2024中考數(shù)學(xué)熱點題型專練相似含解析

熱點16相像【命題趨勢】相像是初中數(shù)學(xué)中比較難的一塊內(nèi)容，是中考必考內(nèi)容，也是壓軸題常考內(nèi)容，所以每年中考，不論是哪個城市的中考試卷，相像都是一個重頭戲。相像在中考數(shù)學(xué)試卷中所占比例較大，一般難度都是比較大的，綜合性較強，對學(xué)生的綜合運用學(xué)問的實力要求也更高，所以要嫻熟駕馭這部分學(xué)問及其常見題型對在中考中取得優(yōu)異的成果至關(guān)重要。它往往與圖形的三種運動變換或者與二次函數(shù)，反比例函數(shù)相結(jié)合而形成壓軸題?！緷M分技巧】整體把握有關(guān)相像的學(xué)問結(jié)構(gòu)1.相像三角形：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相像三角形。2.相像三角形的判定方法:eq\o\ac(○,1).平行于三角形一邊的直線(或兩邊的延長線)和其他兩邊相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相像；

eq\o\ac(○,2).假如一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等,那么這兩個三角形相像；

eq\o\ac(○,3.)假如兩個三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等,并且相應(yīng)的夾角相等,那么這兩個三角形相像；

eq\o\ac(○,4.)假如兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等,那么這兩個三角形相像；3.直角三角形相像判定定理:

eq\o\ac(○,1).斜邊與一條直角邊對應(yīng)成比例的兩直角三角形相像。

eq\o\ac(○,2).直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原直角三角形相像，并且分成的兩個直角三角形也相像。4.相像三角形的性質(zhì):eq\o\ac(○,1).相像三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相像比。

