高三數(shù)學（理）一輪復習教師用書第三章三角函數(shù)解三角形

第三章三角函數(shù)、解三角形第一節(jié)任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)1．角的概念的推廣(1)定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形．(2)分類eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負角、零角.,按終邊位置不同分為象限角和軸線角.))(3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．2．弧度制的定義和公式(1)定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad.(2)公式：角α的弧度數(shù)公式|α|＝eq\f(l,r)(l表示弧長)角度與弧度的換算①1°＝eq\f(π,180)rad；②1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧長公式l＝|α|r扇形面積公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r23.任意角的三角函數(shù)(1)定義：設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么sinα＝eq\a\vs4\al(y)，cosα＝eq\a\vs4\al(x)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．(2)幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示．正弦線的起點都在x軸上，余弦線的起點都是原點，正切線的起點都是(1,0)．如圖中有向線段MP，OM，AT分別叫做角α的正弦線、余弦線和正切線．1．判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)小于90°的角是銳角．()(2)三角形的內(nèi)角必是第一、第二象限角．()(3)不相等的角終邊一定不相同．()(4)若點P(tanα，cosα)在第三象限，則角α的終邊在第二象限．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．已知角α的終邊過點P(－1,2)，則sinα＝()A.eq\f(\r(5),5) B.eq\f(2\r(5),5)C．－eq\f(\r(5),5) D．－eq\f(2\r(5),5)解析：選B因為|OP|＝eq\r(－12＋22)＝eq\r(5)(O為坐標原點)，所以sinα＝eq\f(2,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5).3．若角θ同時滿足sinθ<0且tanθ<0，則角θ的終邊一定位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：選D由sinθ<0，可知θ的終邊可能位于第三象限或第四象限，也可能與y軸的非正半軸重合．由tanθ<0，可知θ的終邊可能位于第二象限或第四象限，故θ的終邊只能位于第四象限．4．已知角α的終邊過點P(8m,3)，且cosα＝－eq\f(4,5)，則m的值為()A．－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(3),2)解析：選A由題意得eq\f(8m,\r(8m2＋32))＝－eq\f(4,5)，且m<0.解得m＝－eq\f(1,2).5．已知扇形的圓心角為60°，其弧長為2π，則此扇形的面積為________．解析：設此扇形的半徑為r，由題意得eq\f(π,3)r＝2π，所以r＝6，所以此扇形的面積為eq\f(1,2)×2π×6＝6π.答案：6π6．在0到2π范圍內(nèi)，與角－eq\f(4π,3)終邊相同的角是________．解析：與角－eq\f(4π,3)終邊相同的角是2kπ＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4π,3)))，k∈Z，令k＝1，可得與角－eq\f(4π,3)終邊相同的角是eq\f(2π,3).答案：eq\f(2π,3)eq\a\vs4\al(考點一象限角及終邊相同的角)eq\a\vs4\al(基礎送分型考點——自主練透)[考什么·怎么考]高考對象限角及終邊相同的角直接考查較少，多滲透到三角函數(shù)求值及性質(zhì)中，屬于基礎題.1．給出下列四個命題：①－eq\f(3π,4)是第二象限角；②eq\f(4π,3)是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正確命題的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析：選C－eq\f(3π,4)是第三象限角，故①錯誤；eq\f(4π,3)＝π＋eq\f(π,3)，從而eq\f(4π,3)是第三象限角，故②正確；－400°＝－360°－40°，從而－400°是第四象限角，故③正確；－315°＝－360°＋45°，從而－315°是第一象限角，故④正確，故選C.2．在－720°～0°范圍內(nèi)所有與45°終邊相同的角為________．解析：所有與45°終邊相同的角可表示為：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，則令－720°≤45°＋k×360°<0°(k∈Z)，得－765°≤k×360°<－45°(k∈Z)，解得－eq\f(765,360)≤k<－eq\f(45,360)(k∈Z)，從而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.答案：－675°或－315°3．終邊在直線y＝eq\r(3)x上的角的集合為__________________．解析：在坐標系中畫出直線y＝eq\r(3)x，可以發(fā)現(xiàn)它與x軸正半軸的夾角是eq\f(π,3)，終邊在直線y＝eq\r(3)x上的角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z)))).答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z))))4．若角α是第二象限角，則eq\f(α,2)是第________象限角．解析：∵α是第二象限角，∴eq\f(π,2)＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，∴eq\f(π,4)＋kπ<eq\f(α,2)<eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z.當k為偶數(shù)時，eq\f(α,2)是第一象限角；當k為奇數(shù)時，eq\f(α,2)是第三象限角．答案：一或三[怎樣快解·準解]1．象限角的兩種判斷方法(1)圖象法：在平面直角坐標系中，作出已知角并根據(jù)象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角．(2)轉(zhuǎn)化法：先將已知角化為k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出與已知角終邊相同的角α，再由角α終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角．2．求eq\f(θ,n)或nθ(n∈N*)所在象限的方法(1)將θ的范圍用不等式(含有k，且k∈Z)表示．(2)兩邊同除以n或乘以n.(3)對k進行討論，得到eq\f(θ,n)或nθ(n∈N*)所在的象限．[注意](1)相等的角終邊一定相同，但終邊相同的角卻不一定相等，終邊相同的角有無數(shù)個，它們之間相差360°的整數(shù)倍．(2)終邊在一條直線上的角之間相差180°的整數(shù)倍；終邊在互相垂直的兩條直線上的角之間相差90°的整數(shù)倍．eq\a\vs4\al(考點二扇形的弧長及面積公式的應用)eq\a\vs4\al(基礎送分型考點——自主練透)[考什么·怎么考]高考對扇形的弧長、面積公式很少直接考查，主要是理解弧度制下的公式的應用，屬于基礎題.1．