遼寧省名校聯(lián)盟2023-2024學年高一下學期7月期末考試數(shù)學

2023——2024學年度下學期期末考試高一試題數(shù)學命題人：沈陽二中石瑩審題人：丹東二中劉永順考試時間：120分鐘滿分：150分鐘第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1.如果復數(shù)滿足：，那么（）A. B.C D.2.已知兩個非零向量，滿足，則在上投影向量為（）A. B. C. D.3.設(shè)是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下面命題中正確的是（）A.若，則 B.若，則C若，則 D.若，則4.如圖，在直三棱柱中，所有棱長都相等，分別是棱中點，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B. C. D.5.在世紀中期，我國古代數(shù)學家劉徽在《九章算術(shù)注》中提出了割圓術(shù)：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”.這可視為中國古代極限觀念的佳作.割圓術(shù)可以視為將一個圓內(nèi)按正邊形等分成個等腰三角形（如圖所示），當越大，等腰三角形的面積之和越近似等于圓的面積.運用割圓術(shù)的思想，可得到的近似值為（取近似值）（）A. B. C. D.6.在中，若，則是（）A.等腰三角形 B.等邊三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形7.若水平放置的平面四邊形按斜二測畫法得到如圖所示的直觀圖，其中，，，，則以原四邊形的邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的體積為（）A. B. C. D.8.已知二面角的平面角的大小為為半平面內(nèi)的兩個點，為半平面內(nèi)一點，且，若直線與平面所成角為，為的中點，則線段長度的最大值是（）A. B. C. D.二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.已知復數(shù)，則下列說法正確的是（）A. B.的虛部為C.在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限 D.的共軛復數(shù)為10.函數(shù)（）的圖象的一個對稱中心為，則下列說法正確的是（）A.直線是函數(shù)的圖象的一條對稱軸B.函數(shù)在上單調(diào)遞減C.函數(shù)的圖象向右平移個單位可得到的圖象D.函數(shù)在上的最大值為11.如圖，在邊長為4的正方體中，分別是棱的中點，是正方形內(nèi)的動點，則下列結(jié)論正確的是（）A.若平面，則點的軌跡長度為B.若，則點軌跡長度為C.二面角的正切值為D.若是棱的中點，則三棱錐的外接球的表面積是第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.___________.13.已知直四棱柱高為，底面四邊形中，，，，，則四棱柱外接球的表面積是_____________.14.某同學在學習和探索三角形相關(guān)知識時，發(fā)現(xiàn)了一個有趣的性質(zhì)：將銳角三角形三條邊所對的外接圓的三條圓?。踊。┭刂切蔚倪呥M行翻折，則三條圓弧交于該三角形內(nèi)部一點，且此交點為該三角形的垂心（即三角形三條高線的交點）如圖，已知銳角外接圓的半徑為4，且三條圓弧沿三邊翻折后交于點.若，則_____________；若，則的值為_____________.四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.如圖所示，，，為山腳兩側(cè)共線的三點，在山頂處測得三點的俯角分別為，，．計劃沿直線開通穿山隧道，請根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，計算：（1）的長度（2）隧道的長度．16.正方體的棱長為，是線段上的動點.（1）求證：平面平面；（2）與平面所成的角的余弦值為，求的長．17.在平面直角坐標系中，已知四邊形是等腰梯形，，點滿足，點在線段上運動（包括端點），如圖所示.（1）當點為線段中點時，將繞原點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)到的位置，求點的坐標；（2）求的余弦值；（3）是否存在實數(shù)，使？若存在，求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由.18.如圖1，在矩形中，是線段上（包括端點）的一動點，如圖2，將沿著折起，使點到達點的位置，滿足點平面.（1）如圖2，當時，點是線段上點的，平面，求的值；（2）如圖2，若點在平面內(nèi)的射影落在線段上.①是否存在點，使得平面，若存在，求的長；若不存在，請說明理由；②當三棱錐的體積最大值時，求點到平面的距離.19.已知函數(shù).請在下面的三個條件中任選兩個解答問題.①函數(shù)的圖象過點；②函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱；③函數(shù)相鄰對稱軸與對稱中心之間距離為1.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若是函數(shù)的零點，求的值組成的集合；（3）當時，是否存在滿足不等式？