九年級同步第9講：相似三角形的章節(jié)復習-教師版

PAGE2PAGE單元練習：相似三角形單元練習：相似三角形內容分析內容分析相似三角形是初中數學九年級上學期第一章的內容，在本章中，我們學習了比例線段的相關性質，相似三角形的概念、判定及性質和平面向量的線性運算．重點是靈活運用相似三角形的判定定理和性質定理，難點是利用輔助線解決相似三角形問題以及相似三角形與動點問題相結合的類型。知識結構知識結構比例線段比例線段運算法則比例的性質向量的分解平行向量定理運算律實數與向量相乘向量的線性組合向量的線性運算相似三角形的概念相似三角形的預備定理相似三角形的判定定理相似三角形的性質定理三角形一邊的平行線性質定理及推論三角形一邊的平行線判定定理及推論平行線分線段成比例定理相似形相似三角形選擇題選擇題下列圖形：①兩個等腰三角形；②兩個直角三角形；③兩個正方形；④兩個矩形；⑤兩個菱形；⑥兩個正五邊形．其中一定相似的有（）A．2組 B．3組 C．4組 D．5組【難度】★【答案】A【解析】判定相似有2個條件：對應角相等，且對應邊成比例，兩個矩形對應角相等，但長和寬的不一定成比例，兩個（等腰三角形）菱形對應邊成比例，但對應角又不一定相等，只有③⑥一定相似．【總結】考查學生對相似幾何圖形性質的理解，對應角相等和對應邊成比例兩個條件缺一不可．若，下列各式中正確的個數有（）①；②；③；④；⑤；⑥．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【難度】★【答案】A【解析】考查比和比例的基本性質，以“內項積等于外項積”檢驗①不成立，②是對的；比的基本性質是前項和后項同時乘以（或除以）同一個不為零的數，比值不變，③是不成立的；比例線段的等比性質及合并性質也需要學生理解到位；其中⑥不正確的原因是．【總結】考查比和比例的基本性質．已知AB//CD，AD、BC相交于點O，下列比例式中正確的是（）ABCDOA．ABCDOC． D．【難度】★【答案】C【解析】∵∴,對應關系要弄清楚．【總結】考查“平行型”的A字模型．下列條件中能判定∽的有（）①，，，，，；②，，，，，；③，，，，，．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【難度】★【答案】C【解析】對應角相等，但對應邊不成比例，①不成立；三邊對應成比例，可以判定②成立；兩邊對應成比例及夾角相等判定③成立．【總結】考查相似三角形的判定定理．ABCDE12如圖，已知，那么添加一個條件后，仍無法判定ABCDE12（）A． B．C． D．【難度】★【答案】B【解析】已知一組對應角相等，再添加任意一組對應角相等都可以判定相似，添加對應邊成比例需要對應角的夾邊成比例．【總結】考查相似三角形判定定理．如圖，已知，電燈P在橫桿AB的正上方，AB在燈光下的影子為CD，AB//CD，AB=2m，CD=5m，點P到CD的距離是3m，則P到AB的距離是（）A． B． C． D．DABDABCP【答案】C【解析】相似比等于對應高之比，設P到AB的距離為，列等量關系，解得．【總結】考查相似三角形的性質，相似比等于對應高之比．如圖，廚房角柜的臺面是三角形，如果把各邊中點的連線所圍成的三角形鋪成黑色的大理石（圖中陰影部分），其余部分鋪成白色大理石，那么黑色大理石的面積與白色大理石的面積之比是（）A． B． C． D．【難度】★【答案】C【解析】相似三角形面積之比是相似比的平方，聯結三角形三邊中點，將原三角形的面積四等分，所以黑色面積與白色面積之比是．【總結】考查相似三角形的性質．ABCO如圖，在中，向量，，是（）ABCOA．有相同起點的向量 B．單位向量C．長度相等的向量 D．相等的向量【難度】★【答案】C【解析】同圓的半徑相等，所以，，的長度是相等的．【總結】考查向量的方向、長度及相等向量的概念．若是任一非零向量，是單位向量，下列各式中，正確的是（）①； ②//； ③； ④．A．①④ B．③ C．①②③ D．②③【難度】★【答案】B【解析】單位向量的長度是單位1，方向是任意的，是單位向量，但并沒有講是向量方向上的單位向量，所以②是不對的．【總結】考查單位向量的概念．如圖，在中，DE//BC，BC=6cm，，那么DE的長為（）A．1.5cm B．2cm C．2.5cm D．3cmABCABCDE【答案】D【解析】∵，∴，∵BC＝6cm，∴DE＝3cm．【總結】考查相似三角形性質的應用．已知線段a，b，c，求作線段x，使bx=ac，以下方法中不正確的是（）aaxcbA．B．axcbC．axcbD．axcb【難度】★★【答案】B【解析】利用平行線分線段成比例，可以驗證A、C、D都成立，B選項不成立的原因是從作圖的角度看，不能保證延長線段與線段相交成的線段長度一定為所求作．【總結】考查利用比例線段求作第四條線段的作圖方法．如圖，若P為的邊AB上一點（AB>AC），則下列條件不一定能保證ABCP∽ABCPA． B．C． D．【難度】★★【答案】D【解析】如圖，兩個三角形已經有一組公共角，添加角度條件一定可以判定相似，若是添加對應邊成比例不能使用到公共角的對邊，所以D選項不能判定∽．【總結】考查相似三角形的判定定理．過三角形一邊上一點畫直線，使直線與另一邊相交，且截得的三角形與原三角形相似，那么最多可畫這樣的直線的條數是（）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【難度】★★【答案】D【解析】過三角形一邊上一點畫直線與另一邊相交，截得的三角形與 原三角形相似，這樣的直線最多可畫4條，每條邊上兩條，其中 包括“平行型”和“斜交型”，如圖所示．（當這個點是直角三角 形斜邊上一點時，最多可以畫三條符合題意的直線）【總結】考查相似基本圖形．已知P為線段AB的黃金分割點，且AP<PB，則（）A． B．C． D．【難度】★★【答案】C【解析】線段的黃金分割點有兩個，是對稱的，其中三條線段之間存在一個黃金比例關系，，即,即．【總結】考查線段的黃金分割．