已知扇形的周長是6，面積是2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是()A．1 B．4C．1或4 D．2或4解析：選C設扇形的半徑為r，弧長為l，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r＋l＝6，,\f(1,2)rl＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1，,l＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝2，,l＝2.))從而α＝eq\f(l,r)＝eq\f(4,1)＝4或α＝eq\f(l,r)＝eq\f(2,2)＝1.2．已知扇形弧長為20cm，圓心角為100°，則該扇形的面積為________cm2.解析：由弧長公式l＝|α|r，得r＝eq\f(20,\f(100π,180))＝eq\f(36,π)，∴S扇形＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×20×eq\f(36,π)＝eq\f(360,π).答案：eq\f(360,π)3．如果一個扇形的半徑變?yōu)樵瓉淼囊话耄￠L變?yōu)樵瓉淼膃q\f(3,2)倍，則該弧所對的圓心角是原來的________倍．解析：設圓的半徑為r，弧長為l，則其弧度數(shù)為eq\f(l,r).將半徑變?yōu)樵瓉淼囊话耄￠L變?yōu)樵瓉淼膃q\f(3,2)倍，則弧度數(shù)變?yōu)閑q\f(\f(3,2)l,\f(1,2)r)＝3·eq\f(l,r)，即弧度數(shù)變?yōu)樵瓉淼?倍．答案：3[怎樣快解·準解]弧度制下有關弧長、扇形面積問題的解題策略(1)明確弧度制下弧長及扇形面積公式，在使用公式時，要注意角的單位必須是弧度．(2)分析題目已知哪些量、要求哪些量，然后靈活地運用弧長公式、扇形面積公式直接求解，或合理地利用圓心角所在三角形列方程(組)求解．eq\a\vs4\al(考點三三角函數(shù)的定義及應用)eq\a\vs4\al(題點多變型考點——追根溯源)任意角的三角函數(shù)正弦、余弦、正切的定義屬于理解內(nèi)容.在高考中多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).,常見的命題角度有：1利用三角函數(shù)定義求值；2三角函數(shù)值符號的判定；3三角函數(shù)線的應用.[題點全練]角度(一)利用三角函數(shù)定義求值1．已知角θ的頂點與原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y＝2x上，則cos2θ＝()A．－eq\f(4,5) B．－eq\f(3,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)解析：選B設P(t,2t)(t≠0)為角θ終邊上任意一點，則cosθ＝eq\f(t,\r(5)|t|).當t>0時，cosθ＝eq\f(\r(5),5)；當t<0時，cosθ＝－eq\f(\r(5),5).因此cos2θ＝2cos2θ－1＝eq\f(2,5)－1＝－eq\f(3,5).2．已知角α的終邊經(jīng)過點P(－x，－6)，且cosα＝－eq\f(5,13)，則eq\f(1,sinα)＋eq\f(1,tanα)＝________.解析：∵角α的終邊經(jīng)過點P(－x，－6)，且cosα＝－eq\f(5,13)，∴cosα＝eq\f(－x,\r(x2＋36))＝－eq\f(5,13)，解得x＝eq\f(5,2)或x＝－eq\f(5,2)(舍去)，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－6))，∴sinα＝－eq\f(12,13)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(12,5)，則eq\f(1,sinα)＋eq\f(1,tanα)＝－eq\f(13,12)＋eq\f(5,12)＝－eq\f(2,3).答案：－eq\f(2,3)[題型技法]利用三角函數(shù)定義求三角函數(shù)值的方法(1)已知角α終邊上一點P的坐標，則可先求出點P到原點的距離r，然后用三角函數(shù)的定義求解．(2)已知角α的終邊所在的直線方程，則可先設出終邊上一點的坐標，求出此點到原點的距離，然后用三角函數(shù)的定義求解．角度(二)三角函數(shù)值符號的判定3．(2014·全國卷Ⅰ)若tanα>0，則()A．sinα>0 B．cosα>0C．sin2α>0 D．cos2α>0解析：選C由tanα>0，可得α的終邊在第一象限或第三象限，此時sinα與cosα同號，故sin2α＝2sinacosα>0，故選C.4．若sinαtanα<0，且eq\f(cosα,tanα)<0，則角α是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角解析：選C由sinαtanα<0可知sinα，tanα異號，則α為第二象限角或第三象限角．由eq\f(cosα,tanα)<0可知cosα，tanα異號，則α為第三象限角或第四象限角．綜上可知，α為第三象限角．[題型技法]三角函數(shù)值符號及角的位置判斷已知一角的三角函數(shù)值(sinα，cosα，tanα)中任意兩個的符號，可分別確定出角終邊所在的可能位置，二者的交集即為該角的終邊位置，注意終邊在坐標軸上的特殊情況．角度(三)三角函數(shù)線的應用5．函數(shù)y＝lg(3－4sin2x)的定義域為________．解析：∵3－4sin2x>0，∴sin2x<eq\f(3,4)，∴－eq\f(\r(3),2)<sinx<eq\f(\r(3),2).利用三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影部分所示)，∴x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)[題型技法]利用三角函數(shù)線求解三角不等式的方法對于較為簡單的三角不等式，在單位圓中，利用三角函數(shù)線先作出使其相等的角(稱為臨界狀態(tài)，注意實線與虛線)，再通過大小找到其所滿足的角的區(qū)域，由此寫出不等式的解集．[題“根”探求]1．思維趨向要明確(1)看到角α終邊上的點或終邊所在的直線想到三角函數(shù)定義的應用．(2)看到角α所在的象限想到三角函數(shù)值符號的判斷．(3)看到三角式比較大小、解三角不等式(方程)想到三角函數(shù)線的應用．2．二級結(jié)論要謹記(1)三角函數(shù)值符號的結(jié)論：一全正、二正弦，三正切、四余弦．(2)當α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時，①sinα<α<tanα；②sinα＋cosα>1.[沖關演練]1.如圖，在平面直角坐標系xOy中，角α的終邊與單位圓交于點A，點A的縱坐標為eq\f(4,5)，則cosα的值為()A.eq\f(4,5) B．－eq\f(4,5)C.eq\f(3,5) D．－eq\f(3,5)解析：選D因為點A的縱坐標yA＝eq\f(4,5)，且點A在第二象限，又因為圓O為單位圓，所以A點的橫坐標xA＝－eq\f(3,5)，由三角函數(shù)的定義可得cosα＝－eq\f(3,5).2．已知點P(cosα，tanα)在第三象限，則角α的終邊在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：選B由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosα<0，,tanα<0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosα<0，,sinα>0，))所以角α的終邊在第二象限．3．函數(shù)y＝eq\r(sinx－\f(\r(2),2))的定義域為________．