若存在，求出的范圍；若不存在，請說明理由.2023——2024學年度下學期期末考試高一試題數(shù)學命題人：沈陽二中石瑩審題人：丹東二中劉永順考試時間：120分鐘滿分：150分鐘第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1.如果復數(shù)滿足：，那么（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，即可表示出，再根據(jù)復數(shù)相等的充要條件得到方程組，解得即可.【詳解】設(shè)，則，，因為，即，所以，解得，所以.故選：A2.已知兩個非零向量，滿足，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)，得，再根據(jù)投影向量的公式計算即可.詳解】由題意，，解得，所以在上的投影向量為.故選：.3.設(shè)是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下面命題中正確的是（）A若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】【分析】對于ABC：根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征，舉反例說明即可；對于D：根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和判定定理分析判斷.【詳解】對于選項ABC：在正方體中，例如∥平面，平面∥平面，平面，但與相交，故A錯誤；例如∥，∥平面，∥平面但平面平面，故B錯誤；例如，平面，但平面，故C錯誤；對于選項D：若，則∥，且，所以，故D正確；故選：D.4.如圖，在直三棱柱中，所有棱長都相等，分別是棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用平移法作出異面直線與所成角，解三角形即可求得答案.【詳解】連接，因為在直三棱柱中，分別是棱的中點，故，即四邊形為平行四邊形，所以，則即為異面直線與所成角或其補角；直三棱柱中，所有棱長都相等，設(shè)其棱長為，連接，則平面，故平面平面，故，是棱的中點，故，則,而，又，故在中，,由于異面直線所成角的范圍，故異面直線與所成角的余弦值是，故選：D.5.在世紀中期，我國古代數(shù)學家劉徽在《九章算術(shù)注》中提出了割圓術(shù)：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”.這可視為中國古代極限觀念的佳作.割圓術(shù)可以視為將一個圓內(nèi)按正邊形等分成個等腰三角形（如圖所示），當越大，等腰三角形的面積之和越近似等于圓的面積.運用割圓術(shù)的思想，可得到的近似值為（取近似值）（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，將一個單位圓等分成60個扇形，則每個扇形的圓心角均為，再根據(jù)這60個扇形對應(yīng)的等腰三角形的面積之和近似等于單位圓的面積列等式，計算即可.【詳解】將一個單位圓等分成60個扇形，則每個扇形的圓心角均為.因為這60個扇形對應(yīng)的等腰三角形的面積之和近似等于單位圓的面積，所以，所以.故選：.6.在中，若，則是（）A等腰三角形 B.等邊三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件，利用降冪升角公式及余弦的和差角公式，得到，即可求出結(jié)果.【詳解】因為，整理得到，即，又，得到，所以，即，故選：A.7.若水平放置的平面四邊形按斜二測畫法得到如圖所示的直觀圖，其中，，，，則以原四邊形的邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由斜二測畫法的直觀圖，得出原圖形為直角梯形，再軸旋轉(zhuǎn)一周得到的圓柱和圓錐的組合幾何體的體積．【詳解】由斜二測畫法的直觀圖知，，，，；，所以原圖形中，，，，，，所以梯形以邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體為圓柱去掉一個同底圓錐的組合體，．故選：D．8.已知二面角的平面角的大小為為半平面內(nèi)的兩個點，為半平面內(nèi)一點，且，若直線與平面所成角為，為的中點，則線段長度的最大值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作于，根據(jù)已知條件可得兩點在以為高，為母線的圓錐的底面圓周上,再根據(jù)余弦定理可得，從而判斷出要使線段的長度最大，則最大,確定兩點的位置，再利用三角形知識求解即可.【詳解】作于，因為二面角的平面角的大小為，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得，因為，所以兩點在以為高，為母線的圓錐的底面圓周上，根據(jù)余弦定理：，要使線段的長度最大,需要使得最小，即最大,所以當兩點運動到公共棱上時，最大,則線段的長度最大.因為直線與平面所成角為，所以，則，在中，根據(jù)余弦定理得:所以即線段長度的最大值是.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解得關(guān)鍵在于根據(jù)確定點軌跡，然后結(jié)合圓錐性質(zhì)即可求解.二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.已知復數(shù)，則下列說法正確的是（）A. B.