分模長為2或3的向量求解.

【詳解】滿足條件的向量有以下幾類:

模長為2的向量有：AC,CA,BD,DB.

模長為3的向量有：AD,DA.

故答案為：AC,CA,BD,DB,AD,DA

11.(2021?江蘇高一課時練習(xí))若點(diǎn)火一2,0),庾3,4),C(2,a)共線，則a=

■.16

【答案】y

【分析】由向量平行的坐標(biāo)表示計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)?(—2,0),6(3,4),C(2,H),所以6=(5,4),Z"=(4,Q),

因?yàn)榱?，B,。三點(diǎn)共線，所以故5a—16=0,所以3=不

故答案為：—

12.(2021?江蘇高一課時練習(xí))與向量5=(-3,4)平行的單位向量是

3_434

【答案】或

5，-5555

【分析】設(shè)所求單位向量的坐標(biāo)為(x,y),由與向量(-3,4)平行可得—3y—4x=(),乂由

其為單位向量，則f+y2=i,聯(lián)立即可求出答案.

【詳解】解：設(shè)所求單位向量的坐標(biāo)為(x,y),

由與向量(一3,4)平行可得一3y—4x=0,

乂由其為單位向量，則f+>2=1,

33

x=—X-——

4x+3y=05..5

'<2+y2=i得：，嚴(yán)

4

y=-一y二一

-55

3_434

故答案為:或

5，-5555

13.(2021?全國高一課時練習(xí))菱形四切中，NBAD=60°,I而1=1,則|36+。力|

【答案】1

【分析】易知A4即為等邊三角形,再利用平面向量的加法運(yùn)算求解.

【詳解】因?yàn)樵诹庑?0中，N8AD=60：

所以△初為等邊三角形，

所以|團(tuán)+麗|=|而|=|而|=1?

故答案為：1

14.（2021?全國高一課時練習(xí)）已知點(diǎn)4（3,-4）與8（—1,2）,點(diǎn)P在直線A3上，且

網(wǎng)T叫則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

【答案】。,-1）

【分析】根據(jù)模長相等關(guān)系可確定P為線段AB中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算得到結(jié)果.

【詳解】?.，在直線上，且網(wǎng)=|麗|，?為線段A8中點(diǎn)，

乂A（3,-4）,B（-l,2）,/.P（l,-1）.

故答案為：（1,-1）.

三、解答題

15.（2021?江蘇高一課時練習(xí)）已知點(diǎn)4（3,-4）與8（—1,2）,點(diǎn)尸在直線46上，且|

AP=IPfiI.求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【答案】

【分析】由|APHPBI且"在直線四上，知：〃在48之間，結(jié)合向量的坐標(biāo)表示及

AP=PB＜可求產(chǎn)的坐標(biāo).

【詳解】設(shè)。點(diǎn)坐標(biāo)為（x,力，又|4P|=|PB|知：/在線段45上,

AP=PB,即(x—3,y+4)=(―1—x,2—y),

A：-3=-1-XX=1

,c,解得!

y+4=2-yy=-1

二〃點(diǎn)坐標(biāo)為（1,—1）.

16.(2021?全國高一課時練習(xí))已知平面上三個點(diǎn)坐標(biāo)為4(3,7),8(4,6),<7(1,-2),

求點(diǎn)。的坐標(biāo)，使得這四個點(diǎn)為構(gòu)成平行四邊形的四個頂點(diǎn).

【答案】?？赡転?0,-1)或(2,—3)或(6,15).

【分析】根據(jù)四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形分別為被力時荏=反、力敗'時福=麗、/fl宏時

AD=CB<利用向量的坐標(biāo)表示即可求〃的坐標(biāo).

【詳解】設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(x,y),

(1)當(dāng)平行四邊形為力比刀時，即有福=覺，

/.(4,6)-(3,7)=(1,-2)-Uy),

1—x=1fx=O

.yc,，解得<,，

-2-y=-i[y=-l

￡>(0,-1).

(2)同理，當(dāng)平行四邊形為時，荏=麗，得。(2,—3).

(3)同理，當(dāng)平行四邊形為力〃力時，AD=CB，得。(6,15).

綜上,4可能為(0,一為或(2,-3)或(6,15).

17.(2020?全國高一課時練習(xí))已知1=(3,2),5=(-1,2),c=(4,1).

(1)求3酉+的坐標(biāo)；

(2)求滿足條件M=加〃+〃乙的實(shí)數(shù)加，

58

【答案】(D(4,7)；(2)m=-,n=-.