解析：因為sinx≥eq\f(\r(2),2)，作直線y＝eq\f(\r(2),2)交單位圓于A，B兩點，連接OA，OB，則OA與OB圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角x的終邊的范圍，故滿足條件的角x的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2kπ＋eq\f(π,4)≤x≤2kπ＋eq\f(3π,4)，k∈Z)))).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,4)，2kπ＋\f(3π,4)))，k∈Z(一)普通高中適用作業(yè)A級——基礎小題練熟練快1．已知扇形的面積為2，扇形圓心角的弧度數(shù)是4，則扇形的周長為()A．2 B．4C．6 D．8解析：選C設扇形的半徑為r，弧長為l，則由扇形面積公式可得2＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2＝eq\f(1,2)×4×r2，解得r＝1，l＝αr＝4，所以所求扇形的周長為2r＋l＝6.2．已知點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))在角θ的終邊上，且θ∈[0,2π)，則θ的值為()A.eq\f(5π,6) B.eq\f(2π,3)C.eq\f(11π,6) D.eq\f(5π,3)解析：選C因為點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))在第四象限，根據(jù)三角函數(shù)的定義可知tanθ＝eq\f(－\f(1,2),\f(\r(3),2))＝－eq\f(\r(3),3)，又θ∈[0,2π)，可得θ＝eq\f(11π,6).3．若角α與β的終邊關于x軸對稱，則有()A．α＋β＝90°B．α＋β＝90°＋k·360°，k∈ZC．α＋β＝2k·180°，k∈ZD．α＋β＝180°＋k·360°，k∈Z解析：選C因為α與β的終邊關于x軸對稱，所以β＝2k·180°－α，k∈Z.所以α＋β＝2k·180°，k∈Z.4．已知角α的終邊經(jīng)過點(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα＞0，則實數(shù)aA．(－2,3] B．(－2,3)C．[－2,3) D．[－2,3]解析：選A由cosα≤0，sinα＞0可知，角α的終邊落在第二象限或y軸的正半軸上，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－9≤0，,a＋2＞0，))解得－2＜a≤3.5．下列選項中正確的是()A．sin300°＞0 B．cos(－305°)＜0C．taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(22π,3)))＞0 D．sin10＜0解析：選D300°＝360°－60°，則300°是第四象限角；－305°＝－360°＋55°，則－305°是第一象限角；因為－eq\f(22π,3)＝－8π＋eq\f(2π,3)，所以－eq\f(22π,3)是第二象限角；因為3π＜10＜eq\f(7π,2)，所以10是第三象限角．故sin300°＜0，cos(－305°)＞0，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(22π,3)))＜0，sin10＜0，故D正確．6．集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)≤α≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))中的角所表示的范圍(陰影部分)是()解析：選C當k＝2n(n∈Z)時，2nπ＋eq\f(π,4)≤α≤2nπ＋eq\f(π,2)，此時α表示的范圍與eq\f(π,4)≤α≤eq\f(π,2)表示的范圍一樣；當k＝2n＋1(n∈Z)時，2nπ＋π＋eq\f(π,4)≤α≤2nπ＋π＋eq\f(π,2)，此時α表示的范圍與π＋eq\f(π,4)≤α≤π＋eq\f(π,2)表示的范圍一樣，結(jié)合圖象知選C.7．若α＝1560°，角θ與α終邊相同，且－360°＜θ＜360°，則θ＝________.解析：因為α＝1560°＝4×360°＋120°，所以與α終邊相同的角為360°×k＋120°，k∈Z，令k＝－1或k＝0可得θ＝－240°或θ＝120°.答案：120°或－240°8．在直角坐標系xOy中，O是原點，A(eq\r(3)，1)，將點A繞O逆時針旋轉(zhuǎn)90°到B點，則B點坐標為__________．解析：依題意知OA＝OB＝2，∠AOx＝30°，∠BOx＝120°，設點B坐標為(x，y)，所以x＝2cos120°＝－1，y＝2sin120°＝eq\r(3)，即B(－1，eq\r(3))．答案：(－1，eq\r(3))9．若兩個圓心角相同的扇形的面積之比為1∶4，則這兩個扇形的周長之比為________．解析：設兩個扇形的圓心角的弧度數(shù)為α，半徑分別為r，R(其中r＜R)，則eq\f(\f(1,2)αr2,\f(1,2)αR2)＝eq\f(1,4)，所以r∶R＝1∶2，兩個扇形的周長之比為eq\f(2r＋αr,2R＋αR)＝1∶2.答案：1∶210．已知角α的終邊上一點P(－eq\r(3)，m)(m≠0)，且sinα＝eq\f(\r(2)m,4)，則m＝________.解析：由題設知點P的橫坐標x＝－eq\r(3)，縱坐標y＝m，∴r2＝|OP|2＝(－eq\r(3))2＋m2(O為原點)，即r＝eq\r(3＋m2).∴sinα＝eq\f(m,r)＝eq\f(\r(2)m,4)＝eq\f(m,2\r(2))，∴r＝eq\r(3＋m2)＝2eq\r(2)，即3＋m2＝8，解得m＝±eq\r(5).答案：±eq\r(5)B級——中檔題目練通抓牢1．若一圓弧長等于其所在圓的內(nèi)接正三角形的邊長，則其圓心角α(0<α<π)的弧度數(shù)為()A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,2)C.eq\r(3) D.eq\r(2)解析：選C設圓的半徑為R，由題意可知，圓內(nèi)接正三角形的邊長為eq\r(3)R，所以圓弧長為eq\r(3)R.所以該圓弧所對圓心角的弧度數(shù)為eq\f(\r(3)R,R)＝eq\r(3).2．已知角α＝2kπ－eq\f(π,5)(k∈Z)，若角θ與角α的終邊相同，則y＝eq\f(sinθ,|sinθ|)＋eq\f(cosθ,|cosθ|)＋eq\f(tanθ,|tanθ|)的值為()A．1 B．－1C．3 D．－3解析：選B由α＝2kπ－eq\f(π,5)(k∈Z)及終邊相同的概念知，角α的終邊在第四象限，又角θ與角α的終邊相同，所以角θ是第四象限角，所以sinθ＜0，cosθ＞0，tanθ＜0.所以y＝－1＋1－1＝－1.3．設α是第二象限角，P(x,4)為其終邊上的一點，且cosα＝eq\f(1,5)x，則tanα＝()A.eq\f(4,3) B.eq\f(3,4)C．－eq\f(3,4) D．－eq\f(4,3)解析：選D∵α是第二象限角，∴x<0.又由題意知eq\f(x,\r(x2＋42))＝eq\f(1,5)x，解得x＝－3.∴tanα＝eq\f(4,x)＝－eq\f(4,3).4．一扇形是從一個圓中剪下的一部分，半徑等于圓半徑的eq\f(2,3)，面積等于圓面積的eq\f(5,27)，則扇形的弧長與圓周長之比為________．解析：設圓的半徑為r，則扇形的半徑為eq\f(2r,3)，記扇形的圓心角為α，則eq\f(\f(1,2)α\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2r,3)))2,πr2)＝eq\f(5,27)，∴α＝eq\f(5π,6).∴扇形的弧長與圓周長之比為eq\f(l,c)＝eq\f(\f(5π,6)·\f(2r,3),2πr)＝eq\f(5,18).答案：eq\f(5,18)5．(2018·石家莊模擬)在(0,2π)內(nèi)，使sinx>cosx成立的x的取值范圍為____________．解析：如圖所示，找出在(0,2π)內(nèi)，使sinx＝cosx的x值，sineq\f(π,4)＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)，sineq\f(5π,4)＝coseq\f(5π,4)＝－eq\f(\r(2),2).