高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練66變量的相關(guān)性與一元線性回歸模型

六十六變量的相關(guān)性與一元線性回歸模型(時間:45分鐘分值:100分)【基礎(chǔ)落實(shí)練】1.(5分)下列有關(guān)線性回歸的說法,不正確的是 ()A.具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量不是因果關(guān)系B.散點(diǎn)圖能直觀地反映數(shù)據(jù)的相關(guān)程度C.回歸直線最能代表線性相關(guān)的兩個變量之間的關(guān)系D.任一組數(shù)據(jù)都有經(jīng)驗(yàn)回歸方程【解析】選D.根據(jù)兩個變量具有相關(guān)關(guān)系的概念,可知A正確;散點(diǎn)圖能直觀地描述具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量的相關(guān)程度,且回歸直線最能代表它們之間的相關(guān)關(guān)系,所以B,C正確;具有相關(guān)關(guān)系的成對樣本數(shù)據(jù)才有經(jīng)驗(yàn)回歸方程,所以D不正確.2.(5分)下圖是某地區(qū)2001年至2021年環(huán)境保護(hù)建設(shè)投資額(單位:萬元)的折線圖.根據(jù)該折線圖判斷,下列結(jié)論正確的是 ()A.為預(yù)測該地2026年的環(huán)境保護(hù)建設(shè)投資額,應(yīng)用2001年至2021年的數(shù)據(jù)建立回歸模型更可靠B.為預(yù)測該地2026年的環(huán)境保護(hù)建設(shè)投資額,應(yīng)用2010年至2021年的數(shù)據(jù)建立回歸模型更可靠C.投資額與年份負(fù)相關(guān)D.投資額與年份的相關(guān)系數(shù)r<0【解析】選B.因?yàn)?009年之前與2010年之后投資額變化較大,故為預(yù)測該地2026年的環(huán)境保護(hù)建設(shè)投資額,應(yīng)用2010年至2021年的數(shù)據(jù)建立回歸模型更可靠,所以A錯誤,B正確;隨年份的增長,投資額總體上在增長,所以投資額與年份正相關(guān),r>0,故C,D錯誤.3.(5分)某單位為了了解辦公樓用電量y(kW·h)與氣溫x(℃)之間的關(guān)系,隨機(jī)統(tǒng)計了四個工作日的用電量與當(dāng)天平均氣溫,并制作了對照表:氣溫(℃)1813101用電量(kW·h)24343864由表中數(shù)據(jù)得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程=2x+,當(dāng)氣溫為4℃時,預(yù)測用電量為 ()A.68kW·h B.52kW·h C.12kW·h D.28kW·h【解析】選A.由題干表格可知x=10,y=40,根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸直線必過(x,y)得=40+20=60,所以經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=2x+60,因此當(dāng)x=4時,=68.4.(5分)下列命題是真命題的為 ()A.經(jīng)驗(yàn)回歸方程=x+一定不過樣本點(diǎn)B.可以用樣本相關(guān)系數(shù)r來刻畫兩個變量x和y線性相關(guān)程度的強(qiáng)弱,r的值越小,說明兩個變量線性相關(guān)程度越弱C.在回歸分析中,決定系數(shù)R2=0.80的模型比決定系數(shù)R2=0.98的模型擬合的效果要好D.殘差平方和越小的模型,擬合的效果越好【解析】選D.對于A,經(jīng)驗(yàn)回歸方程不一定經(jīng)過其樣本點(diǎn),但一定經(jīng)過(x,y),所以A是假命題;對于B,由樣本相關(guān)系數(shù)的意義,當(dāng)|r|越接近0時,表示變量y與x之間的線性相關(guān)程度越弱,所以B是假命題;對于C,用決定系數(shù)R2的值判斷模型的擬合效果,R2越大,模型的擬合效果越好,所以C是假命題;對于D,由殘差的統(tǒng)計學(xué)意義知,D是真命題.5.(5分)(多選題)(2023·濟(jì)南模擬)某同學(xué)將收集到的六對數(shù)據(jù)制作成散點(diǎn)圖,得到其經(jīng)驗(yàn)回歸方程為l1:=0.68x+,計算其相關(guān)系數(shù)為r1,決定系數(shù)為R12.經(jīng)過分析確定點(diǎn)F為“離群點(diǎn)”,把它去掉后,再利用剩下的五對數(shù)據(jù)計算得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程為l2:=x+0.68,相關(guān)系數(shù)為r2,決定系數(shù)為R22.下列結(jié)論正確的是 ()A.r2>r1>0 B.R12C.0<<0.68 D.>0.68【解析】選AC.由題圖可知兩變量呈正相關(guān),故r1>0,r2>0,去掉“離群點(diǎn)”后,相關(guān)性更強(qiáng),所以r1<r2,故R12<R22,故A正確,B錯誤;根據(jù)題圖,當(dāng)去掉F點(diǎn)后,直線基本在A,B,C,D,E附近的那條直線上,直線的傾斜程度會略向x軸偏向,故斜率會變小,因此0<<0.68,故C正確6.(5分)(多選題)(2023·福州模擬)為研究混凝土的抗震強(qiáng)度y與抗壓強(qiáng)度x的關(guān)系,某研究部門得到下表的樣本數(shù)據(jù):x140150170180195y23a262828若y與x線性相關(guān),且經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=0.1x+9.1,則下列說法正確的是 ()A.a=24 B.y與x正相關(guān)C.y與x的相關(guān)系數(shù)為負(fù)數(shù) D.若x=220,則y=31.1【解析】選AB.依題意,x=140+150+170+180+1955=167,y=23+a+26+28+28由a+1055=0.1×167+9.1,解得a=24,故A因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)回歸方程=0.1x+9.1中x的系數(shù)為正,所以y與x正相關(guān),且相關(guān)系數(shù)為正數(shù),故B正確,C錯誤;當(dāng)x=220時,y的值約為31.1,故D錯誤.7.(5分)為了研究疫苗的有效率,在某地進(jìn)行臨床試驗(yàn),對符合一定條件的10000名試驗(yàn)者注射了該疫苗,一周后有20人感染,為了驗(yàn)證疫苗的有效率,同期,從相同條件下未注射疫苗的人群中抽取2500人,分成5組,各組感染人數(shù)如下:調(diào)查人數(shù)x300400500600700感染人數(shù)y33667并求得y與x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=0.011x+,同期,在人數(shù)為10000的條件下,以擬合結(jié)果估算未注射疫苗的人群中感染人數(shù),記為N;注射疫苗后仍被感染的人數(shù)記為n,則估計該疫苗的有效率為________.(疫苗的有效率為1nN,結(jié)果保留3位有效數(shù)字)