ABCDEO如圖，在中，高BD、ABCDEOA． B．C． D．【難度】★★【答案】D【解析】基本圖形“雙垂型”，圖中有4個三角形兩兩相似，都可以用“AA”來判定，，對應邊成比例換成等積式，其中D選項比例關系不對．【總結】考查相似模型之“雙垂型”．如圖，AD是的中線，，把沿AD對折，點C落在 的位置，則的值為（）A． B． C． D．1【難度】★★【答案】C【解析】聯結,因為翻折，所以，設交點為O，因為∠ADC＝45°，所以∠OCD＝45°，又因為根據三角形內角和可以證明，所以為等腰直角三角形，即．【總結】考查翻折的性質及等腰直角三角形的性質．把平面上所有單位向量歸結到共同的始點，那么這些向量的終點所構成的圖形是（）A．一條線段 B．一個圓面C．圓上的一群孤點 D．一個圓【難度】★★【答案】D【解析】單位向量的長度是一樣的，方向是任意的，將同一平面內的單位向量的起點歸為同一點，它們的終點匯聚成了一個單位圓，到定點的距離等于定長的點的軌跡是圓．【總結】考查單位向量的性質及圓的定義．

下面幾個命題中，真命題的個數是（）（1）若，則；（2）兩個向量、相等，則，//；（3）若，則四邊形ABCD是平行四邊形；（4）若四邊形ABCD是平行四邊形，則；（5）若，，則；（6）若//，//，則//．A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【難度】★★【答案】B【解析】長度相等的向量，方向不一定相同，所以（1）不正確；若，則四邊形ABCD是平行四邊形，這句話也是有漏洞的，當A、B、C、D四點共線時，構不成平行四邊形，不過它的逆命題是正確的；其它選項都是正確的．【總結】考查平面向量的有關概念與性質．在四邊形ABCD中，，，，其中、不平行，則四邊形ABCD為（）A．平行四邊形 B．矩形 C．梯形 D．菱形【難度】★★★【答案】C【解析】∵，，，∴又∵，∴,∴,∵所以四邊形ABCD是梯形．【總結】考查特殊四邊形的判定定理及平面向量的線性運算．

acbABC如圖，在中內有邊長分別為a，b，c的三個正方形，則a，acbABC的關系式是（）A． B．C． D．【難度】★★★【答案】A【解析】如圖，可以證得，∴,因為三個正方形的邊長分別為a，b，c，所以即，整理得．【總結】綜合考查相似三角形的判定和性質運用．

