第07講 立體幾何與空間向量（2022-2024高考真題）（新高考專用）（學(xué)生版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

第07講立體幾何與空間向量（2022-2024高考真題）（新高考專用）一、單項(xiàng)選擇題1．（2024·北京·高考真題）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，PA=PB=4，PC=PD=22，該棱錐的高為（

A．1 B．2 C．2 D．32．（2024·全國(guó)·高考真題）設(shè)α、β為兩個(gè)平面，m、n為兩條直線，且α∩β=m.下述四個(gè)命題：①若m//n，則n//α或n//β

②若m⊥n，則n⊥α或n⊥β③若n//α且n//β，則m//n

④若n與α,β所成的角相等，則m⊥n其中所有真命題的編號(hào)是（

）A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④3．（2024·天津·高考真題）一個(gè)五面體ABC?DEF．已知AD∥BE∥CF，且兩兩之間距離為1．并已知AD=1，BE=2，A．36 B．334+124．（2024·天津·高考真題）若m,n為兩條不同的直線，α為一個(gè)平面，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若m//α，n//α，則m⊥n B．若mC．若m//α,n⊥α，則m⊥n D．若m//α,n⊥α，則5．（2024·全國(guó)·高考真題）已知正三棱臺(tái)ABC?A1B1C1的體積為523，AB=6，AA．12 B．1 C．2 6．（2024·全國(guó)·高考真題）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為3，則圓錐的體積為（

）A．23π B．33π C．7．（2024·上?！じ呖颊骖}）定義一個(gè)集合Ω，集合中的元素是空間內(nèi)的點(diǎn)集，任取P1,P2,P3∈Ω，存在不全為0的實(shí)數(shù)λA．0,0,0∈Ω C．0,1,0∈Ω 8．（2023·北京·高考真題）坡屋頂是我國(guó)傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素．安裝燈帶可以勾勒出建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美．如圖，某坡屋頂可視為一個(gè)五面體，其中兩個(gè)面是全等的等腰梯形，兩個(gè)面是全等的等腰三角形．若AB=25m,BC=AD=10m，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平面ABCD的夾角的正切值均為14

A．102m B．112mC．117m D．125m9．（2023·全國(guó)·高考真題）在三棱錐P?ABC中，△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，PA=PB=2,PC=6，則該棱錐的體積為（

A．1 B．3 C．2 D．310．（2023·全國(guó)·高考真題）已知△ABC為等腰直角三角形，AB為斜邊，△ABD為等邊三角形，若二面角C?AB?D為150°，則直線CD與平面ABC所成角的正切值為（

）A．15 B．25 C．3511．（2023·全國(guó)·高考真題）已知圓錐PO的底面半徑為3，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，∠AOB=120°，若△PAB的面積等于934，則該圓錐的體積為（A．π B．6π C．3π D．12．（2023·天津·高考真題）在三棱錐P?ABC中，點(diǎn)M,N分別在棱PC,PB上，且PM=13PC，PN=23PB，則三棱錐A．19 B．29 C．1313．（2022·天津·高考真題）十字歇山頂是中國(guó)古代建筑屋頂?shù)慕?jīng)典樣式之一，左圖中的故宮角樓的頂部即為十字歇山頂.其上部可視為由兩個(gè)相同的直三棱柱重疊而成的幾何體（如右圖）.這兩個(gè)直三棱柱有一個(gè)公共側(cè)面ABCD.在底面BCE中，若BE=CE=3,∠BCE=120°,則該幾何體的體積為（

）A．272 B．2732 C．2714．（2022·全國(guó)·高考真題）已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為33和43，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（A．100π B．128π C．144π D．192π15．（2022·全國(guó)·高考真題）甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2π，側(cè)面積分別為S甲和S乙，體積分別為V甲和V乙．若SA．5 B．22 C．10 D．16．（2022·全國(guó)·高考真題）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1，則該多面體的體積為（

）A．8 B．12 C．16 D．2017．（2022·全國(guó)·高考真題）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（