根據(jù)三角函數(shù)線的變化規(guī)律標出滿足題中條件的角x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,4))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,4)))6．已知eq\f(1,|sinα|)＝－eq\f(1,sinα)，且lg(cosα)有意義．(1)試判斷角α所在的象限；(2)若角α的終邊上一點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，m))，且|OM|＝1(O為坐標原點)，求m的值及sinα的值．解：(1)由eq\f(1,|sinα|)＝－eq\f(1,sinα)，得sinα<0，由lg(cosα)有意義，可知cosα>0，所以α是第四象限角．(2)因為|OM|＝1，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2＋m2＝1，解得m＝±eq\f(4,5).又α為第四象限角，故m<0，從而m＝－eq\f(4,5)，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(m,|OM|)＝eq\f(－\f(4,5),1)＝－eq\f(4,5).7．若角θ的終邊過點P(－4a,3a)(a(1)求sinθ＋cosθ的值；(2)試判斷cos(sinθ)·sin(cosθ)的符號．解：(1)因為角θ的終邊過點P(－4a,3a)(a所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|當a＞0時，r＝5a，sinθ＋cosθ＝eq\f(3,5)－eq\f(4,5)＝－eq\f(1,5).當a＜0時，r＝－5a，sinθ＋cosθ＝－eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)＝eq\f(1,5).(2)當a＞0時，sinθ＝eq\f(3,5)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，cosθ＝－eq\f(4,5)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，則cos(sinθ)·sin(cosθ)＝coseq\f(3,5)·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))＜0；當a＜0時，sinθ＝－eq\f(3,5)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，cosθ＝eq\f(4,5)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則cos(sinθ)·sin(cosθ)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))·sineq\f(4,5)＞0.綜上，當a＞0時，cos(sinθ)·sin(cosθ)的符號為負；當a＜0時，cos(sinθ)·sin(cosθ)的符號為正．C級——重難題目自主選做已知扇形AOB的周長為8.(1)若這個扇形的面積為3，求圓心角的大小；(2)求這個扇形的面積取得最大值時圓心角的大小和弦長AB.解：設扇形AOB的半徑為r，弧長為l，圓心角為α，(1)由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r＋l＝8，,\f(1,2)lr＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝3，,l＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1，,l＝6，))∴α＝eq\f(l,r)＝eq\f(2,3)或α＝eq\f(l,r)＝6.(2)法一：∵2r＋l＝8，∴S扇＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,4)l·2r≤eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l＋2r,2)))2＝eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,2)))2＝4，當且僅當2r＝l，即r＝2，l＝4，α＝eq\f(l,r)＝2時，扇形面積取得最大值4.∴圓心角α＝2，弦長AB＝2sin1×2＝4sin1.法二：∵2r＋l＝8，∴S扇＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)r(8－2r)＝r(4－r)＝－(r－2)2＋4≤4，當且僅當r＝2，l＝4，即α＝eq\f(l,r)＝2時，扇形面積取得最大值4.∴弦長AB＝2sin1×2＝4sin1.(二)重點高中適用作業(yè)A級——保分題目巧做快做1.下列與eq\f(9π,4)的終邊相同的角的表達式中正確的是()A．2kπ＋45°(k∈Z)B．k·360°＋eq\f(9,4)π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)解析：選C由定義知終邊相同的角中不能同時出現(xiàn)角度和弧度，應為eq\f(π,4)＋2kπ或k·360°＋45°(k∈Z)，結(jié)合選項知C正確．2．已知點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))在角θ的終邊上，且θ∈[0,2π)，則θ的值為()A.eq\f(5π,6) B.eq\f(2π,3)C.eq\f(11π,6) D.eq\f(5π,3)解析：選C因為點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))在第四象限，所以根據(jù)三角函數(shù)的定義可知tanθ＝eq\f(－\f(1,2),\f(\r(3),2))＝－eq\f(\r(3),3)，又θ∈[0,2π)，可得θ＝eq\f(11π,6).3．若一圓弧長等于其所在圓的內(nèi)接正三角形的邊長，則其圓心角α(0<α<π)的弧度數(shù)為()A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,2)C.eq\r(3) D.eq\r(2)解析：選C設圓的半徑為R，由題意可知，圓內(nèi)接正三角形的邊長為eq\r(3)R，所以圓弧長為eq\r(3)R，所以該圓弧所對圓心角的弧度數(shù)為eq\f(\r(3)R,R)＝eq\r(3).4．下列選項中正確的是()A．sin300°＞0 B．cos(－305°)＜0C．taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(22π,3)))＞0 D．sin10＜0解析：選D300°＝360°－60°，則300°是第四象限角；－305°＝－360°＋55°，則－305°是第一象限角；因為－eq\f(22π,3)＝－8π＋eq\f(2π,3)，所以－eq\f(22π,3)是第二象限角；因為3π＜10＜eq\f(7π,2)，所以10是第三象限角．故sin300°＜0，cos(－305°)＞0，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(22π,3)))＜0，sin10＜0，故D正確．5．已知角α＝2kπ－eq\f(π,5)(k∈Z)，若角θ與角α的終邊相同，則y＝eq\f(sinθ,|sinθ|)＋eq\f(cosθ,|cosθ|)＋eq\f(tanθ,|tanθ|)的值為()A．1 B．－1C．3 D．－3解析：選B由α＝2kπ－eq\f(π,5)(k∈Z)及終邊相同的概念知，角α的終邊在第四象限，又角θ與角α的終邊相同，所以角θ是第四象限角，所以sinθ＜0，cosθ＞0，tanθ＜0.所以y＝－1＋1－1＝－1.6．若α＝1560°，角θ與α終邊相同，且－360°＜θ＜360°，則θ＝________.解析：因為α＝1560°＝4×360°＋120°，所以與α終邊相同的角為360°×k＋120°，k∈Z，令k＝－1或k＝0可得θ＝－240°或θ＝120°.答案：120°或－240°7．