2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)含解析新人教A版必修4

PAGE平面對(duì)量數(shù)量積的物理背景及其含義(20分鐘35分)1.對(duì)于向量a,b,c和實(shí)數(shù)λ,下列命題中為真命題的是 ()A.若a·b=0,則a=0或b=0B.若λa=0,則λ=0或a=0C.若a2=b2,則a=b或a=-bD.若a·b=a·c,則b=c【解析】選B.A錯(cuò),當(dāng)a與b的夾角為QUOTE時(shí),a·b=0;C錯(cuò),a2=b2即|a|=|b|;D錯(cuò),數(shù)量積不能約分;只有B對(duì).2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,則·= ()A.-16B.-8C.8D.16【解析】選D.設(shè)∠CAB=θ,所以AB=QUOTE.·=||||cosθ=QUOTE×4cosθ=16.【補(bǔ)償訓(xùn)練】在△ABC中,M是BC的中點(diǎn),AM=1,點(diǎn)P在AM上且滿意=2,則·(+)等于 ()A.-QUOTEB.-QUOTEC.QUOTED.QUOTE【解析】選A.由題意,結(jié)合圖形有·(+)=·2=·=-=-QUOTE=-QUOTE.3.若非零向量a,b滿意|a|=|b|,QUOTE·b=0,則a與b的夾角為 ()A.30° B.60° C.120° D.150°【解析】選C.因?yàn)镼UOTE·b=a·b+QUOTEb·b=0,所以a·b=-QUOTE|b|2.設(shè)a與b的夾角為θ,則cosθ=QUOTE=QUOTE=-QUOTE,故θ=120°.4.已知|a|=|b|=1,a與b的夾角是90°,c=2a+3b,d=ka-4b,c與d垂直,則k的值為 ()A.-6 B.6 C.3 D.-3【解析】選B.因?yàn)閏⊥d,所以c·d=0,所以(2a+3b)·(ka-4b)=0,所以2ka2-8a·b+3ka·b-12b2=0,所以2k=12,所以k=6.5.(2024·平頂山高一檢測(cè))已知|a|=4,|b|=6,且a·b=12,則向量a在向量b的方向上的投影為.

【解析】設(shè)a與b的夾角為θ,因?yàn)閍·b=|a||b|cosθ=12,又|b|=6,所以|a|cosθ=2,即a在b方向上的投影為2.答案:26.已知非零向量a,b滿意|a|=1,(a-b)·(a+b)=QUOTE,且a·b=QUOTE.(1)求向量a,b的夾角θ.(2)求|a-b|.【解析】(1)因?yàn)?a-b)·(a+b)=QUOTE,所以a2-b2=QUOTE,即|a|2-|b|2=QUOTE.又|a|=1,所以|b|=QUOTE.因?yàn)閍·b=QUOTE,所以|a|·|b|cosθ=QUOTE,所以cosθ=QUOTE,所以向量a,b的夾角θ為45°.(2)因?yàn)閨a-b|2=(a-b)2=|a|2-2|a||b|cosθ+|b|2=QUOTE,所以|a-b|=QUOTE.(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.點(diǎn)O是△ABC所在平面上的一點(diǎn),且滿意·=·=·,則點(diǎn)O是△ABC的 ()A.重心 B.垂心 C.內(nèi)心 D.外心【解析】選B.因?yàn)椤?·,所以·(-)=0,即·=0,所以⊥,同理⊥,⊥,所以O(shè)是△ABC的垂心.2.如圖,e1,e2為相互垂直的兩個(gè)單位向量,則|a+b|= ()A.20 B.QUOTE C.2QUOTE D.QUOTE【解析】選C.由題意,知a=-QUOTEe1-QUOTEe2,b=-QUOTEe1-QUOTEe2,所以a+b=-2e1-4e2,所以|a+b|=QUOTE=QUOTE=QUOTE=2QUOTE.3.(2024·濰坊高一檢測(cè))在△ABC中,∠BAC=60°,AB=3,AC=2,若D為BC的中點(diǎn),E為AD的中點(diǎn),則·= ()A.-QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】選A.依據(jù)題意,=QUOTE(+)=-QUOTE+QUOTE=-QUOTE+QUOTE(-)=-QUOTE+QUOTE,所以·=·=-QUOTE·+QUOTE=-QUOTE×3×2×QUOTE+QUOTE×4=-QUOTE.4.在△ABC中,∠C=90°,||=6,點(diǎn)P滿意|CP|=2,則·的最大值為 ()A.9 B.16 C.18 D.25【解析】選B.取AB的中點(diǎn)D,連接CD,因?yàn)椤螩=90°,AB=6,所以|CD|=QUOTE|AB|=3.設(shè)與的夾角為α,則·=(+)·(+)=+·(+)+·=+·(+)=22+·2=4+2·=4+2||·||cosα=4+2×2×3cosα=4+12cosα,所以當(dāng)α=0°時(shí),·的最大值為16.【補(bǔ)償訓(xùn)練】在△ABC中,已知·=QUOTE,||=3,||=3,M,N分別是BC邊上的三等分點(diǎn)(M靠近B,N靠近C),則·的值是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.6 D.7【解析】選B.方法一:因?yàn)椤?QUOTE,||=3,||=3,所以·=||||cos∠BAC=3×3cos∠BAC=QUOTE,所以cos∠BAC=QUOTE.因?yàn)椤螧AC∈(0,π),所以∠BAC=QUOTE,所以△ABC是等邊三角形,即||=3.因?yàn)镸,N分別是BC邊上的三等分點(diǎn),所以=+=+QUOTE,=+=+QUOTE=-QUOTE,所以·=·=·-QUOTE·+QUOTE·-QUOTE||2,因?yàn)椤?QUOTE,·=3×3×cos120°=-QUOTE,·=3×3cos60°=QUOTE,所以·=QUOTE-QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE-1=QUOTE.方法二:=+QUOTE=+QUOTE=QUOTE+QUOTE,=+QUOTE=+QUOTE(-)=QUOTE+QUOTE,·=QUOTE+QUOTE+QUOTE·=QUOTE(32+32)+QUOTE×QUOTE=4+QUOTE=QUOTE.5.隨意四邊形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)O滿意+++=0,則O點(diǎn)的位置是 ()A.對(duì)角線的交點(diǎn) B.對(duì)邊中點(diǎn)連線的交點(diǎn)C.BD的中點(diǎn) D.AC的中點(diǎn)【解析】選B.如圖,分別取四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)E,F,G,H.所以+=2,+=2;因?yàn)?++=0,所以2+2=0?=-,即O是EG的中點(diǎn),同理O是FH的中點(diǎn),所以點(diǎn)O為兩組對(duì)邊中點(diǎn)連線的交點(diǎn).二、填空題(每小題5分,共15分)6.已知圓O是△ABC的外接圓,M是BC的中點(diǎn),AB=4,AC=2,則·=.

