北京清華附中上地學校C21級數(shù)學幾何綜合練習及答案

1．西城20242．東城2024在△ABC中，ABAC，∠BAC=120°，D為BC上一點，連接DA，將線段繞點D順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DE．（1）如圖1，當點D與點B重合時，連接AE，交BC于點，求證：AE⊥BC；（2）當BD≠CD時圖2中BD＜CD，圖3中BDCD)，F(xiàn)為線段AC的中點，連接EF．在圖2，圖3中任選一種情況，完成下列問題：①依題意，補全圖形；②猜想∠AFE的大小，并證明．3．朝陽2024已知線段AB和點C，將線段AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)（0°＜＜90°AD，將線段BC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)180°-BEF為DEAF，BF.（1）如圖1，點C在線段AB上，依題意補全圖1，直接寫出∠AFB的度數(shù)；（2）如圖2，點C在線段AB的上方，寫出一個α的度數(shù)，使得AF=3BF成立，并證明.圖1圖24．豐臺2024已知在△ABC中，ABAC，0°<∠BAC<90°，將線段AC繞點Aα得到線段AD，連接Ｂ，CD．（1）如圖1，當∠BACα時，∠ＡBD=（用含有α（22=90°BD∠BAD的角平分線交BC的延長線于點FBD于點E，連接DF．①依題意在圖2中補全圖形，并求∠DBC的度數(shù)；②用等式表示線段AF，CF，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．圖1圖2Rt△ACB中，ACB90，=60°=．D是邊BA上一點（不與點B1重合且CDC得到線段CE，連接，．2（1）求CAE的度數(shù)；（2）F是的中點，連接并延長，交CD的延長線于點G，依題意補全圖形．若G=ACE，用等式表示線段FG，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．EADCB6．房山2024如圖，在等邊三角形ABC中，E，F(xiàn)分別是，上的點，且BE=CF，，交于點G.（1）AGF=°；（2）過點A作∥（點D在的右側(cè)，且AD=BC，連接DG.①依題意補全圖形；②用等式表示線段，與DG的數(shù)量關(guān)系，并證明.AFGBEC7．平谷2024如圖，△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，D為邊中點，E為△ABC外部射線CD上一點，連接AE，過C作CF⊥于（1）依題意補全圖形，（2）找出圖中與∠EAD相等的角，并證明；（3）連接DF，猜想∠CFD的度數(shù)，并證明.8．通州如圖，△ABC中，=AC=BCD在ABAD的中點FCD、CF，將線段CD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到線段CE，連結(jié)AE、BE.（1）依題意，請補全圖形；（2）判斷BE、CF的數(shù)量關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系，并證明.DBFCA1．2（1）證明：∵ABAC，∠BAC=120°，∴∠ABC∠=30°.將線段DA繞點D順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DE，∴DEDA，∠ADE=60°.∴△ADE是等邊三角形.∴∠BAE=60°.∴∠AHB=90°.∴BCAE.………..3分（2）解：選擇圖2：A①補全圖形如圖所示：………..4分FBDC②猜想∠AFE=90°.………..5分證明：如圖，過點A作⊥于H，連接AE.則∠AHB=AHC=90°.E∵ABAC，∠BAC=120°，∴∠CAH=1∠BAC=60°C=30°.2∴AH=1AC.2∵F為線段中點，∴AF=1AC.2∴AHAF.由（）可知△是等邊三角形.∴∠DAE=60°∠CAHAD=AE.∴∠DAH=在△△AEF=，=，=AF.∴△ADH≌△AEF（SAS.∴∠AFE∠=90°.………7分選擇圖3：①補全圖形如圖所示：②（選擇圖3的答案與選擇圖2的答案一致）3.（1）解：補全圖1，如圖.90.（2）60.AF到點GFAFBGAB的延長線于點.∵F是的中點，∴DFEF.∵∠=∠GFE，∴△≌△GFE.∴ADGE，∠DAF∠FGE.∴AD//EG.∴∠DAB+∠=180°.在△ACB中，∠ACB=180°-∠CAB∠CBA=180°-（∠DAB∠DAC）（∠EBA∠EBC）=180°-∠DAB+∠EBA+180°-α∠+∠EBH∠BEG.∵BECE，ADAC=GE，∴△ABC≌△BEG.∴ABBG，∠ABC∠GBE.∴AF⊥BF，∠ABG=2∠ABF，∠ABG∠EBC.∵60°，∴∠EBC=180°-α=120°.∴∠ABF=60°.∴∠30°.∴AF=√3BF.4.（1）∠ABD=90°-α．··················································1分（2）①解：依題意補全圖形.