清單03軸對稱（16個考點(diǎn)梳理典型例題核心素養(yǎng)提升中考熱點(diǎn)聚焦）

清單03軸對稱（16個考點(diǎn)梳理+典型例題+核心素養(yǎng)提升+中考熱點(diǎn)聚焦）【知識導(dǎo)圖】【知識清單】考點(diǎn)一．線段垂直平分線的性質(zhì)（1）定義：經(jīng)過某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）垂直平分線，簡稱“中垂線”．（2）性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段．②垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫外心，并且這一點(diǎn)到三個頂點(diǎn)的距離相等．1．（2022秋?遵義期末）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線ED交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，若BC＝9，AC＝5，則△ACD的周長為．【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AD＝BD，再根據(jù)等量代換和三角形周長公式計算即可．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分線，∴AD＝BD，∴△ACD的周長為AD+AC+CD＝BD+AC+CD＝BC+AC＝14．故答案為：14．【點(diǎn)評】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋?東臺市期末）如圖，在△ABC中，AD是高，CE是中線，點(diǎn)G是CE的中點(diǎn)，DG⊥CE，垂足為G．（1）求證：AB＝2CD；（2）若∠AEC＝69°，求∠BCE的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)解答即可；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)等邊對等角解答即可．【解答】（1）證明：∵G是CE的中點(diǎn)，DG⊥CE，∴DG是CE的垂直平分線，∴DE＝DC，∵AD是高，CE是中線，∴DE是Rt△ADB的斜邊AB上的中線，∴，∴，∴AB＝2CD；（2）解：∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠BCE，∴∠EDB＝∠DEC+∠BCE＝2∠BCE，∵DE＝BE，∴∠B＝∠EDB，∴∠B＝2∠BCE，∴∠AEC＝3∠BCE＝69°，∴∠BCE＝23°．【點(diǎn)評】此題考查了直角三角形的性質(zhì)等腰三角形的性質(zhì)及線段垂直平分線的性質(zhì)．此題難度適中，注意根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)解答是解此題的關(guān)鍵．考點(diǎn)二．等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個底角相等．【簡稱：等邊對等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個元素中，從中任意取出兩個元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個元素為結(jié)論．3．（2022秋?平泉市期末）等腰三角形的周長為16，其中腰為x，則x不可能為（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】根據(jù)等腰三角形的周長和三角形的三邊關(guān)系逐項求解即可．【解答】解：A、當(dāng)x＝4時，三邊分別為4，4，8，∵4+4＝8，∴不能圍成三角形，∴腰不能為4，故選項符合題意；B、當(dāng)x＝5時，三邊分別為5，5，6，∵5+5＞6，∴能圍成三角形，∴腰能為5，故選項不符合題意；C、當(dāng)x＝6時，三邊分別為6，6，4，∵4+6＞6，∴能圍成三角形，∴腰能為6，故選項不符合題意；D、當(dāng)x＝7時，三邊分別為7，7，2，∵7+2＞7，∴能圍成三角形，∴腰能為7，故選項不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評】考查等腰三角形的定義以及三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握等腰三角形的兩腰相等是解題的關(guān)鍵．4．（2023春?江北區(qū)期末）等腰三角形的一個角是70°，它的底角的大小為（）A．70° B．40° C．70°或40° D．70°或55°【分析】題中未指明已知的角是頂角還是底角，故應(yīng)該分情況進(jìn)行分析，從而求解．【解答】解：①當(dāng)這個角是頂角時，底角＝（180°﹣70°）÷2＝55°；②當(dāng)這個角是底角時，另一個底角為70°，頂角為40°．故選：D．【點(diǎn)評】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理的綜合運(yùn)用．考點(diǎn)三．等腰三角形的判定判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等．【簡稱：等角對等邊】說明：①等腰三角形是一個軸對稱圖形，它的定義既作為性質(zhì)，又可作為判定辦法．②等腰三角形的判定和性質(zhì)互逆；③在判定定理的證明中，可以作未來底邊的高線也可以作未來頂角的角平分線，但不能作未來底邊的中線；④判定定理在同一個三角形中才能適用．5．（2022秋?雙遼市期末）如圖：E在△ABC的AC邊的延長線上，D點(diǎn)在AB邊上，DE交BC于點(diǎn)F，DF＝EF，BD＝CE．求證：△ABC是等腰三角形．（過D作DG∥AC交BC于G）【分析】過點(diǎn)D作DG∥AC交BC于點(diǎn)G，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出∠GDF＝∠E、∠DGB＝∠ACB，結(jié)合DF＝EF以及∠DFG＝∠EFC可證出△GDF≌△CEF（ASA），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出GD＝CE，結(jié)合BD＝CE可得出BD＝GD，進(jìn)而可得出∠B＝∠DGB＝∠ACB，由此即可證出△ABC是等腰三角形．【解答】證明：過點(diǎn)D作DG∥AC交BC于點(diǎn)G，如圖所示．∵DG∥AC，∴∠GDF＝∠E，∠DGB＝∠ACB．在△GDF和△CEF中，，∴△GDF≌△CEF（ASA），∴GD＝CE．∵BD＝CE，∴BD＝GD，∴∠B＝∠DGB＝∠ACB，∴△ABC是等腰三角形．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的判定、平行線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)△GDF≌△CEF找出GD＝CE＝BD是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋?江北區(qū)校級期末）已知在△ABC中，∠C＝3∠B，AD平分∠BAC交BC于D．（1）如圖1．若AE⊥BC于E，∠C＝75°，求∠DAE的度數(shù)；（2）如圖2，若DF⊥AD交AB于F，求證：BF＝DF．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義和垂直的定義解答即可；（2）根據(jù)角平分線的定義和等腰三角形的判定解答即可．【解答】（1）解：∵∠C＝3∠B，∠C＝75°，∴∠B＝25°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC＝40°，∴∠ADE＝∠BAD+∠B＝65°，∵AE⊥BC，∴∠AED＝90°，∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝90°﹣65°＝25°，（2）證明：設(shè)∠B＝α，則∠C＝3α，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣4α，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC，∵DF⊥AD，∴∠ADF＝90°，∴∠AFD＝90°﹣∠BAD＝2α，∵∠AFD＝∠B+∠BDF，∴∠BDF＝α＝∠B，∴BF＝DF．【點(diǎn)評】此題考查等腰三角形的判定，關(guān)鍵是根據(jù)角平分線的定義和垂直的定義解答．考點(diǎn)四．等腰三角形的判定與性質(zhì)1、等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有關(guān)問題中，會遇到一些添加輔助線的問題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見的輔助線，雖然“三線合一”，但添加輔助線時，有時作哪條線都可以，有時不同的做法引起解決問題的復(fù)雜程度不同，需要具體問題具體分析．3、等腰三角形性質(zhì)問題都可以利用三角形全等來解決，但要注意糾正不顧條件，一概依賴全等三角形的思維定勢，凡可以直接利用等腰三角形的問題，應(yīng)當(dāng)優(yōu)先選擇簡便方法來解決．7．（2022秋?九臺區(qū)期末）如圖，∠ACB＝90°，AC＝AD，DE⊥AB．求證：CE＝DE．【分析】根據(jù)垂直定義求出∠ADE＝∠ACB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠ACD＝∠ADC，根據(jù)角的和差求出∠ECD＝∠EDC，根據(jù)等腰三角形的判定即可得解．【解答】證明：∵DE⊥AB，∴∠ADE＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ADE＝∠ACB，∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，∴∠ECD＝∠EDC，∴CE＝DE．【點(diǎn)評】此題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟記等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋?河北區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ABC的平分線交CD的延長線于點(diǎn)E，F(xiàn)是BE的中點(diǎn)，連接CF并延長交AD于點(diǎn)G．（1）求證：BC＝EC．（2）若∠ADE＝110°，∠ABC＝52°，求∠CGD的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得到∠ABF＝∠CB．根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ABF＝∠E，推出△BCE是等腰三角形，即可得到結(jié)論．