重難點07 雙變量問題（舉一反三）（新高考專用）（學(xué)生版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

重難點07雙變量問題【九大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1雙變量單調(diào)性問題】 2【題型2雙變量的最值（取值范圍）問題】 3【題型3雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題】 4【題型4與極值點有關(guān)的雙變量問題】 5【題型5與零點有關(guān)的雙變量問題】 6【題型6雙變量的恒成立問題】 7【題型7雙變量的不等式證明問題】 8【題型8與切線有關(guān)的雙變量問題】 10【題型9雙變量的新定義問題】 111、雙變量問題導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要考查內(nèi)容，是高考?？嫉臒狳c內(nèi)容，而導(dǎo)數(shù)中的雙變量問題在高考中占有很重要的地位，主要涉及雙變量的恒成立問題、雙參數(shù)不等式問題以及雙變量的不等式證明等問題，一般作為解答題的壓軸題出現(xiàn)，難度較大，需要靈活求解.【知識點1導(dǎo)數(shù)中的雙變量問題】1．導(dǎo)數(shù)中的雙變量問題導(dǎo)數(shù)中的雙變量問題往往以雙參數(shù)不等式的形式呈現(xiàn)，要想解決雙變量問題，就需要掌握破解雙參數(shù)不等式的方法：一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參數(shù)滿足的關(guān)系式，并把含雙參數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為含單參數(shù)的不等式；二是巧構(gòu)函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值；三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果．【知識點2導(dǎo)數(shù)中的雙變量問題的解題策略】1．轉(zhuǎn)化為同源函數(shù)解決雙變量問題此類問題一般是給出含有x1，x2，f(x1)，f(x2)的不等式，若能通過變形，把不等式兩邊轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)形式相同的代數(shù)式，即轉(zhuǎn)化為同源函數(shù)，可利用該函數(shù)單調(diào)性求解.2．整體代換解決雙變量問題(1)解此類題的關(guān)鍵是利用代入消元法消去參數(shù)a，得到僅含有x1，x2的式子.(2)與極值點x1，x2有關(guān)的雙變量問題：一般是根據(jù)x1，x2是方程f'(x)=0的兩個根，確定x1，x2的關(guān)系,再通過消元轉(zhuǎn)化為只含有x1或x2的關(guān)系式，再構(gòu)造函數(shù)解題，即把所給條件轉(zhuǎn)化為x1，x2的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，把看作一個變量進行整體代換，從而把二元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)來解決問題.3．構(gòu)造函數(shù)解決雙變量問題的答題模板第一步：分析題意，探究兩變量的關(guān)系；第二步：合二為一，變?yōu)閱巫兞坎坏仁剑坏谌剑簶?gòu)造函數(shù)；第四步：判斷新函數(shù)的單調(diào)性或求新函數(shù)的最值，進而解決問題；第五步：反思回顧解題過程，規(guī)范解題步驟.【題型1雙變量單調(diào)性問題】【例1】（23-24高二下·江蘇常州·期中）已知函數(shù)fx=xlnx?12ax2，a∈R(1)若gx=f(x)x，求函數(shù)(2)若對于任意的x1，x2∈(0,+∞)【變式1-1】（23-24高二下·上?！て谀┮阎猣x(1)求曲線y=fx在x=1(2)若對任意的x1,x2∈0,+∞【變式1-2】（23-24高二下·上?！て谀┮阎瘮?shù)f(1)當(dāng)a=1時，求函數(shù)fx(2)若fx1?fx2【變式1-3】（2024·山西呂梁·三模）已知函數(shù)fx(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若對任意的x1,x2∈【題型2雙變量的最值（取值范圍）問題】【例2】（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx（1）若fx≥0，求實數(shù)（2）若gx=fx+x2+【變式2-1】（2023·湖北武漢·一模）已知關(guān)于x的方程ax?lnx=0有兩個不相等的正實根x1和x(1)求實數(shù)a的取值范圍；(2)設(shè)k為常數(shù)，當(dāng)a變化時，若x1kx2有最小值【變式2-2】（2024·四川成都·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=sin(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若x1<x（?。