·······································2分∵AB=AC，1∴∠ABC∠ACB=90°-∠BAC.D2∵AD=AC，∴AD=AB．AE1∴∠ABD∠ADB=90°-∠BAD．2∴∠DBC∠ABC-∠ABDBCF1=（∠BAD-∠BAC）21==45°．········································4分2②結(jié)論：2=+CF．·································5分證明：過點A作BD的平行線交FD的延長線于點．∵AD=AB，AF平分∠BAD，∴DB⊥AF，BEDE．∴BFDF．∴∠B∠．G∵∠DBC=45°，∴∠BDF∠DBC=45°．∴∠BFD=90°．∴∠B∠=45°．∵AG∥BD，DAE∴∠G∠DEF=90°，∠G∠BDF=45°．∴AGAF．∵∠G∠CAD=90°，∴∠CAF∠DAG．BCF∵AC=AD，∴△CAF≌△DAG．∴DGCF．∵FG=2AF．∴2=+CF．·····························7分5）解：取的中點M，連接MC，如圖.∵ACB90，=°∴CM=AM.E又∵CAM60，∴△是等邊三角形.==CA=CM.=°AC∴ACM160，M41∵，=°2D3∴2=3．B又∵CE=CD，∴△ACE≌△MCD．∴CAE=4=180°?1=120.…………3分（2線段FG，，之間的數(shù)量關(guān)系：FG=AF+AE.EAFM4N1G52D3CB證明：過點D作DN∥交AG于點N，如圖．∴△∽△FEA.NDNFFD∴==．AEAFFE∵，∴ND=AE，NF=AF．+=∵CAEACM120+60=180，=°∴CM∥．∴CM∥DN．∴5=3．G=2，2=3，∵∴=5G．∴NGNDAE．==∵FGNFNG，NF=AF，=+∴FGAFAE．=+…………7分6（1）60；（2）①依題意補全圖形，如圖.………….………..……….2分ADFGBEC………….………..……….4分+BG②用等式表示線段AG，BG與DG的數(shù)量關(guān)系：3AG22=DG2.………….………..……….5分證明：作GAM=120，在AM截取AP=AG，連接GP，PD.∵AP=AG,GAP=120,∴==.∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC,ABC=60.又∵AD=BC,∴AB=AD.∵AD∥，∴+=.∴BAD=120.∵=,∴BAG=DAP.∴△BAG≌△DAP（SAS）.∴BG=DP，APD=AGB=120.∵=30，MDPAHQF∴DPG=90.G∴GP2+DP2=DG.2BEC過點A作AQ⊥GP于點Q，在△AGQ中，∵AGQ=30，=，3∴=.2∴==3.又∵BG=DP，∴3AG2+BG2=DG2.………….………...7分727.1（2FCE=∠EAD........................................................................................................................1............................................................................................................................................2證明：在△ABC中，,D為邊中點ACFE∴CD⊥AB，∠ADE=90°，∴∠∠E=90°.∵CF⊥AE，∴∠CFE=90°，∴∠FCE+∠E=90°.DB∴∠FCE=∠EAD.............................................................3（3）∠CFD=45°............................................................................................4證明如下：在CF上取一點，使CH=AF，連結(jié)...........................5AF在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為邊中點，∴=DB=CDEDH由（2）可知∠HCD=∠∴△HCD≌△BC.........................................................6∴HD=FD，∠HDC=∠∴CD⊥AB，∠ADC=90°，∠HDC+∠ADH=90°.∴∠ADF+∠ADH=90°.即∠FDH=90°∴△FDH是等腰直角三角形.∴∠CFD=45°..........................................................................................78（1）如圖…………1分D（2BE=CFBE⊥證明：取ACMFM∵F為中點BNFE1∴FM∥，F(xiàn)M=CDCA2M∵繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段1∴FM=CE2∵=∴