河南省平頂山市2017-2018學(xué)年高二上學(xué)期期末調(diào)研考試文科數(shù)學(xué)試題

2017~2018學(xué)年第一學(xué)期期末調(diào)研考試高二數(shù)學(xué)（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.B.C.D．【答案】D【解析】轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，，所以焦點(diǎn)為。故選D。2.命題“，”的否定是（）A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系可知，命題“”的否定為“”，故選C．3.等差數(shù)列中，，，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】，所以。故選A。4.設(shè)，，，且，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】試題分析：A：由及不等式的性質(zhì)可知僅當(dāng)時(shí)，成立，∴A錯(cuò)誤；B：，而的符號未定，因此無法判斷兩者大小關(guān)系，∴B錯(cuò)誤；C：根據(jù)，可知在上遞增，因此由可得，∴C正確；D：，而的符號未定，因此無法判定兩者大小關(guān)系，∴D錯(cuò)誤.考點(diǎn)：1.作差法比較代數(shù)式的大??；2.函數(shù)結(jié)合不等式.5.在中，內(nèi)角和所對的邊分別為和，則是的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】在中，由正弦定理可得，則，即又，則，即，所以是的充要條件，故選C．6.設(shè)，滿足約束條件，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】過，有最大值2,；過，有最小值，所以取值范圍為。故選B。7.已知，，則的最小值是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】試題分析：由可知，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即，，所以時(shí)等號成立．考點(diǎn)：均值定理視頻8.已知雙曲線：（，），右焦點(diǎn)到漸近線的距離為，到原點(diǎn)的距離為，則雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由題意，雙曲線，右焦點(diǎn)到漸近線的距離為，到原點(diǎn)的距離為，則雙曲線焦點(diǎn)到漸近線的距離為，又，代入得，解得，故選D．9.設(shè)的內(nèi)角、、的對邊分別為、.若，，，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由正弦定理，得，又，所以，所以，所以在直角中，，故選B．10.三個(gè)數(shù)，，成等比數(shù)列，其倒數(shù)重新排列后為遞增的等比數(shù)列的前三項(xiàng)，則能使不等式成立的最大自然數(shù)為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】，得，即，則的前三項(xiàng)為，所以，，所以，得最大自然數(shù)為7.故選C。11.若，則的解集為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】，又，解得。故選A。點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的求解，及解不等式。本題首先要能夠正確求導(dǎo)，在解不等式的過程中，要注意定義域的范圍，最后得到正確答案。在含有對數(shù)形式的函數(shù)問題中，一定要注意定義域的范圍。12.過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)平分，則直線的方程為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】試題分析：由于直線過點(diǎn)，故排除C，D選項(xiàng).設(shè)，代入橢圓方程得，兩式相減并化簡得，所以直線的斜率為，由點(diǎn)斜式得到直線方程為.考點(diǎn)：直線與圓錐曲線位置關(guān)系.【思路點(diǎn)晴】本題考查點(diǎn)差法.直線和圓錐曲線的位置關(guān)系一方面要體現(xiàn)方程思想，另一方面要結(jié)合已知條件，從圖形角度求解．聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組，化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關(guān)系求解是一個(gè)常用的方法.涉及弦長的問題中，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)關(guān)系、設(shè)而不求法計(jì)算弦長；涉及垂直關(guān)系時(shí)也往往利用根與系數(shù)關(guān)系、設(shè)而不求法簡化運(yùn)算；涉及過焦點(diǎn)的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解．涉及弦的中點(diǎn)問題，考慮用點(diǎn)差法來解決.第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.已知橢圓的兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是、，并且過點(diǎn)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是__________．【答案】【解析】由題意，橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是，可得，設(shè)橢圓的方程為，橢圓經(jīng)過點(diǎn)，可得，解得，所以橢圓的方程為．14.曲線在點(diǎn)處的切線方程是__________．【答案】【解析】，所以，所以切線方程為，即。點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的概念。導(dǎo)數(shù)就是曲線上點(diǎn)的切線斜率。本題中首先判斷出該點(diǎn)是曲線上的點(diǎn)，所以切斜斜率就是該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，求出斜率后，再利用點(diǎn)斜式寫出切線方程即可。15.在中，為邊上一點(diǎn)，，，，若，則__________．【答案】【解析】試題分析：設(shè)，在中有：，在中有：，又，代入得，解得．考點(diǎn)：余弦定理．【名師點(diǎn)睛】在本題中，已知被分成兩個(gè)三角形，它們公共邊長度已知，相鄰的解已知，還知道的是兩個(gè)三角形中另外兩對邊的比例，要解這個(gè)三角形，可用余弦定理把兩個(gè)三角形聯(lián)系起來，根據(jù)已知角，用余弦定理分別求出，再由的關(guān)系可求得，接著可求得及各個(gè)角．如果已知兩個(gè)角，還可以用正弦定理建立關(guān)系，以便求解．16.