猜想07相似三角形（四種基本模型專練）（原卷版）

猜想07相似三角形（四種基本模型專練）題型一：“8”字模型相似三角形題型二：“A”字模型相似三角形題型三：一線三等角構(gòu)造相似模型題型四：手拉手模型旋轉(zhuǎn)型相似題型一：“8”字模型相似三角形一．選擇題（共6小題）1．（2023春?榮成市期末）四分儀是一種十分古老的測(cè)量?jī)x器．其出現(xiàn)可追溯到數(shù)學(xué)家托勒密的《天文學(xué)大成》．圖1是古代測(cè)量員用四分儀測(cè)量一方井的深度，將四分儀置于方井上的邊沿，通過(guò)窺衡桿測(cè)望井底點(diǎn)F、窺衡桿與四分儀的一邊BC交于點(diǎn)H．圖2中，四分儀為正方形ABCD．方井為矩形BEFG．若測(cè)量員從四分儀中讀得AB為1，BH為0.5，實(shí)地測(cè)得BE為2.5．則井深BG為（）A．4 B．5 C．6 D．72．（2023春?重慶期末）如圖，l1∥l2∥l3，直線a，b相交于點(diǎn)G，與這三條平行線分別相交于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)D、E、F，下列比例式中錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．3．（2022秋?辛集市期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使DE：AD＝1：3，連接EF交DC于點(diǎn)G，則S△CFG：S△DEG等于（）A．9：4 B．2：3 C．4：9 D．3：24．（2022秋?秦都區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，∠EBC的平分線交CD于點(diǎn)F，連接EF，將△DEF沿EF折疊，點(diǎn)D恰好落在EB上M點(diǎn)處，延長(zhǎng)BC、EF交于點(diǎn)N，有下列四個(gè)結(jié)論：①BF垂直平分EN；②△BEN是等邊三角形；③△DEF∽△FEB；④SBEF＝3SDEF．其中，正確的結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)5．（2022秋?閔行區(qū)期末）如圖，某零件的外徑為10cm，用一個(gè)交叉卡鉗（兩條尺長(zhǎng)AC和BD相等）可測(cè)量零件的內(nèi)孔直徑AB．如果＝＝3，且量得CD＝4cm，則零件的厚度x為（）A．2cm B．1.5cm C．0.5cm D．1cm6．（2022秋?南華縣期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是CD上的點(diǎn)，AE交BD于點(diǎn)F，交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，若DE：CE＝3：1，則AF：FG＝（）A．3：4 B．3：5 C．9：16 D．9：25二．填空題（共7小題）7．（2022秋?香坊區(qū)期末）如圖，AB∥CD，AC與BD相交于點(diǎn)E，AB＝1，CD＝2，△ABE的面積為1，則△CDE的面積為．8．（2022秋?如皋市期末）《九章算術(shù)》中記載了一種測(cè)量古井水面以上部分深度的辦法：如圖所示，在井口A處立一垂直于井口的木桿AB，從木桿的頂端B觀測(cè)井水水岸D，視線BD與井口的直徑CA交于點(diǎn)E，若測(cè)得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，則水面以上深度CD為．9．（2022秋?靜安區(qū)期末）在矩形ABCD內(nèi)作正方形AEFD（如圖所示），矩形的對(duì)角線AC交正方形的邊EF于點(diǎn)P．如果點(diǎn)F恰好是邊CD的黃金分割點(diǎn)（DF＞FC），且PE＝2，那么PF＝．10．（2022秋?黃浦區(qū)期末）如圖是一個(gè)零件的剖面圖，已知零件的外徑為10cm，為求出它的厚度x，現(xiàn)用一個(gè)交叉卡鉗（AC和BD的長(zhǎng)相等）去測(cè)量零件的內(nèi)孔直徑AB．如果＝＝，且量得CD的長(zhǎng)是3cm，那么零件的厚度x是cm．11．（2022秋?蘆淞區(qū)期末）如圖，直線y＝kx﹣2（k＞0）與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)R，與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為P、Q．過(guò)R作RM⊥x軸，M為垂足，若△OPQ與△PRM的面積相等，則k的值等于．12．（2022秋?丹東期末）如圖，在正方形ABCD中，E為AD上的點(diǎn)，連接CE．以點(diǎn)E為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作弧分別交EC，ED于點(diǎn)N，M，再分別以M，N為圓心，以大于MN長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠CED內(nèi)交于點(diǎn)P，連接EP并延長(zhǎng)交DC于點(diǎn)H，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．