（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)待定的∠ABC+∠BCD＝180°．根據(jù)角平分線的定義即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF＝∠ABC．∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠E，∴∠CBF＝∠E，∴BC＝CE；（2）解：∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°．∵∠ABC＝52°，∴∠BCD＝128°．∵F是BE的中點(diǎn)，BC＝CE，∴CG平分∠BCD，∴∠GCD＝∠BCD＝64°，∵∠ADE＝110°，∠ADE＝∠CGD+∠GCD，∴∠CGD＝110°﹣64°＝46°．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，判斷出△BCE是等腰三角形是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋?韓城市期末）如圖，已知點(diǎn)D，E分別是△ABC的邊BA和BC延長線上的點(diǎn)，作∠DAC的平分線AF，若AF∥BC．（1）求證：△ABC是等腰三角形；（2）作∠ACE的平分線交AF于點(diǎn)G，若∠B＝40°，求∠AGC的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)角平分線定義得到∠DAF＝∠CAF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DAF＝∠B，∠CAF＝∠ACB，于是得到結(jié)論；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠BAC＝100°，由三角形的外角的性質(zhì)得到∠ACE＝∠BAC+∠B＝140°，根據(jù)角平分線定義得到ACE＝70°，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：∵AF平分∠DAC，∴∠DAF＝∠CAF，∵AF∥BC，∴∠DAF＝∠B，∠CAF＝∠ACB，∴∠B＝∠ACB，∴△ABC是等腰三角形；（2）解：∵AB＝AC，∠B＝40°，∴∠ACB＝∠B＝40°，∴∠BAC＝100°，∴∠ACE＝∠BAC+∠B＝140°，∵CG平分∠ACE，∴ACE＝70°，∵AF∥BC，∴∠AGC＝180°﹣∠BCG＝180°﹣40°﹣70°＝70°．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握等腰三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)五．等邊三角形的性質(zhì)（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作為判定一個三角形是否為等邊三角形的方法；②可以得到它與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂角和底角是相對而言的．（2）等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，且都等于60°．等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對邊，三邊的垂直平分線是對稱軸．10．（2022秋?芝罘區(qū)期末）如圖，點(diǎn)P、Q是邊長為9cm的等邊△ABC邊AB、BC上的動點(diǎn)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A出發(fā)沿線段AB運(yùn)動，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B出發(fā)沿線段BC運(yùn)動，它們的速度都為1cm/s，其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)后停止運(yùn)動．在P、Q運(yùn)動的過程中，設(shè)運(yùn)動時間為t秒，若△PBQ為直角三角形，則t的值為（）A．3 B．2或3 C．2或4 D．3或6【分析】假設(shè)運(yùn)動時間為t秒，則AP＝BQ＝tcm，AP＝BQ＝tcm，分當(dāng)∠PQB＝90°和∠QPB＝90°時，兩種情況討論，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)列出方程，解方程即可得出結(jié)論．【解答】解：假設(shè)運(yùn)動時間為t秒，則AP＝BQ＝tcm，AP＝BQ＝tcm，∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝60°，當(dāng)∠PQB＝90°時，則∠BPQ＝30°，∴PB＝2BQ，即9﹣t＝2t，解得t＝3；當(dāng)∠QPB＝90°時，則∠BQP＝30°，∴BQ＝2BP，得t＝2（9﹣t），解得t＝6，∴當(dāng)t＝6秒或3秒時，△PBQ為直角三角形．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，熟知直角三角形中30°所對的直角邊等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．11．（2022秋?河西區(qū)期末）如圖，在等邊三角形ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，以AD為邊作等腰三角形ADE，使AD＝AE，∠DAE＝80°，DE交AC于點(diǎn)F，∠BAD＝15°．（Ⅰ）求∠CAE的度數(shù)；（Ⅱ）求∠FDC的度數(shù)．【分析】（Ⅰ）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠BAE＝60°，由于∠BAD＝15°，求得∠DAC的度數(shù)，進(jìn)而求出∠CAE的度數(shù)；（Ⅱ）∠CAE即∠BAE與∠BAC之差，∠FDC可用∠ADC減去∠ADE得到．【解答】解：（Ⅰ）∵三角形ABC為等邊三角形，∴∠BAE＝60°，∵∠BAD＝15°，∴∠DAC＝60°﹣15°＝45°，∵∠DAE＝80°，∴∠CAE＝80°﹣45°＝35°；（Ⅱ）∵∠DAE＝80°，AD＝AE，∴∠ADE＝（180°﹣80°）＝50°，∠ADC＝∠BAD+∠B＝15°+60°＝75°，又∵∠ADE＝50°∴∠FDC＝∠ADC﹣∠ADE＝75°﹣50°＝25°．【點(diǎn)評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；利用三角形內(nèi)角和求角度是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋?海門市期末）如圖，△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足為點(diǎn)F．（1）求證：CE＝2CF；（2）若CF＝2，求△ABC的周長．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知∠ACB＝60°，再由DF⊥BE可知∠DFC＝90°，∠FDC＝90°﹣∠C＝30°，由直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）由CF＝2可得出CD＝4，故可得出AC的長，進(jìn)而可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，∴∠ACB＝60°，∵DF⊥BE，∴∠DFC＝90°，∠FDC＝90°﹣∠C＝30°，∴DC＝2CF．∵CE＝CD∴CE＝2CF；（2）解：∵CF＝2，由（1）知CE＝2CF，∴DC＝2CF＝4．∵△ABC為等邊三角形，BD是中線，∴AB＝BC＝AC＝2DC＝8，∴△ABC的周長＝AB+AC+BC＝8+8+8＝24．【點(diǎn)評】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，熟知邊三角形的三個內(nèi)角都相等，且都等于60°是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋?建昌縣期末）如圖，△ABC是等邊三角形，在直線BC的下方有一點(diǎn)D，且DB＝DC，連接AD交BC于點(diǎn)E．（1）判斷AD與BC的位置關(guān)系，并說明理由；（2）過點(diǎn)D作DF∥AB，AC＝5，F(xiàn)C＝3，求DF的長．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB＝AC，由DB＝DC得點(diǎn)A，D在線段BC的垂直平分線上，即AD⊥BC且AD平分BC；（2）△ABC是等邊三角形，又由（1）知AD垂直平分BC，可得∠CAD的度數(shù)，由平行得，∠CFD＝∠BAC＝60°，從而可得∠ADF的度數(shù)，推出AF＝DF，即可得出答案．【解答】解：（1）AD⊥BC且AD平分BC，理由如下：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC．∵DB＝DC，∴點(diǎn)A，D在線段BC的垂直平分線上，即AD⊥BC且AD平分BC．（2）∵△ABC是等邊三角形，又由（1）知AD垂直平分BC，∴．∵DF∥AB，∴∠CFD＝∠BAC＝60°，∴∠ADF＝∠CFD﹣∠CAD＝60°﹣30°＝30°，∴∠ADF＝∠CAD＝30°，∴AF＝DF，∵AF＝AC﹣FC＝5﹣3＝2，∴DF＝2．【點(diǎn)評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)以及線段垂直平分線的判定、平行線的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識的性質(zhì)．考點(diǎn)六．等邊三角形的判定（1）由定義判定：三條邊都相等的三角形是等邊三角形．（2）判定定理1：三個角都相等的三角形是等邊三角形．（3）判定定理2：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．說明：在證明一個三角形是等邊三角形時，若已知或能求得三邊相等則用定義來判定；若已知或能求得三個角相等則用判定定理1來證明；若已知等腰三角形且有一個角為60°，則用判定定理2來證明．14．（2022秋?南平期末）如圖，在△ABC中，BD是中線，延長BC到點(diǎn)E，使CE＝CD，若DB＝DE，∠E＝30°．求證：△ABC是等邊三角形．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得到∠DBC＝∠E＝30°，∠CDE＝∠E＝30°，可得∠BCD＝60°，求出∠BDC＝90°，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AB＝BC，從而求出∠A＝∠ACB＝60°＝∠ABC，即可證明．