┣髆的取值范圍；（ⅱ）證明：x1【變式2-3】（2024·四川瀘州·一模）已知函數(shù)fx=ax+1?xlnx的圖像在(1)求函數(shù)fx(2)若?x1,x2∈0,+【題型3雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題】【例3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=ax?ln(1)若fx存在零點，求a(2)若x1，x2為fx的零點，且x【變式3-1】（2024·廣東佛山·二模）已知fx(1)當(dāng)a=3時，求fx(2)若fx有兩個極值點x1，x2【變式3-2】（2024·四川·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=1時，求曲線y=fx在點0,f(2)設(shè)x1,x2x【變式3-3】（2024·安徽阜陽·一模）已知函數(shù)fx(1)討論fx(2)已知x1,x2是函數(shù)（ⅰ）求實數(shù)a的取值范圍．（ⅱ）λ∈0,12,f【題型4與極值點有關(guān)的雙變量問題】【例4】（2024·四川南充·二模）已知函數(shù)fx=aex?(1)求實數(shù)a的取值范圍；(2)若x3≥2x【變式4-1】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx(1)當(dāng)t=0時，討論函數(shù)fx(2)已知Fx=fx?ex，函數(shù)Fx【變式4-2】（2023·四川攀枝花·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=1時，求fx(2)設(shè)函數(shù)gx=x2?1ex?x?fx【變式4-3】（2023·上海松江·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=ax?aln(1)若a=0，求函數(shù)y=f(x)的極值點；(2)若不等式f(x)<0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(3)若函數(shù)y=f(x)有三個不同的極值點x1、x2、x3，且f(【題型5與零點有關(guān)的雙變量問題】【例5】（2024·四川·一模）已知函數(shù)fx(1)若a=1，求fx(2)若fx有2個零點x1,【變式5-1】（2023·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=x(1)當(dāng)a=1時，求fx(2)若函數(shù)gx=fx?x【變式5-2】（2023·貴州貴陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=ax?ln(1)求a的取值范圍；(2)求證：x1+x【變式5-3】（2023·海南?？凇つM預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=xe(1)求f(x)的最小值；(2)設(shè)F(x)=f(x)+a(x+1)（ⅰ）證明：F(x)存在兩個零點x1，x（ⅱ）證明：F(x)的兩個零點x1，x2滿足【題型6雙變量的恒成立問題】【例6】（2023·四川自貢·二模）已知函數(shù)fx=aex?(1)求a的取值范圍；(2)若x2≥3x1時，不等式【變式6-1】（2023·河南·二模）已知函數(shù)fx=1(1)討論fx(2)當(dāng)m>0時，若對于任意的x1∈0,+∞，總存在x2【變式6-2】（2023·全國·二模）已知函數(shù)fx=xlnx?a(1)當(dāng)a=12時，若gx=f′(x)(2)已知x1,x2是函數(shù)f（x）的兩個極值點，且x1【變式6-3】（2023·安徽淮南·一模）已知f(x)=alnx+x有兩個不同的零點(1)求實數(shù)a的取值范圍；(2)若x0=x1+λ【題型7雙變量的不等式證明問題】【例7】（2023·安徽六安·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=x2+2(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)已知函數(shù)g(x)=f′(x)?5x+5alnx【變式7-1】（2024·湖南長沙·三模）已知函數(shù)f(x)=x?1（1）當(dāng)m=2時，試判斷函數(shù)f(x)在(π,+∞)上的單調(diào)性；（2）存在x1,x2∈(0,+∞)，x【變式7-2】（2023·福建龍巖·二模）已知函數(shù)f(x)=lnx，(1)若x0滿足fx0=x0+1(2)若F(x)=f(x)?g(x)，且F′x1【變式7-3】（2024·天津河西·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=kln(1)若函數(shù)y=f(x)為增函數(shù)，求k的取值范圍；(2)已知0<x（i）證明：ee（ii）若x1ex【題型8與切線有關(guān)的雙變量問題】【例8】（2023·四川成都·模擬預(yù)測）若函數(shù)fx=alnx?1(1)求a的取值范圍；(2)若fx在x1,0和x2,0【變式8-1】（2024·廣東·二模）已知fx(1)求fx(2)函數(shù)fx的圖象上是否存在兩點Ax1,y1,Bx2,y【變式8-2】（2024·四川宜賓·三模）已知函數(shù)fx=m+(1)當(dāng)m=2時，求fx(2)當(dāng)m∈3,+∞時，曲線y=fx上總存在相異兩點Px1,fx1、Qx【變式8-3】（2024·重慶·模擬預(yù)測）牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了代數(shù)方程的一種數(shù)值解法——牛頓法．