【解析】因?yàn)镸是BC的中點(diǎn),所以=QUOTE,又O是△ABC的外接圓圓心,所以·=||||cos∠BAO=QUOTE||2=8,同理,所以·=QUOTE||2=2,所以·=QUOTE·=QUOTE·+QUOTE·=4+1=5.答案:57.(2024·鞍山高一檢測(cè))已知平面對(duì)量α,β,|α|=1,|β|=2,α⊥(α-2β),則|2α+β|的值是.

【解析】|α|=1,|β|=2,由α⊥(α-2β),知α·(α-2β)=0,2α·β=1,所以|2α+β|2=4α2+4α·β+β2=4+2+4=10,故|2α+β|=QUOTE.答案:QUOTE8.已知|a|=3,|b|=4,且(a-2b)·(2a+b)≥4,則a與b的夾角θ的取值范圍是.

【解析】(a-2b)·(2a+b)=2a2+a·b-4a·b-2b2=2×9-3|a||b|cosθ-2×16=-14-3×3×4cosθ≥4,所以cosθ≤-QUOTE,又θ∈[0,π],所以θ∈QUOTE.答案:QUOTE三、解答題(每小題10分,共20分)9.設(shè)兩個(gè)向量e1,e2滿意|e1|=2,|e2|=1,e1,e2的夾角為60°,若向量2te1+7e2與e1+te2的夾角為鈍角,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.【解析】當(dāng)夾角為π時(shí),也有(2te1+7e2)·(e1+te2)<0,但此時(shí)夾角不是鈍角.設(shè)2te1+7e2=λ(e1+te2),λ<0,則QUOTE所以QUOTE由向量2te1+7e2與e1+te2的夾角θ為鈍角,得cosθ=QUOTE<0,所以(2te1+7e2)·(e1+te2)<0,化簡(jiǎn)得2t2+15t+7<0.解得-7<t<-QUOTE.所以所求實(shí)數(shù)t的取值范圍是QUOTE∪QUOTE.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知兩個(gè)向量a,b滿意|a|=2,|b|=3,a,b的夾角為60°,若向量a+λb與λa+b的夾角為銳角,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.【解析】由題意得a·b=|a||b|cos60°=2×3×QUOTE=3,又(a+λb)·(λa+b)=λa2+(λ2+1)a·b+λb2,而向量a+λb與λa+b的夾角為銳角,所以λa2+(λ2+1)a·b+λb2>0,又|a|2=4,|b|2=9,a·b=3,所以3λ2+13λ+3>0,解得λ>QUOTE或λ<QUOTE.但是當(dāng)λ=1時(shí),向量a+λb與λa+b共線,其夾角不是銳角,故λ的取值范圍是QUOTE∪QUOTE∪(1,+∞).10.已知|a|=2|b|=2,且向量a在向量b方向上的投影為-1.(1)求a與b的夾角θ.(2)求(a-2b)·b.(3)當(dāng)λ為何值時(shí),向量λa+b與向量a-3b相互垂直?【解析】(1)因?yàn)閨a|=2|b|=2,所以|a|=2,|b|=1.又a在b方向上的投影為|a|cosθ=-1,所以cosθ=-QUOTE=-QUOTE,因?yàn)棣取蔥0,π],所以θ=QUOTE.(2)(a-2b)·b=a·b-2b2=-1-2=-3.(3)因?yàn)棣薬+b與a-3b相互垂直,所以(λa+b)·(a-3b)=λa2-3λa·b+b·a-3b2=4λ+3λ-1-3=7λ-4=0,所以λ=QUOTE.1.(2024·江蘇高考)如圖,在△ABC中,D是BC的中點(diǎn),E在邊AB上,BE=2EA,AD與CE交于點(diǎn)O.若·=6·,則QUOTE的值是.

【解析】如圖,過(guò)點(diǎn)D作DF∥CE,交AB于點(diǎn)F,由BE=2EA,D為BC的中點(diǎn),知BF=FE=EA,AO=OD.6·=3·(-)=QUOTE(+)·(-)=QUOTE(+)·=QUOTE=QUOTE=·-QUOTE+QUOTE