若兩個圓心角相同的扇形的面積之比為1∶4，則這兩個扇形的周長之比為________．解析：設兩個扇形的圓心角的弧度數(shù)為α，半徑分別為r，R(其中r＜R)，則eq\f(\f(1,2)αr2,\f(1,2)αR2)＝eq\f(1,4)，所以r∶R＝1∶2，兩個扇形的周長之比為eq\f(2r＋αr,2R＋αR)＝1∶2.答案：1∶28.點P從(－1,0)出發(fā)，沿單位圓順時針方向運動eq\f(8π,3)弧長到達點Q，則點Q的坐標為________．解析：設點A(－1,0)，點P從(－1,0)出發(fā)，沿單位圓順時針方向運動eq\f(8π,3)弧長到達點Q，則∠AOQ＝eq\f(8π,3)－2π＝eq\f(2π,3)(O為坐標原點)，所以∠xOQ＝eq\f(π,3)，coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)，sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)，所以點Q的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))9.如圖，在平面直角坐標系xOy中，角α的始邊與x軸的非負半軸重合且與單位圓相交于A點，它的終邊與單位圓相交于x軸上方一點B，始邊不動，終邊在運動．(1)若點B的橫坐標為－eq\f(4,5)，求tanα的值；(2)若△AOB為等邊三角形，寫出與角α終邊相同的角β的集合．解：(1)設點B的縱坐標為m，則由題意m2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))2＝1，且m>0，所以m＝eq\f(3,5)，故Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5)))，根據(jù)三角函數(shù)的定義得tanα＝eq\f(\f(3,5),－\f(4,5))＝－eq\f(3,4).(2)若△AOB為等邊三角形，則∠AOB＝eq\f(π,3)，故與角α終邊相同的角β的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(β＝\f(π,3)＋2kπ，k∈Z)))).10．已知扇形AOB的周長為8.(1)若這個扇形的面積為3，求圓心角的大??；(2)求這個扇形的面積取得最大值時圓心角的大小和弦長AB.解：設扇形AOB的半徑為r，弧長為l，圓心角為α，(1)由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r＋l＝8，,\f(1,2)lr＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝3，,l＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1，,l＝6，))∴α＝eq\f(l,r)＝eq\f(2,3)或α＝eq\f(l,r)＝6.(2)法一：∵2r＋l＝8，∴S扇＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,4)l·2r≤eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l＋2r,2)))2＝eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,2)))2＝4，當且僅當2r＝l，即r＝2，l＝4，α＝eq\f(l,r)＝2時，扇形面積取得最大值4.∴圓心角α＝2，弦長AB＝2sin1×2＝4sin1.法二：∵2r＋l＝8，∴S扇＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)r(8－2r)＝r(4－r)＝－(r－2)2＋4≤4，當且僅當r＝2，l＝4，即α＝eq\f(l,r)＝2時，扇形面積取得最大值4.∴弦長AB＝2sin1×2＝4sin1.B級——拔高題目穩(wěn)做準做1.已知點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3π,4)，cos\f(3π,4)))落在角θ的終邊上，且θ∈[0,2π)，則θ的值為()A.eq\f(π,4) B.eq\f(3π,4)C.eq\f(5π,4) D.eq\f(7π,4)解析：選D由sineq\f(3π,4)＞0，coseq\f(3π,4)＜0知角θ是第四象限角，因為tanθ＝eq\f(cos\f(3π,4),sin\f(3π,4))＝－1，θ∈[0,2π)，所以θ＝eq\f(7π,4).故選D.2.已知sinα＞sinβ，那么下列命題成立的是()A．若α，β是第一象限的角，則cosα＞cosβB．若α，β是第二象限的角，則tanα＞tanβC．若α，β是第三象限的角，則cosα＞cosβD．若α，β是第四象限的角，則tanα＞tanβ解析：選D由三角函數(shù)線可知選D.3.若角α是第三象限角，則eq\f(α,2)是第________象限角．解析：因為2kπ＋π＜α＜2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)，所以kπ＋eq\f(π,2)＜eq\f(α,2)＜kπ＋eq\f(3π,4)(k∈Z)．當k＝2n(n∈Z)時，2nπ＋eq\f(π,2)＜eq\f(α,2)＜2nπ＋eq\f(3π,4)，eq\f(α,2)是第二象限角，當k＝2n＋1(n∈Z)時，2nπ＋eq\f(3π,2)＜eq\f(α,2)＜2nπ＋eq\f(7π,4)，eq\f(α,2)是第四象限角，綜上知，當α是第三象限角時，eq\f(α,2)是第二或四象限角．答案：二或四4.(2018·石家莊模擬)在(0,2π)內(nèi)，使sinx>cosx成立的x的取值范圍為_____________．解析：如圖所示，找出在(0,2π)內(nèi)，使sinx＝cosx的x值，sineq\f(π,4)＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)，sineq\f(5π,4)＝coseq\f(5π,4)＝－eq\f(\r(2),2).根據(jù)三角函數(shù)線的變化規(guī)律標出滿足題中條件的角x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,4))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,4)))5.已知角α的終邊在直線y＝－3x上，求10sinα＋eq\f(3,cosα)的值．解：設α終邊上任一點為P(k，－3k)，則r＝eq\r(k2＋－3k2)＝eq\r(10)|k|.當k＞0時，r＝eq\r(10)k，∴sinα＝eq\f(－3k,\r(10)k)＝－eq\f(3,\r(10))，eq\f(1,cosα)＝eq\f(\r(10)k,k)＝eq\r(10)，∴10sinα＋eq\f(3,cosα)＝－3eq\r(10)＋3eq\r(10)＝0；當k＜0時，r＝－eq\r(10)k，∴sinα＝eq\f(－3k,－\r(10)k)＝eq\f(3,\r(10))，eq\f(1,cosα)＝eq\f(－\r(10)k,k)＝－eq\r(10)，∴10sinα＋eq\f(3,cosα)＝3eq\r(10)－3eq\r(10)＝0.綜上，10sinα＋eq\f(3,cosα)＝0.6．若角θ的終邊過點P(－4a,3a)(a(1)求sinθ＋cosθ的值；(2)試判斷cos(sinθ)·sin(cosθ)的符號．解：(1)因為角θ的終邊過點P(－4a,3a)(a所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|當a＞0時，r＝5a，sinθ＋cosθ＝eq\f(3,5)－eq\f(4,5)＝－eq\f(1,5).當a＜0時，r＝－5a，sinθ＋cosθ＝－eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)＝eq\f(1,5).