【解答】證明：∵DB＝DE，∴∠DBC＝∠E＝30°，∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E＝30°，∴∠BCD＝∠CDE+∠E＝60°，∴∠BDC＝90°，∵BD是中線，∴AB＝BC，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形．【點(diǎn)評】本題考查了等邊三角形的判定：三條邊都相等的三角形是等邊三角形；三個角都相等的三角形是等邊三角形；有一個角是60度的等腰三角形是等邊三角形．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．15．（2022秋?叢臺區(qū)校級期末）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．點(diǎn)D，E在BC邊上，且AD⊥AC，AE⊥AB．（1）求∠C的度數(shù)；（2）求證：△ADE是等邊三角形．【分析】（1）根據(jù)等邊對等角，以及三角形的內(nèi)角和定理求解即可；（2）根據(jù)∠B＝∠C＝30°，再根據(jù)AD⊥AC，AE⊥AB，和三角形的內(nèi)角和定理，證明∠ADE＝∠AED＝60°，得到∠DAE＝60°，即可證明△AED為等邊三角形．【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴，∴∠C＝30°；（2）證明：∵AD⊥AC，AE⊥AB，∠B＝∠C＝30°，∴∠BEA＝∠CDA＝60°，即∠ADE＝∠AED＝60°，∴∠DAE＝60°，∴△AED為等邊三角形．【點(diǎn)評】本題考查等邊三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握等邊對等角，以及三角形的內(nèi)角和是180°是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)七．等邊三角形的判定與性質(zhì)（1）等邊三角形是一個非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計算奠定了基礎(chǔ)，它的邊角性質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件．同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性質(zhì)，解題時要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應(yīng)用．（2）等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30°角的直角三角形、連接三邊中點(diǎn)可以把等邊三角形分成四個全等的小等邊三角形等．（3）等邊三角形判定最復(fù)雜，在應(yīng)用時要抓住已知條件的特點(diǎn)，選取恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒ǎ话愕?，若從一般三角形出發(fā)可以通過三條邊相等判定、通過三個角相等判定；若從等腰三角形出發(fā)，則想法獲取一個60°的角判定．16．（2023春?開江縣校級期末）如圖，△ABC是邊長為6cm的等邊三角形，動點(diǎn)P、Q同時從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC方向勻速移動．（1）當(dāng)點(diǎn)P的運(yùn)動速度是1cm/s，點(diǎn)Q的運(yùn)動速度是2cm/s，當(dāng)Q到達(dá)點(diǎn)C時，P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t（s），當(dāng)t＝2時，判斷△BPQ的形狀，并說明理由；（2）當(dāng)它們的速度都是1cm/s，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t（s），則當(dāng)t為何值時，△PBQ是直角三角形？【分析】（1）先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得：AB＝6cm，∠B＝60°，當(dāng)t＝2時，計算BP和BQ的長，根據(jù)等邊三角形的判定可得結(jié)論；（2）若△PBQ是直角三角形，則∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，根據(jù)直角三角形含30度角的性質(zhì)列方程可解答．【解答】解：（1）如圖，根據(jù)題意得：AP＝tcm，BQ＝2tcm，當(dāng)t＝2時，AP＝2cm，BQ＝4cm，∵△ABC是邊長為6cm的等邊三角形，∴AB＝6cm，∠B＝60°，∴BP＝4cm，∴BP＝BQ，∴△BPQ是等邊三角形；（2）△PBQ中，BP＝6﹣t，BQ＝t，若△PBQ是直角三角形，則∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，①當(dāng)∠BQP＝90°時，∠B＝60°，∴∠BPQ＝30°，∴BQ＝BP，即t＝，解得：t＝2；②當(dāng)∠BPQ＝90°時，同理得：BP＝BQ，即6﹣t＝t，解得：t＝4，答：當(dāng)t＝2s或t＝4s時，△PBQ是直角三角形．【點(diǎn)評】本題主要考查了直角三角形的判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，幾何動點(diǎn)問題，熟練掌握直角三角形含30度角的性質(zhì)是關(guān)鍵．17．（2023春?揭東區(qū)期末）已知，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D在CB的延長線上，且ED＝EC．（1）【特殊情況，探索結(jié)論】如圖1，當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請你直接寫出結(jié)論：AE＝DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．（2）【特例啟發(fā)，解答題目】如圖2，當(dāng)點(diǎn)E為AB邊上任意一點(diǎn)時，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請你直接寫出結(jié)論，AE＝DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，過點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F．（請你完成以下解答過程）．（3）【拓展結(jié)論，設(shè)計新題】在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)D在線段CB的延長線上，且ED＝EC，若△ABC的邊長為1，AE＝2，求CD的長（請你畫出相應(yīng)圖形，并直接寫出結(jié)果）．【分析】（1）由E為等邊三角形AB邊的中點(diǎn)，利用三線合一得到CE垂直于AB，且CE為角平分線，由ED＝EC，利用等邊對等角及等腰三角形的性質(zhì)得到一對角相等，利用等角對等邊即可得證；（2）AE＝DB，理由如下，過點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F，由三角形ABC為等邊三角形，得到三角形AEF為等邊三角形，進(jìn)而得到AE＝EF＝AF，BE＝FC，再由ED＝EC，以及等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS得到三角形BDE與三角形EFC全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到DB＝EF，等量代換即可得證；（3）點(diǎn)E在AB延長線上時，如圖所示，同理可得△DBE≌△EFC，由BC+DB求出CD的長即可．【解答】解：（1）當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時，AE＝DB；（2）AE＝DB，理由如下，過點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F，證明：∵△ABC為等邊三角形，∴△AEF為等邊三角形，∴AE＝EF，BE＝CF，∵ED＝EC，∴∠D＝∠ECD，∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD，∴∠DEB＝∠ECF，在△DBE和△EFC中，，∴△DBE≌△EFC（SAS），∴DB＝EF，則AE＝DB；（3）點(diǎn)E在AB延長線上時，作EF∥AC，則△EFB為等邊三角形，如圖所示，同理可得△DBE≌△CFE，∵AB＝1，AE＝2，∴BE＝1，∵DB＝FC＝FB+BC＝2，則CD＝BC+DB＝3．故答案為：（1）＝；（2）＝【點(diǎn)評】此題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．18．（2023春?東港市期末）如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，D是△ABC外的一點(diǎn)，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，連接OD．（1）求證：△OCD是等邊三角形；（2）當(dāng)α＝150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；（3）探究：當(dāng)α為多少度時，△AOD是等腰三角形．【分析】（1）根據(jù)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形可得證；（2）根據(jù)全等易得∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，結(jié)合（1）中的結(jié)論可得∠ADO為90°，那么可得所求三角形的形狀；（3）根據(jù)題中所給的全等及∠AOB的度數(shù)可得∠AOD的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的兩底角相等分類探討即可．【解答】證明：（1）∵△BOC≌△ADC，∴OC＝DC，∵∠OCD＝60°，∴△OCD是等邊三角形．解：（2）△AOD是直角三角形．理由如下：∵△OCD是等邊三角形，∴∠ODC＝60°，∵△BOC≌△ADC，α＝150°，∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，∴△AOD是直角三角形．（3）∵△OCD是等邊三角形，∴∠COD＝∠ODC＝60°．∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．①當(dāng)∠AOD＝∠ADO時，190°﹣α＝α﹣60°，∴α＝125°．②當(dāng)∠AOD＝∠OAD時，190°﹣α＝50°，∴α＝140°．