【解析】由題表中的數(shù)據(jù)可得x=500,y=5,故=50.011×500=0.5,故N=0.011×100000.5=1100.5=109.5,而n=20,故疫苗的有效率為120109.5≈0.817.答案:0.8178.(5分)兩個線性相關(guān)變量x與y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表:x99.51010.511y1110865其經(jīng)驗(yàn)回歸方程是=x+40,則相應(yīng)點(diǎn)(9,11)的殘差為________.

【解析】因?yàn)閤=15×(9+9.5+10+10.5+11)=10,y=1所以8=10+40,解得=3.2,所以=3.2x+40,當(dāng)x=9時,=11.2,所以殘差為1111.2=0.2.答案:0.29.(10分)(2020·全國Ⅱ卷節(jié)選)某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理,生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善,野生動物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動物的數(shù)量,將其分成面積相近的200個地塊,從這些地塊中用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個作為樣區(qū),調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,20),其中xi和yi分別表示第i個樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位:公頃)和這種野生動物的數(shù)量,并計算得=60,=1200,=80,=9000,=800.(1)求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值(這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù));(2)求樣本(xi,yi)(i=1,2,…,20)的相關(guān)系數(shù)(精確到0.01).附:相關(guān)系數(shù)r=,2≈1.414.【解析】(1)樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均數(shù)為120=120地塊數(shù)為200,該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值為200×60=12000.(2)樣本(xi,yi)的相關(guān)系數(shù)r==80080×9000=223≈0.【能力提升練】10.(5分)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對A,B兩個變量的線性相關(guān)性做了試驗(yàn),并用回歸分析方法分別求得相關(guān)系數(shù)r與殘差平方和m,如表:甲乙丙丁r0.820.780.690.85m106115124103則哪位同學(xué)的試驗(yàn)結(jié)果體現(xiàn)的A,B兩變量有更強(qiáng)的線性相關(guān)性 ()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【解析】選D.|r|越接近1,m越小,線性相關(guān)性越強(qiáng).11.(5分)(多選題)(2023·唐山模擬)某制衣品牌為使成衣尺寸更精準(zhǔn),選擇了10名志愿者,對其身高(單位:cm)和臂展(單位:cm)進(jìn)行了測量,這10名志愿者身高和臂展的折線圖如圖所示.已知這10名志愿者身高的均值為176cm,根據(jù)這10名志愿者的數(shù)據(jù)求得臂展u關(guān)于身高v的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=1.2v34,則下列結(jié)論正確的是 ()A.這10名志愿者身高的極差小于臂展的極差B.這10名志愿者的身高和臂展呈負(fù)相關(guān)C.這10名志愿者臂展的均值為176.2cmD.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程可估計身高為160cm的人的臂展為158cm【解析】選AD.對于選項A,因?yàn)檫@10名志愿者臂展的最大值大于身高的最大值,而臂展的最小值小于身高的最小值,所以這10名志愿者身高的極差小于臂展的極差,故A正確;對于選項B,因?yàn)?.2>0,所以這10名志愿者的身高和臂展呈正相關(guān)關(guān)系,故B錯誤;對于選項C,因?yàn)檫@10名志愿者身高的均值為176cm,所以這10名志愿者臂展的均值為1.2×17634=177.2(cm),故C錯誤;對于選項D,若一個人的身高為160cm,則由經(jīng)驗(yàn)回歸方程=1.2v34,可得這個人的臂展的估計值為158cm,故D正確.12.(5分)(多選題)針對某疾病,各地醫(yī)療機(jī)構(gòu)采取了各種有針對性的治療方法,取得了不錯的成效,某地開始使用中西醫(yī)結(jié)合方法后,每周治愈的患者人數(shù)如表所示,由表格可得y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=6x2+,則下列說法正確的是 ()周數(shù)(x)12345治愈人數(shù)(y)2173693142A.=4 B.=8C.此回歸模型第4周的殘差為5 D.估計第6周治愈人數(shù)為220【解析】選BC.設(shè)t=x2,則=6t+,由已知得t=15×(1+4+9+16+25)=11,y=1所以=586×11=8,故A錯誤,B正確;在=6x28中,令x=4,得4=6×428=88,所以此回歸模型第4周的殘差為y44=9388=5,故C正確;在=6x28中,令x=6,得6=6×628=208,故D錯誤.13.(5分)某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi),需了解年宣傳費(fèi)x(單位:千元)對年銷售量y(單位:t)和年利潤z(單位:千元)的影響.對近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷售量yi(i=1,2,…,8)數(shù)據(jù)作了初步處理,得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計量的值.x=46.6,y=563,w=6.8,=1.6,=1469,=108.8,其中wi=xi,w=18.則____________(y=a+bx與y=c+dx二選一)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程,其解析式為______________.