(2)當a＞0時，sinθ＝eq\f(3,5)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，cosθ＝－eq\f(4,5)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，則cos(sinθ)·sin(cosθ)＝coseq\f(3,5)·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))＜0；當a＜0時，sinθ＝－eq\f(3,5)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，cosθ＝eq\f(4,5)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則cos(sinθ)·sin(cosθ)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))·sineq\f(4,5)＞0.綜上，當a＞0時，cos(sinθ)·sin(cosθ)的符號為負；當a＜0時，cos(sinθ)·sin(cosθ)的符號為正．第二節(jié)同角三角函數(shù)的基本關系與誘導公式1.同角三角函數(shù)的基本關系(1)平方關系：sin2α＋cos2α＝eq\a\vs4\al(1)；(2)商數(shù)關系：tanα＝eq\f(sinα,cosα).2．誘導公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcos_α余弦cosα－cosαcosα－cos_αsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tan_α口訣函數(shù)名不變符號看象限函數(shù)名改變符號看象限記憶規(guī)律奇變偶不變，符號看象限3．特殊角的三角函數(shù)值角α0°30°45°60°90°120°150°180°角α的弧度數(shù)0eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(π,2)eq\f(2π,3)eq\f(5π,6)πsinαeq\a\vs4\al(0)eq\a\vs4\al(\f(1,2))eq\f(\r(2),2)eq\a\vs4\al(\f(\r(3),2))1eq\a\vs4\al(\f(\r(3),2))eq\a\vs4\al(\f(1,2))0cosαeq\a\vs4\al(1)eq\a\vs4\al(\f(\r(3),2))eq\f(\r(2),2)eq\a\vs4\al(\f(1,2))0－eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)－1tanαeq\a\vs4\al(0)eq\a\vs4\al(\f(\r(3),3))1eq\a\vs4\al(\r(3))－eq\r(3)－eq\f(\r(3),3)01．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)若α，β為銳角，則sin2α＋cos2β＝1.()(2)若α∈R，則tanα＝eq\f(sinα,cosα)恒成立．()(3)sin(π＋α)＝－sinα成立的條件是α為銳角．()答案：(1)×(2)×(3)×2．已知sinα＝eq\f(\r(5),5)，eq\f(π,2)≤α≤π，則tanα＝()A．－2 B．2C.eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)解析：選D因為eq\f(π,2)≤α≤π，所以cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)))2)＝－eq\f(2\r(5),5)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(1,2).3．(2017·全國卷Ⅲ)已知sinα－cosα＝eq\f(4,3)，則sin2α＝()A．－eq\f(7,9) B．－eq\f(2,9)C.eq\f(2,9) D.eq\f(7,9)解析：選A將sinα－cosα＝eq\f(4,3)的兩邊進行平方，得sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝eq\f(16,9)，即sin2α＝－eq\f(7,9).4．sin210°cos120°的值為()A.eq\f(1,4) B．－eq\f(\r(3),4)C．－eq\f(3,2) D.eq\f(\r(3),4)解析：選Asin210°cos120°＝－sin30°(－cos60°)＝－eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝eq\f(1,4).5．若sinθcosθ＝eq\f(1,2)，則tanθ＋eq\f(cosθ,sinθ)＝________.解析：tanθ＋eq\f(cosθ,sinθ)＝eq\f(sinθ,cosθ)＋eq\f(cosθ,sinθ)＝eq\f(1,cosθsinθ)＝2.答案：26．sin2490°＝________；coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(52π,3)))＝________.解析：sin2490°＝sin(7×360°－30°)＝－sin30°＝－eq\f(1,2).coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(52π,3)))＝coseq\f(52π,3)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(16π＋π＋\f(π,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3)))＝－coseq\f(π,3)＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)eq\a\vs4\al(考點一三角函數(shù)的誘導公式)eq\a\vs4\al(基礎送分型考點——自主練透)[考什么·怎么考]誘導公式在三角函數(shù)的求值和化簡中具有非常重要的應用，較少單獨考查，多與三角恒等變換結(jié)合在一起考查，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，難度較小，屬于中低檔題.1．(2018·天一大聯(lián)考)在平面直角坐標系xOy中，角α的終邊經(jīng)過點P(3,4)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(2017π,2)))＝()A．－eq\f(4,5) B．－eq\f(3,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)解析：選B∵角α的終邊經(jīng)過點P(3,4)，∴sinα＝eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(3,5)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(2017π,2)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))＝－cosα＝－eq\f(3,5).2．化簡sin(－1071°)sin99°＋sin(－171°)sin(－261°)的結(jié)果為()A．1 B．－1C．0 D．2解析：選C原式＝(－sin1071°)sin99°＋sin171°·sin261°＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin9°cos9°－sin9°cos9°＝0.3．已知A＝eq\f(sinkπ＋α,sinα)＋eq\f(coskπ＋α,cosα)(k∈Z)，則A的值構(gòu)成的集合是()A．{1，－1,2，－2}B．{－1,1}C．{2，－2} D．{1，－1,0,2，－2}解析：選C當k為偶數(shù)時，A＝eq\f(sinα,sinα)＋eq\f(cosα,cosα)＝2；當k為奇數(shù)時，A＝eq\f(－sinα,sinα)－eq\f(cosα,cosα)＝－2.故A＝{2，－2}．4．已知f(α)＝eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α)),cos－π－αtanπ－α)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(25π,3)))的值為________．