）A．13 B．12 C．3318．（2022·北京·高考真題）已知正三棱錐P?ABC的六條棱長(zhǎng)均為6，S是△ABC及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合．設(shè)集合T={Q∈SPQ≤5}，則T表示的區(qū)域的面積為（A．3π4 B．π C．2π D．19．（2022·全國(guó)·高考真題）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔148．5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為140．0km2；水位為海拔157．5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為A．1.0×109m3 B．1.2×10920．（2022·全國(guó)·高考真題）在正方體ABCD?A1B1C1D1中，A．平面B1EF⊥平面BDD1 C．平面B1EF//平面A1AC 二、多項(xiàng)選擇題21．（2023·全國(guó)·高考真題）下列物體中，能夠被整體放入棱長(zhǎng)為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)的有（

）A．直徑為0.99mB．所有棱長(zhǎng)均為1.4mC．底面直徑為0.01m，高為1.8D．底面直徑為1.2m，高為0.0122．（2023·全國(guó)·高考真題）已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，∠APB=120°，PA=2，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角P?AC?O為45°，則（

）．A．該圓錐的體積為π B．該圓錐的側(cè)面積為4C．AC=22 D．△PAC的面積為23．（2022·全國(guó)·高考真題）如圖，四邊形ABCD為正方形，ED⊥平面ABCD，F(xiàn)B∥ED,AB=ED=2FB，記三棱錐E?ACD，F(xiàn)?ABC，F(xiàn)?ACE的體積分別為V1,VA．V3=2VC．V3=V三、填空題24．（2024·全國(guó)·高考真題）已知圓臺(tái)甲、乙的上底面半徑均為r1,下底面半徑均為r2，圓臺(tái)的母線長(zhǎng)分別為2r2?25．（2023·全國(guó)·高考真題）已知點(diǎn)S,A,B,C均在半徑為2的球面上，△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，SA⊥平面ABC，則SA=．26．（2023·全國(guó)·高考真題）在正方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=4,O為27．（2023·全國(guó)·高考真題）在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為28．（2023·全國(guó)·高考真題）在正四棱臺(tái)ABCD?A1B1C29．（2023·全國(guó)·高考真題）底面邊長(zhǎng)為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為．四、解答題30．（2024·上海·高考真題）如圖為正四棱錐P?ABCD,O為底面ABCD的中心．(1)若AP=5,AD=32，求△POA繞PO(2)若AP=AD,E為PB的中點(diǎn)，求直線BD與平面AEC所成角的大?。?1．（2024·全國(guó)·高考真題）如圖，AB//CD,CD//EF，AB=DE=EF=CF=2，CD=4,AD=BC=10，AE=23,M為(1)證明：EM//平面BCF；(2)求點(diǎn)M到ADE的距離.32．（2024·全國(guó)·高考真題）如圖，四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AC=2，BC=1,AB=3(1)若AD⊥PB，證明：AD//平面PBC(2)若AD⊥DC，且二面角A?CP?D的正弦值為427，求AD33．（2024·北京·高考真題）如圖，在四棱錐P?ABCD中，BC//AD，AB=BC=1，AD=3,點(diǎn)E在AD上，且PE⊥AD，PE=DE=2．(1)若F為線段PE中點(diǎn)，求證：BF//平面PCD(2)若AB⊥平面PAD，求平面PAB與平面PCD夾角的余弦值．34．（2024·全國(guó)·高考真題）如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，EF//AD,BC//AD，AD=4,AB=BC=EF=2，ED=10,FB=23，M(1)證明：BM//平面CDE；(2)求二面角F?BM?E的正弦值．35．（2024·天津·高考真題）已知四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD為梯形，AB//CD，A1A⊥平面ABCD，AD⊥AB，其中(1)求證D1N//平面(2)求平面CB1M(3)求點(diǎn)B到平面CB36．（2024·全國(guó)·高考真題）如圖，平面四邊形ABCD中，AB=8，CD=3，AD=53，∠ADC=90°，∠BAD=30°，點(diǎn)E，F(xiàn)滿足AE=25AD，AF(1)證明：EF⊥PD；(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值．37．（2023·北京·高考真題）如圖，在三棱錐P?ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB=BC=1，