99

【分析】(1)利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求+的坐標(biāo).

—m+4〃=3

(2)由已知線性關(guān)系，結(jié)合坐標(biāo)及不得到〈汽八，解方程組即可.

2m+n=2

【詳解】(1)根據(jù)題意，1=(3,2),5=(—1,2),1=(4,1),

則3N+B-5=(9,6)+(-1,2)-(4,1)=(4,7),

(2)根據(jù)題意，若蚱麻+碇，即(3,2)=鞏一1,2)+〃(4,1),

5

m=一

-m+4n=39

則有，cc，解可得〈

2m+n=28

n=—

9

58

9-9-

18.(2020?全國高一單元測試)已知平面向量a,b,a=(1,2).

(1)若，=(0,1),求卜+2q的值；

(2)若B=(2,"7),Z與￡-6共線，求實(shí)數(shù)勿的值.

【答案】(1)V17;(2)4.

【分析】(1)求出Z+2B，即可由坐標(biāo)計(jì)算出模；

(2)求出￡-人再由共線列出式子即可計(jì)算.

【詳解】⑴￡+21=(1,2)+(0,2)=(1,4),

所以|￡+%|=4+42=后；

(2)a-i=(-l,2-m),

因?yàn)閆與共線，所以1x(2—，〃)-2x(-1)=0,解得加=4.

19.(2020?威遠(yuǎn)中學(xué)校高一月考(理))設(shè)兩個非零向量￡與B不共線.

(1)若AB=a+。，BC=2a+8b，CD=3\a-by求證：A,8,0三點(diǎn)共線，

(2)試確定實(shí)數(shù)使女a(chǎn)+B和a+反向共線.

【答案】(1)見解析(2)k=-\

【分析】(1)運(yùn)用向量共線定理，證得而與麗共線，即可得證；

(2)由題意可得存在實(shí)數(shù)使%￡+石=彳(￡+%與，展開后，運(yùn)用方程思想，即可得到

所求值.

UUKI1iUUU11巴5，「F\

【詳解】(1)證明：；A8=a+b，8c=2a+8b，CD^?>\a-b\,

/.BD=BC+CD=2a+“+3（a-=2a+8石+3a-3石=5（a+=5AB.

?'?AB'而共線，

又；它們有公共點(diǎn)8，，A、B、。三點(diǎn)共線

（2）。后+5與￡+序反向共線，.?.存在實(shí)數(shù)2（2<0）,使1+加=*+肪）

ka+b=^a+Akb>

（A：-2）a=（2Zc-l）Z>

???￡,坂是不共線的兩個非零向量，

k—A=Ak—1=0,

AA:2-1=0.：.k=±\,

,：2<0,Z=-l

【點(diǎn)睛】本題考查向量共線定理的運(yùn)用，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

能力提升

一、單選題

1.（2021?全國高一課時練習(xí)）向量亦=（4,12）,屆=（4,5）,由=（10，公，若

A,B,C三點(diǎn)共線，則在的值為（）

A.-2B.11

C.-2或11D.2或11

【答案】C

【分析】求出A》,晶的坐標(biāo)即得解.

【洋俏】田泄吊3=PA=&-h-7）,BC=PC-PB=6卜—5），

由題知質(zhì)/訪，

故（4-公（*—5）—（—7）X6=0,

解得攵=11或〃=—2.

故選：C

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：。==（%2,y2\a!1b則F%一々乂=°?

2.（2021?全國高一課時練習(xí)）己知A（l,-3）、48,3）,且A、B、C三點(diǎn)共線，則點(diǎn)

。的坐標(biāo)可以是（）

A.（-9,1）B.（9,-1）

C.（9,1）D.（-9,-1）

【答案】C

【分析】本題首先可設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x,y）,然后通過題意得出通//而，再然后寫出

麗、衣，最后通過向量平行的相關(guān)性質(zhì)即可列出算式并通過計(jì)算得出結(jié)果.

【詳解】設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x,y），

因?yàn)锳、B、C三點(diǎn)共線，所以A月///，

因?yàn)锳（l,—3）,B卜,g1,所以而\|彳,AC=（x-1,^+3）,

7

則7（y+3）_Q（x_1）=0,整理得x-2y=7,

將（-9,1）、（9,-1）、（9,1）、（-9,-1）代入x-2y=7中，只有（9,1）滿足，

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查通過三點(diǎn)共線求點(diǎn)坐標(biāo)，主要考查向量平行的相關(guān)性質(zhì)，

若b=（x2,y2）,allb'則玉%一馬,二。，考查計(jì)算能力，是中檔題.