解析：因為f(α)＝eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α)),cos－π－αtanπ－α)＝eq\f(－sinα－cosα,－cosα\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(sinα,cosα))))＝cosα，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(25π,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(25π,3)))＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)5．已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(\r(3),3)，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))＝________.解析：taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,6)＋α))＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))＝－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝－eq\f(\r(3),3).答案：－eq\f(\r(3),3)[怎樣快解·準解]1．熟記常見的互余和互補的2組角互余的角eq\f(π,3)－α與eq\f(π,6)＋α；eq\f(π,3)＋α與eq\f(π,6)－α；eq\f(π,4)＋α與eq\f(π,4)－α等互補的角eq\f(π,3)＋θ與eq\f(2π,3)－θ；eq\f(π,4)＋θ與eq\f(3π,4)－θ等2．學會巧妙過渡，熟知將角合理轉(zhuǎn)化的流程也就是：“負化正，大化小，化到銳角就好了．”3．明確三角函數(shù)式化簡的原則和方向(1)切化弦，統(tǒng)一名．(2)用誘導公式，統(tǒng)一角．(3)用因式分解將式子變形，化為最簡．也就是：“統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了．”eq\a\vs4\al(考點二同角三角函數(shù)的基本關系及應用)eq\a\vs4\al(重點保分型考點——師生共研)同角三角函數(shù)的基本關系式是求解三角函數(shù)問題的基礎，多與其他三角函數(shù)知識融合在一起進行考查，以公式及其變形解決計算問題為主，屬于中低檔題.[典題領悟]1．若tanα＝2，則eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＋cos2α＝()A.eq\f(16,5) B．－eq\f(16,5)C.eq\f(8,5) D．－eq\f(8,5)解析：選Aeq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＋cos2α＝eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＋eq\f(cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tanα＋1,tanα－1)＋eq\f(1,tan2α＋1)＝eq\f(16,5).2．已知sinαcosα＝eq\f(3,8)，且eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，則cosα－sinα的值為()A.eq\f(1,2) B．±eq\f(1,2)C．－eq\f(1,4) D．－eq\f(1,2)解析：選D因為sinαcosα＝eq\f(3,8)，所以(cosα－sinα)2＝cos2α－2sinαcosα＋sin2α＝1－2sinαcosα＝1－2×eq\f(3,8)＝eq\f(1,4)，因為eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，所以cosα<sinα，即cosα－sinα<0，所以cosα－sinα＝－eq\f(1,2).3．已知α為第二象限角，則cosα·eq\r(1＋tan2α)＋sinα·eq\r(1＋\f(1,tan2α))＝________.解析：原式＝cosαeq\r(\f(sin2α＋cos2α,cos2α))＋sinαeq\r(\f(sin2α＋cos2α,sin2α))＝cosα·eq\f(1,|cosα|)＋sinα·eq\f(1,|sinα|)，因為α是第二象限角，所以sinα＞0,cosα＜0，所以cosα·eq\f(1,|cosα|)＋sinα·eq\f(1,|sinα|)＝－1＋1＝0，即原式等于0.答案：04．(2018·泉州質(zhì)檢)已知θ為第四象限角，sinθ＋3cosθ＝1，則tanθ＝________.解析：由(sinθ＋3cosθ)2＝1＝sin2θ＋cos2θ，得6sinθcosθ＝－8cos2θ，又因為θ為第四象限角，所以cosθ≠0，所以6sinθ＝－8cosθ，所以tanθ＝－eq\f(4,3).答案：－eq\f(4,3)[解題師說]1．掌握3個應用技巧技巧解讀適合題型切弦互化主要利用公式tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)化成正弦、余弦，或者利用公式eq\f(sinθ,cosθ)＝tanθ化成正切表達式中含有sinθ，cosθ與tanθ.(如典題領悟第1、3題)“1”的變換1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝taneq\f(π,4)＝(sinθ±cosθ)2?2sinθcosθ表達式中需要利用“1”轉(zhuǎn)化．(如典題領悟第4題)和積轉(zhuǎn)換利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的關系進行變形、轉(zhuǎn)化表達式中含有sinθ±cosθ或sinθcosθ.(如典題領悟第2題)2．謹記3個解題關鍵(1)利用同角三角函數(shù)的基本關系求解問題的關鍵是熟練掌握同角三角函數(shù)的基本關系的正用、逆用、變形用．(2)同角三角函數(shù)的基本關系本身是恒等式，也可以看作是方程，對于一些題，可利用已知條件，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關系列方程組，通過解方程組達到解決問題的目的．(3)在利用同角三角函數(shù)的平方關系時，若開方，要特別注意判斷符號．[沖關演練]1．(2018·安徽江南十校聯(lián)考)已知tanα＝－eq\f(3,4)，則sinα·(sinα－cosα)＝()A.eq\f(21,25) B.eq\f(25,21)C.eq\f(4,5) D.eq\f(5,4)解析：選Asinα(sinα－cosα)＝sin2α－sinαcosα＝eq\f(sin2α－sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tan2α－tanα,tan2α＋1)，將tanα＝－eq\f(3,4)代入，得原式＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4))),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))2＋1)＝eq\f(21,25)，故選A.2．若α是三角形的內(nèi)角，且tanα＝－eq\f(1,3)，則sinα＋cosα的值為________．解析：由tanα＝－eq\f(1,3)，得sinα＝－eq\f(1,3)cosα，將其代入sin2α＋cos2α＝1，得eq\f(10,9)cos2α＝1，∴cos2α＝eq\f(9,10)，易知cosα<0，∴cosα＝－eq\f(3\r(10),10)，sinα＝eq\f(\r(10),10)，故sinα＋cosα＝－eq\f(\r(10),5).答案：－eq\f(\r(10),5)3．