的虛部為C.在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限 D.的共軛復數(shù)為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡，即可得到其共軛復數(shù)，再一一判斷即可.【詳解】對于AD，因為，所以，則，故A正確，D正確；對于B，的虛部為，故B錯誤；對于C，在復平面內(nèi)對應(yīng)的點為，位于第四象限，故C正確.故選：ACD10.函數(shù)（）的圖象的一個對稱中心為，則下列說法正確的是（）A.直線是函數(shù)的圖象的一條對稱軸B.函數(shù)在上單調(diào)遞減C.函數(shù)的圖象向右平移個單位可得到的圖象D.函數(shù)在上的最大值為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)兩角和的余弦公式化簡函數(shù)解析式，再根據(jù)對稱中心可得，再根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)分別判斷各選項.【詳解】由，由是函數(shù)圖象的一個對稱中心，即，，解得，，又，所以，所以，對于A選項：令，，解得，，當時，，即直線是函數(shù)的一條對稱軸，故A選項正確；對于B選項：令，，解得，，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，當時，函數(shù)在單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，B選項錯誤；對于C選項：函數(shù)的圖象向右平移個單位可得，C選項正確；對于D選項：當時，，所以函數(shù)，即最大值為，D選項錯誤；故選：AC.11.如圖，在邊長為4的正方體中，分別是棱的中點，是正方形內(nèi)的動點，則下列結(jié)論正確的是（）A.若平面，則點的軌跡長度為B.若，則點的軌跡長度為C.二面角的正切值為D.若是棱的中點，則三棱錐的外接球的表面積是【答案】BCD【解析】【分析】對于A，作出對應(yīng)圖形，先證明面面，再結(jié)合給定條件確定動點軌跡，求解長度，對于B，利用給定條件確定動點軌跡，求解長度，對于C，作出二面角的平面角，利用余弦定理結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解正切值，對于D，先找到球心，利用勾股定理得到半徑，求解球的表面積即可.【詳解】對于A，如圖，取中點，且連接，因為分別是棱的中點，由中位線定理得，，所以，而，，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以，因為，，所以四邊形是平行四邊形，所以，因為面，面，所以面，因為面，面，所以面，而，所以面面，又是正方形內(nèi)的動點，且平面，面和面相交，是交線，所以的軌跡為線段，由勾股定理得，故A錯誤，對于B，如圖，若，此時面，所以，由勾股定理得，所以的軌跡為在面內(nèi)，以為圓心，為半徑的圓弧，所以的軌跡長度為，故B正確，對于C，如圖，作，連接，連接，因為正方體，分別是棱的中點，也把的中點記為，所以是的中位線，所以，而，所以，而由正方體性質(zhì)得面，所以，而，面，故面，，，而由勾股定理得，，由三線合一性質(zhì)得是的中點，故是的中點，即是靠近的四等分點，所以由勾股定理得，，，而，，面面，所以是二面角的平面角，且設(shè)該角為，在中，由余弦定理得，易得，所以，而，解得(負根舍去)，所以，所以二面角的正切值為，故C正確，對于D，如圖，取的中點，的中點，連接，因為是棱的中點，分別是棱的中點，所以，由勾股定理得，而，所以，所以，而，所以點到的距離相等，因為，由正方體性質(zhì)得面，所以面，所以三棱錐的外接球的球心在上，設(shè)球心為，，則，又，設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，則，在直角三角形中，由勾股定理得，在直角三角形中，由勾股定理得，解得，，所以三棱錐的外接球的表面積為，故D正確.故選：BCD【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查立體幾何，解題關(guān)鍵是確定球心的位置，然后利用勾股定理求出球的半徑，得到所要求的表面積即可．第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.___________.【答案】【解析】【分析】由兩角和的正切公式可得，代入所求代數(shù)式化簡可得結(jié)果.【詳解】由化簡可得.故答案為：.13.已知直四棱柱高為，底面四邊形中，，，，，則四棱柱外接球的表面積是_____________.【答案】【解析】【分析】由已知可得底面四邊形的外接圓圓心及為的外接圓圓心，根據(jù)余弦定理及正弦定理可得底面外接圓半徑，進而可得四棱柱外接球半徑，即可得外接球表面積.【詳解】如圖所示，由底面四邊形中，，所以四邊形的外接圓圓心即為的外接圓圓心，在中點，連接，又，，，所以在中，由余弦定理得，即，所以四邊形及的外接圓半徑，設(shè)四邊形的外接圓圓心為，四邊形的外接圓圓心為，則，，直四棱柱的外接球球心為中點，即，且，所以外接球半徑，所以外接球表面積.故答案為：14.某同學在學習和探索三角形相關(guān)知識時，發(fā)現(xiàn)了一個有趣的性質(zhì)：將銳角三角形三條邊所對的外接圓的三條圓弧（劣?。┭刂切蔚倪呥M行翻折，則三條圓弧交于該三角形內(nèi)部一點，且此交點為該三角形的垂心（即三角形三條高線的交點）如圖，已知銳角外接圓的半徑為4，且三條圓弧沿三邊翻折后交于點.