重難點20 立體幾何中的動態(tài)、軌跡問題（舉一反三）（新高考專用）（學生版） 2025年高考數(shù)學一輪復習專練（新高考專用）

重難點20立體幾何中的動態(tài)、軌跡問題【六大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1動點保持平行的動態(tài)軌跡問題】 2【題型2動點保持垂直的動態(tài)軌跡問題】 2【題型3距離（長度）有關的動態(tài)軌跡問題】 4【題型4角度有關的動態(tài)軌跡問題】 4【題型5翻折有關的動態(tài)軌跡問題】 5【題型6軌跡所圍圖形的周長、面積問題】 61、立體幾何中的動態(tài)、軌跡問題“動態(tài)、軌跡”問題是高考立體幾何問題最具創(chuàng)新意識的題型，是高考中的重點、難度問題，它滲透了一些“動態(tài)”的點、線、面等元素，給靜態(tài)的立體幾何題賦予了活力，題型更新穎.同時，由于“動態(tài)”的存在，也使立體幾何題更趨多元化，將立體幾何問題與平面幾何中的解三角形問題、多邊形面積問題以及解析幾何問題之間建立橋梁，使得它們之間靈活轉(zhuǎn)化.【知識點1立體幾何中的動態(tài)、軌跡問題的解題策略】1．動點軌跡的判斷方法動點軌跡的判斷一般根據(jù)線面平行、線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線的定義推斷出動點的軌跡，有時也可以利用空間向量的坐標運算求出動點的軌跡方程.2．立體幾何中的軌跡問題的常見解法(1)定義法：根據(jù)圓或圓錐曲線的定義推斷出動點的軌跡，進而求解軌跡問題.(2)交軌法：若動點滿足的幾何條件是兩動曲線(曲線方程中含有參數(shù))的交點，此時，要首先分析兩動曲線的變化，依賴于哪一個變量?設出這個變量為t，求出兩動曲線的方程，然后由這兩動曲線方程著力消去參數(shù)t，化簡整理即得動點的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法我們稱為交軌法.(3)幾何法：從幾何視角人手，結(jié)合立體幾何中的線面平行、線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，找到動點的軌跡，再進行求解.(4)坐標法：坐標法就是通過建立空間直角坐標系，將立體幾何中的軌跡問題轉(zhuǎn)化為坐標運算問題，進行求解.(5)向量法：不通過建系，而是利用空間向量的運算、空間向量基本定理等來研究立體幾何中的軌跡問題，進行求解.【題型1動點保持平行的動態(tài)軌跡問題】【例1】（2024·全國·模擬預測）如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為棱BC的中點，F(xiàn)為底面ABCD內(nèi)一動點（含邊界）．若D1F//平面A1EC1，則動點FA．3 B．5 C．22 D．【變式1-1】（2024·北京昌平·二模）已知棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1，M是BB1的中點，動點A．22 B．2 C．1 D．【變式1-2】（2024·江西贛州·二模）在棱長為4的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點P滿足AA1=4AP，E，F(xiàn)分別為棱BC，CD的中點，點A．5373 B．237 C．7【變式1-3】（2024·山東棗莊·二模）如圖，在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，M是A1B1的中點，點PA．62,2C．62,3【題型2動點保持垂直的動態(tài)軌跡問題】【例2】（2024·山東濰坊·一模）如圖所示，在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點P為截面A．22 B．2 C．12【變式2-1】（2024·海南省直轄縣級單位·模擬預測）已知四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD為正方形，側(cè)棱與底面垂直，點P是側(cè)棱DD1上的點，且DP=2PD

A．3 B．2 C．233 【變式2-2】（2024·廣西玉林·三模）在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB=1，AA1=4，EA．5+2 B．22+2 【變式2-3】（2024·廣西南寧·一模）在邊長為4的菱形ABCD中，∠ABC=120°．將菱形沿對角線AC折疊成大小為30°的二面角B′?AC?D．若點E為B′C的中點，F(xiàn)為三棱錐B′?ACD表面上的動點，且總滿足A．4+6?22 B．4+6+【題型3距離（長度）有關的動態(tài)軌跡問題】【例3】（2024·四川南充·二模）三棱錐A?BCD中，AB=AC=AD=4，BC=CD=DB=6，P為△BCD內(nèi)部及邊界上的動點，AP=22，則點P的軌跡長度為（