3.（2021?湖南長沙一中高一月考）在△ABC中，點(diǎn)。是線段BC（不包括端點(diǎn)）上的動

點(diǎn)，若麗=》恁+>詬，則（）

A.x>1B.y>lC.x+y>lD.xy>1

【答案】B

【分析】設(shè)陶=4比（0<4<l）,由此用前,正表示出麗，則可得羽）關(guān)于4的表

示，從而通過計(jì)算可判斷出正確的選項(xiàng).

【詳解】設(shè)麗=2沅（0<丸<1）,所以而一通=2才C-/L通，

所以（1—4）通=而一X前，所以4月=」一審一——AC,

1—A1—A.

2」一，所以x=A1_1-2+2

所以x=<0,y

匚I'）1-21-2-―1-21-2

1-2盯=——^-<0

又x+y=

1^7.(E

故選：B.

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：已知平面中A、B、C-:點(diǎn)共線（。在該直線外），若

OA^xOB+yOC,則必有x+y=l.

.X-->----

4.（2021?浙江高一期末）在AABC中,M為邊8C上的點(diǎn)，且+

5y+43x+2

滿足則———十------（）

工y

A.有最小值8+2j盲B.有最小值—

2

C.有最小值12D.有最小值16

【答案】D

x

【分析】由M,B,C三點(diǎn)共線得1+y=l,然后用基本不等式求最小值.

.Y..x

【詳解】因?yàn)镸在邊8c上，且AM=/AB+yAC,所以耳+y=1且x>0,y>0,

5y+43x+25y3x425y3x/42\（x\

———+--------=—+—+—+—=—+—+—+――+y

xy尤y八2）

=4+把+犯24+2隹x亞=16,當(dāng)且僅當(dāng)把=應(yīng)，即x=9,y=&時等號成

yx\yxyx77

立.

故選：D.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查平面向量的三點(diǎn)共線，考查用基本不等式求最值.基本不等

式求最值的三個條件：一正二定三相等，本題中原式?jīng)]有定值，因此利用“1”的代換湊配

出積為定值，這樣和才有最小值.

5.（2019?四川德陽市?什加中學(xué)）己知。為四邊形ABC。所在的平面內(nèi)的一點(diǎn)，且向

量礪，詼，OC）前滿足等式礪+覺=礪+而，若點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，則

S\EAB_<

S&BCD

1112

A.-B.—C.一D.-

4233

【答案】B

【分析】由麗+說=礪+而可得麗=而，再由平行四邊形數(shù)形結(jié)合求解即可.

【詳解】?.,向量），OB，0C，而滿足等式礪+詼=礪+而，

OA-OB^OD-OC'即麗=麗，

則四邊形A8CD為平行四邊形，???E為AC的中點(diǎn)，為對角線AC與BO的交點(diǎn),

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的線性運(yùn)算及數(shù)形結(jié)合的能力，屬于中檔題.

6.（2020?榆樹市第一高級中學(xué)校高一期末）己知A（a,0）,C（0,c）,|Aq=2,|BC|=1,

衣?沅=0,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|0回的取值范圍是（）

A.（0,72-1]B.（0,72+1]

C.^>/2—1,>/2+1JD.—1,+ooj

【答案】C

【分析】法一：將A，。視為定點(diǎn)，根據(jù)A、C分別在X軸、y軸上，得到垂直關(guān)系,

。是AC為直徑的圓上的動點(diǎn)，AC的中點(diǎn)為圓心M,根據(jù)圓心M和B0的位置關(guān)系即可

得取值范圍.

法二：設(shè)8的坐標(biāo)，根據(jù)|AC|=2,忸q=l得到〃+。2=4,f+U—c）2=l,整理式子

至（x-a）2+y2=5=>》2+,2=]+以+中利用均值不等式得出=舊+/=",

則M-1]<2d即可算出距離的取值范圍.

【詳解】解：法一：將A,C視為定點(diǎn)，OALOC,。視為以AC為直徑的圓上的動點(diǎn)，AC

的中點(diǎn)為當(dāng)30過圓心M，且。在3,M之間時，|。叫取得最小值及一1，。在BM

的延長線上時，|?？扇〉米畲笾礦2+1.