若AB＝16，AE：AD＝1：4，則EH的長(zhǎng)為．13．（2022秋?廬陽(yáng)區(qū)期末）正方形紙片ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB、CB上的點(diǎn)，且AE＝CF，CE交AF于M．若E為AB中點(diǎn)，則＝；若∠CMF＝60°，則＝．三．解答題（共11小題）14．（2022秋?黃埔區(qū)期末）如圖，已知AB⊥BC，EC⊥BC，垂足分別為B、C，AE交BC于點(diǎn)D，AB＝12，BD＝15，DC＝5，求EC的長(zhǎng)．15．（2022秋?市南區(qū)期末）將一塊長(zhǎng)方體蛋糕平均分成3份，若按照如圖1方式進(jìn)行分割，每份的蛋糕胚一樣多，但奶油不一樣多（①和③奶油多，②奶油少），那么如何分割，才能使得3份的蛋糕胚和奶油一樣多呢？如圖2，首先我們可以將蛋糕抽象成矩形，用加粗線條表示有奶油的邊，然后將矩形沿其對(duì)角線分割并拼成如圖3的平行四邊形ABCD，分別取邊AB、CD的三等分點(diǎn)E、F和G、H，如圖4，按EG、FH分割成3份（Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ），此種分法能夠保證每份的蛋糕坯一樣多，奶油是否一樣多，我們只需判斷每份中加粗線條的長(zhǎng)度和是否相等，請(qǐng)你給出判斷并加以證明．16．（2022秋?杭州期末）如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段BD，AC上，連結(jié)AD，EF交于點(diǎn)G，∠CEF＝2∠CAD．（1）求證：△ABC∽△EFC．（2）若BE＝2DE，＝，求的值．17．（2022秋?金山區(qū)校級(jí)期末）已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，AE∥BC，BE與AD、AC分別相交于點(diǎn)F、G，AF2＝FG?FE．（1）求證：△CAD∽△CBG；（2）聯(lián)結(jié)DG，求證：DG?AE＝AB?AG．18．（2022秋?市期末）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)E，DB平分∠ADC，且AB2＝BE?BD．求證：△ABE∽△DCE．19．（2022秋?陽(yáng)谷縣期末）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)E，DB平分∠ADC，且AB2＝BE?BD．（1）求證：△ABE∽△DCE；（2）AE?CD＝BC?ED．20．（2022秋?吉州區(qū)期末）如圖，BD、AC相交于點(diǎn)P，連接BC、AD，且∠1＝∠2，若PB＝3，PC＝1，PD＝2，求PA的長(zhǎng)度．21．（2022秋?平谷區(qū)期末）如圖，已知銳角∠ABC，以AB為直徑畫⊙O，交BC邊于點(diǎn)M，BD平分∠ABC與⊙O交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）連接OE交BD于點(diǎn)F，若∠ABC＝60°，AB＝4，求DF長(zhǎng)．22．（2022秋?辛集市期末）以下各圖均是由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格，A，B，C，D均在格點(diǎn)上．（1）在圖①中，的值為；（2）利用網(wǎng)格和無(wú)刻度的直尺作圖，保留痕跡，不寫作法．①如圖②，在AB上找一點(diǎn)P，使AP＝3；②如圖③，在BD上找一點(diǎn)P，使△APB∽△CPD．23．（2022秋?雙流區(qū)期末）小明為了測(cè)量出一深坑的深度，采取如下方案：如圖，在深坑左側(cè)用觀測(cè)儀AB從觀測(cè)出發(fā)點(diǎn)A觀測(cè)深坑底部P，且觀測(cè)視線剛好經(jīng)過(guò)深坑邊緣點(diǎn)E，在深坑右側(cè)用觀測(cè)儀CD從測(cè)出發(fā)點(diǎn)C觀測(cè)深坑底部P，且觀測(cè)視線恰好經(jīng)過(guò)深坑邊緣點(diǎn)F，點(diǎn)B，E，F(xiàn)，D在同一水平線上．已知AB⊥EF，CD⊥EF，觀測(cè)儀AB高2m，觀測(cè)儀CD高1m，BE＝1.6m，F(xiàn)D＝0.8m，深坑寬度EF＝8.8m，請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)計(jì)算深坑深度多少米？24．（2022秋?南開區(qū)校級(jí)期末）如圖，在?ABCD中，G是CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接BG交AC，AD于E，F(xiàn)．（1）求證：△ABE∽△CGE；（2）若AF＝2FD，求的值．題型二：“A”字模型相似三角形一．選擇題（共4小題）1．（2023春?東平縣期末）如圖，P為△ABC的邊AB上一點(diǎn)（AB＞AC），則下列條件不一定能保證△ABC∽△ACP的是（）A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C． D．