具體做法如下：如圖，設(shè)r是f(x)=0的根，首先選取x0作為r的初始近似值，若f(x)在點(x0,f(x0))處的切線與x軸相交于點(x1,0)，稱x1是r的一次近似值；用x1替代x0重復(fù)上面的過程，得到x(1)若f(x)=x3+3x2(2)牛頓法中蘊含了“以直代曲”的數(shù)學(xué)思想，直線常常取為曲線的切線或割線，求函數(shù)g(x)=ex?3在點(2,g(2))(3)若?(x)=x(1?lnx)，若關(guān)于x的方程?(x)=a的兩個根分別為x1【題型9雙變量的新定義問題】【例9】（2024·浙江紹興·三模）若函數(shù)α(x)有且僅有一個極值點m，函數(shù)β(x)有且僅有一個極值點n，且m>n，則稱α(x)與β(x)具有性質(zhì)α?β//m>n．(1)函數(shù)φ1(x)=sinx?x(2)已知函數(shù)fx=aex?（i）求a的取值范圍；（ii）證明：gx【變式9-1】（2023·湖北·二模）設(shè)fx是定義在區(qū)間(1,+∞)上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)．如果存在實數(shù)a和函數(shù)?x，其中?x對任意的x∈(1,+∞)(1)設(shè)函數(shù)f(x)=lnx+b+2（i）求證：函數(shù)fx具有性質(zhì)P（ii）求函數(shù)fx(2)已知函數(shù)gx具有性質(zhì)P2.給定x1,xα=mx1+(1?m)x2，β=(1?m)x1+mx【變式9-2】（2024·浙江溫州·二模）如圖，對于曲線Γ，存在圓C滿足如下條件：

①圓C與曲線Γ有公共點A，且圓心在曲線Γ凹的一側(cè)；②圓C與曲線Γ在點A處有相同的切線；③曲線Γ的導(dǎo)函數(shù)在點A處的導(dǎo)數(shù)（即曲線Γ的二階導(dǎo)數(shù)）等于圓C在點A處的二階導(dǎo)數(shù)（已知圓x?a2+y?b2=則稱圓C為曲線Γ在A點處的曲率圓，其半徑r稱為曲率半徑．(1)求拋物線y=x(2)求曲線y=1(3)若曲線y=ex在x1,e【變式9-3】（2023·上海徐匯·二模）已知常數(shù)k為非零整數(shù)，若函數(shù)y=fx，x∈0,1滿足：對任意x1,x2∈(1)函數(shù)y=2x，x∈0,1是否為L(2)若y=fx為L1函數(shù)，圖像在x∈0,1是一條連續(xù)的曲線，f0=0，f1=12，且fx在區(qū)間(3)若a>0，fx=0.05x2+0.1x+alnx+1，且y=fx為L?1函數(shù)，gx=f′x，對任意一、單選題1．（2023·吉林長春·模擬預(yù)測）已知a，b滿足ea=?ae?2，blnA．?e B．?e2 C．?2．（23-24高三上·廣東江門·階段練習(xí)）已知fx=alnx+12x2a>0若對于任意兩個不等的正實數(shù)xA．0,1 B．1,+∞ C．0,3 3．（23-24高二下·福建福州·期末）已知x,y為正實數(shù)，lnx+lny=A．x?＞?y B．x?＜?y C．4．（2023·江蘇南通·模擬預(yù)測）已知直線y=kx+t與函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖象恰有兩個切點，設(shè)滿足條件的k所有可能取值中最大的兩個值分別為k1和k2，且A．35<k1k2<575．（23-24高二下·福建福州·期中）已知函數(shù)fx=x?2ex，若fx1A．x1>12 B．x2<6．（2024·四川成都·一模）已知a>b，且ea?a=e①b<?1；②0<a<12；③b+a<0；

④A．①②③ B．②③④ C．②④ D．③④7．（2024·四川廣安·模擬預(yù)測）已知0<x<y<π，且eysinA．cosx+cosy<0C．cosx>siny8．（23-24高二下·四川眉山·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=ex+ax有兩個零點xA．a(chǎn)<?e B．C．x1x2>1二、多選題9．（2024·海南?？凇つM預(yù)測）設(shè)函數(shù)fx=xlnA．fB．函數(shù)fx有最大值C．若x1+D．若x1+x210．（2024·廣東廣州·一模）已知直線y=kx與曲線y=lnx相交于不同兩點M(x1,y1)，N(x2,A．0<k<1e B．x1x2=11．（2023·廣東廣州·一模）已知a>0，b>0，A．lnb>1aC．a(chǎn)+lnb<1 三、填空題12．（2023·山西臨汾·模擬預(yù)測）已知t>0，tm2lnm?13．（2023·全國·模擬預(yù)測）若對于?m∈?e,e，?y∈?1,+∞，使得不等式14．（2023·湖南郴州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=12x2+1?ax?xlnx有兩個極值點x四、解答題15．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=x(1)若fx在0,2上單調(diào)遞增，求a(2