③當(dāng)∠ADO＝∠OAD時，α﹣60°＝50°，∴α＝110°．綜上所述：當(dāng)α＝110°或125°或140°時，△AOD是等腰三角形．【點(diǎn)評】綜合考查了全等三角形的性質(zhì)及等腰三角形的判定；注意應(yīng)分類探討三角形為等腰三角形的各種情況．考點(diǎn)八．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．（2）此結(jié)論是由等邊三角形的性質(zhì)推出，體現(xiàn)了直角三角形的性質(zhì)，它在解直角三角形的相關(guān)問題中常用來求邊的長度和角的度數(shù)．（3）注意：①該性質(zhì)是直角三角形中含有特殊度數(shù)的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能應(yīng)用；②應(yīng)用時，要注意找準(zhǔn)30°的角所對的直角邊，點(diǎn)明斜邊．19．（2022秋?靖西市期末）如圖，一條船上午8時從海島A出發(fā)，以20海里/時的速度向正北方向航行，上午10時到達(dá)海島B處，分別從A，B處望燈塔C，測得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°．（1）求海島B到燈塔C的距離；（2）若這條船繼續(xù)向正北航行，問上午幾時小船與燈塔C的距離最短？【分析】（1）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，得∠ACB＝∠NBC﹣∠NAC＝30°，那么∠ACB＝∠NAC，故AB＝BC＝40（海里）．（2）如圖，過點(diǎn)C作CP⊥AB于點(diǎn)P，根據(jù)垂線段最短，線段CP的長為小船與燈塔C的最短距離．欲確定什么時間小船與燈塔C的距離最短，求得AP．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得∠PCB＝180°﹣∠BPC﹣∠CBP＝30°．根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，在Rt△CBP中，∠BCP＝30°，得PB＝BC＝20（海里），那么AP＝AB+BP＝40+20＝60（海里），從而解決此題．【解答】解：（1）由題意得：AB＝20×2＝40（海里）．∵∠NBC＝60°，∠NAC＝30°，∴∠ACB＝∠NBC﹣∠NAC＝30°．∴∠ACB＝∠NAC．∴AB＝BC＝40（海里）．∴從海島B到燈塔C的距離為40海里．（2）如圖，過點(diǎn)C作CP⊥AB于點(diǎn)P．∴根據(jù)垂線段最短，線段CP的長為小船與燈塔C的最短距離，∠BPC＝90°．又∵∠NBC＝60°，∴∠PCB＝180°﹣∠BPC﹣∠CBP＝30°．在Rt△CBP中，∠BCP＝30°，∴PB＝BC＝20（海里），∴AP＝AB+BP＝40+20＝60（海里）．∴航行的時間為60÷20＝3（時）．∴若這條船繼續(xù)向正北航行，上午11時小船與燈塔C的距離最短．【點(diǎn)評】本題主要考查等腰三角形的判定、三角形外角的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、垂線段最短，熟練掌握等腰三角形的判定、三角形外角的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、垂線段最短是解決本題的關(guān)鍵．20．（2023春?青島期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分線分別交AB和AC于點(diǎn)D，E．（1）求證：AE＝2CE；（2）連接CD，請判斷△BCD的形狀，并說明理由．【分析】（1）連接BE，由垂直平分線的性質(zhì)可求得∠EBC＝∠ABE＝∠A＝30°，在Rt△BCE中，由直角三角形的性質(zhì)可證得BE＝2CE，則可證得結(jié)論；（2）由垂直平分線的性質(zhì)可求得CD＝BD，且∠ABC＝60°，可證明△BCD為等邊三角形．【解答】（1）證明：連接BE，∵DE是AB的垂直平分線，∴AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝30°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，在Rt△BCE中，BE＝2CE，∴AE＝2CE；（2）解：△BCD是等邊三角形，理由如下：連接CD．∵DE垂直平分AB，∴D為AB中點(diǎn)，∵∠ACB＝90°，∴CD＝BD，∵∠ABC＝60°，∴△BCD是等邊三角形．【點(diǎn)評】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)九．生活中的軸對稱現(xiàn)象（1）軸對稱的概念：把一個圖形沿某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，也稱軸對稱；這條直線叫做對稱軸．（2）軸對稱包含兩層含義：①有兩個圖形，且這兩個圖形能夠完全重合，即形狀大小完全相同；②對重合的方式有限制，只能是把它們沿一條直線對折后能夠重合．21．（2022秋?東阿縣期末）下列是四張益智器具圖片，從對稱的角度來看，哪一張與另三張不一樣（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念，對各選項分析判斷，即可解答．【解答】解：A、是軸對稱圖形；B、不是軸對稱圖形；C、是軸對稱圖形；D、是軸對稱圖形；所以，上列是四張益智器具圖片，從對稱的角度來看，B圖與另三張不一樣，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了生活中的軸對稱現(xiàn)象，熟練掌握軸對稱圖形的概念是解題的關(guān)鍵．22．（2022秋?高陽縣校級期末）如圖是跳棋盤，其中格點(diǎn)上的黑色點(diǎn)為棋子，剩余的格點(diǎn)上沒有棋子，我們約定跳棋游戲的規(guī)則是：把跳棋棋子在棋盤內(nèi)沿直線隔著棋子對稱跳行，跳行一次稱為一步，已知點(diǎn)A為乙方一枚棋子，欲將棋子A跳進(jìn)對方區(qū)域（陰影部分的格點(diǎn)），則跳行的最少步數(shù)為（）A．2步 B．3步 C．4步 D．5步【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，由軸對稱的性質(zhì)判定正確選項．【解答】解：觀察圖形可知：先向右跳行，在向左，最后沿著對稱的方法即可跳到對方那個區(qū)域，所以最少是3步．故選B．【點(diǎn)評】此題考查軸對稱的基本性質(zhì)，注意：對稱軸垂直平分對應(yīng)點(diǎn)的連線．通過對稱的性質(zhì)找到最短的路線是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)十．軸對稱的性質(zhì)（1）如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．由軸對稱的性質(zhì)得到一下結(jié)論：①如果兩個圖形的對應(yīng)點(diǎn)的連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱；②如果兩個圖形成軸對稱，我們只要找到一對對應(yīng)點(diǎn)，作出連接它們的線段的垂直平分線，就可以得到這兩個圖形的對稱軸．（2）軸對稱圖形的對稱軸也是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．23．（2023春?興慶區(qū)校級期末）如圖，△ABC與△A'B'C'關(guān)于直線l對稱，則AC＝（）A．A'B' B．B'C' C．BC D．A'C'【分析】先根據(jù)△ABC和△A′B′C′關(guān)于直線l對稱得出△ABC≌△A′B′C′，故可得出AC＝A'C′．【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′關(guān)于直線l對稱，∴△ABC≌△A′B′C′，∴AC＝A'C′．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查的是軸對稱的性質(zhì)，熟知關(guān)于軸對稱的兩個圖形全等是解答此題的關(guān)鍵．24．（2022秋?昆明期末）如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為格點(diǎn)三角形，圖中的△ABC為格點(diǎn)三角形，在圖中與△ABC成軸對稱的格點(diǎn)三角形可以畫出（）A．6個 B．5個 C．4個 D．3個【分析】根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)分別確定出不同的對稱軸，然后作出軸對稱三角形即可得解【解答】解：如圖，最多能畫出6個格點(diǎn)三角形與△ABC成軸對稱．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了利用軸對稱變換作圖，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)并準(zhǔn)確找出對應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵，本題難點(diǎn)在于確定出不同的對稱軸．25．（2023春?永春縣期末）如圖為一張銳角三角形紙片ABC，小明想要通過折紙的方式折出如下線段：①BC邊上的中線AD；②∠A的平分線AE；③BC邊上的高AF．根據(jù)所學(xué)知識與相關(guān)活動經(jīng)驗可知：上述三條線中，能夠通過折紙折出的有（）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③【分析】根據(jù)三角形的中線，角平分線以及高的定義作答．【解答】解：①BC邊上的中線AD：如圖1，使點(diǎn)B、C重合，中點(diǎn)為點(diǎn)D，連接AD，此時AD即為BC邊上的中線；②∠A的平分線AE：如圖2，沿直線AE折疊，使AB與AC重疊，此時AE即為BC邊上的角平分線；③BC邊上的高AF：如圖3，沿直線AF折疊，使BF與CF重合，此時AF即為BC邊上的高．綜上所述，所有能夠通過折紙折出的有①②③．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查的是軸對稱的性質(zhì)，涉及到圖形的翻折變換，三角形的角平分線、中線以及高線，掌握三角形的角平分線、中線以及高線的幾何意義是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)十一．軸對稱圖形（1）軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，這時，我們也可以說這個圖形關(guān)于這條直線（成軸）對稱．（2）軸對稱圖形是針對一個圖形而言的，是一種具有特殊性質(zhì)圖形，被一條直線分割成的兩部分沿著對稱軸折疊時，互相重合；軸對稱圖形的對稱軸可以是一條，也可以是多條甚至無數(shù)條．