2．（2023春?海東市期末）如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，E為CD上的點(diǎn)，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，連接AE，AF，點(diǎn)M，N分別是AE和AF的中點(diǎn)，若DE＝2，則MN的長(zhǎng)為（）A． B．2 C． D．33．（2023春?芝罘區(qū)期末）操場(chǎng)上有一根豎直的旗桿AB，它的一部分影子（BC）落在水平地面上，另一部分影子（CD）落在操場(chǎng)的墻壁上，經(jīng)測(cè)量，墻壁上的影高為1.2m，地面的影長(zhǎng)為2.6m，同時(shí)測(cè)得一根高為2m的竹竿OM的影長(zhǎng)是ON＝1.6m，請(qǐng)根據(jù)以上信息，則旗桿的高度是（）A．3.25m B．4.25m C．4.45m D．4.75m4．（2023春?環(huán)翠區(qū)期末）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上，EM∥AD，交AB于點(diǎn)M，EN∥AB，交AD于點(diǎn)N，則下列式子一定正確的是（）A． B． C． D．二．填空題（共5小題）5．（2023春?八步區(qū)期末）如圖，在△ABC中，D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)G∥DE，若BC+FG＝15，則DE的長(zhǎng)為．6．（2023春?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末）明珠綠星數(shù)學(xué)社團(tuán)想利用標(biāo)桿測(cè)量樓高，小明先在N處豎立一根高1.6m的標(biāo)桿MN，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)B、M、P在同一直線上．測(cè)得PN＝0.5m，AN＝4.5m，已知，點(diǎn)A、N、P在同一直線上，MN⊥AP于點(diǎn)N，AB⊥AP于點(diǎn)A．則樓高AB為m．7．（2023春?重慶期末）如圖，小明站在兩路燈AB、CD之間的點(diǎn)F處，兩路燈底部的距離BD＝10m，兩路燈的高度均為8m，小明身高EF＝1.6m，他在路燈AB下的影子FM＝1m，在路燈CD下的影子為FN，則FN＝．8．（2023春?虹口區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．將△ADC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到△AD1C1（點(diǎn)D與點(diǎn)D1對(duì)應(yīng)，點(diǎn)C與點(diǎn)C1對(duì)應(yīng)），當(dāng)點(diǎn)C1落在邊AB上時(shí)，聯(lián)結(jié)BD1，那么線段BD1的長(zhǎng)是．9．（2022秋?陽(yáng)曲縣期末）已知：如圖，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，點(diǎn)D位于邊AB上，過(guò)點(diǎn)D作邊BC的平行線交邊AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作邊AC的平行線交邊BC于點(diǎn)F，設(shè)AE＝x，四邊形CEDF的面積為y，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是．（不必寫定義域）三．解答題（共7小題）10．（2023春?龍口市期末）下表是小明填寫的實(shí)踐活動(dòng)報(bào)告的部分內(nèi)容，請(qǐng)你借助小明的測(cè)量數(shù)據(jù)，計(jì)算小河的寬度．題目測(cè)量小河的寬度（AB的長(zhǎng)）測(cè)量目標(biāo)示意圖相關(guān)數(shù)據(jù)BC＝1.5m，DE＝2m，BD＝4m．11．（2023春?廣州期末）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，AD＝2，BD＝1，DC＝4，求∠BAC的度數(shù)．12．（2022秋?嶧城區(qū)期末）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向以每秒cm的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向以每秒1cm的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．（1）如圖①，若PQ⊥BC，求t的值；（2）如圖②，將△PQC沿BC翻折至△P′QC，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形QPCP′為菱形？13．（2023春?牟平區(qū)期末）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽利用影子對(duì)物體進(jìn)行測(cè)量的方法，在至今仍有借鑒意義．