函數(shù)（），，對，，使成立，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】由函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線，且關(guān)于對稱，所以時(shí)，函數(shù)的最小值為，最大值為，可得的值域?yàn)?，又因?yàn)?，所以為單調(diào)增函數(shù)，的值域?yàn)椋?，以為對，，使成立，所以，解得，所以?shí)數(shù)的取值范圍是．點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的值域，同時(shí)涉及到了“任意”、“存在”等量詞的理解，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，其中正確理解“任意”、“存在”等量詞，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域與最值之間的關(guān)系，列出不等式組是解答的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.（1）已知、.求證：；（2）解不等式.【答案】(1)見解析；（2）原不等式的解為或或.【解析】試題分析：（1）作差證明不等式成立；（2）移項(xiàng)通分得，利用穿根法解不等式。試題解析：（1）作差得：．∵時(shí)，∴，而，∴．所以，．（2）原不等式可化為，繼續(xù)化為，其等價(jià)于．∴原不等式的解為或或．18.已知，，分別為三個(gè)內(nèi)角，，的對邊，.（1）求；（2）若，的面積為，求，.【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）由題設(shè)條件及正弦定理可化簡得，即求解角；（Ⅱ）由三角形的面積公式，可得，在由余弦定理得，即可求解的值．試題解析：（1）由及正弦定理得，∵，∴，又，故．（Ⅱ）∵的面積為，∴．由余弦定理得，故．解得.19.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，，，的前項(xiàng)和為，求.【答案】（1）；（2）.試題解析：（1）∵，．∴時(shí)，，解得．時(shí)，，化為：∴數(shù)列是等比數(shù)列，公比為．∴．（2）∵，∴，而．∴．20.已知函數(shù).（1）求的導(dǎo)函數(shù)；（2）求在其定義域上的取值范圍.【答案】（1）；（2）在定義域上上的取值范圍是...................試題解析：（Ⅰ）=（1－）（2）∵．令，并解得，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴在上遞減，在上遞增，∴在上有最小值．又令得，因此，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴在定義域上上的最大值為．綜上，在定義域上上的取值范圍是．點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性與值域。首先本題考查導(dǎo)數(shù)的求解，對學(xué)生求導(dǎo)基本功的要求比較高，涉及到求導(dǎo)公式及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的應(yīng)用，然后求出單調(diào)區(qū)間，求出最大最小值，得到值域。21.已知是拋物線：（）上一點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，且.（1）求拋物線的方程；（2）已知，過的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，以為圓心的圓與直線相切，試判斷圓與直線的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.【答案】（1）拋物線的方程為；（2）圓與直線相切．【解析】試題分析：（1）由拋物線的方程，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，過作于點(diǎn)，連接，利用等邊三角形，求得的值，即可得到拋物線的方程；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可得圓與直線相切．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，代入拋物線的方程，求得，進(jìn)而得到直線、的方程，求得點(diǎn)到直線的距離，得到，即可判定直線與圓相切．試題解析：（1）拋物線:（）的準(zhǔn)線方程為:，過作于點(diǎn)，連接，則，∵，∴為等邊三角形，∴，∴．∴拋物線的方程為．（2）直線的斜率不存在時(shí)，為等腰三角形，且．∴圓與直線相切．直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，代入拋物線方程，得，設(shè)，，則．直線的方程為，即，∴圓的半徑滿足．同理，直線的方程為，到直線的距離，．∴，∴，∴圓與直線相切，綜上所述，圓與直線相切．點(diǎn)睛：本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用問題，考查了轉(zhuǎn)換與化歸能力，當(dāng)看到題目中出現(xiàn)直線與圓錐曲線時(shí)，不需要特殊技巧，只要聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，借助根與系數(shù)關(guān)系，找準(zhǔn)題設(shè)條件中突顯的或隱含的等量關(guān)系，把這種關(guān)系“翻譯”出來，有時(shí)不一定要把結(jié)果及時(shí)求出來，可能需要整體代換到后面的計(jì)算中去，從而減少計(jì)算量．22.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明.【答案】（1）若，則當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞增．若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；（2）見解析.【解析】試題分析：（1）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號的變化情況討論單調(diào)性：當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）證明，即證，而，所以需證，設(shè)g（x）=lnxx+1，利用導(dǎo)數(shù)易得，即得證.試題解析：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+），.若a≥0，則當(dāng)x∈（0，+）時(shí)，，故f（x）在（0，+）單調(diào)遞增.若a＜0，則當(dāng)x∈時(shí)，；當(dāng)x∈時(shí)，.故f（x）在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）由（1）知，當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在取得最大值，最大值為.所以等價(jià)于，即.設(shè)g（x）=lnxx+1，則.當(dāng)x∈（0,1）時(shí)，；當(dāng)x∈（1，+）時(shí)，.所以g（x）