（3）常見的軸對稱圖形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圓等等．26．（2022秋?鎮(zhèn)江期末）我市積極普及科學(xué)防控知識，下面是科學(xué)防控知識的圖片，圖片上有圖案和文字說明，其中的圖案是軸對稱圖形的是（）A．防控疫情我們在一起 B．有癥狀早就醫(yī) C．打噴嚏捂口鼻 D．勤洗手勤通風(fēng)【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進(jìn)行分析即可．【解答】解：B，C，D選項中的圖形都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；A選項中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．27．（2022秋?望城區(qū)期末）如圖是2×5的正方形網(wǎng)格，△ABC的頂點(diǎn)都在小正方形的格點(diǎn)上，這樣的三角形稱為格點(diǎn)三角形．則在網(wǎng)格中，能畫出且與△ABC成軸對稱的格點(diǎn)三角形一共有（）個．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】直接利用軸對稱圖形的性質(zhì)結(jié)合題意得出答案．【解答】解：如圖所示：在網(wǎng)格中與△ABC成軸對稱的格點(diǎn)三角形一共有4個，故選：D．【點(diǎn)評】此題主要考查了軸對稱的性質(zhì)，正確掌握軸對稱圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)十二．鏡面對稱1、鏡面對稱：有時我們把軸對稱也稱為鏡面（鏡子、鏡像）對稱，如果沿著圖形的對稱軸上放一面鏡子，那么在鏡子里所放映出來的一半正好把圖補(bǔ)成完整的（和原來的圖形一樣）．2、鏡面實質(zhì)上是無數(shù)對對應(yīng)點(diǎn)的對稱，連接對應(yīng)點(diǎn)的線段與鏡面垂直并且被鏡面平分，即鏡面上有每一對對應(yīng)點(diǎn)的對稱軸．3、關(guān)于鏡面問題動手實驗是最好的辦法，如手頭沒有鏡面，可以寫在透明紙上，從反面看到的結(jié)果就是鏡面反射的結(jié)果．28．（2022秋?汾陽市期末）如圖，這是平面鏡成像的示意圖，若以蠟燭的底部和平面鏡中像的底部連線為x軸，平面鏡所在點(diǎn)的豎線為y軸（鏡面厚度忽略不計）建立平面直角坐標(biāo)系，某時刻火焰頂部S的坐標(biāo)是（﹣1.5，1），則此時對應(yīng)的虛像S'的坐標(biāo)是（）A．（1.5，﹣1） B．（1，1.5） C．（1，﹣1.5） D．（1.5，1）【分析】利用關(guān)于y軸對稱點(diǎn)的性質(zhì)得出答案．【解答】解：某時刻火焰頂部S的坐標(biāo)是（﹣1.5，1），則此時對應(yīng)的虛像S'的坐標(biāo)是（1.5，1）．故選：D．【點(diǎn)評】此題主要考查了鏡面對稱，正確掌握軸對稱圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．29．（2022秋?芮城縣期末）小剛從鏡子中看到的電子表的讀數(shù)是[15：01]，則電子表的實際度數(shù)是．【分析】鏡子中看到的數(shù)字與實際數(shù)字是關(guān)于鏡面成垂直的線對稱．注意鏡子的5實際應(yīng)為2．【解答】解：如圖：電子表的實際時刻是10：21．故答案為10：21．【點(diǎn)評】此題主要考查了鏡面對稱，可以把數(shù)據(jù)抄下來，反過來看看，這樣最直觀．考點(diǎn)十三．關(guān)于x軸、y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)（1）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．即點(diǎn)P（x，y）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)是（x，﹣y）．（2）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變．即點(diǎn)P（x，y）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)是（﹣x，y）．30．（2022秋?新鄉(xiāng)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于x軸對稱，已知點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于y軸對稱，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，2），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，﹣2） D．（2，﹣1）【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，可得答案．【解答】解：點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，2），點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對稱，得B（﹣1，﹣2）；點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于y軸對稱，得C（1，﹣2）．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了關(guān)于x軸、y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)．31．（2022秋?天津期末）已知點(diǎn)A（m，2）和B（3，n）關(guān)于y軸對稱，則（m+n）2023的值為（）A．0 B．﹣1 C．1 D．（﹣5）2023【分析】根據(jù)關(guān)于y軸對稱點(diǎn)的特點(diǎn)，求出m＝﹣3，n＝2，然后代入求值即可．【解答】解：∵點(diǎn)A（m，2）和B（3，n）關(guān)于y軸對稱，∴m＝﹣3，n＝2，∴（m+n）2023＝（﹣3+2）2023＝（﹣1）2023＝﹣1，故B正確．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了關(guān)于y軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，代數(shù)式求值，乘方運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟記關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相同．考點(diǎn)十四．坐標(biāo)與圖形變化對稱（1）關(guān)于x軸對稱橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．（2）關(guān)于y軸對稱縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)．（3）關(guān)于直線對稱①關(guān)于直線x＝m對稱，P（a，b）?P（2m﹣a，b）②關(guān)于直線y＝n對稱，P（a，b）?P（a，2n﹣b）32．（2022秋?開江縣校級期末）如圖，在直角坐標(biāo)系中，直角三角形ABC的頂點(diǎn)A在x軸上，頂點(diǎn)B在y軸上，∠ACB＝90°，OB∥AC，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，2），點(diǎn)D和點(diǎn)C關(guān)于AB成軸對稱，且AD交y軸于點(diǎn)E．那么點(diǎn)E的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)已知條件得到AC＝OB＝2，BC＝OA＝1，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到∠DAB＝∠CAB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ABE＝∠BAC，于是得到∠ABE＝∠BAE，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】解：∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，2），∴AC＝OB＝2，BC＝OA＝1，∵點(diǎn)D和點(diǎn)C關(guān)于AB成軸對稱，∴∠DAB＝∠CAB，∵OB∥AC，∴∠ABE＝∠BAC，∴∠ABE＝∠BAE，∴AE＝BE，∵AE2＝OE2+OA2，∴（2﹣OE）2＝OE2+12，∴OE＝，∴E（0，），故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了坐標(biāo)與圖形變換﹣對稱，勾股定理，熟練掌握對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．33．（2022秋?長沙期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l過點(diǎn)A且平行于x軸，交y軸于點(diǎn)（0，1），△ABC關(guān)于直線l對稱，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣1，﹣1），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A．（﹣2，1） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣3，1）【分析】根據(jù)軸對稱的兩點(diǎn)到對稱軸的距離相等，即可得出答案．【解答】解：根據(jù)題意得出點(diǎn)A和點(diǎn)B是關(guān)于直線y＝1對稱的對應(yīng)點(diǎn)，它們到y(tǒng)＝1的距離相等是2個單位長度，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)是（﹣1，1+2），即（﹣1，3）．故選：B．【點(diǎn)評】此題考查了坐標(biāo)與圖形變化﹣對稱，解此類問題的關(guān)鍵是要掌握軸對稱的性質(zhì)：對稱軸垂直平分對應(yīng)點(diǎn)的連線．利用此性質(zhì)可在坐標(biāo)系中得到對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)．考點(diǎn)十五．作圖軸對稱變換幾何圖形都可看做是由點(diǎn)組成，我們在畫一個圖形的軸對稱圖形時，也是先從確定一些特殊的對稱點(diǎn)開始的，一般的方法是：①由已知點(diǎn)出發(fā)向所給直線作垂線，并確定垂足；②直線的另一側(cè)，以垂足為一端點(diǎn)，作一條線段使之等于已知點(diǎn)和垂足之間的線段的長，得到線段的另一端點(diǎn)，即為對稱點(diǎn)；③連接這些對稱點(diǎn)，就得到原圖形的軸對稱圖形．