2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時作業(yè)梯級練四十六空間直角坐標(biāo)系空間向量及其運(yùn)算課時作業(yè)理含解析新人教A版

PAGE課時作業(yè)梯級練四十六空間直角坐標(biāo)系、空間向量及其運(yùn)算一、選擇題(每小題5分,共25分)1.已知空間隨意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A,B,C,若=x+y+z(x,y,z∈R),則“x=2,y=-3,z=2”是“P,A,B,C四點(diǎn)共面”的 ()A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解析】選B.當(dāng)x=2,y=-3,z=2時,即=2-3+2.則-=2-3(-)+2(-),即=-3+2,依據(jù)共面對量定理知,P,A,B,C四點(diǎn)共面;反之,當(dāng)P,A,B,C四點(diǎn)共面時,依據(jù)共面對量定理,設(shè)=m+n(m,n∈R),即-=m(-)+n(-),即=(1-m-n)+m+n,即x=1-m-n,y=m,z=n,這組數(shù)明顯不止2,-3,2.故“x=2,y=-3,z=2”是“P,A,B,C四點(diǎn)共面”2.已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點(diǎn),假如=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1).下列結(jié)論錯誤的是 ()A.AP⊥ABB.AP⊥ADC.是平面ABCD的一個法向量D.∥【解析】選D.對于A,·=2×(-1)+(-1)×2+(-4)×(-1)=0,所以⊥,即AP⊥AB,A正確,不符合題意;對于B,·=(-1)×4+2×2+(-1)×0=0,所以⊥,即AP⊥AD,B正確,不符合題意;對于C,由⊥,且⊥,得出是平面ABCD的一個法向量,C正確,不符合題意;對于D,由是平面ABCD的法向量,得出⊥,則D錯誤,符合題意.【加練備選·拔高】結(jié)晶體的基本單位稱為晶胞,如圖是食鹽晶胞的示意圖(可看成是八個棱長為QUOTE的小正方體積累成的正方體),其中白點(diǎn)代表鈉原子,黑點(diǎn)代表氯原子.建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz后,圖中最上層中心的鈉原子所在位置的坐標(biāo)是 ()A.QUOTE,QUOTE,1 B.(0,0,1)C.1,QUOTE,1 D.1,QUOTE,QUOTE【解析】選A.設(shè)圖中最上層中間的鈉原子所在位置為B點(diǎn),以O(shè),B為相對頂點(diǎn),作出長方體ABCD-EFGO,如圖所示.因為平面BFGC經(jīng)過點(diǎn)B與x軸垂直,所以點(diǎn)B在x軸上的射影為G點(diǎn),結(jié)合GQUOTE,0,0得B的橫坐標(biāo)為QUOTE;同理可得,點(diǎn)B在y軸上的射影為E點(diǎn),結(jié)合E0,QUOTE,0得B的縱坐標(biāo)為QUOTE;點(diǎn)B在z軸上的射影為D點(diǎn),結(jié)合D(0,0,1)得B的豎坐標(biāo)為1.由此可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為QUOTE,QUOTE,1.3.如圖,在△ABC中,點(diǎn)D,E是線段BC上兩個動點(diǎn),且+=x+y,則QUOTE+QUOTE的最小值為 ()A.QUOTE B.2 C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.設(shè)=m+n,=λ+μ,其中m,n,λ,μ為實(shí)數(shù).因為B,D,E,C共線,所以m+n=1,λ+μ=1.因為+=x+y=(m+λ)+(n+μ),則x+y=m+n+λ+μ=2,易知x>0,y>0,所以QUOTE+QUOTE=QUOTEQUOTE+QUOTE(x+y)=QUOTE5+QUOTE+QUOTE≥QUOTE5+2QUOTE=QUOTE.當(dāng)且僅當(dāng)x=QUOTE,y=QUOTE時,等號成立.4.已知空間向量a,b滿意|a|=|b|=1,且a,b的夾角為QUOTE,O為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),點(diǎn)A,B滿意=2a+b,=3a-b,則△OAB的面積為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.||=QUOTE=QUOTE=QUOTE,同理||=QUOTE,則cos∠AOB==QUOTE=QUOTE,從而有sin∠AOB=QUOTE,所以△OAB的面積S=QUOTE×QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.5.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=3,點(diǎn)M是BC的中點(diǎn),點(diǎn)P∈AC1,Q∈MD,則PQ長度的最小值為A.1 B.QUOTE C.QUOTE D.2【解析】選C.依據(jù)題意建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)P(x0,2x0,3-3x0),Q(x1,2-x1,3),x0∈[0,1],x1∈[0,1],所以PQ=QUOTE=QUOTE,當(dāng)且僅當(dāng)x0=QUOTE,x1=QUOTE時,PQ取得最小值,即PQmin=QUOTE=QUOTE.二、填空題(每小題5分,共15分)6.已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c,則c=.