如圖所示，現(xiàn)將一高為2米的木桿CG放在燈桿AB前，測(cè)得其影長(zhǎng)CH為1米，再將木桿沿著BC方向移動(dòng)1.8米至DE的位置（CG＝DE），此時(shí)測(cè)得其影長(zhǎng)DF為3米，求燈桿AB的高度．14．（2023春?振興區(qū)校級(jí)期末）綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師出示了一個(gè)問(wèn)題：如圖1，AB＝BC，AD＝DE，∠ABC＝∠ADE＝α，連接BD、CE．當(dāng)α＝60°時(shí)，通過(guò)測(cè)量，猜想出圖中與BD相等的線段，并加以證明．獨(dú)立思考：（1）請(qǐng)解答王老師提出的問(wèn)題．實(shí)踐探究：（2）王老師修改條件，并提出新問(wèn)題，請(qǐng)你解答．如圖2，AB＝BC，AD＝DE，∠ABC＝∠ADE＝α，連接BD、CE．當(dāng)α＝120°時(shí)，請(qǐng)用已學(xué)的知識(shí)求出的值．15．（2023春?德化縣期末）如圖，將線段AB平移得到CD，使A與D對(duì)應(yīng)，B與C對(duì)應(yīng)，連接AD，BC．（1）求證：∠B＝∠ADC；（2）點(diǎn)G在BC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)C與C′關(guān)于直線DG對(duì)稱，直線DC′交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．點(diǎn)F在線段CE上，且∠DFE＝∠EDF．①設(shè)∠B＝α，求∠FDG的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）；②證明：．16．（2022秋?大連期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．D為AC中點(diǎn)，過(guò)D作DE⊥AC交AB于點(diǎn)E．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿射線DE以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)．過(guò)D作DM∥AB，過(guò)P作PM⊥DM于點(diǎn)M．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．△PDM與△ABC重疊部分圖形的面積為S（cm2）．（1）當(dāng)點(diǎn)M落在BC邊上時(shí)，求t的值；（2）當(dāng)點(diǎn)M在△ABC內(nèi)部時(shí)，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量t的取值范圍．

題型三：一線三等角構(gòu)造相似模型一．選擇題（共3小題）1．（2023春?榮昌區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，將點(diǎn)B折疊到CD邊上點(diǎn)E處，折痕為AF，連接AE，EF，若點(diǎn)E是CD中點(diǎn)，則CF長(zhǎng)為（）A． B．1 C．2 D．32．（2022秋?寧德期末）如圖，在邊長(zhǎng)為4的等邊△ABC中，點(diǎn)D是AB邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，沿過(guò)點(diǎn)D的直線折疊∠A，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處，折痕交AC于點(diǎn)E，當(dāng)BF＝1，AE＝時(shí)，則AD的長(zhǎng)是（）A． B． C．2 D．3．（2022秋?鄒城市校級(jí)期末）如圖，AB⊥BD于點(diǎn)B，ED⊥BD于點(diǎn)D．AB＝2，DE＝4，BD＝6．點(diǎn)C為BD上一點(diǎn)，連接AC、CE．當(dāng)BC＝（）時(shí)，可使AC⊥CE．A．3 B．2或4 C． D．2或3二．填空題（共5小題）4．（2023春?寧波期末）如圖，在矩形ABCD中AB＝7cm、BC＝8cm，現(xiàn)將矩形沿EF折疊，點(diǎn)C翻折后交AB于點(diǎn)G，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H，當(dāng)BG＝4cm時(shí)，線段GI的長(zhǎng)為cm．5．（2022秋?武功縣期末）如圖，四邊形ABCD是正方形，AB＝6，E是BC中點(diǎn)，連接DE，DE的垂直平分線分別交AB、DE、CD于M、O、N，連接EN，過(guò)E作EF⊥EN交AB于F，則AF＝．6．（2022秋?大名縣校級(jí)期末）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D、點(diǎn)E分別在BC、AC上，且∠ADE＝60°．（1）寫出和∠CDE相等的角：；（2）若AB＝3，BD＝1，則CE長(zhǎng)為．7．（2022秋?