34．（2022秋?陜州區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（﹣1，2）、B（﹣4，0）、C（﹣3，﹣2）．（1）在圖中作出△ABC關(guān)于y軸的對稱圖形△A′B′C'，并寫出點(diǎn)B′的坐標(biāo)；（2）請直接寫出△ABC的面積；（3）若點(diǎn)M（m﹣1，3）與點(diǎn)N（﹣2，n+1）關(guān)于x軸對稱，請直接寫出m、n的值．【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可畫出△A′B′C'進(jìn)而可得點(diǎn)B′的坐標(biāo)；（2）根據(jù)網(wǎng)格即可求出△ABC的面積；（3）根據(jù)點(diǎn)M（m﹣1，3）與點(diǎn)N（﹣2，n+1）關(guān)于x軸對稱，即可寫出m、n的值．【解答】解：（1）如圖，△A′B′C'即為所求，點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（4，0）；（2）△ABC的面積為：3×4﹣2×3﹣2×4﹣1×2＝12﹣3﹣4﹣1＝4；（3）∵點(diǎn)M（m﹣1，3）與點(diǎn)N（﹣2，n+1）關(guān)于x軸對稱，∴m﹣1＝﹣2，n+1＝﹣3，解得m＝﹣1，n＝﹣4．【點(diǎn)評】本題考查了作圖﹣軸對稱變換，解決本題的關(guān)鍵是掌握軸對稱的性質(zhì)．35．（2022秋?碑林區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點(diǎn)位置如圖所示．（1）請畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A′B′C′（其中A′，B′，C′分別是A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)）；（2）直接寫出△A′B′C′三點(diǎn)的坐標(biāo)：A′，B′，C′；（3）求AC′的長為．考點(diǎn)十六．軸對稱最短路線問題1、最短路線問題在直線L上的同側(cè)有兩個點(diǎn)A、B，在直線L上有到A、B的距離之和最短的點(diǎn)存在，可以通過軸對稱來確定，即作出其中一點(diǎn)關(guān)于直線L的對稱點(diǎn)，對稱點(diǎn)與另一點(diǎn)的連線與直線L的交點(diǎn)就是所要找的點(diǎn)．2、凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合本節(jié)所學(xué)軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對稱點(diǎn)．36．（2023春?宣漢縣校級期末）如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為4，面積是16，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于E，F(xiàn)點(diǎn)．若點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動點(diǎn)，則△CDM周長的最小值為（）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】連接AD，由于△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，故AD⊥BC，再根據(jù)三角形的面積公式求出AD的長，再再根據(jù)EF是線段AC的垂直平分線可知，點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A，故AD的長為CM+MD的最小值，由此即可得出結(jié)論．【解答】解：連接AD，∵△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝BC?AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8，∵EF是線段AC的垂直平分線，∴點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A，∴AD的長為CM+MD的最小值，∴△CDM的周長最短＝CM+MD+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查的是軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．37．（2022秋?思明區(qū)期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，直線l與網(wǎng)格線重合，點(diǎn)A，C，A′，B′均在網(wǎng)格點(diǎn)上．（1）已知△ABC和△A′B′C′關(guān)于直線l對稱，請在圖上把△ABC和△A′B′C′補(bǔ)充完整：（2）在以直線l為y軸的坐標(biāo)系中，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，b），則點(diǎn)A′的坐標(biāo)為；（3）在直線l上畫出點(diǎn)P，使得PA+PC最短．【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作圖即可；（2）根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征求解即可；（3）連接A'C，與直線l交于點(diǎn)P，連接PA，此時PA+PC最短．【解答】解：（1）如圖，△ABC和△A′B′C′即為所求；（2）由題意可得，點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（﹣a，b）．故答案為：（﹣a，b）；（3）如圖，點(diǎn)P即為所求．【點(diǎn)評】本題考查軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題、作圖﹣軸對稱變換、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．38．（2022秋?劍閣縣期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)M．（1）若∠B＝70°，求∠BAC的大?。?）連接MB，若AB＝8cm，△MBC的周長是14cm．①求BC的長；②在直線MN上是否存在點(diǎn)P，使PB+CP的值最小，若存在，標(biāo)出點(diǎn)P的位置并求PB+CP的最小值，若不存在，說明理由．【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，可得AM與MB的關(guān)系，再根據(jù)三角形的周長，可得答案；根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可得P點(diǎn)與M點(diǎn)的關(guān)系，可得PB+PC與AC的關(guān)系．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠B＝70°，∴∠BAC＝180°﹣70°×2＝40°；（2）∵M(jìn)N垂直平分AB．∴MB＝MA，又∵△MBC的周長是14cm，∴AC+BC＝14cm，∴BC＝6cm．（3）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時，PB+CP的值最小，為AC長，最小值是8cm．【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等得出PB＝PA．39．（2022秋?西鄉(xiāng)塘區(qū)校級期末）如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)E，若△ABC為等邊三角形，∠BAD＝90°，AD＝DC＝2．（1）求證：BD垂直平分AC；（2）求BE的長；（3）若點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，請在BD上找出一點(diǎn)P，使PC+PF取得最小值；PC+PF的最小值為3（直接寫出結(jié)果）．【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理證明即可；（2）根據(jù)∠ABD＝30°，確定BD＝4；根據(jù)∠EAD＝30°，確定ED＝1；根據(jù)BE＝BD﹣ED計算即可；（3）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)求線段和的最值問題，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)確定即可．【解答】解：（1）∵AD＝DC，∴點(diǎn)D在線段AC的垂直平分線上；∵△ABC是等邊三角形，∴BA＝BC，∴點(diǎn)B在線段AC的垂直平分線上；根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線，∴BD是線段AC的垂直平分線；∴BD垂直平分AC；（2）∵△ABC是等邊三角形，AD⊥AB，BD垂直平分AC，∴∠ABD＝30°，∠EAD＝30°，∵AD＝DC＝2，∴BD＝4，ED＝1，∴BE＝BD﹣ED＝4﹣1＝3；（3）∵BD垂直平分AC，∴點(diǎn)C關(guān)于直線BD的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A，連接AF，交BD于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求；∵△ABC是等邊三角形，BF＝CF，∴AF⊥BC，∴AF＝BE＝3，故答案為：3．【點(diǎn)評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題關(guān)鍵．40．（2022秋?松原期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝4，CD平分∠ACB，交邊AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)．點(diǎn)P為邊CB上的一個動點(diǎn)．（1）AE＝，∠ACD＝度；（2）當(dāng)四邊形ACPD為軸對稱圖形時，求CP的長；（3）若△CPD是等腰三角形，求∠CPD的度數(shù)；（4）若點(diǎn)M在線段CD上，連接MP、ME，直接寫出MP+ME的值最小時CP的長度．【分析】（1）根據(jù)題意可得∠B＝30°，則AB＝2AC＝2AE，即可求出AE的長，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求出∠ACD的度數(shù)．