eq\o\ac(○,2.)相像三角形周長的比等于相像比。

eq\o\ac(○,3).相像三角形面積的比等于相像比的平方。二．把握中考?？枷嘞衲Ｐ汀鞠迺r檢測】（建議用時：30分鐘）一、選擇題1.如圖，在一斜邊長30cm的直角三角形木板（即Rt△ACB）中截取一個正方形CDEF，點D在邊BC上，點E在斜邊AB上，點F在邊AC上，若AF：AC＝1：3，則這塊木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面積為（）A．200cm2 B．170cm2 C．150cm2 D．100cm2【答案】D【解析】設(shè)AF＝x，則AC＝3x，∵四邊形CDEF為正方形，∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝＝，∴BC＝6x，在Rt△ABC中，AB＝＝3x，∴3x＝30，解得x＝2，∴AC＝6，BC＝12，∴剩余部分的面積＝×6×12﹣（4）2＝100（cm2）．故選：D．2.把邊長分別為1和2的兩個正方形按圖的方式放置.則圖中陰影部分的面積為 【答案】A【解析】如圖，∵AD//CG故選A3.如圖，在△ABC中，D在AC邊上，AD：DC＝1：2，O是BD的中點，連接AO并延長交BC于E，則BE：EC＝（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3【答案】B【解析】如圖，過O作OG∥BC，交AC于G，∵O是BD的中點，∴G是DC的中點．又AD：DC＝1：2，∴AD＝DG＝GC，∴AG：GC＝2：1，AO：OE＝2：1，∴S△AOB：S△BOE＝2，設(shè)S△BOE＝S，S△AOB＝2S，又BO＝OD，∴S△AOD＝2S，S△ABD＝4S，∵AD：DC＝1：2，∴S△BDC＝2S△ABD＝8S，S四邊形CDOE＝7S，∴S△AEC＝9S，S△ABE＝3S，∴故選：B．4.如圖，在△ABC中，點D，E分別在AB和AC上，DE∥BC，M為BC邊上一點（不與點B，C重合），連接AM交DE于點N，則（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【答案】C【解析】∵DN∥BM，∴△ADN∽△ABM，∴＝，∵NE∥MC，∴△ANE∽△AMC，∴＝，∴＝．故選：C．5.正方形ABCD的邊AB上有一動點E，以EC為邊作矩形ECFG，且邊FG過點D．在點E從點A移動到點B的過程中，矩形ECFG的面積（）A．先變大后變小 B．先變小后變大 C．始終變大 D．保持不變【答案】D【解析】∵正方形ABCD和矩形ECFG中，∠DCB＝∠FCE＝90°，∠F＝∠B＝90°，∴∠DCF＝∠ECB，∴△BCE∽△FCD，∴，∴CF?CE＝CB?CD，∴矩形ECFG與正方形ABCD的面積相等．故選：D．6.如圖1，長、寬均為3，高為8的長方體容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高為6，繞底面一棱進行旋轉(zhuǎn)傾斜后，水面恰好觸到容器口邊緣，圖2是此時的示意圖，則圖2中水面高度為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】過點C作CF⊥BG于F，如圖所示：設(shè)DE＝x，則AD＝8﹣x，依據(jù)題意得：（8﹣x+8）×3×3＝3×3×6，解得：x＝4，∴DE＝4，∵∠E＝90°，由勾股定理得：CD＝，∵∠BCE＝∠DCF＝90°，∴∠DCE＝∠BCF，∵∠DEC＝∠BFC＝90°，∴△CDE∽△BCF，∴，即，∴CF＝．故選：A．7.下列命題是真命題的是（）A．假如兩個三角形相像，相像比為4：9，那么這兩個三角形的周長比為2：3 B．假如兩個三角形相像，相像比為4：9，那么這兩個三角形的周長比為4：9 C．假如兩個三角形相像，相像比為4：9，那么這兩個三角形的面積比為2：3 D．假如兩個三角形相像，相像比為4：9，那么這兩個三角形的面積比為4：9【答案】B【解析】A、假如兩個三角形相像，相像比為4：9，那么這兩個三角形的周長比為4：9，是假命題；B、假如兩個三角形相像，相像比為4：9，那么這兩個三角形的周長比為4：9，是真命題；C、假如兩個三角形相像，相像比為4：9，那么這兩個三角形的面積比為16：81，是假命題；D、假如兩個三角形相像，相像比為4：9，那么這兩個三角形的面積比為16：81，是假命題；故選：B．8.如圖，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，則AB的長是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】∵△ABO∽△CDO，∴＝，∵BO＝6，DO＝3，CD＝2，∴＝，解得：AB＝4．故選：C．9.(2024廣西玉林市)如圖，，，與交于點，則是相像三角形共有A．3對 B．5對 C．6對 D．8對【答案】C【解析】圖中三角形有：，，，，，共有6個組合分別為：，，，，，故選：C．10.如圖，D、E分別是△ABC邊AB，AC上的點，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB＝6，AC＝4，則AE的長是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴＝，即＝，解得，AE＝3，故選：C．二、填空題11.如圖，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝3，點P是AD的中點，點E在BC上，CE＝2BE，點M、N在線段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角與∠DEC相等，則MN＝．【答案】6【解析】作PF⊥MN于F，如圖所示：則∠PFM＝∠PFN＝90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，BC＝AD＝3AB＝3，∠A＝∠C＝90°，∴AB＝CD＝，BD＝＝10，∵點P是AD的中點，∴PD＝AD＝，∵∠PDF＝∠BDA，∴△PDF∽△BDA，∴＝，即＝，解得：PF＝，∵CE＝2BE，∴BC＝AD＝3BE，∴BE＝CD，∴CE＝2CD，∵△PMN是等腰三角形且底角與∠DEC相等，PF⊥MN，∴MF＝NF，∠PNF＝∠DEC，∵∠PFN＝∠C＝90°，∴△PNF∽△DEC，∴＝＝2，∴NF＝2PF＝3，∴MN＝2NF＝6；故答案為：6．12.已知三個邊長分別為，，的正方形如圖排列，則圖中陰影部分的面積為．【答案】3.75cm2【解析】對角線所分得的三個三角形相像，依據(jù)相像的性質(zhì)可知，解得，即陰影梯形的上底就是．再依據(jù)相像的性質(zhì)可知，解得：，所以梯形的下底就是，所以陰影梯形的面積是．故答案為：．13.如圖，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝AB，點P在BC上運動（不與B、C重合），過點P作PQ⊥EP，交CD于點Q，則CQ的最大值為．【答案】4【解析】∵∠BEP+∠BPE＝90°，∠QPC+∠BPE＝90°，∴∠BEP＝∠CPQ．又∠B＝∠C＝90°，∴△BPE∽△CQP．∴．設(shè)CQ＝y(tǒng)，BP＝x，則CP＝12﹣x．∴，化簡得y＝﹣（x2﹣12x），整理得y＝﹣（x﹣6）2+4，所以當(dāng)x＝6時，y有最大值為4．故答案為4．14.如圖，把某矩形紙片ABCD沿EF，GH折疊（點E，H在AD邊上，點F，G在BC邊上），使點B和點C落在AD邊上同一點P處，A點的對稱點為A′點，D點的對稱點為D′點，若∠FPG＝90°，△A′EP的面積為4，△D′PH的面積為1，則矩形ABCD的面積等于．【答案】2（5+3）【解析】∵四邊形ABC是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，設(shè)AB＝CD＝x，由翻折可知：PA′＝AB＝x，PD′＝CD＝x，∵△A′EP的面積為4，△D′PH的面積為1，∴A′E＝4D′H，設(shè)D′H＝a，則A′E＝4a，∵△A′EP∽△D′PH，∴＝，∴＝，∴x2＝4a2，∴x＝2a或﹣2a（舍棄），∴PA′＝PD′＝2a，∵?a?2a＝1，∴a＝1，∴x＝2，∴AB＝CD＝2，PE＝＝2，PH＝＝，∴AD＝4+2++1＝5+3，∴矩形ABCD的面積＝2（5+3）．故答案為2（5+3）三、解答題：15.如圖，中，，，為內(nèi)部一點，且．（1）求證：；（2）求證：；（3）若點到三角形的邊，，的距離分別為，，，求證．【解析】（1），，又，又，（2）在中，，（3）如圖，過點作，交、于點，，，，，，，又，，，即，，，．即：．16.已知△ABC和點A'，如圖．（1）以點A'為一個頂點作△A'B'C'，使△A'B'C'∽△ABC，且△A'B'C'的面積等于△ABC面積的4倍；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）設(shè)D、E、F分別是△ABC三邊AB、BC、AC的中點，D'、E'、F'分別是你所作的△A'B'C'三邊A'B'、B'C'、C'A'的中點，求證：△DEF∽△D'E'F'．【解析】（1）作線段A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC，得△A'B'C'即可所求．證明：∵A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC，∴△ABC∽△A′B′C′，∴（2）證明：∵D、E、F分別是△ABC三邊AB、BC、AC的中點，∴DE＝，，，∴△DEF∽△ABC同理：△D'E'F'∽△A'B'C'，由（1）可知：△ABC∽△A′B′C′，∴△