【解析】由題中散點(diǎn)圖可以判斷,y=c+dx適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程類型.令w=x,先建立y關(guān)于w的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.由于==108.81.6=68,=yw=56368×6.8=100.6,所以y關(guān)于w的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=100.6+68w,因此y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=100.6+68x.答案:y=c+dx=100.6+68x14.(10分)某地對一家企業(yè)進(jìn)行深入調(diào)研,數(shù)據(jù)顯示,該企業(yè)近年加大了科技研發(fā)資金的投入,其科技投入x(百萬元)與收益y(百萬元)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下:科技投入x1234567收益y19202231405070根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn),甲認(rèn)為樣本點(diǎn)分布在指數(shù)型曲線y=的周圍,據(jù)此他對數(shù)據(jù)進(jìn)行了一些初步處理.如表:z514012391492134130其中zi=log2yi,z=17(1)請根據(jù)表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程(系數(shù)精確到0.1);(2)①乙認(rèn)為樣本點(diǎn)分布在直線y=mx+n的周圍,并計算得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=8.25x+3,以及該回歸模型的決定系數(shù)R乙2=0.893,試比較甲、乙兩人所建立的模型,誰的擬合效果更好②由①所得的結(jié)論,計算該企業(yè)欲使收益達(dá)到2.56億元,科技投入的費(fèi)用至少要多少百萬元?附:對于一組數(shù)據(jù)(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其經(jīng)驗(yàn)回歸直線=u+的斜率和截距的最小二乘法估計分別為==,=vu,決定系數(shù):.【解析】(1)將y=2bx+a兩邊取對數(shù)得log2y=bx+a,令z=log2y,則=x+,因?yàn)閤=4,所以根據(jù)最小二乘估計可知==149-7×4×5140-7×42≈0.所以=zx≈50.3×4=3.8,所以經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=0.3x+3.8,即=.(2)①甲建立的回歸模型:R甲2=11302134≈0.939>R乙所以甲建立的回歸模型擬合效果更好.②由①知,甲建立的回歸模型擬合效果更好.設(shè)≥256,解得0.3x+3.8≥log2256=8,解得x≥14.所以科技投入的費(fèi)用至少要14百萬元,該企業(yè)的收益才能達(dá)到2.56億元.15.(10分)(2022·全國乙卷)某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理,已將荒山改造成了綠水青山.為估計一林區(qū)某種樹木的總材積量,隨機(jī)選取了10棵這種樹木,測量每棵樹的根部橫截面積(單位:m2)和材積量(單位:m3),得到如下數(shù)據(jù):樣本號i12345根部橫截面積xi0.040.060.040.080.08材積量yi0.250.400.220.540.51樣本號i678910總和根部橫截面積xi0.050.050.070.070.060.6材積量yi0.340.360.460.420.403.9并計算得=0.038,=1.6158,=0.2474.(1)估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量;(2)求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01);(3)現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積,并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為186m2.已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值.附:相關(guān)系數(shù)r=,1.896≈1.377.【解析】(1)樣本中10棵這種樹木的根部橫截面積的均值x=0.610=0.06,樣本中10棵這種樹木的材積量的均值y=3.910=0.39,據(jù)此可估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積為0.06m2,平均一棵的材積量為0.39m(2)r===0.2474-10×0.06×0.39(0.038-10×0.062)(1.6158-10×0.392)=0.01340.0001896≈0.01340.01377(3)設(shè)該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值為Ym3,又已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比,可得0.060.39=186Y,解得則該林區(qū)這種樹木的總材積量估計為1209m3.【素養(yǎng)創(chuàng)新練】16.(5分)如圖是相關(guān)變量x,y的散點(diǎn)圖,現(xiàn)對這兩個變量進(jìn)行線性相關(guān)分析,方案一:根據(jù)圖中所有數(shù)據(jù),得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程=1