（2）根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)即可解答．（3）根據(jù)題意可得∠PCD＝45°，分三種情況：當(dāng)PC＝PD時；當(dāng)DP＝DC時；當(dāng)CP＝CD時．再依次根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．（4）過點(diǎn)M作MP⊥BC，作點(diǎn)P關(guān)于CD的對稱點(diǎn)P′，根據(jù)題意可得∠PCM＝∠P′CM，CM＝CM，∠MPC＝∠MP′C＝90°，根據(jù)AAS可證明△PCM≌△P′CM，則PM＝P′M，CP＝CP′，因此MP+ME＝MP′+ME≥EP′，以此得出當(dāng)點(diǎn)E、M、P′三點(diǎn)共線時，MP+ME的值最小，此時EP′∥BC，最后根據(jù)解含30度角的直角三角形即可得到結(jié)果．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝30°，∴AB＝2AC＝8，∵點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，∴，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝°＝45°；故答案為：4，45．（2）∵四邊形ACPD為軸對稱圖形，CD平分∠ACB，∴對稱軸為直線CD，∴CP＝CA＝4；（3）∵CD平分∠ACB，∴∠PCD＝45°，當(dāng)PC＝PD時，∠PDC＝∠PCD＝45°，∴∠CPD＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD＝90°；當(dāng)DP＝DC時，∠CPD＝∠PCD＝45°；當(dāng)CP＝CD時，∠CPD＝∠CDP＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°；綜上，∠CPD的度數(shù)為90°或45°或67.5°．（4）如圖，點(diǎn)M在CD上，且MP⊥BC，作點(diǎn)P關(guān)于CD的對稱點(diǎn)P′，∵M(jìn)P⊥BC，∴MP′⊥AC，∵CD平分∠ACB，∴∠PCM＝∠P′CM，在△PCM和△P′CM中，，∴△PCM≌△P′CM（AAS），∴PM＝P′M，CP＝CP′，∵M(jìn)P+ME＝MP′+ME≥EP′，∴當(dāng)點(diǎn)E、M、P′三點(diǎn)共線時，MP+ME的值最小，又∵根據(jù)垂線段最短，∴當(dāng)EP′⊥AC時，EP′有最小值，∴EP′∥BC，∴∠AEP′＝∠B＝30°，∠AP′E＝∠ACB＝90°，∵AE＝4，∴AP′＝＝2，∴CP＝CP′＝AC﹣AP′＝2．【點(diǎn)評】本題主要考查軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、含30度角的直角三角形、角平分線的性質(zhì)，本題綜合性較強(qiáng)，作出輔助線，得出當(dāng)點(diǎn)E、M、P′三點(diǎn)共線時，MP+ME的值最小是解題關(guān)鍵．【核心素養(yǎng)提升】1邏輯推理——用轉(zhuǎn)化思想求圖形的周長1．（2023秋?廣陵區(qū)月考）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，且BD＝DE．（1）若∠C＝40°，求∠BAD的度數(shù)；（2）若AC＝5，DC＝4，求△ABC的周長．【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線和等腰三角形性質(zhì)得出AE＝CE，求出∠C＝∠EAC，即可得出答案；（2）根據(jù)已知能推出2DC+AC＝13，即可得出答案．【解答】（1）解：∵EF垂直平分AC，∴AE＝CE，∴∠C＝∠EAC＝40°，∵AD⊥BC，BD＝DE，∴AB＝AE，∴∠B＝∠BEA＝2∠C＝80°，∴∠BAD＝90°﹣80°＝10°；（2）由（1）知：AE＝EC＝AB，∵BD＝DE，∴AB+BD＝DE+AE＝DE+CE＝DC，∴C△ABC＝AB+BC+AC＝2DC+AC＝2×4+5＝13．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)行性質(zhì)進(jìn)行推理和計算的能力，題目比較好，難度適中．2．（2022秋?興化市月考）如圖，△ABC中，∠BAC＝110°，DE、FG分別為AB、AC的垂直平分線，E、G分別為垂足．（1）求∠DAF的度數(shù)；（2）如果BC＝10，求△DAF的周長．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求∠B+∠C；根據(jù)垂直平分線性質(zhì)，DA＝BD，F(xiàn)A＝FC，則∠EAD＝∠B，∠FAC＝∠C，得出∠DAF＝∠BAC﹣∠EAD﹣∠FAC＝110°﹣（∠B+∠C）求出即可．（2）由（1）中得出，AD＝BD，AF＝FC，即可得出△DAF的周長為BD+FC+DF＝BC，即可得出答案．【解答】解：（1）設(shè)∠B＝x，∠C＝y(tǒng)．∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴110°+∠B+∠C＝180°，∴x+y＝70°．∵AB、AC的垂直平分線分別交BA于E、交AC于G，∴DA＝BD，F(xiàn)A＝FC，∴∠EAD＝∠B，∠FAC＝∠C．∴∠DAF＝∠BAC﹣（x+y）＝110°﹣70°＝40°．（2）∵AB、AC的垂直平分線分別交BA于E、交AC于G，∴DA＝BD，F(xiàn)A＝FC，∴△DAF的周長＝AD+DF+AF＝BD+DF+FC＝BC＝10．【點(diǎn)評】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角形的性質(zhì)．注意掌握垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等定理的應(yīng)用，注意數(shù)形結(jié)合思想與整體思想的應(yīng)用．2分類討論思想3．（2022秋?建鄴區(qū)校級期中）在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，動點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿著CB運(yùn)動，速度為每秒2個單位，到達(dá)點(diǎn)B時運(yùn)動停止，設(shè)運(yùn)動時間為t秒，請解答下列問題：（1）求BC上的高；（2）當(dāng)t為何值時，△ACP為等腰三角形？【分析】（1）過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，根據(jù)三角形的面積公式解答即可；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分三種情況進(jìn)行解答即可．【解答】解：（1）過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，∵AB2+AC2＝100BC2＝100∴AB2+AC2＝BC2∴∠BAC＝90°即△ABC為直角三角形，∴∴AD＝4.8；（2）當(dāng)AC＝PC時，∵AC＝6，∴AC＝PC＝6，∴t＝3秒；當(dāng)AP＝AC時，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，PD＝DCCD＝＝3.6，∴PC＝7.2，∴t＝3.6秒；當(dāng)AP＝PC時，∠PAC＝∠C∵∠BAC＝90°∴∠BAP+∠PAC＝90°∠B+∠C＝90°∴∠BAP＝∠B∴PB＝PA∴PB＝PC＝5∴t＝2.5綜上所述，t＝3秒或3.6秒或2.5秒．【點(diǎn)評】此題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分三種情況進(jìn)行解答．3數(shù)學(xué)建模——構(gòu)建方程模型解決問題4．（2022秋?淮安區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC邊上的兩個動點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿A→B方向運(yùn)動，且速度為每秒1cm，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿B→C→A方向運(yùn)動，且速度為每秒2cm，它們同時出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時間為t秒．（1）BP＝（用t的代數(shù)式表示）（2）當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動時，出發(fā)幾秒后，△PQB是等腰三角形？（3）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動時，出發(fā)秒后，△BCQ是以BC或BQ為底邊的等腰三角形？【分析】（1）根據(jù)題意即可用t可分別表示出BP；（2）結(jié)合（1），根據(jù)題意再表示出BQ，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得到BP＝BQ，可得到關(guān)于t的方程，可求得t；（3）用t分別表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性質(zhì)可分CQ＝BC和BQ＝CQ三種情況，分別得到關(guān)于t的方程，可求得t的值．【解答】解：（1）由題意可知AP＝t，BQ＝2t，∵AB＝16cm，∴BP＝AB﹣AP＝（16﹣t）cm，故答案為：（16﹣t）cm；（2）當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動，△PQB為等腰三角形時，則有BP＝BQ，即16﹣t＝2t，解得t＝，∴出發(fā)秒后，△PQB能形成等腰三角形；（3）①當(dāng)△BCQ是以BC為底邊的等腰三角形時：CQ＝BQ，如圖1所示，則∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ，∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝10（cm），∴BC+CQ＝22（cm），∴t＝22÷2＝11；②當(dāng)△BCQ是以BQ為底邊的等腰三角形時：CQ＝BC，如圖2所示，則BC+CQ＝24（cm），∴t＝24÷2＝12，綜上所述：當(dāng)t為11或12時，△BCQ是以BC或BQ為底邊的等腰三角形．故答案為：11秒或12．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識．用時間t表示出相應(yīng)線段的長，化“動”為“靜”是解決這類問題的一般思路，注意方程思想的應(yīng)用．4數(shù)形結(jié)合思想5．（2022秋?