故選:C

法二：設(shè)8（x,y）,則〃+c2=41X2+（j-c）2=1,

（工一。）一+9=5=>x2+y2=1+奴+勺，B|Jax-vcy=x2+y2-1,

|ox+cy|wJ（42+c2）（x2+y2）=2jf+y2,取等號條件:ay=cx,令

|08|=R=d,則修一心2“0｛屋_2hIV。或o%+2d-]N?！獾?/p>

V2-l<t/<V2+l.

故選:C

【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算和圓的基本性質(zhì)，綜合性強(qiáng),屬于中檔題.

二、填空題

7.（2021?全國高一課時練習(xí)）AABC是正三角形，給出下列等式：

①向+網(wǎng)=回+叫

②“+西=|麗+罔；

@|AB+AC|=|C4+CB|;

@|AB+5C+^4C|=|CB+BA+C4|.

其中正確的有.（寫出所有正確等式的序號）

【答案】①③④

【分析】作出圖形，結(jié)合平面向量加法法則可判斷①②③④的正誤.

【詳解】對于①，I而+前1=1恁I覺+國1=1麗T恁1=1麗I,①正確；

對于②，|恁+而卜|而卜如下圖所示，以84、為鄰邊作平行四邊形ABC。，

D

由平面向量加法的平行四邊形法則可得麗+就=而，顯然|福卜忸萬|,②錯誤；

對于③，以AB、AC為鄰邊作平行四邊形ABEC，則通+前=荏，

以C4、CB為鄰邊作平行四邊形ACB尸，則無+麗=麗.

由圖可知，|荏卜|仁耳，Up|AB+AC|=|CA+Ce|,③正確；

對于④，|通+豆心+而卜2|罔，|麗+麗+漢卜2|詞，因?yàn)閨前卜|刀卜④正

確.

故答案為：①③④.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解本題的關(guān)鍵就是化簡平面向量的運(yùn)算結(jié)果，并作出圖形，結(jié)合

圖形的幾何特征進(jìn)行判斷.

UUUlUUUS1

8.(2021?全國高一課時練習(xí))已知。4=化2),OB=(l,2k),OC=(1—女1),且

相異三點(diǎn)A、B、C共線，則實(shí)數(shù)左=.

【答案】---

4

【分析】本題首先可根據(jù)向量的運(yùn)算法則得出血、AC，然后通過題意得出

AB//AC.最后通過向量平行的相關(guān)性質(zhì)即可得出結(jié)果.

ULUUU1UU______________

【詳解】AB=OB-OA=(l-k,2k-2),AC^OC-04=(1-2^,-3),

因?yàn)橄喈惾c(diǎn)A、B、C共線，所以通//恁，

則-3?（1左）-（2左-2）（1-2左）=0,解得&=—；或攵=1，

當(dāng)左=1時，OA-OB>A、3巾:合，舍去，故答案為：.

4

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查通過三點(diǎn)共線求參數(shù)，主要考查向量平行的相關(guān)性質(zhì)，若

a=（X],），J,匕=（占，%），2//B,則無跖一工2%=。,求出/:的值后要注意檢驗(yàn)，考查計(jì)

算能力，是中檔題.

9.（2021?內(nèi)蒙古包頭市?高一期末）在矩形A8CD中，已知E、F分別是BC、CD

上的點(diǎn)，且滿足麗=2或，麗=3赤.若/=%醺+M^則4+〃

的值為一.

13

【答案】歷

【分析】本題首先可根據(jù)題意得出與后=2而、DF=-AB,然后將

34

AC=AAE+/JAF轉(zhuǎn)化為（九+）AB+（1%+〃）AD,再然后根據(jù)AC=AB+AD

列出算式，最后通過計(jì)算即可得出結(jié)果.

因?yàn)槠?2前，汴=3萬，

—9—2―-1—?1一

所以BE=-BC=—AD,DF=-DC=-AB,

3344

則荏=通+詼=血+三赤，AF=AD+DF=AD+-AB,

34

故而=/1荏+而+g而］+〃；正+；通）

因?yàn)轫?礪+而，

AH---〃二1

4921313

所以《今,解得a=二，〃=_,4+〃=一,故答案為:

字2.+〃=?11051010

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查向量的相關(guān)運(yùn)算，主要考查向量的三角形法則以及平行四

邊形法則的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.

10.(2020?全國高一)已知向量。=(1,3),B=(2,-g),若。〃(。-2分)，則單位向量

3434

【答案】(-1,《)或(g,-g)

【分析】先求得Z-2B=(-3,4),由2/(￡-2&，設(shè)"=(一3尢4㈤，結(jié)合向量之為單位向

量，求得4的值，即可求解.