鹽湖區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，過(guò)CB的中點(diǎn)D作DE⊥AD，交AB于點(diǎn)E，則EB的長(zhǎng)為．8．（2022秋?武侯區(qū)校級(jí)期末）如圖，E、F、G、H分別是矩形的邊AB、BC、CD、AD上的點(diǎn)，AH＝CF，AE＝CG，∠EHF＝60°，∠GHF＝45°，∠EFB＝15°，若AH＝2，AD＝5+，則四邊形EFGH的周長(zhǎng)為．三．解答題（共8小題）9．（2023春?牟平區(qū)期末）如圖，在△ABC中，D為BC上一點(diǎn)，BC＝AB＝3BD，求AD：AC的值．10．（2022秋?德惠市期末）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E分別在BC，AB上，且∠ADE＝60°．求證：△ADC∽△DEB．11．（2022秋?武侯區(qū)期末）為了測(cè)量成都熊貓基地觀光瞭望塔“竹筍”建筑物AB的高度，小軍同學(xué)采取了如下方法：在地面上點(diǎn)C處平放一面鏡子，并在鏡子上做一個(gè)標(biāo)記，然后人向后退，直至站在點(diǎn)D處恰好看到建筑物AB的頂端A在鏡子中的像與鏡子上的標(biāo)記重合（如圖所示）．其中B，C，D三點(diǎn)在同一條直線上．已知小軍的眼睛距離地面的高度ED的長(zhǎng)約為1.75m，BC和CD的長(zhǎng)分別為40m和1m，求建筑物AB的高度．（說(shuō)明：由物理知識(shí)，可知∠ECF＝∠ACF）12．（2022秋?魏都區(qū)校級(jí)期末）如圖，AB＝9，AC＝8，P為AB上一點(diǎn)，∠A＝∠CPD＝∠B，連接CD．（1）若AP＝3，求BD的長(zhǎng)；（2）若CP平分∠ACD，求證：PD2＝CD?BD．13．（2023春?黃岡期末）同學(xué)們還記得嗎？圖①，圖②是人教版八年級(jí)下冊(cè)教材“實(shí)驗(yàn)與探究”中我們研究過(guò)的兩個(gè)圖形．受這兩個(gè)圖形的啟發(fā)，數(shù)學(xué)興趣小組提出了以下三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你回答：【問(wèn)題一】如圖①，正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O又是正方形A1B1C1O的一個(gè)頂點(diǎn)，OA1交AB于點(diǎn)E，OC1交BC于點(diǎn)F，則AE與BF的數(shù)量關(guān)系為；【問(wèn)題二】受圖①啟發(fā)，興趣小組畫出了圖③：直線m、n經(jīng)過(guò)正方形ABCD的對(duì)稱中心O，直線m分別與AD、BC交于點(diǎn)E、F，直線n分別與AB、CD交于點(diǎn)G、H，且m⊥n，若正方形ABCD邊長(zhǎng)為8，求四邊形OEAG的面積；【問(wèn)題三】受圖②啟發(fā)，興趣小組畫出了圖④：正方形CEFG的頂點(diǎn)G在正方形ABCD的邊CD上，頂點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，且BC＝6，CE＝2．在直線BE上是否存在點(diǎn)P，使△APF為直角三角形？若存在，求出BP的長(zhǎng)度；若不存在，說(shuō)明理由．14．（2022秋?鄲城縣期末）【感知】如圖①，在正方形ABCD中，E為AB邊上一點(diǎn)，連結(jié)DE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE交BC于點(diǎn)F．易證：△AED∽△BFE．（不需要證明）【探究】如圖②，在矩形ABCD中，E為AB邊上一點(diǎn)，連結(jié)DE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE交BC于點(diǎn)F．（1）求證：△AED∽△BFE．（2）若AB＝10，AD＝6，E為AB的中點(diǎn)，求BF的長(zhǎng)．【應(yīng)用】如圖③，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4．E為AB邊上一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、B重合），連結(jié)CE，過(guò)點(diǎn)E作∠CEF＝45°交BC于點(diǎn)F．當(dāng)△CEF為等腰三角形時(shí)，BE的長(zhǎng)為．15．（2022秋?嵐山區(qū)校級(jí)期末）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，直線l過(guò)點(diǎn)C，分別過(guò)A、B兩點(diǎn)作AE⊥l，BD⊥l，垂足分別為E、D．求證：△BDC∽△CEA．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC上一點(diǎn)，過(guò)D作AD的垂線交AB于點(diǎn)E．若BE＝DE，，AC＝20，求BD的長(zhǎng)．【拓展提高】（3）如圖3，在平行四邊形ABCD中，在BC上取點(diǎn)E，使得∠AED＝90°，若AE＝AB，，CD＝，求平行四邊形ABCD的面積．16．（2022秋?黃浦區(qū)期末）已知，如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAC＝∠ADC＝90°，CD＝4，cos∠ACD＝．（1）當(dāng)BC∥AD時(shí)（如圖2），求AB的長(zhǎng)；（2）聯(lián)結(jié)BD，交邊AC于點(diǎn)E，①設(shè)CE＝x，AB＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并寫出定義域；②當(dāng)△BDC是等腰三角形時(shí)，求AB的長(zhǎng)．