興化市校級月考）在等邊△ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，D為△ABC外一點(diǎn)，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及△AMN的周長Q與等邊△ABC的周長L的關(guān)系．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且DM＝DN時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是；此時＝；（2）如圖2，點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且當(dāng)DM≠DN時，猜想（I）問的兩個結(jié)論還成立嗎？若成立請直接寫出你的結(jié)論；若不成立請說明理由．（3）如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，探索BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系如何？并給出證明．【分析】（1）由DM＝DN，∠MDN＝60°，可證得△MDN是等邊三角形，又由△ABC是等邊三角形，CD＝BD，易證得Rt△BDM≌Rt△CDN，然后由直角三角形的性質(zhì)，即可求得BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系BM+NC＝MN，此時；（2）在CN的延長線上截取CM1＝BM，連接DM1．可證△DBM≌△DCM1，即可得DM＝DM1，易證得∠CDN＝∠MDN＝60°，則可證得△MDN≌△M1DN，然后由全等三角形的性質(zhì)，即可得結(jié)論仍然成立；（3）首先在CN上截取CM1＝BM，連接DM1，可證△DBM≌△DCM1，即可得DM＝DM1，然后證得∠CDN＝∠MDN＝60°，易證得△MDN≌△M1DN，則可得NC﹣BM＝MN．【解答】解：（1）如圖1，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系BM+NC＝MN，此時，理由：∵DM＝DN，∠MDN＝60°，∴△MDN是等邊三角形，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝60°，∵BD＝CD，∠BDC＝120°，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，∴∠MBD＝∠NCD＝90°，∵DM＝DN，BD＝CD，∴Rt△BDM≌Rt△CDN，∴∠BDM＝∠CDN＝30°，BM＝CN，∴DM＝2BM，DN＝2CN，∴MN＝2BM＝2CN＝BM+CN；∴AM＝AN，∴△AMN是等邊三角形，∵AB＝AM+BM，∴AM：AB＝2：3，∴＝；（2）猜想：結(jié)論仍然成立，證明：在NC的延長線上截取CM1＝BM，連接DM1，∵∠MBD＝∠M1CD＝90°，BD＝CD，∴△DBM≌△DCM1，∴DM＝DM1，∠MBD＝∠M1CD，M1C＝BM，∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，∴∠M1DN＝∠MDN＝60°，∴△MDN≌△M1DN，∴MN＝M1N＝M1C+NC＝BM+NC，∴△AMN的周長為：AM+MN+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC，∴＝；（3）證明：在CN上截取CM1＝BM，連接DM1，可證△DBM≌△DCM1，∴DM＝DM1，可證∠M1DN＝∠MDN＝60°，∴△MDN≌△M1DN，∴MN＝M1N，∴NC﹣BM＝MN．【點(diǎn)評】此題考查了等邊三角形，直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用與輔助線的作法．【中考熱點(diǎn)聚焦】熱點(diǎn)1.軸對稱的性質(zhì)6.（2021?深圳）如圖所示，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1個單位．（1）過直線m作四邊形ABCD的對稱圖形；（2）求四邊形ABCD的面積．【解答】解：（1）如圖所示，四邊形A'B'C'D'即為所求；（2）四邊形ABCD的面積＝S△ABD+S△BCD＝×4×1+×4×3＝8．7．（2020?吉林）圖①、圖②、圖③都是3×3的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．A，B，C均為格點(diǎn)．在給定的網(wǎng)格中，按下列要求畫圖：（1）在圖①中，畫一條不與AB重合的線段MN，使MN與AB關(guān)于某條直線對稱，且M，N為格點(diǎn)．（2）在圖②中，畫一條不與AC重合的線段PQ，使PQ與AC關(guān)于某條直線對稱，且P，Q為格點(diǎn)．（3）在圖③中，畫一個△DEF，使△DEF與△ABC關(guān)于某條直線對稱，且D，E，F(xiàn)為格點(diǎn)．【解答】解：（1）如圖①，MN即為所求；（2）如圖②，PQ即為所求；（3）如圖③，△DEF即為所求．（答案不唯一）．8．（2022?桂林）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，形如英文字母“V”的圖形三個端點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（2，3），B（1，0），C（0，3）．（1）畫出“V”字圖形向左平移2個單位后的圖形；（2）畫出原“V”字圖形關(guān)于x軸對稱的圖形；（3）所得圖形與原圖形結(jié)合起來，你能從中看出什么英文字母？（任意答一個即可）【解答】解：（1）如圖1，（2）如圖2，（3）圖1是W，圖2是X．熱點(diǎn)2.平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的對稱9．（2023?常州）在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，1），則點(diǎn)P關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（﹣2，﹣1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（2，1）【分析】根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，可得答案．【解答】解：點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，1），則點(diǎn)P關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣2，1），故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了關(guān)于y軸的對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)．10．（2023?臨沂）某小區(qū)的圓形花園中間有兩條互相垂直的小路，園丁在花園中栽種了8棵桂花，如圖所示．若A，B兩處桂花的位置關(guān)于小路對稱，在分別以兩條小路為x，y軸的平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣6，2），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A．（6，2） B．（﹣6，﹣2） C．（2，6） D．（2，﹣6）【分析】關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，據(jù)此可得答案．【解答】解：若A，B兩處桂花的位置關(guān)于小路對稱，在分別以兩條小路為x，y軸的平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣6，2），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，2）．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了關(guān)于x軸、y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：（1）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；（2）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)．11．（2022?臺州）如圖是戰(zhàn)機(jī)在空中展示的軸對稱隊形．以飛機(jī)B，C所在直線為x軸、隊形的對稱軸為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．若飛機(jī)E的坐標(biāo)為（40，a），則飛機(jī)D的坐標(biāo)為（）A．（40，﹣a） B．（﹣40，a） C．（﹣40，﹣a） D．（a，﹣40）【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：∵飛機(jī)E（40，a）與飛機(jī)D關(guān)于y軸對稱，∴飛機(jī)D的坐標(biāo)為（﹣40，a），故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化﹣對稱，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2023?懷化）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（2，﹣3）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)P′的坐標(biāo)是（）A．（﹣2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（2，3）【分析】根據(jù)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．即點(diǎn)P（x，y）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)是（x，﹣y），進(jìn)而得出答案．【解答】解：點(diǎn)P（2，﹣3）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)P′的坐標(biāo)是（2，3）．故選：D．【點(diǎn)評】此題主要考查了關(guān)于x軸對稱點(diǎn)的性質(zhì)，正確掌握關(guān)于x軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)是解題關(guān)鍵．13．（2023?聊城）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△ABC各點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（﹣2，1），B