【詳解】由題意，向量￡=(1,3),B=(2,—g),可得￡一2萬=(一3,4),

因?yàn)?/(￡-2歷,^c=(-32,42),

又由向量"為單位向量，可得,(一371)2+(4/1)2=刊解得4=±g,

所以"=(一|,令或C=(|,一1).

(34A(34

故答案為：或-

\DDJ\J。

【點(diǎn)睛】利用兩個向量共線的條件求向量的坐標(biāo)，一般地，在求一個已知向量Z共線的向

量時，可設(shè)所求向量為幾及九GR),然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于之的方程，求出義的值后

代入之￡即可求得所求向量.

11.(2020?江西高一期末(文))。為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知向量a=(1,5),礪=(4,2),

友=(6,8),羽了為非負(fù)實(shí)數(shù)且0<x+y<l,CD=xCA+yCB,則|加|的最小值為

【答案】3&

【分析】根據(jù)題意得D表示的區(qū)域?yàn)锳ABC及內(nèi)部的點(diǎn)，進(jìn)而得當(dāng)時.，|歷|

取得最小值，再計(jì)算即可得答案.

【詳解】04=（1,5）,=（4,2）,反=（6,8）,

又蒼丁為非負(fù)實(shí)數(shù)且0?x+y<l，CD^xCA+yCB,

所以。表示的區(qū)域?yàn)锳ABC及內(nèi)部的點(diǎn)，

當(dāng)時，|歷|取得最小值，

因?yàn)锳3所在的直線方程為y-5=W（x—l）=—（x—1）,即x+y-6=0,

則|西取得最小值為63亞

7T

故答案為：3>/2.

【點(diǎn)睛】本題考查向量的模的求解與線性規(guī)劃，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意明確。表示的區(qū)

域，是中檔題.

12.（2019?四川遂寧市?高一期末（理））在平面內(nèi)，定點(diǎn)A5,C滿足

|DA|=|DB|=|DC|,次?麗=麗.瓦=反.況=—2,動點(diǎn)滿足

府|=1,同7=碇則|而葉的最大值為

【答案】；49

4

【分析】由3=|詞=］明，可得。為AABC的外心，又

萬5?詼=萬點(diǎn)?比=比?麗可得。為AABC的垂心，則。為A43C的中心，即

AABC為正三角形.運(yùn)用向量的數(shù)量積定義可得AABC的邊長，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD

所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系X。），，求得民C的坐標(biāo)，再設(shè)

P（cose,sin。），（04。<2%），山中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得M的坐標(biāo)，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式可

得的長，運(yùn)用三角函數(shù)的恒等變換公式，結(jié)合正弦函數(shù)的值域，即可得到最大值.

【詳解】解：由畫=|/=|可，可得。為AABC的外心，

乂加礪=限玩=阮?麗

可得。區(qū)（。印一。3）=0,。己（1）百一方）=0,即麗.衣=皮.麗=o，

即有DBLAC,DC1AB,可得。為AABC的垂心，

則。為AA6C的中心，即AABC為正三角形，

由甌麗=-2,BPW|DA|-|DB|cosl20°=-2.

解得|而|=2,AABC的邊長為4cos30°=2ji，

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AO所在直線為8軸建立直角坐標(biāo)系X。），，

可得B（3,—JJ）,C（3,JJ）,D（2,0）,

由|而1=1,可設(shè)尸（cos6,sin。），（046<2〃），

由兩=砒，可得M為PC中點(diǎn)，即有M（3+；s8,G彳in6>）,

貝力麗2=（3_歿可+產(chǎn)"+可

（3-cos。）2（3>/3+sin0）237-6cos0+6>/3sin0

------------1--------------=----------------------

444

37+12sin^-1J

4

當(dāng)sin（e—5]=l,即。=女時，取得最大值，且為二

I6；34

故答案為：號.

4

【點(diǎn)睛】本題考查向量的定義和性質(zhì)，以及模的最值的求法，注意運(yùn)用坐標(biāo)法，轉(zhuǎn)化為三

角函數(shù)的最值的求法，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題.

三、解答題

13.(2020?全國高一單元測試)設(shè)直線/：〃a+y+2=O與線段46有公共點(diǎn)只其中

A(-2,3),8(3,2),試用向量的方法求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

【答案】(―℃,—不|戊5，+°°).