題型四：手拉手模型旋轉(zhuǎn)型相似一．填空題（共4小題）1．（2022秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝6，點(diǎn)P在邊AC上運(yùn)動(dòng)（可與點(diǎn)A，C重合），將線段BP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段DP，連接BD，CD，則CD長(zhǎng)的最小值為．2．（2022秋?建鄴區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝32°，點(diǎn)D是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，作△CDE∽△CAB，連接BE．若△BCE是等腰三角形，則∠CDB＝．3．（2022秋?黃浦區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，過(guò)點(diǎn)D作對(duì)角線AC的垂線，垂足為E，過(guò)點(diǎn)E作BE的垂線，交邊AD于點(diǎn)F，如果AB＝3，BC＝5，那么DF的長(zhǎng)是．4．（2022秋?黔江區(qū)期末）如圖，點(diǎn)A在線段BD上，在BD的同側(cè)作等腰直角△ABC和等腰直角△ADE，CD與BE、AE分別交于點(diǎn)P，M．對(duì)于下列結(jié)論：①△BAE∽△CAD；②MP?MD＝MA?ME；③2CB2＝CP?CM；④sin∠CPB＝；其中正確的結(jié)論有．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）．二．解答題（共11小題）5．（2023春?鋼城區(qū)期末）如圖，已知△ABC和△ADE，AB＝AC，AD＝AE，點(diǎn)D在BC邊上，∠BAD＝∠CAE，邊DE與AC相交于點(diǎn)F．（1）求證：△ABC∽△ADE；（2）如果AE∥BC，DA＝DC，連結(jié)CE．求證：四邊形ADCE是菱形．6．（2023春?永城市期末）如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的AD邊上（不與點(diǎn)A，D重合），連接EC，將△DEC沿EC翻折，使點(diǎn)D落在點(diǎn)F處，作射線DF交CE于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N，連接BF．（1）求證：△ADN≌△DCE；（2）過(guò)點(diǎn)A作AH∥BF交射線DN于點(diǎn)H．①求∠AHF的度數(shù)；②直接寫出線段AH與FM之間的數(shù)量關(guān)系．7．（2022秋?東河區(qū)期末）如圖，在△ABC和△ADE中，∠DAB＝∠EAC，∠C＝∠E．（1）求證：AD?BC＝AB?DE；（2）若S△ADE：S△ABC＝4：9，BC＝6，求DE的長(zhǎng)．8．（2022秋?建鄴區(qū)期末）如圖，點(diǎn)E在線段BC上，AB⊥BC，DC⊥BC，∠AED＝90°．求證AB?CD＝BE?EC．9．（2022秋?大東區(qū)期末）如圖，D為△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，E為△ABC外的一點(diǎn)，且∠ABC＝∠DBE，∠BAD＝∠BCE．（1）求證：△ABD∽△CBE；（2）若AB：DB＝5：2，AC＝6，直接寫出線段DE的長(zhǎng)度為．10．（2022秋?松原期末）已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A'BC'，點(diǎn)A、點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)A′、點(diǎn)C′．感知：如圖①，當(dāng)BC'落在AB邊上時(shí)，∠A'AB與∠C′CB之間的數(shù)量關(guān)系是（不需要證明）；探究：如圖②，當(dāng)BC′不落在AB邊上時(shí)，∠A′AB與∠C′CB是否相等？如果相等，請(qǐng)證明；如果不相等，請(qǐng)說(shuō)明理由；應(yīng)用：如圖③，若∠BAC＝90°，AA'、CC′交于點(diǎn)E，則∠A′EC＝度．11．（2022秋?靖江市期末）如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90