全國統(tǒng)考2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)規(guī)范練44空間幾何中的向量方法理含解析北師大版

課時(shí)規(guī)范練44空間幾何中的向量方法基礎(chǔ)鞏固組1.若直線l的方向向量與平面α的一個(gè)法向量的夾角等于120°,則直線l與平面α所成的角等于()A.120° B.60°C.30° D.60°或30°2.兩平行平面α,β分別經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)A(2,1,1),且兩平面的一個(gè)法向量n=(-1,0,1),則兩平面間的距離是()A.32 B.22 C.3 D.3.已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形,PA=PD=5,平面ABCD⊥平面PAD,M是PC的中點(diǎn),O是AD的中點(diǎn),則直線BM與平面PCO所成角的正弦值是()A.55 B.C.8585 D.4.如圖所示,已知四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是菱形,且PA⊥平面ABCD,PA=AD=AC,點(diǎn)F為PC的中點(diǎn),則二面角C-BF-D的正切值為()A.36 B.C.33 D.5.若直線l的方向向量a=(-2,3,1),平面α的一個(gè)法向量n=(4,0,1),則直線l與平面α所成角的正弦值為.

6.(2024黑龍江伊春三中模擬)如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的全部棱長都相等,E,F,G分別為AB,AA1,A1C1的中點(diǎn),則B1F與平面GEF所成角的正弦值為.