【分析】先討論點(diǎn)P與AB分別重合的情況，即將AB的坐標(biāo)代入直線方程求解?。辉?/p>

討論戶與A5不重合的情況，利用共線向量的關(guān)系列式，而=九而，將點(diǎn)p(x,y)的坐

標(biāo)用A進(jìn)行表示，再代入直線方程求解.

【詳解】(1)尸與力重合時，rnx(-2)+3+2=0,所以zn=—；.0與8重合時，

2

4

3m+2+2=0,所以m=--.

3

(2)戶與46不重合時，設(shè)而=4而，則；1>0；

設(shè)尸(x,y),則而=(x+2,y-3),PB=(3-x,2-y).

32-2

x=-----

x+2=A(3-x)A+l

所以《y—3=X(2—y)所以‘

22+3

y=-----

-A+l

把尤,y代入初x+y+2=0可解得丸=——,又因?yàn)榫?gt;0,所以——>0.

3/77+43m+4

45

所以加〈——或AK>—.

32

由(1)(2)知，所求實(shí)數(shù)加的取值范圍是(-8,-,+00).

45

故答案為：—]U[—>+°°)-

【點(diǎn)睛】直線與線段有交點(diǎn)的問題通常有兩種求解方法:

(1)通過找出直線的定點(diǎn)坐標(biāo)，將直線與線段有交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)與線段兩個端點(diǎn)的連線的

斜率問題求解，需要注意斜率的變化趨勢；

(2)利用向量的方法求解，需要先求解交點(diǎn)與線段端點(diǎn)重合的情況，再根據(jù)共線向量的關(guān)

系列式求解交點(diǎn)坐標(biāo).

14.(2021?浙江高一期末)已知向量次=(3,-4),0月=(6,—3),OC=(5-x,3).

(1)若點(diǎn)A,B,。三點(diǎn)共線，求x的值；

(2)若AA5c為直角三角形，且D3為直角，求》的值.

【答案】(1)X=-19；(2)x=l.

【分析】(1)由點(diǎn)A，B,C三點(diǎn)共線可得而和宓共線，解關(guān)于”的方程可得答案;

(2)由AAHC為直角三角形可得通而，即通.而=0，解關(guān)于大的方程可得答

案.

【詳解】(1)V04=(3,-4),OB=(6,-3),OC=(5-x,3),

...，.■，，._，-

43=08—04=(3,1)，BC=0C-0B=(-\-x,6)

???點(diǎn)A,B,C三點(diǎn)共線，...AB和BC共線，

.-.3x6=-l-x,解得x=-19；

(2)?.?“15。為直角三角形，且為直角，

■'AB1BC'ABBC=3(-\-x)+6=Q,

解得尤=1.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用向量的位置關(guān)系求參數(shù)是出題的熱點(diǎn)，主要命題方式有兩個：

(1)兩向量平行，利用玉內(nèi)一期乂=0解答；(2)兩向量垂直，利用玉電+弘必=0解

答.

15.(2020?全國高一)已知向量值=(1,2),5=(-2,1),攵力為正實(shí)數(shù)，

X=M+(廠+1)匕，y=—UH—b.

kt

(1)若無，y,求a的最大值；

(2)是否存在攵“吏得工//歹？若存在，求出衣的取值范圍，若不存在，請說明理由.

【答案】(1)!；(2)不存在.理由見解析.

2

k=---二

【分析】（1）由工，女化簡得*+1-1，再利用基本不等式求解.

tH—

（2）根據(jù)1//歹，化簡得：L^1+L=Q,即/+.+左=0,再根據(jù)攵力為正實(shí)數(shù)判斷.

【詳解】（1）因?yàn)橄蛄縂=（l,2）,B=（-2,l）,rt為正實(shí)數(shù),

所以亍=M+(尸+1歷=(_2/_1,『+3),

因?yàn)楣Ly,

當(dāng)且僅當(dāng)即取等號,

所以"的最大值9

（2）因?yàn)?//],

所以（-2~代+{|=（產(chǎn)+3）卜泊）

產(chǎn)+]1

化簡得：^-^+-=0.即/+/+k=0，

kt

因?yàn)锳、f為正實(shí)數(shù),

所以不存在攵3使得

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：向量￡石共線是指存在不全為零的實(shí)數(shù)九，九，使3%+小石=6

成立；若，￡+兒京=6當(dāng)且僅當(dāng)九=九）=0時成立，則向量不共線.

2