A．π B．2π C．3π D．4π【變式3-1】（2024·廣東梅州·一模）如圖，正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1=2AB=2，點P是面ABB1A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【變式3-2】（23-24高三上·江西撫州·階段練習）設A、B是半徑為2的球體O表面上的兩定點，且∠AOB=π2，球體O表面上動點M滿足MA=3MB，則點A．467π B．2305π【變式3-3】（2023·陜西西安·模擬預測）已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為22,P是正方形BBA．23 B．3 C．32 【題型4角度有關的動態(tài)軌跡問題】【例4】（2024·全國·模擬預測）已知正四棱錐P?ABCD的體積為423，底面ABCD的四個頂點在經(jīng)過球心的截面圓上，頂點P在球O的球面上，點E為底面ABCD上一動點，PE與PO所成角為π6，則點EA．2π B．43π C．6【變式4-1】（2024·海南?？凇ひ荒＃┤鐖D，點P是棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1表面上的一個動點，直線A．π+42 B．42π C．【變式4-2】（23-24高一上·浙江紹興·期末）已知點P是邊長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1表面上的動點，若直線AP與平面A．32 B．22+π C．【變式4-3】（2024·江西·模擬預測）如圖，已知正三棱臺ABC?A1B1C1的上、下底面邊長分別為4和6，側(cè)棱長為2，點P在側(cè)面BCC1B1內(nèi)運動（包含邊界），且A．4π3 B．5π3 C．【題型5翻折有關的動態(tài)軌跡問題】【例5】（23-24高三上·云南昆明·階段練習）如圖，已知在△ABC中，AB=1,BC=3,AB⊥BC，D是BC邊上一點，且BD=1，將△ABD沿AD進行翻折，使得點B與點P重合，若點P在平面ADC上的射影在△ADC內(nèi)部及邊界上，則在翻折過程中，動點P的軌跡長度為（

）

A．212π B．28π C．2【變式5-1】（2024·河南·模擬預測）如圖，在長方形ABCD中，AB=2，BC=4，E為BC的中點，將△BAE沿AE向上翻折到△PAE的位置，連接PC，PD，在翻折的過程中，以下結(jié)論錯誤的是（

）A．四棱錐P?AECD體積的最大值為2B．PD的中點F的軌跡長度為3C．EP，CD與平面PAD所成的角相等D．三棱錐P?AED外接球的表面積有最小值16【變式5-2】（23-24高二上·四川內(nèi)江·期中）如圖，已知菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=120°，E為邊BC的中點，將△ABE沿AE翻折成△AB1E（點B1位于平面ABCD上方），連接B1C和B1D，F(xiàn)為

【變式5-3】（22-23高二上·廣東廣州·期末）已知矩形ABCD中AB=3，AD=3，現(xiàn)將△ACD沿對角線AC向上翻折（如圖所示），若在翻折過程中，點D到點B的距離在212,302內(nèi)變化時，點D【題型6軌跡所圍圖形的周長、面積問題】【例6】（23-24高三上·廣西貴港·階段練習）正三棱柱ABC?A1B1C1的底面邊長是4，側(cè)棱長是6，M，N分別為BB1，CC1的中點，若點A．53 B．5 C．39 D．【變式6-1】（2024·河北·模擬預測）已知正四棱錐（底面為正方形，且頂點在底面的射影為正方形的中心的棱錐為正四棱錐）P－ABCD的底面正方形邊長為2，其內(nèi)切球O的表面積為π3，動點Q在正方形ABCD內(nèi)運動，且滿足OQ=OP，則動點Q形成軌跡的周長為（