(1)求證：BC⊥平面PAB；(2)求二面角A?PC?B的大小．38．（2023·全國(guó)·高考真題）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C

(1)證明：平面ACC1A(2)設(shè)AB=A1B,A39．（2023·全國(guó)·高考真題）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，A1C⊥底面

(1)證明：A1(2)已知AA1與BB1的距離為2，求40．（2023·天津·高考真題）如圖，在三棱臺(tái)ABC?A1B1C1中，A1A⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC=AA

(1)求證：A1N//平面(2)求平面AMC1與平面(3)求點(diǎn)C到平面AMC41．（2023·全國(guó)·高考真題）如圖，在三棱錐P?ABC中，AB⊥BC，AB=2，BC=22，PB=PC=6，BP,AP,BC的中點(diǎn)分別為D,E,O，點(diǎn)F在AC上，(1)求證：EF//平面ADO；(2)若∠POF=120°，求三棱錐P?ABC的體積．42．（2023·全國(guó)·高考真題）如圖，在三棱錐P?ABC中，AB⊥BC，AB=2，BC=22，PB=PC=6，BP，AP，BC的中點(diǎn)分別為D，E，O，AD=5DO，點(diǎn)F在

(1)證明：EF//平面ADO；(2)證明：平面ADO⊥平面BEF；(3)求二面角D?AO?C的正弦值.43．（2023·全國(guó)·高考真題）如圖，在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB=2,AA

(1)證明：B2(2)點(diǎn)P在棱BB1上，當(dāng)二面角P?A2C44．（2023·全國(guó)·高考真題）如圖，三棱錐A?BCD中，DA=DB=DC，BD⊥CD，∠ADB=∠ADC=60°，E為(1)證明：BC⊥DA；(2)點(diǎn)F滿足EF=DA，求二面角45．（2022·浙江·高考真題）如圖，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB//DC，DC//EF，AB=5，DC=3，EF=1，∠BAD=∠CDE=60°，二面角F?DC?B的平面角為60°．設(shè)M，N分別為AE,BC的中點(diǎn)．(1)證明：FN⊥AD；(2)求直線BM與平面ADE所成角的正弦值．46．（2022·全國(guó)·高考真題）如圖，四面體ABCD中，AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC，E為AC的中點(diǎn)．(1)證明：平面BED⊥平面ACD；(2)設(shè)AB=BD=2,∠ACB=60°，點(diǎn)F在BD上，當(dāng)△AFC的面積最小時(shí)，求三棱錐F?ABC的體積．47．（2022·全國(guó)·高考真題）小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面ABCD是邊長(zhǎng)為8（單位：cm）的正方形，△EAB,△FBC,△GCD,△HDA均為正三角形，且它們所在的平面都與平面ABCD垂直．(1)證明：EF//平面ABCD；(2)求該包裝盒的容積（不計(jì)包裝盒材料的厚度）．48．（2022·天津·高考真題）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC⊥AB，點(diǎn)D、E、(1)求證：EF//平面ABC(2)求直線BE與平面CC(3)求平面A1CD與平面49．（2022·全國(guó)·高考真題）如圖，PO是三棱錐P?ABC的高，PA=PB，AB⊥AC，E是PB的中點(diǎn)．

(1)證明：OE//平面PAC；(2)若∠ABO=∠CBO=30°，PO=3，PA=5，求二面角C?AE?B的正弦值．50．（2022·全國(guó)·高考真題）在四棱錐P?ABCD中，PD⊥底面ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=3(1)證明：BD⊥PA；(2)求PD與平面PAB所成的角的正弦值．51．（2022·全國(guó)·高考真題）如圖，四面體ABCD中，AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC，E為AC的中點(diǎn)．(1)證明：平面BED⊥平面ACD；(2)設(shè)AB=BD=2,∠AC