7.在四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,底面ABCD為直角梯形,BC∥AD,∠ADC=90°,BC=CD=12AD=1,PA=PD,E,F分別為AD,PC的中點(diǎn)(1)略;(2)若PE=EC,求二面角F-BE-A的余弦值.8.(2024浙江余姚中學(xué)模擬)如圖所示,菱形ABCD中,∠ABC=60°,AC與BD相交于點(diǎn)O,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AB=AE=2.(1)求證:BD⊥平面ACFE;(2)當(dāng)直線FO與平面BED所成的角為45°時(shí),求異面直線OF與BE所成角的余弦值的大小.綜合提升組9.已知在正四面體A-BCD中,E為棱AD的中點(diǎn),則CE與平面BCD的夾角的正弦值為()A.32 B.23 C.1210.(2024湖北十堰調(diào)研)如圖,在三棱錐P-ABC中,M為AC的中點(diǎn),PA⊥PC,AB⊥BC,AB=BC,PB=2,AC=2,∠PAC=30°.(1)證明:BM⊥平面PAC;(2)求二面角B-PA-C的余弦值.11.已知空間幾何體ABCDE中,△BCD與△CDE均為邊長為2的等邊三角形,△ABC為腰長為13的等腰三角形,平面CDE⊥平面BCD,平面ABC⊥平面BCD.(1)略;(2)求直線BE與平面AEC所成角的正弦值.12.(2024江蘇,22)在三棱錐A-BCD中,已知CB=CD=5,BD=2,O為BD的中點(diǎn),AO⊥平面BCD,AO=2,E為AC的中點(diǎn).(1)求直線AB與DE所成角的余弦值;(2)若點(diǎn)F在BC上,滿意BF=14BC,設(shè)二面角F-DE-C的大小為θ,求sinθ的值創(chuàng)新應(yīng)用組13.(2024河南重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,平面PAD⊥平面ABCD,△PAD是邊長為4的等邊三角形,BC⊥PB,E是AD的中點(diǎn).(1)求證:BE⊥PD;(2)若直線AB與平面PAD所成角的正弦值為154,求平面PAD與平面PBC所成的銳二面角的余弦值參考答案課時(shí)規(guī)范練44空間幾何中的向量方法1.B設(shè)直線l與平面α所成的角為β,直線l與平面α的法向量的夾角為γ.則sinβ=|cosγ|=|cos120°|=1又因?yàn)?°≤β≤90°,所以β=30°.2.B兩平面的一個(gè)單位法向量n0=-22,0,22,故兩平面間的距離3.D以O(shè)為原點(diǎn),分別以O(shè)A,AB,OP為x軸,y軸,z軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.由題可知O(0,0,0),P(0,0,2),B(1,2,0),C(-1,2,0),則OP=(0,0,2),OC∵M(jìn)是PC的中點(diǎn),∴M-12,1,1,BM=-32,-1,1.設(shè)平面PCO的一個(gè)法向量n=(x,y,z),直線BM與平面PCO所成角為θ,則n·OP=2zsinθ=|cos<BM,n>|=|BM·n4.D如圖所示,設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O,連接OF.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OB,OC,OF所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.設(shè)PA=AD=AC=1,則BD=3,所以O(shè)(0,0,0),B32,0,0,F0,0,12,C0,12,0,OC=0,12,0,易知OC為平面BDF的一個(gè)法向量,由BC=-32,12,0,FB=32,0,-12,可得平面BCF的一個(gè)法向量為n=(1,3,3).所以cos<n,OC>=217,sin<n,OC>=277,所以tan<n,故二面角C-BF-D的正切值為25.23834由題意,得直線l與平面α6.35設(shè)正三棱柱的棱長為2,取AC的中點(diǎn)D,連接DG,DB,分別以DA,DB,DG所在的直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則B1(0,3,2),F(1,0,1),E12,32,0,B1F=(1,-3,-1),EF=12,-32,1,GF=(1,0,-設(shè)平面GEF的法向量為n=(x,y,z),則EF取x=1,則z=1,y=3,故n=(1,3,1)為平面GEF的一個(gè)法向量,所以|cos<n,B1F>|=|1-3-1|57.解由題意可知PE⊥平面ABCD,BE⊥AD,如圖所示,PE=EC=ED2+DC2=2,以E為原點(diǎn),EA,EB,EP所在直線分別為x則E(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),F-12,1平面ABE法向量可取n=(0,0,1),平面FBE中,EB=(0,1,0),EF=-12,1設(shè)平面FBE的一個(gè)法向量為m=(a,b,c),則m即b取c=1,得m=(2,0,1),cos<m,n>=1由圖得二面角F-BE-A的平面角為鈍角,所以二面角F-BE-A的余弦值為-38.(1)證明因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形,所以BD⊥AC.因?yàn)锳E⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,所以BD⊥AE.又因?yàn)锳C∩AE=A,所以BD⊥平面ACFE.(2)解以O(shè)為原點(diǎn),OA,OB所在直線分別為x軸,y軸,過點(diǎn)O且平行于CF的直線為z軸(向上為正方向),建立空間直角坐標(biāo)系,則B(0,3,0),D(0,-3,0),E(1,0,2),F(-1,0,a)(a>0),OF=(-1,0,a).設(shè)平面EBD的法向量為n=(x,y,z),則有n令z=1,則n=(-2,0,1),由題意得sin45°=|cos<OF,n>|=|OF·n||OF||n|=|所以O(shè)F=(-1,0,3),BE=(1,-3,2),cos<OF,BE>=-1+610×8=9.B作AO⊥平面BCD于點(diǎn)O,則O是△BCD的中心,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),直線OD為y軸,直線OA為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.設(shè)AB=2,則O(0,0,0),A0,0,263,C1,-33,0,E0,33,63∴OA=0,0,263,CE=-1,233∴cos<OA,CE>=OA·CE|10.(1)證明因?yàn)镻A⊥PC,AB⊥BC,所以MP=MB=12AC=又MP2+MB2=BP2,所以MP⊥MB.因?yàn)锳B=BC,M為AC的中點(diǎn),所以BM⊥AC,又AC∩MP=M,所以BM⊥平面PAC.(2)解取MC的中點(diǎn)O,連接PO,取BC的中點(diǎn)E,連接EO,則OE∥BM,從而OE⊥AC.因?yàn)镻A⊥PC,∠PAC=30°,所以MP=MC=PC=1.又O為MC的中點(diǎn),所以PO⊥AC.由(1)知BM⊥平面PAC,OP?平面PAC,所以BM⊥PO.又BM∩AC=M,所以PO⊥平面ABC.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OA,OE,OP所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,由題意知A32,0,0,B12,1,0,P0,0,32,BP=-12,-1,32,BA=(1,-1,0),設(shè)平面APB的法向量為n=(x,y,z),則n令x=1,得n=(1,1,3)為平面APB的一個(gè)法向量,易得平面PAC的一個(gè)法向量為m=(0,1,0),cos<n,m>=55由圖知二面角B-PA-C為銳角,所以二面角B-PA-C的余弦值為511.解(2)以CD中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),OD所在直線為x軸,OB所在直線為y軸,OE所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.C(-1,0,0),E(0,0,3),B(0,3,0),A-12,32,23,BE=(0,-設(shè)n=(x,y,z)⊥平面AEC,則n令z=1,得n=(-3,-3,1).設(shè)直線BE與平面AEC所成角為α,則sinα=|cos<n,BE>|=43612.解(1)連接OC,因?yàn)镃B=CD,O為BD中點(diǎn),所以CO⊥BD.又AO⊥平面BCD,所以AO⊥OB,AO⊥OC.以{OB,OC,OA}因?yàn)锽D=2,CB=CD=5,AO=2,所以B(1,0,0),D(-1,0,0),C(0,2,0),A(0,0,2).因?yàn)镋為AC的中點(diǎn),所以E(0,1,1).則AB=(1,0,-2),DE=(1,1,1),所以|cos<AB,DE>|=|AB·DE||AB(2)因?yàn)辄c(diǎn)F在BC上,BF=14BC,BC=(-1,2,0)所以BF又DB=(2,0,0),故DF設(shè)n1=(x1,y1,z1)為平面DEF的一個(gè)法向量,則DE取x1=2,得y1=-7,z1=5,所以n1=(2,-7,5).設(shè)n2=(x2,y2,z2)為平面DEC的一個(gè)法向量,又DC=(1,2,0),則DE取x2=2,得y2=-1,z2=-1,所以n2=(2,-1,-1).故|cosθ|=|所以sinθ=113.(1)證明因?yàn)椤鱌AD是等邊三角形,E是AD的中點(diǎn),所以PE⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PE?平面PAD,所以PE⊥平面ABCD,所以PE⊥BC,PE⊥BE.又BC⊥PB,PB∩PE=P,所以BC⊥平面PBE,所以BC⊥BE.又BC∥AD,所以AD⊥BE.又AD∩PE=E,且AD,PE?平面PAD,所以BE⊥平面PAD,所以BE⊥PD.(2)解由(1)得BE⊥平面PAD,所以∠BAE就是直線AB與平面PAD所成的角.因?yàn)橹本€AB與平面PAD所成角的正弦值為154,即sin∠BAE=154,所以cos∠所以cos∠BAE=AEAB=2AB=14,解得AB=由(1)得EA,EB,EP兩兩垂直,所以以E為坐標(biāo)原點(diǎn),EA,EB,EP所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,