填空題填空題A、B兩地的實際距離是200千米，地圖上的比例尺為1:1000000，則A、B兩地在地圖上的距離是______厘米．【難度】★【答案】20厘米．【解析】厘米和千米的進率為：，設圖上距離為厘米，由題意，得，解得．【總結】考查比例尺的運用．2、3、5再配上一個比它們都大的數組成比例式，這個數是______．【難度】★【答案】．【解析】設這個數為，若其它三個比例項分別為，且，要使最大，則取最大值，取最小值，所以，若的取值沒有要求，這樣的（與2、3、5組成比例式）有三個．【總結】考查比例的基本性質．若x:y:z=2:7:5，且x-2y+3z=6，則x=____，y=____，z=____．【難度】★【答案】．【解析】∵設則解得∴．【總結】考查學生對設“”法的理解應用．已知線段a=8厘米，b=9厘米，則線段a和b的比例中項是______．【難度】★【答案】．【解析】的比例中項，當為線段長時，取正值．【總結】考查比例中項的定義．ABCP如圖，已知，AC=4，AP=2，則ABABCP【難度】★【答案】AB＝8．【解析】∵，且，∴則,∵，∴．【總結】考查相似三角形的判定與性質．8米4米0．8米h8米4米0．8米h要使球恰好能打過網，且落在離網4米的位置，則球拍擊球的高度h為______米．【難度】★【答案】2.4米．【解析】根據平行線分線段成比例，得，解得．【總結】考查平行線分線段成比例的應用，也可以用相似三角形的性質求解．ABD如圖，AB是斜靠在墻角的長梯，梯腳B距墻80厘米，梯上點ABDBD長55厘米，則梯子長為______．【難度】★【答案】440厘米．【解析】設根據平行線分線段成比例，得即，解得，所以梯子的長為440厘米．【總結】考查平行線分線段成比例的應用．若兩個相似三角形的面積比為2:9，則這兩個三角形的對應中線的比是______．【難度】★【答案】．【解析】．【總結】考查相似三角形的性質：面積比是相似比的平方比，相似比也是對應中線之比．

在邊長為1的正方形ABCD中，設，，，則______；______；______．【難度】★【答案】．【解析】（1）,因為正方形邊長為1，所以，即；（2）,即；（3），即．【總結】考查平面向量的線性運算．計算：______．【難度】★【答案】．【解析】．【總結】考查實數與向量相乘及平面向量的加減運算．若，則=______．【難度】★★【答案】．【解析】設，解得，所以．【總結】考查設“”法的理解應用．

點P是線段AB的黃金分割點，且AP=2，則AB=______．【難度】★★【答案】．【解析】（1）當為較長的線段時，，解得；（2）當為較短的線段時，,解得，．【總結】考查線段的黃金分割，等量關系，一條線段的黃金分割點有兩個，需要學生具有分類討論的思想．過直角三角形的斜邊上一點畫直線，使直線與另一邊相交，且截得的三角形與原三角形相似，那么最多可畫______條這樣的直線；過直角三角形的直角邊上一點畫直線，使直線與另一邊相交，且截得的三角形與原三角形相似，那么最多可畫______條這樣的直線．【難度】★★【答案】3條；4條．【解析】當這個點在直角邊上時，可以畫4條這樣的直線使得截得的三角形與原三角形相似；當這個點在斜邊上時，可以畫3條（有2條重合在一起）這樣的直線使得截得的三角形與原三角形相似，如圖所示．【總結】考查相似基本圖形，結論是“直4斜3”．