已知α是三角形的內(nèi)角，且sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，則tanα＝________.解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＋cosα＝\f(1,5)，,sin2α＋cos2α＝1))消去cosα，整理得25sin2α－5sinα－12＝0，解得sinα＝eq\f(4,5)或sinα＝－eq\f(3,5).因為α是三角形的內(nèi)角，所以sinα＝eq\f(4,5)，又由sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，得cosα＝－eq\f(3,5)，所以tanα＝－eq\f(4,3).答案：－eq\f(4,3)(一)普通高中適用作業(yè)A級——基礎小題練熟練快1．已知α是第四象限角，tanα＝－eq\f(5,12)，則sinα＝()A.eq\f(1,5) B．－eq\f(1,5)C.eq\f(5,13) D．－eq\f(5,13)解析：選D因為tanα＝－eq\f(5,12)，所以eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(5,12)，所以cosα＝－eq\f(12,5)sinα，代入sin2α＋cos2α＝1，解得sinα＝±eq\f(5,13)，又α是第四象限角，所以sinα＝－eq\f(5,13).2．已知sin(π＋θ)＝－eq\r(3)cos(2π－θ)，|θ|＜eq\f(π,2)，則θ等于()A．－eq\f(π,6) B．－eq\f(π,3)C.eq\f(π,6) D.eq\f(π,3)解析：選D因為sin(π＋θ)＝－eq\r(3)cos(2π－θ)，所以－sinθ＝－eq\r(3)cosθ，所以tanθ＝eq\r(3).因為|θ|＜eq\f(π,2)，所以θ＝eq\f(π,3).3．若eq\f(sinπ－θ＋cosθ－2π,sinθ＋cosπ＋θ)＝eq\f(1,2)，則tanθ＝()A．1 B．－1C．3 D．－3解析：選D因為eq\f(sinπ－θ＋cosθ－2π,sinθ＋cosπ＋θ)＝eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)＝eq\f(1,2)，所以2(sinθ＋cosθ)＝sinθ－cosθ，所以sinθ＝－3cosθ，所以tanθ＝－3.4．計算：sineq\f(11π,6)＋coseq\f(10π,3)＝()A．－1 B．1C．0 D.eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)解析：選A原式＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－\f(π,6)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3π＋\f(π,3)))＝－sineq\f(π,6)＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3)))＝－eq\f(1,2)－coseq\f(π,3)＝－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＝－1.5．若tanα＝eq\f(1,2)，則sin4α－cos4α的值為()A．－eq\f(1,5) B.eq\f(1,5)C.eq\f(3,5) D．－eq\f(3,5)解析：選D∵tanα＝eq\f(1,2)，∴sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)·(sin2α－cos2α)＝eq\f(tan2α－1,tan2α＋1)＝－eq\f(3,5).6．(2018·湖南郴州模擬)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝eq\f(12,13)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝()A.eq\f(5,12) B.eq\f(12,13)C．－eq\f(5,13) D．－eq\f(12,13)解析：選B因為sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝eq\f(12,13)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝eq\f(12,13)，故選B.7．已知α是第一象限角，且sin(π－α)＝eq\f(3,5)，則tanα＝________.解析：因為sin(π－α)＝eq\f(3,5)，所以sinα＝eq\f(3,5)，因為α是第一象限角，所以cosα＝eq\f(4,5)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)8．化簡eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α)))·sin(α－π)·cos(2π－α)的結(jié)果為________．解析：原式＝eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(π,2)＋α)))·(－sinα)·cosα＝eq\f(sinα,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))·(－sinα)·cosα＝eq\f(sinα,cosα)·(－sinα)·cosα＝－sin2α.答案：－sin2α9．化簡：eq\f(sinα＋πcosπ－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)－α)),tan－αcos3－α－2π)＝________.解析：原式＝eq\f(－sinα－cosαsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)),－tanαcos3α)＝eq\f(sinαcosαcosα,－\f(sinα,cosα)cos3α)＝eq\f(sinαcos2α,－sinαcos2α)＝－1.答案：－110．已知θ是三角形的一個內(nèi)角，且sinθ，cosθ是關于x的方程4x2＋px－2＝0的兩根，則θ等于________．解析：由題意知sinθ·cosθ＝－eq\f(1,2)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin2θ＋cos2θ＝1，,sinθ·cosθ＝－\f(1,2)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＝\f(\r(2),2)，,cosθ＝－\f(\r(2),2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＝－\f(\r(2),2)，,cosθ＝\f(\r(2),2)，))又θ為三角形的一個內(nèi)角，∴sinθ＞0，則cosθ＝－eq\f(\r(2),2)，∴θ＝eq\f(3π,4).答案：eq\f(3π,4)B級——中檔題目練通抓牢1．(2016·全國卷Ⅲ)若tanα＝eq\f(3,4)，則cos2α＋2sin2α＝()A.eq\f(64,25) B.eq\f(48,25)C．1 D.eq\f(16,25)解析：選A因為tanα＝eq\f(3,4)，所以cos2α＋2sin2α＝eq\f(cos2α＋4sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(1＋4tanα,tan2α＋1)＝eq\f(1＋4×\f(3,4),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2＋1)＝eq\f(64,25).2．已知函數(shù)f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(3)＝3，則f(2018)的值為()A．－1 B．1C．3 D．－3解析：選D因為f(3)＝asin(3π＋α)＋bcos(3π＋β)＝－asinα－bcosβ＝3，所以asinα＋bcosβ＝－3，所以f(2018)＝asin(20