A．2π11 B．3π11 C．【變式6-2】（23-24高二下·浙江·開學考試）在正四面體ABCD中，P,Q分別是棱AB,CD的中點，E,F分別是直線AB,CD上的動點，且滿足PE+QF=a，M是EF的中點，則點MA．a(chǎn)24 B．a(chǎn)22 C．【變式6-3】（2024·四川·一模）如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為3，點E在棱BC上，且滿足BE=2EC，動點A．62 B．43 C．42一、單選題1．（2024·陜西銅川·模擬預測）在正四棱臺ABCD?A1B1C1D1中，AB=2A1B1=4A．53π3 B．43π32．（2024·遼寧·模擬預測）如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，已知M，N，P分別是棱C1D1，AA1，BC的中點，QA．π2 B．π C．2π D．3．（2024·江西·二模）已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為4，點M滿足C1M=3MC，若在正方形A．4 B．17 C．5 D．44．（2024·四川成都·三模）在棱長為5的正方體ABCD?A1B1C1D1中，Q是DDA．5π B．25π C．55．（2024·北京延慶·一模）已知在正方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=1，P是正方形A．18 B．14 C．π166．（2024·上海徐匯·二模）三棱錐P?ABC各頂點均在半徑為22的球O的表面上，AB=AC=22,∠BAC=90。，二面角P?BC?A①三棱錐O?ABC的體積為83；②點P形成的軌跡長度為2A．①②都是真命題B．①是真命題，②是假命題C．①是假命題，②是真命題D．①②都是假命題7．（2024·四川成都·三模）六氟化硫，化學式為SF6，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體每個面都是正三角形，可以看作是將兩個棱長均相等的正四棱錐將底面粘接在一起的幾何體）.如圖所示，正八面體E?ABCD?F的棱長為a，下列說法中正確的個數(shù)有（

①異面直線AE與BF所成的角為45°；②此八面體的外接球與內(nèi)切球的體積之比為33③若點P為棱EB上的動點，則AP+CP的最小值為23④若點O為四邊形ABCD的中心，點Q為此八面體表面上動點，且OQ=a2，則動點QA．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．（2024·四川綿陽·三模）如圖，正方體ABCD?A′B′C′D′的棱長為3，點M是側(cè)面ADAA．若保持PM=13．則點MB．保持PM與BD′垂直時，點MC．沿正方體的表面從點A到點P的最短路程為2D．當M在D′點時，三棱錐B′二、多選題9．（2024高三·全國·專題練習）如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=BC=4，AA1=3，M為AD中點，PA．點P的軌跡為橢圓的一部分B．點P的軌跡為圓的一部分C．點P的軌跡與DC，DD1D．點P的軌跡長度為810．（2024·重慶·模擬預測）已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，空間中一動點P滿足A．存在點P，使得A1PB．設ACl與平面MNQ交于點KC．若∠PAC=30°，則點P的軌跡為拋物線D．三棱錐P?QMN的外接球半徑最小值為5?11．（2024·湖南益陽·三模）如圖，點P是棱長為2的正方體ABCD?A1BA．當點P在平面BCC1BB．當點P在線段AC上運動時，D1P與AC．使直線AP與平面ABCD所成角為45°的動點P的軌跡長度為D．若F是A1B1的中點，當點P在底面ABCD上運動，且滿足PF//平面B1三、填空題12．（23-24高三上·江西撫州·期中）已知菱形ABCD的各邊長為2,∠D=60°.如圖所示，將△ACD沿AC折起，使得點D到達點S的位置，連接SB，得到三棱錐S?ABC，此時SB=3.若E是線段SA的中點，點F在三棱錐S?ABC的外接球上運動，且始終保持EF⊥AC則點F的軌跡的面積為

13．（2024·江西宜春·模擬預測）如圖，在四面體ABCD中，△ABC和△ACD均是邊長為6的等邊三角形，DB=9，則四面體ABCD外接球的表面積為；點E是線段AD的中點，點F在四面體ABCD的外接球上運動，且始終保持EF⊥AC，則點F的軌跡的長度為.14．（2024·四川遂寧·模擬預測）在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，所有棱長均為2，∠BAD=60°，P為C①當點Q在線段CD1上運動時，四面體②若AQ//面A1BP，則③若△A1BQ的外心為M④若A1Q=7，則點四、解答題15．（2024高三·全國·專題練習）如圖，A為平面α內(nèi)一定點，α外一定點B在α內(nèi)的射影為M．求平面α變動時點M的軌跡．

16．（23-24高二上·湖北十堰·期中）如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為4，M，N，G分別是棱AA

(1)求點Q的軌跡圍成圖形的面積；(2)求MG?17．（2024·湖南·模擬預測）如圖，四棱錐P?ABCD內(nèi)，PB⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，AB=2，BP=23．過P的直線l交平面ABCD于正方形ABCD內(nèi)的點M，且滿足平面PAM⊥平面PBM(1)當∠ABM∈π6,(2)當二面角M?PA?B的余弦值為45時，求二面角P?MA?D18．（2024·重慶·一模）