ABCDEFKH如圖，AD=DE=EC，且AB//DF//EH，AH交ABCDEFKH【難度】★★【答案】．【解析】∵，∴∵∴,∵,∴,設，則，∴．【總結】考查平行線分線段成比例的性質運用．在等邊三角形ABC中，點D、E分別在AB、AC上，且DE//BC，如果BC=8厘米，AD:AB=1:4，那么的周長為_________．【難度】★★【答案】6厘米．【解析】∵,∴， ∵，∴, 因為，所以，．【總結】考查相似三角形的性質運用．如果直角三角形的斜邊長為18，那么這個直角三角形的重心到直角頂點的距離為______．【難度】★★【答案】6．【解析】直角三角形的斜邊長為18，則斜邊上的中線為9，根據三角形重心的性質，重心到直角頂點的距離是斜邊中線的．【總結】考查直角三角形重心的性質運用．

如圖，在平行四邊形ABCD中，，，則向量為______．（結ABCDO果用ABCDO【難度】★★【答案】．【解析】∵平行四邊形對角線互相平分，∴，∵，∴．【總結】考查平面向量的線性分解及運算，結合平行四邊形的性質．ABCD如圖，將①；②；③；

④；⑤；⑥中的一個作為條件，另一個作為結論，組ABCD成一個真命題，則條件是______，結論是______．（只填序號）【難度】★★【答案】答案不唯一，比如條件是①，結論是③．【解析】這是一個典型的相似基本圖形“母子型”，其中可以作為條件的選擇不唯一，結論自然也不一，情況如下：（1）當條件為①時，結論可以是②③④⑤；（2）當條件為②時，結論可以是①③④⑤；（3）當條件為③時，結論可以是①②④⑤．【總結】考查相似三角形的判定和性質運用以及對基本圖形“母子型”的理解運用．如圖，正方形ABCD內接于等腰，，則PA:AQ=________．ABCABCDPQR【答案】．【解析】∵，∴，∵正方形，∴,∴，∵，∴,即．【總結】考查平行線分線段成比例聯系等腰直角三角形和正方形的性質運用．ABCDEFG已知，正方形ABCD的邊長為2，ABCDEFGAE，與CD交于點F，聯結BF并延長與線段DE交于點G，則BG的長為______．【難度】★★★【答案】．【解析】延長相交于點，∵正方形，∴，∵，∴，∴，∵∴，∴，∵∴,∴，∵，∴∴．【總結】本題考點包括平行線分線段成比例、直角三角形的性質、正方形的性質，考查學生綜合運用知識的能力．

解答題解答題已知，，，求的值．【難度】★★【答案】．【解析】∵∴，又∵，∴．【總結】考查等比性質的運用．已知，求x的值．【難度】★★【答案】．【解析】（1）當時，∴；（2）當時，，根據等比性質，；綜上，．【總結】考查等比性質的運用，需要學生理解等比性質成立的條件，以及有分類的思想．ABCD如圖，已知點D在的邊AB上，且，．求 的值．ABCD【難度】★★【答案】．【解析】∵,∴∵∴，∴．【總結】考查相似三角形的判定與性質，需要理解相似三角形的相似比與面積比的關系．如圖，已知點E、F分別在矩形ABCD的邊BC和CD上，，BE=3cm，AB=6cm，矩形ABCD的周長為28cm，求CF的長．ABCABCDEF【答案】．【解析】∵矩形，，∴，∵,，可證,∴，∵∴．【總結】本題在矩形背景下考查“一線三直角”模型．ABCDEF如圖，已知中，AB=AC，CD是邊AB上的高，且ABCDEF邊形BDEF是正方形．和相似嗎？試證明你的結論．【難度】★★【答案】，證明略．【解析】∴∴，即，又∵，∴．【總結】本題結合直角三角形的性質考查相似三角形的判定，同時需要學生扎實的運算功底．ABCDEFOP如圖，D、E、F分別是的邊BC、AB、ABCDEFOPO，線段CO的延長線交AB于點P．求證：AB=3AP．【難度】★★【答案】證明略．【解析】∵，∴，∴，∵D是BC的中點，∴∵，∴，設則∴，，∴，即．【總結】考查平行線分線段成比例的綜合運用．ABCDEF如圖，在中，，點D為ABABCDEF點F，BE交AC于點E，CE=1cm，AE=3cm．（1）求證：∽；（2）求斜邊AB的長．【難度】★★【答案】（1）證明略；（2）．【解析】（1）∵∴，∴,∵,∴∵∴∴,∵,∴；（2）∵，∴,∵∴，∵∴．【總結】考查相似三角形的判定和性質的綜合運用．

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