若，則_____________；若，則的值為_____________.【答案】①.##0.75②.【解析】【分析】第一空：由正弦定理求得，利用三角形垂心性質(zhì)結(jié)合三角形誘導公式推得，即得答案；第二空：設(shè)，由余弦定理求得它們的余弦值，然后由垂心性質(zhì)結(jié)合正弦定理表示出，即可求得答案.【詳解】設(shè)外接圓半徑為，則，由正弦定理，可知，即，由于是銳角，故，又由題意可知P為三角形ABC的垂心，即,故，所以；設(shè)，則，由于，不妨假設(shè)，由余弦定理知，設(shè)AD,CE,BF為三角形的三條高，由于,故,則得，所以，同理可得，所以，故答案為：；.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題關(guān)鍵在于：涉及到三角形垂心的性質(zhì)的應(yīng)用，解答時要能靈活地結(jié)合垂心性質(zhì)尋找角之間的關(guān)系，應(yīng)用正余弦定理，解決問題.四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.如圖所示，，，為山腳兩側(cè)共線的三點，在山頂處測得三點的俯角分別為，，．計劃沿直線開通穿山隧道，請根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，計算：（1）的長度（2）隧道的長度．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由求出，從而可求出，然后在中利用正弦定理可求出；（2）在中利用正弦定理求出，從而可求出.【小問1詳解】因為，為銳角，所以，所以，在中，，所以由正弦定理得，所以；【小問2詳解】因為，在中，，所以由正弦定理得，則，所以，所以隧道的長度為.16.正方體的棱長為，是線段上的動點.（1）求證：平面平面；（2）與平面所成的角的余弦值為，求的長．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得，，進而可證平面，即可得結(jié)果；（2）設(shè)在平面上的射影點為，連接，利用等體積法可得，結(jié)合線面夾角可得，再利用余弦定理計算可得.【小問1詳解】因為平面，且平面，可得，四邊形為正方形，則，且平面，所以平面，又平面，所以平面平面.【小問2詳解】設(shè)在平面上的射影點為，連接，可知是以邊長為的等邊三角形，則，因為，即，解得，設(shè)與平面所成的角的大小為，因為，則，則，可得，在中，由余弦定理得，即，解得.17.在平面直角坐標系中，已知四邊形是等腰梯形，，點滿足，點在線段上運動（包括端點），如圖所示.（1）當點為線段中點時，將繞原點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)到的位置，求點的坐標；（2）求的余弦值；（3）是否存在實數(shù)，使？若存在，求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）根據(jù)題意的，根據(jù)在三角形中可求得答案；（2）根據(jù)三角形中余弦定理運算公式可求得答案；（3）設(shè)，其中，根據(jù)，可得，分類討論可求得的范圍.【小問1詳解】因為等腰梯形，，，點為線段中點所以，則，將繞原點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)到的位置，如圖所示.作軸于點,,可得,，，,所以點的坐標為【小問2詳解】在中，，所以,因此的余弦值；【小問3詳解】設(shè)，其中．若，則，即，可得．若，則不存在，若，則故．18.如圖1，在矩形中，是線段上（包括端點）的一動點，如圖2，將沿著折起，使點到達點的位置，滿足點平面.（1）如圖2，當時，點是線段上點的，平面，求的值；（2）如圖2，若點在平面內(nèi)的射影落在線段上.①是否存在點，使得平面，若存在，求的長；若不存在，請說明理由；②當三棱錐的體積最大值時，求點到平面的距離.【答案】（1）（2）①存在，，②【解析】【分析】（1）取的中點，連接，則由面面平行的判定定理可證得平面∥平面，再利用面面平行的性質(zhì)可得∥，從而可求得結(jié)果；（2）①當點與點重合時，平面，由已知條件可證得平面，則，再利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論；②在矩形中作于，延長交于點，折起后得，設(shè)，由∽，可得，在中，表示出，然后表示出，利用基本不等式可求出其最大值，從而可點到平面的距離.【小問1詳解】取的中點，連接，因為，所以，因為∥，所以四邊形為平行四邊形，所以∥，因為平面，平面，所以∥平面，因為∥平面，，平面，所以平面∥平面，因為平面平面，平面平面，所以∥，因為是的中點，所以；【小問2詳解】①存在點，當點與點重合，即時，平面，理由如下：當點與點重合時，則，因為平面，平面，所以，因為，平面，所以平面，因為平面，所以，因為，，平面，所以平面，即當點與點重合，時，平面；②在矩形中作于，延長交于點，折起后得，設(shè)，則，因為，所以，因為，所以，因為，所以∽，得，即，得，所以，因為，平面，所以平面，因為平面，所以，因為平面，平面，所以，所以點與點重合，因為要使得點的射影落在線段上，所以，則，解得，在中，，所以，當且僅當，即時，，當時，，，則是的中點，所以點到平面的距離為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：