【解析】因為a∥b,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE,解得x=2,y=-4,此時a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1),又因為b⊥c,所以b·c=0,即-6+8-z=0,解得z=2,于是c=(3,-2,2).答案:(3,-2,2)7.在空間直角坐標(biāo)系中,已知A(1,2,3),B(-2,-1,6),C(3,2,1),D(4,3,0),則直線AB與CD的位置關(guān)系是.

【解析】由題意得,=(-3,-3,3),=(1,1,-1),所以=-3,所以與共線,又AB與CD沒有公共點(diǎn),所以AB∥CD.答案:平行8.如圖所示,已知二面角α-l-β的平面角為θθ∈0,QUOTE,AB⊥BC,BC⊥CD,AB在平面β內(nèi),BC在l上,CD在平面α內(nèi),若AB=BC=CD=1,則AD的長為.

【解析】=++,所以=+++2·+2·+2·=1+1+1+2cos(π-θ)=3-2cosθ,所以||=QUOTE,即AD的長為QUOTE.答案:QUOTE1.(5分)已知球O的半徑為1,A,B是球面上的兩點(diǎn),且AB=QUOTE,若點(diǎn)P是球面上隨意一點(diǎn),則·的取值范圍是 ()A.-QUOTE,QUOTE B.-QUOTE,QUOTEC.0,QUOTE D.0,QUOTE【解析】選B.由球O的半徑為1,A,B是球面上的兩點(diǎn),且AB=QUOTE,可得∠AOB=QUOTE,·=1×1×-QUOTE=-QUOTE,|+|=1,·=(-)·(-)=·-(+)·+=QUOTE-|+|·||cosθ=QUOTE-cosθ∈-QUOTE,QUOTE(其中θ指+與的夾角).2.(5分)已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分別是CD,PC的中點(diǎn),并且PA=AD=1.在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中,MN=.

【解析】連接PD(圖略),因為M,N分別為CD,PC的中點(diǎn),所以MN=QUOTEPD,又P(0,0,1),D(0,1,0),所以PD=QUOTE=QUOTE,所以MN=QUOTE.答案:QUOTE3.(5分)已知O點(diǎn)為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),向量=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),且點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動,當(dāng)·取得最小值時,的坐標(biāo)是.

【解析】因為點(diǎn)Q在直線OP上,所以設(shè)點(diǎn)Q(λ,λ,2λ),則=(1-λ,2-λ,3-2λ),=(2-λ,1-λ,2-2λ),·=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)·(2-2λ)=6λ2-16λ+10=6λ-QUOTE2-QUOTE.即當(dāng)λ=QUOTE時,·取得最小值-QUOTE.此時=QUOTE,QUOTE,QUOTE.答案:QUOTE,QUOTE,QUOTE4.(10分)如圖,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中∠BAC=90°,∠BAA1=120°,∠CAA1=60°,AB=AC=1,AA1=2,點(diǎn)O是B1C與BC1(1)用向量,,表示向量;(2)求異面直線AO與BC所成角的余弦值;(3)判定平面ABC與平面B1BCC1的位置關(guān)系.【解析】(1)=+=+QUOTE(+)=+QUOTE(-+)=QUOTE(++).(2)設(shè)=a,=b,=c,則||2=QUOTE(a+b+c)2=QUOTE(a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c)=QUOTE×(1+1+4+0+2×1×2cos60°+2×1×2cos120°)=QUOTE,所以||=QUOTE.又=b-a,所以·=QUOTE(a+b+c)·(b-a)=1,||=QUOTE,所以cos<,>==QUOTE,所以